مُلَطِّف

التعريف 1. ليكن${\displaystyle \varphi }$كن دالة سلسة على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$،${\displaystyle n\geq 1}$، ووضع${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ل${\displaystyle \epsilon >0\in \mathbb {R} }$. ثم${\displaystyle \varphi }$يُعتبر مُلطِّفًا إذا استوفى الشروط الثلاثة التالية:

(1)   يتم دعمه بشكل مضغوط ، ^{[ 8 ]}

(2)  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$،

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$،

أين${\displaystyle \delta (x)}$هي دالة ديراك دلتا ، ويجب فهم النهاية على أنها تحدث في فضاء توزيعات شوارتز .${\displaystyle \varphi }$وقد تستوفي أيضًا شروطًا أخرى ذات أهمية؛ ^{[ 9 ]} على سبيل المثال، إذا استوفت

(4)  ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$للجميع${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$،

عندئذٍ يُطلق عليه اسم مُلَوِّن إيجابي ، وإذا استوفى الشروط التالية:

(5)  ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$لبعض الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود${\displaystyle \mu$ :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } ,

ثم يُطلق عليه اسم مُلَيِّن متناظر .

ملاحظة 1. عندما لم تكن نظرية التوزيعات معروفة أو مستخدمة على نطاق واسع، ^{[ 10 ]} تمت صياغة الخاصية (3) أعلاه بالقول إن التفاف الدالة${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$تتقارب الدوال المعطاة التي تنتمي إلى فضاء هيلبرت أو باناخ مناسب عندما ε → 0 إلى تلك الدالة: ^{[ 11 ]} وهذا بالضبط ما فعله فريدريش . ^{[ 12 ]} وهذا يوضح أيضًا سبب ارتباط المُلينات بالمتطابقات التقريبية . ^{[ 13 ]}

ملاحظة 2. كما أشير بإيجاز في قسم " الملاحظات التاريخية " من هذه المدخلة، في الأصل، كان مصطلح "mollifier" يشير إلى عامل الالتفاف التالي : ^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

أين${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$و${\displaystyle \varphi }$هي دالة سلسة تحقق الشروط الثلاثة الأولى المذكورة أعلاه وشرطًا تكميليًا واحدًا أو أكثر مثل الإيجابية والتناظر.

لأي توزيع${\displaystyle T}$، عائلة الالتفافات التالية المفهرسة بالأعداد الحقيقية${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

أين${\displaystyle \ast }$يشير إلى الالتفاف ، وهو عبارة عن عائلة من الدوال الملساء .

لأي توزيع${\displaystyle T}$، عائلة الالتفافات التالية المفهرسة بالأعداد الحقيقية${\displaystyle \epsilon }$يتقارب إلى${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

لأي توزيع${\displaystyle T}$،

${\displaystyle \operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }}$،

أين${\displaystyle \operatorname {supp} }$يشير ذلك إلى الدعم بمعنى التوزيعات، و${\displaystyle +}$يشير ذلك إلى إضافة مينكوفسكي الخاصة بهم .

في بعض نظريات الدوال المعممة ، تُستخدم المُلينات لتعريف ضرب التوزيعات . بفرض وجود توزيعين${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$، تحدد نهاية حاصل ضرب الدالة الملساء التي تم الحصول عليها من أحد المعاملات عن طريق التنعيم، مع المعامل الآخر، عند وجودها، حاصل ضربهما في مختلف نظريات الدوال المعممة :

${\displaystyle S\cdot T:=\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }}$.

تُستخدم المُحسِّنات لإثبات هوية نوعين مختلفين من امتداد المؤثرات التفاضلية: الامتداد القوي والامتداد الضعيف . وتُوضِّح ورقة فريدريش التي تُعرِّف المُحسِّنات ( فريدريش 1944 ) هذا النهج.

عن طريق التفاف الدالة المميزة للكرة الوحدة${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$بفضل الوظيفة السلسة${\displaystyle \varphi _{1/2}}$(كما هو مُعرَّف في (3) مع${\displaystyle \epsilon =1/2}$)، ومن ثم نحصل على الدالة

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B_{1},1/2}(x)&=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\\&=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})\end{aligned}}}$

وهي دالة سلسة تساوي${\displaystyle 1}$على${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$، بدعم وارد في${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$ويمكن ملاحظة ذلك بسهولة من خلال ملاحظة أنه إذا${\displaystyle |x|\leq 1/2}$و${\displaystyle |y|\leq 1/2}$ثم${\displaystyle |x-y|\leq 1}$لذا بالنسبة لـ${\displaystyle |x|\leq 1/2}$،

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

يمكن للمرء أن يرى كيف يمكن تعميم هذا البناء للحصول على دالة سلسة مطابقة للدالة الأولى على جوار مجموعة مضغوطة معينة ، وتساوي صفرًا في كل نقطة تبعد مسافة أكبر عن هذه المجموعة من قيمة معينة.${\displaystyle \epsilon }$[ ^{17 ]} تُسمى هذه الدالة دالة القطع (الناعمة ⁾ ؛ وتُستخدم لإزالة النقاط الشاذة لدالة معينة ( معممة ) عن طريق الضرب . وهي تُبقي قيمة المضروب في مجموعة معينة دون تغيير ، ولكنها تُغير نطاقها . تُستخدم دوال القطع لإنشاء تجزئات ناعمة للوحدة .