وظيفة متجانسة

📅 آخر تحديث: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 154 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الدالة المتجانسة هي دالة لعدة متغيرات بحيث يتحقق ما يلي: إذا ضُرب كل وسيط من وسائط الدالة بنفس العدد القياسي ، فإن قيمة الدالة تُضرب في قوة معينة لهذا العدد القياسي؛ وتُسمى هذه القوة درجة التجانس ، أو ببساطة الدرجة . أي، إذا كان k عددًا صحيحًا، فإن الدالة f ذات n متغيرًا تكون متجانسة من الدرجة k إذا

و(sx1،...،sxن)=sكو(x1،...،xن){\displaystyle f(sx_{1},\ldots ,sx_{n})=s^{k}f(x_{1},\ldots ,x_{n})}

لكلx1،...،xن،{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}وs≠0.{\displaystyle s\neq 0.}ويشار إلى هذا أيضًا باسم دالة متجانسة من الدرجة k أو من الرتبة k .

على سبيل المثال، تحدد متعددة الحدود المتجانسة من الدرجة k دالة متجانسة من الدرجة k .

يمتد التعريف أعلاه إلى الدوال التي يكون مجالها ومجالها المقابل فضاءات متجهة على حقل F : دالةو:V→دبليو{\displaystyle f:V\to W}بين فضاءين متجهين من النوع F يكون متجانسًا من الدرجةك{\displaystyle k}لو

لجميع القيم غير الصفريةs∈F{\displaystyle s\in F}وv∈V.{\displaystyle v\in V.}غالباً ما يتم تعميم هذا التعريف ليشمل الدوال التي لا يكون مجالها V ، بل مخروطاً في V ، أي مجموعة جزئية C من V بحيثv∈ج{\displaystyle \mathbf {v} \in C}يشير إلىsv∈ج{\displaystyle s\mathbf {v} \in C}لكل عدد قياسي غير صفري s .

في حالة الدوال ذات المتغيرات الحقيقية المتعددة والفضاءات المتجهة الحقيقية ، غالبًا ما يُنظر في شكل أكثر عمومية من التجانس يُسمى التجانس الموجب ، وذلك باشتراط تحقق المتطابقات المذكورة أعلاه فقط.s>0،{\displaystyle s>0,}وباعتبار أي عدد حقيقي k درجةً للتجانس، فإن كل دالة حقيقية متجانسة هي دالة موجبة التجانس . والعكس غير صحيح، ولكنه صحيح محليًا بمعنى أنه (بالنسبة للدرجات الصحيحة) لا يمكن التمييز بين نوعي التجانس بالنظر إلى سلوك الدالة بالقرب من نقطة معينة.

المعيار على فضاء متجهي حقيقي هو مثال على دالة متجانسة موجبة غير متجانسة. والقيمة المطلقة للأعداد الحقيقية حالة خاصة . ويُعطي خارج قسمة كثيرتي حدود متجانستين من الدرجة نفسها مثالاً على دالة متجانسة من الدرجة الصفرية. هذا المثال أساسي في تعريف المخططات الإسقاطية .

التعريفات

طُرح مفهوم الدالة المتجانسة في الأصل لوصف الدوال التي تتضمن عدة متغيرات حقيقية . ومع تعريف الفضاءات المتجهة في نهاية القرن التاسع عشر، امتد هذا المفهوم بشكل طبيعي ليشمل الدوال بين الفضاءات المتجهة، إذ يمكن اعتبار مجموعة من قيم المتغيرات متجهًا إحداثيًا . هذا المنظور الأكثر عمومية هو ما يُشرح في هذه المقالة.

هناك تعريفان شائعان الاستخدام. التعريف العام يعمل على الفضاءات المتجهة فوق الحقول العشوائية ، ويقتصر على درجات التجانس التي هي أعداد صحيحة .

يفترض التعريف الثاني أنه يعمل على حقل الأعداد الحقيقية ، أو بشكل أعم، على حقل مرتب . يقصر هذا التعريف عامل القياس الوارد فيه على القيم الموجبة، ولذلك يُسمى التجانس الموجب ، وغالبًا ما تُحذف كلمة " موجب" عندما لا يكون هناك خطر للالتباس. يؤدي التجانس الموجب إلى اعتبار المزيد من الدوال متجانسة. على سبيل المثال، القيمة المطلقة وجميع المعايير هي دوال متجانسة موجبة وليست متجانسة.

إن تقييد عامل القياس بالقيم الحقيقية الموجبة يسمح أيضًا بالنظر في الدوال المتجانسة التي تكون درجة تجانسها أي عدد حقيقي.

التجانس العام

ليكن V و W فضاءين متجهيين على حقل F. المخروط الخطي في V هو مجموعة جزئية C من V بحيث sx∈ج{\displaystyle sx\in C}للجميعx∈ج{\displaystyle x\in C}وجميعها غير صفريةs∈F.{\displaystyle s\in F.}

الدالة المتجانسة f من V إلى W هي دالة جزئية من V إلى W يكون مجالها مخروطًا خطيًا C ، وتحقق الشروط التالية :

و(sx)=sكو(x){\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}

بالنسبة لعدد صحيح k ، كلx∈ج،{\displaystyle x\in C,}وكل شيء غير صفريs∈F.{\displaystyle s\in F.}يُطلق على العدد الصحيح k درجة التجانس ، أو ببساطة درجة f .

من الأمثلة النموذجية للدالة المتجانسة من الدرجة k الدالة المعرفة بواسطة متعددة حدود متجانسة من الدرجة k . الدالة الكسرية المعرفة بواسطة خارج قسمة متعددتي حدود متجانستين هي دالة متجانسة؛ درجتها هي الفرق بين درجتي البسط والمقام؛ مخروط تعريفها هو المخروط الخطي للنقاط التي لا تساوي فيها قيمة المقام صفرًا.

تلعب الدوال المتجانسة دورًا أساسيًا في الهندسة الإسقاطية ، إذ أن أي دالة متجانسة f من V إلى W تُعرّف دالة محددة جيدًا بين إسقاطات V و W. وتلعب الدوال الكسرية المتجانسة من الدرجة الصفرية (المُعرّفة بقسمة كثيرتي حدود متجانستين من الدرجة نفسها) دورًا جوهريًا في بناء مخططات الإسقاط باستخدام Proj .

التجانس الإيجابي

عند العمل على الأعداد الحقيقية ، أو بشكل عام على حقل مرتب ، من الملائم عادةً النظر في التجانس الموجب ، ويكون التعريف هو نفسه تمامًا كما في القسم السابق، مع استبدال " s غير الصفرية" بـ " s > 0 " في تعريفات المخروط الخطي والدالة المتجانسة.

يسمح هذا التغيير بالنظر في الدوال المتجانسة (إيجابياً) التي لها أي عدد حقيقي كدرجات لها، لأن عملية الأسس ذات الأساس الحقيقي الموجب محددة جيداً.

حتى في حالة الدرجات الصحيحة، توجد العديد من الدوال المفيدة التي تكون متجانسة إيجابياً دون أن تكون متجانسة. وينطبق هذا بشكل خاص على دالة القيمة المطلقة والمعايير ، والتي جميعها متجانسة إيجابياً من الدرجة 1. وهي ليست متجانسة لأن|-x|=|x|≠-|x|{\displaystyle |-x|=|x|\neq -|x|}لوx≠0.{\displaystyle x\neq 0.}ويظل هذا صحيحًا في حالة الأعداد المركبة ، لأن حقل الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }ويمكن اعتبار كل فضاء متجهي معقد فضاءً متجهيًا حقيقيًا.

تُعد نظرية أويلر للدوال المتجانسة بمثابة توصيف للدوال القابلة للتفاضل المتجانسة بشكل إيجابي ، والتي يمكن اعتبارها النظرية الأساسية للدوال المتجانسة .

أمثلة

الدالة المتجانسة ليست بالضرورة متصلة ، كما يتضح من هذا المثال. هذه هي الدالةو{\displaystyle f}محدد بواسطةو(x،y)=x{\displaystyle f(x,y)=x}لوxy>0{\displaystyle xy>0}وو(x،y)=0{\displaystyle f(x,y)=0}لوxy≤0.{\displaystyle xy\leq 0.}هذه الدالة متجانسة من الدرجة الأولى، أيو(sx،sy)=sو(x،y){\displaystyle f(sx,sy)=sf(x,y)}لأي أعداد حقيقيةs،x،y.{\displaystyle s,x,y.}وهو غير متصل عندy=0،x≠0.{\displaystyle y=0,x\neq 0.}

مثال بسيط

الوظيفةو(x،y)=x2+y2{\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}متجانس من الدرجة الثانية: و(تx،تy)=(تx)2+(تy)2=ت2(x2+y2)=ت2و(x،y).{\displaystyle f(tx,ty)=(tx)^{2}+(ty)^{2}=t^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=t^{2}f(x,y).}

القيمة المطلقة والمعايير

القيمة المطلقة لعدد حقيقي هي دالة متجانسة موجبة من الدرجة 1 ، وهي دالة غير متجانسة، لأن|sx|=s|x|{\displaystyle |sx|=s|x|}لوs>0،{\displaystyle s>0,}و|sx|=-s|x|{\displaystyle |sx|=-s|x|} لوs<0.{\displaystyle s<0.}

القيمة المطلقة للعدد المركب هي دالة متجانسة موجبة من الدرجة1{\displaystyle 1}على الأعداد الحقيقية (أي عند اعتبار الأعداد المركبة فضاءً متجهيًا على الأعداد الحقيقية). وهي ليست متجانسة، سواء على الأعداد الحقيقية أو على الأعداد المركبة.

بشكل عام، كل معيار وشبه معيار هو دالة متجانسة موجبة من الدرجة الأولى ، وهي ليست دالة متجانسة. أما بالنسبة للقيمة المطلقة، فإذا عُرِّف المعيار أو شبه المعيار على فضاء متجهي فوق الأعداد المركبة، فيجب اعتبار هذا الفضاء المتجهي فضاءً متجهيًا فوق الأعداد الحقيقية لتطبيق تعريف الدالة المتجانسة الموجبة.

الخرائط الخطية

أي خريطة خطيةو:V→دبليو{\displaystyle f:V\to W}يكون الفضاء المتجهي بين حقل F متجانسًا من الدرجة 1، وفقًا لتعريف الخطية: و(αv)=αو(v){\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )} للجميعα∈F{\displaystyle \alpha \in {F}}وv∈V.{\displaystyle v\in V.}

وبالمثل، أي دالة متعددة الخطيةو:V1×V2×⋯Vن→دبليو{\displaystyle f:V_{1}\times V_{2}\times \cdots V_{n}\to W}متجانس من الدرجةن،{\displaystyle n,}بحسب تعريف التعددية الخطية: و(αv1،...،αvن)=αنو(v1،...،vن){\displaystyle f\left(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n}\right)=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})} للجميعα∈F{\displaystyle \alpha \in {F}}وv1∈V1،v2∈V2،...،vن∈Vن.{\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},\ldots ,v_{n}\in V_{n}.}

كثيرات الحدود المتجانسة

وحيدات الحدود فين{\displaystyle n}تُعرّف المتغيرات الدوال المتجانسةو:Fن→F.{\displaystyle f:\mathbb {F} ^{n}\to \mathbb {F} .}على سبيل المثال، و(x،y،z)=x5y2z3{\displaystyle f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,} متجانس من الدرجة 10 لأن و(αx،αy،αz)=(αx)5(αy)2(αz)3=α10x5y2z3=α10و(x،y،z).{\displaystyle f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,} الدرجة هي مجموع الأسس على المتغيرات؛ في هذا المثال،10=5+2+3.{\displaystyle 10=5+2+3.}

كثير الحدود المتجانس هو كثير حدود يتكون من مجموع حدود أحادية من نفس الدرجة. على سبيل المثال، x5+2x3y2+9xy4{\displaystyle x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}} هي متعددة حدود متجانسة من الدرجة 5. كما أن متعددات الحدود المتجانسة تحدد الدوال المتجانسة.

بفرض وجود متعددة حدود متجانسة من الدرجةك{\displaystyle k}بمعاملات حقيقية لا تأخذ إلا قيمًا موجبة، نحصل على دالة متجانسة موجبة من الدرجةك/د{\displaystyle k/d}برفعها إلى القوة1/د.{\displaystyle 1/d.}فعلى سبيل المثال، الدالة التالية متجانسة إيجابياً من الدرجة 1 ولكنها غير متجانسة: (x2+y2+z2)12.{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac {1}{2}}.}

الحد الأدنى/الحد الأقصى

لكل مجموعة من الأوزانw1،...،wن،{\displaystyle w_{1},\dots ,w_{n},}الدوال التالية متجانسة إيجابياً من الدرجة 1، ولكنها غير متجانسة:

  • مين(x1w1،...،xنwن){\displaystyle \min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}( مرافق ليونتيف )
  • الأعلى(x1w1،...،xنwن){\displaystyle \max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)}

الدوال الكسرية

الدوال الكسرية التي تُشكل كنسبة بين كثيرتي حدود متجانستين هي دوال متجانسة في مجالها ، أي خارج المخروط الخطي الذي تشكله أصفار المقام . وبالتالي، إذاو{\displaystyle f}متجانس من الدرجةم{\displaystyle m}وز{\displaystyle g}متجانس من الدرجةن،{\displaystyle n,}ثمو/ز{\displaystyle f/g}متجانس من الدرجةم-ن{\displaystyle m-n}بعيدًا عن أصفارز.{\displaystyle g.}

أمثلة مضادة

تأخذ الدوال الحقيقية المتجانسة لمتغير واحد الشكل التالي:x↦جxك{\displaystyle x\mapsto cx^{k}}لبعض الثوابت c . إذن، الدالة الأفينيةx↦x+5،{\displaystyle x\mapsto x+5,}اللوغاريتم الطبيعيx↦ln⁡(x)،{\displaystyle x\mapsto \ln(x),}والدالة الأسيةx↦هـx{\displaystyle x\mapsto e^{x}}ليست متجانسة.

نظرية أويلر

بصورة عامة، تنص نظرية أويلر للدوال المتجانسة على أن الدوال المتجانسة الموجبة من درجة معينة هي بالضبط حل لمعادلة تفاضلية جزئية محددة . بتعبير أدق:

نظرية أويلر للدوال المتجانسة — إذا كانت f دالة (جزئية) لـ n متغيرًا حقيقيًا، متجانسة إيجابيًا من الدرجة k ، وقابلة للتفاضل باستمرار في مجموعة جزئية مفتوحة منRن،{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}ثم تحقق في هذه المجموعة المفتوحة المعادلة التفاضلية الجزئيةكو(x1،...،xن)=∑أنا=1نxأنا∂و∂xأنا(x1،...،xن).{\displaystyle k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).}

وعلى العكس من ذلك، فإن كل حل قابل للتفاضل بشكل مستمر أقصى لهذه المعادلة التفاضلية الجزئية هو دالة متجانسة إيجابية من الدرجة k ، معرفة على مخروط موجب (هنا، تعني كلمة أقصى أنه لا يمكن تمديد الحل إلى دالة ذات مجال أكبر).

دليل

وللحصول على صيغ أبسط، قمنا بوضعx=(x1،...،xن).{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n}).} ينتج الجزء الأول عن استخدام قاعدة السلسلة لتفاضل طرفي المعادلةو(sx)=sكو(x){\displaystyle f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )}بالنسبة إلىs،{\displaystyle s,}وأخذ نهاية النتيجة عندما يقترب s من 1 .

يُثبت العكس بتكامل معادلة تفاضلية بسيطة . لنفترضx{\displaystyle \mathbf {x} }أن تكون داخل نطاق الدالة f . بالنسبة لقيم s القريبة بما فيه الكفاية من 1 ، فإن الدالة ز(s)=و(sx){\textstyle g(s)=f(s\mathbf {x} )}مُعرَّفة جيدًا. المعادلة التفاضلية الجزئية تعني أن sز′(s)=كو(sx)=كز(s).{\displaystyle sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).} تأخذ حلول هذه المعادلة التفاضلية الخطية الشكل التالي:ز(s)=ز(1)sك.{\displaystyle g(s)=g(1)s^{k}.} لذلك،و(sx)=ز(s)=sكز(1)=sكو(x)،{\displaystyle f(s\mathbf {x} )=g(s)=s^{k}g(1)=s^{k}f(\mathbf {x} ),}إذا كانت قيمة s قريبة بما يكفي من 1. إذا لم يكن حل المعادلة التفاضلية الجزئية مُعرَّفًا لجميع قيم s الموجبة ، فإن المعادلة الوظيفية تسمح بتمديد الحل، وتدل المعادلة التفاضلية الجزئية على أن هذا التمديد فريد. لذا، فإن مجال الحل الأقصى للمعادلة التفاضلية الجزئية هو مخروط خطي، ويكون الحل متجانسًا إيجابيًا من الدرجة k .◻{\displaystyle \square }

ونتيجة لذلك، إذاو:Rن→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }قابلة للتفاضل باستمرار ومتجانسة من الدرجةك،{\displaystyle k,}مشتقاتها الجزئية من الرتبة الأولى∂و/∂xأنا{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}متجانسة من الدرجةك-1.{\displaystyle k-1.} ينتج هذا عن نظرية أويلر عن طريق تفاضل المعادلة التفاضلية الجزئية بالنسبة لمتغير واحد.

في حالة دالة لمتغير حقيقي واحد (ن=1{\displaystyle n=1})، تشير النظرية إلى أن الدالة القابلة للتفاضل باستمرار والمتجانسة إيجابياً من الدرجة k لها الشكل التالي:و(x)=ج+xك{\displaystyle f(x)=c_{+}x^{k}}لx>0{\displaystyle x>0}وو(x)=ج-xك{\displaystyle f(x)=c_{-}x^{k}}لx<0.{\displaystyle x<0.}الثوابتج+{\displaystyle c_{+}}وج-{\displaystyle c_{-}}ليست بالضرورة متطابقة، كما هو الحال بالنسبة للقيمة المطلقة .

تطبيق على المعادلات التفاضلية

الاستبدالv=y/x{\displaystyle v=y/x}تحويل المعادلة التفاضلية العاديةأنا(x،y)دyدx+ج(x،y)=0،{\displaystyle I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,} أينأنا{\displaystyle I}وج{\displaystyle J}هي دوال متجانسة من نفس الدرجة، في المعادلة التفاضلية القابلة للفصلxدvدx=-ج(1،v)أنا(1،v)-v.{\displaystyle x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.}

التعميمات

التجانس تحت تأثير أحادي

إن التعريفات المذكورة أعلاه كلها حالات خاصة من المفهوم الأكثر عمومية التالي للتجانس، والذيX{\displaystyle X}يمكن أن تكون أي مجموعة (بدلاً من فضاء متجهي) ويمكن استبدال الأعداد الحقيقية بالمفهوم الأكثر عمومية للوحدة .

يتركم{\displaystyle M}ليكن أحاديًا بعنصر محايد1∈م،{\displaystyle 1\in M,}يتركX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}لنفترض أن لدينا مجموعات، ولنفترض أن على كليهماX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}توجد أفعال أحادية محددة لـم.{\displaystyle M.}يتركك{\displaystyle k}ليكن عددًا صحيحًا غير سالب ولتكنو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}كن خريطة. ثمو{\displaystyle f}يقال إنه متجانس من الدرجةك{\displaystyle k}زيادةم{\displaystyle M}إذا لكلx∈X{\displaystyle x\in X}وم∈م،{\displaystyle m\in M,}و(مx)=مكو(x).{\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x).} وإذا كانت هناك دالة إضافيةم→م،{\displaystyle M\to M,}يرمز إليه بـم↦|م|،{\displaystyle m\mapsto |m|,}ثم يُطلق عليها القيمة المطلقةو{\displaystyle f}يقال إنها متجانسة تمامًا من الدرجةك{\displaystyle k}زيادةم{\displaystyle M}إذا لكلx∈X{\displaystyle x\in X}وم∈م،{\displaystyle m\in M,}و(مx)=|م|كو(x).{\displaystyle f(mx)=|m|^{k}f(x).}

تكون الدالة متجانسة علىم{\displaystyle M}(على التوالي متجانس تمامًا علىم{\displaystyle M}) إذا كانت متجانسة من الدرجة1{\displaystyle 1}زيادةم{\displaystyle M}(على التوالي متجانس تمامًا من الدرجة1{\displaystyle 1}زيادةم{\displaystyle M}).

وبشكل أعم، من الممكن أن تكون الرموزمك{\displaystyle m^{k}}سيتم تحديده لـم∈م{\displaystyle m\in M}معك{\displaystyle k}أن يكون شيئًا آخر غير عدد صحيح (على سبيل المثال، إذام{\displaystyle M}هي الأرقام الحقيقية وك{\displaystyle k}إذا كان عددًا حقيقيًا غير صفريمك{\displaystyle m^{k}}يتم تعريفها على الرغم منك{\displaystyle k}(ليس عددًا صحيحًا). إذا كان هذا هو الحال،و{\displaystyle f}سيطلق عليها اسم متجانسة من الدرجةك{\displaystyle k}زيادةم{\displaystyle M}إذا تحققت المساواة نفسها: و(مx)=مكو(x) لكل x∈X و م∈م.{\displaystyle f(mx)=m^{k}f(x)\quad {\text{ for every }}x\in X{\text{ and }}m\in M.}

مفهوم التجانس المطلق من الدرجةك{\displaystyle k}زيادةم{\displaystyle M}يتم تعميم ذلك بشكل مماثل.

التوزيعات (الدوال المعممة)

دالة متصلةو{\displaystyle f}علىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}متجانس من الدرجةك{\displaystyle k}إذا وفقط إذا∫Rنو(تx)φ(x)دx=تك∫Rنو(x)φ(x)دx{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx} لجميع وظائف الاختبار المدعومة بشكل مضغوطφ{\displaystyle \varphi }؛ وحقيقي غير صفريت.{\displaystyle t.}وبعبارة أخرى، إجراء تغيير في المتغيرy=تx،{\displaystyle y=tx,}و{\displaystyle f}متجانس من الدرجةك{\displaystyle k}إذا وفقط إذا ت-ن∫Rنو(y)φ(yت)دy=تك∫Rنو(y)φ(y)دy{\displaystyle t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy} للجميعت{\displaystyle t}وجميع وظائف الاختبارφ.{\displaystyle \varphi .}يُتيح العرض الأخير تحديد تجانس التوزيعات . التوزيعS{\displaystyle S}متجانس من الدرجةك{\displaystyle k}لو ت-ن⟨S،φ∘μت⟩=تك⟨S،φ⟩{\displaystyle t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle } لجميع الأعداد الحقيقية غير الصفريةت{\displaystyle t}وجميع وظائف الاختبارφ.{\displaystyle \varphi .}تشير الأقواس الزاوية هنا إلى الاقتران بين التوزيعات ودوال الاختبار، وμت:Rن→Rن{\displaystyle \mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}هي عملية القسمة على عدد حقيقيت.{\displaystyle t.}

مسرد المصطلحات المتعلقة بأسماء المتغيرات

يتركو:X→Y{\displaystyle f:X\to Y}ليكن تطبيقًا بين فضاءين متجهيين على حقلF{\displaystyle \mathbb {F} }(عادةً الأعداد الحقيقية)R{\displaystyle \mathbb {R} }أو الأعداد المركبةج{\displaystyle \mathbb {C} }). لوS{\displaystyle S}هي مجموعة من القيم العددية، مثلZ،{\displaystyle \mathbb {Z} ,}[0،∞)،{\displaystyle [0,\infty ),}أوR{\displaystyle \mathbb {R} }على سبيل المثال، ثمو{\displaystyle f}يقال إنهمتجانس علىS{\displaystyle S}لو و(sx)=sو(x){\textstyle f(sx)=sf(x)}لكلx∈X{\displaystyle x\in X}والكمية العدديةs∈S.{\displaystyle s\in S.} على سبيل المثال، كل دالة جمعية بين فضاءات متجهة هيمتجانس على الأعداد النسبيةS:=سؤال{\displaystyle S:=\mathbb {Q} }على الرغم من أنه قد لا يكون كذلكمتجانس على الأعداد الحقيقيةS:=R.{\displaystyle S:=\mathbb {R} .}

تتضمن الحالات الخاصة والاختلافات الشائعة التالية لهذا التعريف مصطلحاتها الخاصة:

  1. (حازم )التجانس الإيجابي : [ 1 ]و(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وكل شيء إيجابي حقيقير>0.{\displaystyle r>0.}
    • عندما تكون الوظيفةو{\displaystyle f}إذا كانت قيمة الخاصية في فضاء متجهي أو حقل، فإن هذه الخاصية مكافئة منطقيًا [ البرهان 1 ] لـالتجانس غير السلبي ، والذي يعني بحكم التعريف: [ 2 ]و(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميع الأعداد الحقيقية غير السالبةر≥0.{\displaystyle r\geq 0.}لهذا السبب يُطلق على التجانس الموجب غالبًا اسم التجانس غير السالب أيضًا. ومع ذلك، بالنسبة للدوال التي تُقاس قيمها في الأعداد الحقيقية الموسعة،[-∞،∞]=R∪{±∞}،{\displaystyle [-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \},}والتي تظهر في مجالات مثل التحليل المحدب ، والضرب0⋅و(x){\displaystyle 0\cdot f(x)}سيكون غير محدد متىو(x)=±∞{\displaystyle f(x)=\pm \infty }وبالتالي، فإن هذه العبارات ليست بالضرورة قابلة للتبادل دائمًا. [ ملاحظة 1 ]
    • تُستخدم هذه الخاصية في تعريف الدالة شبه الخطية . [ 1 ] [ 2 ]
    • الدوال الوظيفية لمينكوفسكي هي بالضبط تلك الدوال الحقيقية الموسعة غير السالبة التي تتمتع بهذه الخاصية.
  2. التجانس الحقيقي :و(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وكلها حقيقيةر.{\displaystyle r.}
  3. التجانس : [ 3 ]و(sx)=sو(x){\displaystyle f(sx)=sf(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميع الكميات القياسيةs∈F.{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
    • ويؤكد على أن هذا التعريف يعتمد على الحقل القياسيF{\displaystyle \mathbb {F} }المجال الأساسيX.{\displaystyle X.}
    • تُستخدم هذه الخاصية في تعريف الدوال الخطية والخرائط الخطية . [ 2 ]
  4. التجانس المترافق : [ 4 ]و(sx)=s¯و(x){\displaystyle f(sx)={\overline {s}}f(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميع الكميات القياسيةs∈F.{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}

يمكن تعميم جميع التعريفات المذكورة أعلاه عن طريق استبدال الشرطو(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}معو(رx)=|ر|و(x)،{\displaystyle f(rx)=|r|f(x),}وفي هذه الحالة، يُسبق هذا التعريف بكلمة " مطلق " أو " بشكل مطلق ". على سبيل المثال،

  1. التجانس المطلق : [ 2 ]و(sx)=|s|و(x){\displaystyle f(sx)=|s|f(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميع الكميات القياسيةs∈F.{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}

لوك{\displaystyle k}إذا كان عددًا حقيقيًا ثابتًا، فيمكن تعميم التعريفات المذكورة أعلاه بشكل أكبر عن طريق استبدال الشرطو(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}معو(رx)=ركو(x){\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}(وبالمثل، عن طريق الاستبدال)و(رx)=|ر|و(x){\displaystyle f(rx)=|r|f(x)}معو(رx)=|ر|كو(x){\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}بالنسبة للشروط التي تستخدم القيمة المطلقة، وما إلى ذلك)، وفي هذه الحالة يُقال إن التجانس " من الدرجةك{\displaystyle k}( حيث تكون جميع التعريفات المذكورة أعلاه على وجه الخصوص " من الدرجة "1{\displaystyle 1}" ). على سبيل المثال،

  1. تجانس حقيقي من الدرجةك{\displaystyle k}:و(رx)=ركو(x){\displaystyle f(rx)=r^{k}f(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وكلها حقيقيةر.{\displaystyle r.}
  2. تجانس الدرجةك{\displaystyle k}:و(sx)=sكو(x){\displaystyle f(sx)=s^{k}f(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميع الكميات القياسيةs∈F.{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}
  3. التجانس الحقيقي المطلق من الدرجةك{\displaystyle k}:و(رx)=|ر|كو(x){\displaystyle f(rx)=|r|^{k}f(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وكلها حقيقيةر.{\displaystyle r.}
  4. التجانس المطلق للدرجةك{\displaystyle k}:و(sx)=|s|كو(x){\displaystyle f(sx)=|s|^{k}f(x)}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وجميع الكميات القياسيةs∈F.{\displaystyle s\in \mathbb {F} .}

دالة متصلة غير صفرية متجانسة من الدرجةك{\displaystyle k}علىRن∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace }يمتد بشكل مستمر إلىRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}إذا وفقط إذاك>0.{\displaystyle k>0.}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ ومع ذلك، إذا كان مثل هذاو{\displaystyle f}يرضيو(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}للجميعر>0{\displaystyle r>0}وx∈X،{\displaystyle x\in X,}ثم بالضرورةو(0)∈{±∞،0}{\displaystyle f(0)\in \{\pm \infty ,0\}}وكلماو(0)،و(x)∈R{\displaystyle f(0),f(x)\in \mathbb {R} }كلاهما حقيقيان إذنو(رx)=رو(x){\displaystyle f(rx)=rf(x)}سيبقى هذا سارياً للجميعر≥0.{\displaystyle r\geq 0.}

البراهين

  1. ↑ افترض أنو{\displaystyle f}تكون متجانسة إيجابياً تماماً ولها قيم في فضاء متجهي أو حقل. عندئذٍو(0)=و(2⋅0)=2و(0){\displaystyle f(0)=f(2\cdot 0)=2f(0)}لذا اطرحو(0){\displaystyle f(0)}يُظهر كلا الجانبين أنو(0)=0.{\displaystyle f(0)=0.}كتابةر:=0،{\displaystyle r:=0,}ثم لأيx∈X،{\displaystyle x\in X,}و(رx)=و(0)=0=0و(x)=رو(x)،{\displaystyle f(rx)=f(0)=0=0f(x)=rf(x),}مما يدل على أنو{\displaystyle f}متجانس غير سالب.

مراجع

مصادر

  • بلاتر، كريستيان (1979). "20. قياس الأبعاد التفاضلية، Aufgaben، 1.". التحليل الثاني (باللغة الألمانية) (  الطبعة الثانية). سبرينغر فيرلاغ. ص.  188. ردمك 3-540-09484-9.
  • كوبروسلي، كارلوس س. (2011). عناصر نظرية المؤثرات (  الطبعة الثانية). بوسطن: بيركهاوزر . ISBN 978-0-8176-4998-2. OCLC 710154895 . 
  • شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
  • شيشتر، إريك (1996). دليل التحليل وأسسه . سان دييغو، كاليفورنيا: دار النشر الأكاديمية. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .