وظيفة الاختبار

ليكن U مجموعة جزئية مفتوحة من R ⁿ . مع تعديلات طفيفة، يمكن استبدال R ⁿ بأي مشعب أملس ( متراص ) .

يُعرَّف فضاء الدوال الاختبارية D( U ) على U كما يلي. دالة${\displaystyle \varphi }$ يقال إن المجموعة U → R لها دعم مضغوط إذا وُجدت مجموعة جزئية مضغوطة K من U بحيث${\displaystyle \varphi }$( x ) = 0 لجميع x في U \ K. عناصر D( U ) هي الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود.${\displaystyle \varphi }$ : U → R مع دعم مضغوط. هذا فضاء متجهي حقيقي .

يمكن إعطاؤها بنية طوبولوجية بتحديد نهاية متتالية من عناصر D( U ). متتالية (${\displaystyle \varphi }$يُقال أن _k ) في D( U ) يتقارب إلى${\displaystyle \varphi }$ ∈  D( U ) إذا تحققت الشروط التالية: ^{[ 1 ]}

• توجد مجموعة مضغوطة K  ⊂ U تحتوي على دعامات جميع ${\displaystyle \varphi }$_ك :

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{k}\operatorname {supp} (\varphi _{k})\subset K.}$

• لكل مؤشر متعدد α، سلسلة المشتقات الجزئية${\displaystyle \جزئي ^{\alpha }\varphi _{k}}$يميل بشكل موحد إلى${\displaystyle \جزئي ^{\alpha }\varphi }$.

بهذا التعريف، يصبح D( U ) فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا محدبًا محليًا كاملًا . ^{[ 2 ]}

لنفترض الآن _أن U هو اتحاد Uᵢ حيث { Uᵢ _} هي عائلة قابلة للعد من المجموعات الفرعية المفتوحة من _U ذات إغلاقات متراصة _Ki = Uᵢ . عندئذٍ يكون لدينا اتحاد متزايد قابل للعد

${\displaystyle \mathrm {D} (U)=\bigcup \nolimits _{i}\mathrm {D} _{K_{i}}}$

حيث D _{K i} هي مجموعة جميع الدوال الملساء على U التي يقع دعمها في K _i . على كل D _{K i} ، نعتبر الطوبولوجيا المعطاة بواسطة المعايير شبهية.

${\displaystyle \|\varphi \|_{\alpha }=\max _{x\in K_{i}}\left|\partial ^{\alpha }\varphi \right|,}$

أي طوبولوجيا التقارب المنتظم للمشتقات من أي رتبة. وهذا يجعل كل D _{K i} فضاءً من نوع فريشيه . وبنية فضاء LF الناتجة على D( U ) هي الطوبولوجيا الموصوفة أعلاه.

فضاء شوارتز S ( Rⁿ ⁾ هو فضاء الدوال لجميع الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود والتي تتناقص بسرعة عند اللانهاية ^، بالإضافة إلى جميع مشتقاتها الجزئية. وبالتالي، فإن الدالة φ  : Rⁿ → R تنتمي إلى فضاء شوارتز بشرط أن تكون أي مشتقة من${\displaystyle \varphi }$، مضروبة بأي قوة من قوى  | x |، تتقارب نحو 0 عندما | x |  → ∞. تشكل هذه الدوال فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا  كاملاً مع عائلة محددة بشكل مناسب من المعايير شبهية .

بتعبير أدق، دع

${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\varphi )=\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|}$

بالنسبة لـ α و β ، وهما مؤشران متعددان بحجم n .${\displaystyle \varphi }$تكون دالة شوارتز إذا كانت جميع القيم تحقق

${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\varphi )<\infty .}$

تُعرّف عائلة أنصاف المعايير p _{α , β} طوبولوجيا محدبة محليًا على فضاء شوارتز. عندما يكون n مساويًا لـ 1، فإن أنصاف المعايير هي في الواقع معايير على فضاء شوارتز. بخلاف ذلك، يمكن تعريف معيار على S ( R ⁿ ) عبر

${\displaystyle \|\varphi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbf {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }D^{\beta }\varphi (x)\right|}$لـ k ≥ 1.

فضاء شوارتز قابل للقياس وكامل . ولأن تحويل فورييه يحول التفاضل بالنسبة لـ x ^α إلى ضرب بالنسبة لـ x ^α والعكس صحيح، فإن هذا التناظر يعني أن تحويل فورييه لدالة شوارتز هو أيضاً دالة شوارتز.

في نظرية الصيغ الضعيفة والحلول الضعيفة للمعادلات التفاضلية الجزئية ، يُستخدم مصطلح دالة الاختبار غالبًا على نطاق أوسع مما هو عليه في نظرية التوزيع. يمكن للمرء أولاً اختبار معادلة ما مقابل دوال في${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$ثم ننتقل إلى فضاء سوبوليف أكبر عن طريق الكثافة أو الإكمال. في هذا السياق، عادةً ما تكون دالة الاختبار دالة مقبولة من الفضاء الذي يُشترط فيه تحقق المتطابقة الضعيفة.

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$مساحة سوبوليف مفتوحة${\displaystyle W_{0}^{k,p}(U)}$يُعرَّف عادةً بأنه إغلاق${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$في معيار سوبوليف لـ${\displaystyle W^{k,p}(U)}$[ ^{3 ] وبالتالي عناصر} من${\displaystyle W_{0}^{k,p}(U)}$لا يشترط أن تكون الدوال سلسة، ولكن يمكن تقريبها في معيار سوبوليف بواسطة دوال سلسة ذات دعم مضغوط. لهذا السبب، فإن الدوال في فضاءات سوبوليف مثل${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$تُستخدم غالبًا كدوال اختبار في الصيغ التباينية.

ومن الأمثلة النموذجية على ذلك الصيغة الضعيفة لمعادلة بواسون . فبدلاً من اشتراط دالة${\displaystyle u}$لإرضاء${\displaystyle -\Delta u=f}$من حيث النقاط، يسأل المرء أن

${\displaystyle \int _{U}\nabla u\cdot \nabla v\,dx=\int _{U}fv\,dx}$

لجميع وظائف الاختبار${\displaystyle v}$في مكان مناسب، عادةً${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$في البداية، أو${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$بعد الانتهاء. ^{[ 4 ]} يحدد اختيار مساحة الاختبار الشروط الحدية: على سبيل المثال، المساحة${\displaystyle H_{0}^{1}(U)}$يتوافق مع شروط حدود ديريشليه المتجانسة بمعنى الأثر على نطاقات منتظمة بما فيه الكفاية.

ينبغي التمييز بين هذا الاستخدام للمصطلح والاصطلاح المستخدم في نظرية التوزيع، حيث تكون دوال الاختبار نفسها عادةً سلسة. في الصيغ الضعيفة، تُبرز كلمة " اختبار" دور الدالة في اختبار معادلة أو متطابقة تباينية، بدلاً من التركيز على انتمائها إلى فضاء دوال اختبار ثابتة وسلسة.

يمكن أيضًا تعريف دوال الاختبار على المشعبات الملساء . إذا${\displaystyle M}$هو مشعب أملس، المساحة${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$يتكون من دوال سلسة ذات قيم حقيقية أو قيم مركبة على${\displaystyle M}$مع دعامة مدمجة . إذا${\displaystyle M}$مضغوطة، إذن${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)=C^{\infty }(M)}$; في مشعب غير مضغوط، يكون شرط الدعم المضغوط قيدًا حقيقيًا.

كما هو الحال في الحالة الإقليدية،${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$تُستخدم هذه الطريقة لتحديد المواقع، والتكامل بالتجزئة، وتعريف التوزيعات. وبشكلٍ أكثر جوهرية، يمكن تعريف التوزيعات على مشعبٍ ما كدوال خطية متصلة على كثافات ناعمة ذات دعم مضغوط ، أو، بعد اختيار كثافة موجبة ناعمة أو شكل حجم ريماني ، كدوال خطية متصلة على${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$[ ^{5 ]​}

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle E\to M}$هي حزمة متجهات ملساء ، أقسام ملساء مدعومة بشكل مضغوط${\displaystyle \Gamma _{c}(E)}$تلعب دور وظائف الاختبار بقيم في${\displaystyle E}$وهذا مفيد، على سبيل المثال، عند تعريف المقاطع الضعيفة أو التوزيعية للحزمة المزدوجة، أو الأشكال التفاضلية ذات المعاملات التوزيعية، أو الصيغ الضعيفة للمعادلات للمجاهيل ذات القيم المتجهة.

الطوبولوجيا على${\displaystyle C_{c}^{\infty }(M)}$يتم تعريفها محليًا بنفس الطريقة كما هو الحال بالنسبة لـ${\displaystyle C_{c}^{\infty }(U)}$على المجموعات الفرعية المفتوحة من الفضاء الإقليدي. على كل مجموعة فرعية مضغوطة، يعني التقارب التقارب المنتظم لجميع المشتقات في الإحداثيات المحلية؛ وعلى المستوى العالمي، فإن الطوبولوجيا المعتادة هي حد استقرائي على المجموعات الفرعية المضغوطة. تسمح تجزئة الوحدة ودوال القطع السلسة بنقل العديد من الإنشاءات المحلية ذات دوال الاختبار الإقليدية إلى متعددات الشعب.