شبه معياري

في الرياضيات ، وخاصة في التحليل الوظيفي ، يُشبه المعيار الجزئي المعيارَ العادي ، ولكنه ليس بالضرورة موجبًا تمامًا . ترتبط المعايير الجزئية ارتباطًا وثيقًا بالمجموعات المحدبة : فكل معيار جزئي هو دالة مينكوفسكي لقرص ماص ، وبالعكس، فإن دالة مينكوفسكي لأي مجموعة من هذا القبيل هي معيار جزئي.

تكون الفضاءات المتجهة الطوبولوجية محدبة محليًا إذا وفقط إذا تم استنباط طوبولوجيتها بواسطة عائلة من المعايير شبهية.

يترك${\displaystyle X}$ليكن فضاء متجهي على الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$أو الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} .}$ دالة ذات قيم حقيقية${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم شبه معيار إذا استوفى الشرطين التاليين:

1. خاصية الجمع الجزئي ^{[ 1 ]} / متباينة المثلث :${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$للجميع${\displaystyle x,y\in X.}$
2. التجانس المطلق : ^{[ 1 ]}${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X}$وجميع الكميات القياسية${\displaystyle s.}$

هذان الشرطان يعنيان أن${\displaystyle p(0)=0}$^{[ البرهان 1 ]} وأن كل شبه معيار${\displaystyle p}$كما أنه يتمتع بالخاصية التالية: ^{[ الإثبات 2 ]}

3. عدم السلبية : ^{[ 1 ]}${\displaystyle p(x)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$

يدرج بعض المؤلفين عدم السلبية كجزء من تعريف "شبه المعيار" (وأحيانًا أيضًا "المعيار")، على الرغم من أن هذا ليس ضروريًا لأنه يتبع من الخاصيتين الأخريين.

بحكم التعريف، معيار على${\displaystyle X}$هو شبه معيار يفصل النقاط أيضاً، مما يعني أنه يتمتع بالخاصية الإضافية التالية:

4. إيجابي مؤكد / إيجابي ^{[ 1 ]} /فصل النقاط : كلما${\displaystyle x\in X}$يرضي${\displaystyle p(x)=0,}$ثم${\displaystyle x=0.}$

أالفضاء شبه المعياري هو زوج${\displaystyle (X,p)}$يتكون من فضاء متجهي${\displaystyle X}$وشبه معياري${\displaystyle p}$على${\displaystyle X.}$إذا كان شبه المعيار${\displaystyle p}$وهو أيضاً معيار ثم الفضاء شبه المعياري${\displaystyle (X,p)}$يُطلق عليه اسم الفضاء المعياري .

بما أن التجانس المطلق يستلزم التجانس الموجب، فإن كل شبه معيار هو نوع من الدوال يُسمى دالة شبه خطية .${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$تُسمى الدالة شبه خطية إذا كانت شبه جمعية ومتجانسة موجبة . على عكس شبه المعيار، فإن الدالة شبه الخطية ليست بالضرورة غير سالبة. غالبًا ما تُصادف الدوال شبه الخطية في سياق نظرية هان-باناخ . وهي دالة حقيقية القيمة.${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$تكون شبه معيارية إذا وفقط إذا كانت دالة شبه خطية ومتوازنة .

• المعيار شبه التافه على${\displaystyle X,}$وهو ما يشير إلى الثابت${\displaystyle 0}$الخريطة على${\displaystyle X,}$يؤدي إلى طوبولوجيا غير منفصلة على${\displaystyle X.}$
• يترك${\displaystyle \mu }$كن مقياسًا في الفضاء$أوميغا$. لثابت اختياري${\displaystyle c\geq 1}$، يترك${\displaystyle X}$لتكن مجموعة جميع الدوال${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$والتي $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$ موجود ومحدود. يمكن إثبات ذلك.${\displaystyle X}$هو فضاء متجهي، والدالة${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$هو شبه معيار في${\displaystyle X}$ومع ذلك، ليس هذا هو الوضع الطبيعي دائمًا (على سبيل المثال إذا${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$و${\displaystyle \mu }$( مقياس لوبيغ ) لأن${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$لا يعني ذلك بالضرورة${\displaystyle h=0}$. لصنع${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$معيار، حاصل قسمة${\displaystyle X}$بواسطة الفضاء الجزئي المغلق للدوال${\displaystyle h}$مع${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$المساحة الناتجة ،${\displaystyle L^{c}(\mu )}$، له معيار مستحث بواسطة${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$.
• لو${\displaystyle f}$إذا كانت أي صيغة خطية على فضاء متجهي فإن قيمتها المطلقة${\displaystyle |f|,}$محدد بواسطة${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$هو شبه طبيعي.
• دالة شبه خطية${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$في فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$تكون شبه معيار إذا وفقط إذا كانت دالة متناظرة ، مما يعني أن${\displaystyle f(-x)=f(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X.}$
• كل دالة فرعية خطية ذات قيم حقيقية${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$في فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$يُحفز شبه معيار${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$^{[ 2 ]}
• أي مجموع محدود من أنصاف المعايير هو شبه معيار. وتقييد شبه المعيار (أو المعيار) على فضاء جزئي متجهي هو أيضاً شبه معيار (أو معيار).
• لو${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$و${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$هي أنصاف معايير (على التوالي، معايير) على${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$ثم الخريطة${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$محدد بواسطة${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$هو شبه معيار (على التوالي، معيار) على${\displaystyle X\times Y.}$وعلى وجه الخصوص، الخرائط الموجودة${\displaystyle X\times Y}$محدد بواسطة${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$و${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$كلاهما شبه معيار على${\displaystyle X\times Y.}$
• لو${\displaystyle p}$و${\displaystyle q}$المعايير شبه الطبيعية على${\displaystyle X}$إذن، كذلك ^{[ 3 ]}$${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$و$${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ مع }}y,z\in X\}}$$ أين${\displaystyle p\wedge q\leq p}$و${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$^{[ 4 ]}
• فضاء المعايير الجزئية على${\displaystyle X}$لا تُعتبر عمومًا شبكة توزيعية فيما يتعلق بالعمليات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$،${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$هي من النوع الذي $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$بينما${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• لو${\displaystyle L:X\to Y}$هي خريطة خطية و${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$هو شبه معيار في${\displaystyle Y,}$ثم${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$هو شبه معيار في${\displaystyle X.}$شبه الطبيعي${\displaystyle q\circ L}$سيصبح هذا الأمر معياراً في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle L}$هو حقني والتقييد${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$هو أمر طبيعي في${\displaystyle L(X).}$

المعايير شبهية على فضاء متجهي${\displaystyle X}$ترتبط ارتباطًا وثيقًا، عبر دوال مينكوفسكي، بمجموعات فرعية من${\displaystyle X}$التي تكون محدبة ومتوازنة وممتصة . بالنظر إلى مثل هذه المجموعة الفرعية${\displaystyle D}$ل${\displaystyle X,}$دالة مينكوفسكي لـ${\displaystyle D}$هو شبه معيار. وعلى العكس، إذا كان لدينا شبه معيار${\displaystyle p}$على${\displaystyle X,}$المجموعات${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$و${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$محدبة ومتوازنة وممتصة، وعلاوة على ذلك، فإن دالة مينكوفسكي لهاتين المجموعتين (وكذلك لأي مجموعة تقع "بينهما") هي${\displaystyle p.}$^{[ 5 ]}

كل شبه معيار هو دالة شبه خطية ، وبالتالي فهو يحقق جميع خصائص الدالة شبه الخطية ، بما في ذلك التحدب .${\displaystyle p(0)=0,}$ولجميع المتجهات${\displaystyle x,y\in X}$: متباينة المثلث المعكوسة : ^{[ 2 ] [ 6 ]}$${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$ وأيضًا ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$و${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$^{[ 2 ] [ 6 ]}

لأي متجه${\displaystyle x\in X}$وحقيقي إيجابي${\displaystyle r>0:}$^{[ 7 ]}$${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$ وعلاوة على ذلك،${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$هو قرص ماص في${\displaystyle X.}$^{[ 3 ]}

لو${\displaystyle p}$هي دالة شبه خطية على فضاء متجهي حقيقي${\displaystyle X}$إذن يوجد دالة خطية${\displaystyle f}$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle f\leq p}$^{[ 6 ]} وعلاوة على ذلك، لأي دالة خطية${\displaystyle g}$على${\displaystyle X,}$${\displaystyle g\leq p}$على${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$^{[ 6 ]}

خصائص أخرى للمعايير الجزئية

كل شبه معيار هو دالة متوازنة . شبه معيار${\displaystyle p}$هو أمر طبيعي في${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$لا يحتوي على فضاء متجهي غير تافه.

لو${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$هو شبه معيار في${\displaystyle X}$ثم${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$هو فضاء متجهي جزئي من${\displaystyle X}$ولكل${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle p}$ثابت على المجموعة${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$ويساوي${\displaystyle p(x).}$^{[ الإثبات 3 ]}

علاوة على ذلك، بالنسبة لأي شخص حقيقي${\displaystyle r>0,}$^{[ 3 ]}$${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

لو${\displaystyle D}$مجموعة مرضية${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ثم${\displaystyle D}$يستوعب​​${\displaystyle X}$و${\displaystyle p=p_{D}}$أين${\displaystyle p_{D}}$يشير إلى دالة مينكوفسكي المرتبطة بـ${\displaystyle D}$(أي مقياس${\displaystyle D}$^{[ 5 ]} على وجه الخصوص ، إذا${\displaystyle D}$كما هو مذكور أعلاه و${\displaystyle q}$هل أي شبه معياري على${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle q=p}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$^{[ 5 ]}

لو${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$هو فضاء معياري و${\displaystyle x,y\in X}$ثم${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$للجميع${\displaystyle z}$في الفترة${\displaystyle [x,y].}$^{[ 8 ]}

كل معيار هو دالة محدبة ، وبالتالي فإن إيجاد الحد الأقصى العالمي لدالة الهدف القائمة على المعيار يكون قابلاً للمعالجة في بعض الأحيان.

إن مفهوم المعيار في جبر التركيب لا يشترك في الخصائص المعتادة للمعيار.

جبر التركيب${\displaystyle (A,*,N)}$يتكون من جبر على حقل${\displaystyle A,}$انقلاب​${\displaystyle \,*,}$وشكل تربيعي${\displaystyle N,}$وهو ما يُسمى "الوضع الطبيعي". في العديد من الحالات${\displaystyle N}$هي صيغة تربيعية متساوية الخواص بحيث${\displaystyle A}$يحتوي على متجه صفري واحد على الأقل ، على عكس فصل النقاط المطلوب للمعيار المعتاد الذي تمت مناقشته في هذه المقالة.

المعيار شبه الكامل أو المعيار شبه غير الأرخميدي هو معيار شبه كامل.${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$وهذا يرضي أيضاً${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

إضعاف خاصية الجمع الفرعي: شبه المعايير

خريطة${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم شبه معياري إذا كان متجانسًا (بشكل مطلق) وكان هناك بعض${\displaystyle b\leq 1}$بحيث${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ أصغر قيمة لـ${\displaystyle b}$يُطلق على الحالة التي ينطبق عليها هذا اسم مُضاعِف${\displaystyle p.}$

يُطلق على شبه المعيار الذي يفصل بين النقاط اسم شبه المعيار على${\displaystyle X.}$

إضعاف التجانس -${\displaystyle k}$-الندوات

خريطة${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$يُطلق عليه اسم${\displaystyle k}$-شبه معياري إذا كان شبه جمعي وكان هناك${\displaystyle k}$بحيث${\displaystyle 0<k\leq 1}$وللجميع${\displaystyle x\in X}$ and scalars ${\displaystyle s,}$$${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$ A ${\displaystyle k}$-seminorm that separates points is called a ${\displaystyle k}$-norm on ${\displaystyle X.}$

We have the following relationship between quasi-seminorms and ${\displaystyle k}$-seminorms:

Suppose that ${\displaystyle q}$ is a quasi-seminorm on a vector space ${\displaystyle X}$ with multiplier ${\displaystyle b.}$ If ${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$ then there exists ${\displaystyle k}$-seminorm ${\displaystyle p}$ on ${\displaystyle X}$ equivalent to ${\displaystyle q.}$

• Asymmetric norm – Generalization of the concept of a norm
• Banach space – Normed vector space that is complete
• Contraction mapping – Function reducing distance between all points
• Finest locally convex topology – Space with topology generated by convex setsPages displaying short descriptions of redirect targets
• Hahn-Banach theorem – Theorem on extension of bounded linear functionalsPages displaying short descriptions of redirect targets
• Gowers norm – Class of norms in additive combinatorics
• Locally convex topological vector space – Space with topology generated by convex sets
• Mahalanobis distance – Statistical distance measure
• Matrix norm – Norm on a vector space of matrices
• Minkowski functional – Function made from a set
• Norm (mathematics) – Length in a vector space
• Normed vector space – Vector space on which a distance is defined
• Relation of norms and metrics – Mathematical space with a notion of distancePages displaying short descriptions of redirect targets
• Sublinear function – Type of function in linear algebra

Proofs

• أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• بربريان، ستيرلينغ ك. (1974). محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  15. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 . 
• بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• Conway, John B. (1990). A Course in Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 96 (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
• Edwards, Robert E. (1995). Functional Analysis: Theory and Applications. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Khaleelulla, S. M. (1982). Counterexamples in Topological Vector Spaces. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 936. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Kubrusly, Carlos S. (2011). The Elements of Operator Theory (Second ed.). Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• Prugovečki, Eduard (1981). Quantum mechanics in Hilbert space (2nd ed.). Academic Press. p. 20. ISBN 0-12-566060-X.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 . 
• شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 . 

• الدوال شبه الخطية
• نظرية الساندويتش للدوال شبه الخطية وفوق الخطية