وظيفة المؤشر

في الرياضيات ، الدالة المؤشرة أو الدالة المميزة لمجموعة جزئية من مجموعة ما هي دالة تربط عناصر المجموعة الجزئية بالواحد، وجميع العناصر الأخرى بالصفر. أي، إذا كانت A مجموعة جزئية من مجموعة X ، فإن الدالة المؤشرة لـ A هي الدالة${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$محدد بواسطة${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=1}$لو${\displaystyle x\in A,}$و${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x)=0}$وإلا. ومن الرموز الشائعة الأخرى 1 _أ و${\displaystyle \chi _{A}.}$^{[ أ ]}

دالة المؤشر للمجموعة A هي قوس إيفرسون لخاصية الانتماء إلى A ؛ أي

$${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)=\left[\ x\in A\ \right].}$$

على سبيل المثال، دالة ديريشليه هي دالة المؤشر للأعداد النسبية كمجموعة فرعية من الأعداد الحقيقية .

بالنظر إلى مجموعة عشوائية X ، فإن دالة المؤشر لمجموعة جزئية A من X هي الدالة $${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\rightarrow \{0,1\}}$$ محدد بواسطة $${\displaystyle \operatorname {\mathbf {1} } _{A}\!(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in A\\0&{\text{if }}x\notin A\,.\end{cases}}}$$

يوفر قوس إيفرسون الترميز المكافئ${\displaystyle \left[\ x\in A\ \right]}$أو ⟦ x ∈ A ⟧ ، والتي يمكن استخدامها بدلاً من${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\!(x).}$

الوظيفة${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$يُشار إليه أحيانًا بـ 𝟙 _A أو I _A أو χ _A ^{[ a ]} ​​أو حتى A . ^{[ b ]}

الترميز${\displaystyle \chi _{A}}$كما يستخدم للدلالة على الدالة المميزة في التحليل المحدب ، والتي يتم تعريفها كما لو كانت تستخدم مقلوب التعريف القياسي لدالة المؤشر.

ومن المفاهيم ذات الصلة في الإحصاء مفهوم المتغير الوهمي . (يجب عدم الخلط بين هذا المفهوم ومصطلح "المتغيرات الوهمية" المستخدم عادةً في الرياضيات، والذي يُطلق عليه أيضًا اسم المتغير المقيد ).

يُستخدم مصطلح " الدالة المميزة " بمعنى مختلف في نظرية الاحتمالات الكلاسيكية . ولهذا السبب، يستخدم علماء الاحتمالات التقليديون مصطلح " دالة المؤشر" للدلالة على الدالة المُعرَّفة هنا بشكل شبه حصري، بينما يميل علماء الرياضيات في المجالات الأخرى إلى استخدام مصطلح " الدالة المميزة" لوصف الدالة التي تُشير إلى الانتماء إلى مجموعة ما.

في المنطق الضبابي والمنطق الحديث متعدد القيم ، تُعتبر المسندات دوال مميزة لتوزيع احتمالي . أي أن التقييم الصارم للمسند (صواب/خطأ) يُستبدل بكمية تُفسر على أنها درجة الصواب.

الدالة المؤشرة أو الدالة المميزة لمجموعة جزئية A من مجموعة X تربط عناصر X بالمجال المقابل.${\displaystyle \{0,\,1\}.}$

تكون هذه الدالّة شاملة فقط عندما تكون A مجموعة جزئية فعلية غير فارغة من X.${\displaystyle A=X,}$ثم${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 1.}$وبحجة مماثلة، إذا${\displaystyle A=\emptyset }$ثم${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\equiv 0.}$

لو${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$هما مجموعتان فرعيتان من${\displaystyle X,}$ثم $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}(x)~&=~\min {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~~=~\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x),\\\mathbf {1} _{A\cup B}(x)~&=~\max {\bigl \{}\mathbf {1} _{A}(x),\ \mathbf {1} _{B}(x){\bigr \}}~=~\mathbf {1} _{A}(x)+\mathbf {1} _{B}(x)-\mathbf {1} _{A}(x)\cdot \mathbf {1} _{B}(x)\,,\end{aligned}}}$$

ووظيفة المؤشر لمكمل${\displaystyle A}$أي${\displaystyle A^{\complement }}$يكون: $${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.}$$

وبشكل أعم، لنفترض${\displaystyle A_{1},\dotsc ,A_{n}}$هي مجموعة من المجموعات الجزئية من X. لأي${\displaystyle x\in X:}$

$${\displaystyle \prod _{k\in I}\left(\ 1-\mathbf {1} _{A_{k}}\!\left(x\right)\ \right)}$$

هو ناتج ضرب 0 و 1 . قيمة هذا الناتج تساوي 1 عند تلك القيم تحديدًا.${\displaystyle x\in X}$التي لا تنتمي إلى أي من المجموعات${\displaystyle A_{k}}$ويكون صفرًا فيما عدا ذلك. هذا هو

$${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.}$$

توسيع المنتج على الجانب الأيسر،

$${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$$

أين${\displaystyle |F|}$يمثل عدد عناصر المجموعة F. وهذا أحد أشكال مبدأ الإدراج والاستبعاد .

كما يتضح من المثال السابق، تُعدّ دالة المؤشر أداةً رمزيةً مفيدةً في التوافقية . ويُستخدم هذا الرمز في مجالات أخرى أيضًا، على سبيل المثال في نظرية الاحتمالات : إذا كان X فضاء احتماليًا بمقياس احتمالي${\displaystyle \mathbb {P} }$وإذا كانت A مجموعة قابلة للقياس ، فإن${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$يصبح متغيرًا عشوائيًا تكون قيمته المتوقعة مساوية لاحتمالية وقوع الحدث A :

$${\displaystyle \operatorname {\mathbb {E} } _{X}\left\{\ \mathbf {1} _{A}(x)\ \right\}\ =\ \int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\ \operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\int _{A}\operatorname {d\ \mathbb {P} } (x)=\operatorname {\mathbb {P} } (A).}$$

تُستخدم هذه المتطابقة في برهان بسيط لمتباينة ماركوف .

في كثير من الحالات، مثل نظرية الترتيب ، يمكن تعريف معكوس دالة المؤشر. ويُطلق على هذا عادةً اسم دالة موبيوس المعممة ، باعتبارها تعميمًا لمعكوس دالة المؤشر في نظرية الأعداد الأولية ، دالة موبيوس . (انظر الفقرة أدناه حول استخدام المعكوس في نظرية الاستدعاء الذاتي الكلاسيكية).

بالنظر إلى فضاء احتمالي${\displaystyle \textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$مع${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$المتغير العشوائي المؤشر${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$لو${\displaystyle \omega \in A,}$خلاف ذلك${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0.}$

يقصد

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)\ }$(يسمى أيضًا "الجسر الأساسي").

التباين

${\displaystyle \ \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A)(1-\operatorname {\mathbb {P} } (A)).}$

التغاير

${\displaystyle \ \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {\mathbb {P} } (A\cap B)-\operatorname {\mathbb {P} } (A)\operatorname {\mathbb {P} } (B).}$

وصف كورت غودل دالة التمثيل في ورقته البحثية عام 1934 بعنوان "حول القضايا غير القابلة للتقرير في الأنظمة الرياضية الرسمية" (يشير الرمز " ¬ " إلى الانعكاس المنطقي، أي "ليس"): ^{[ 1 ] : 42}

يجب أن يكون لكل فئة أو علاقة R دالة تمثيلية${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=0}$لو${\displaystyle R(x_{1},\ldots x_{n})}$و${\displaystyle \phi (x_{1},\ldots x_{n})=1}$لو${\displaystyle \neg R(x_{1},\ldots x_{n}).}$

يقدم كلين نفس التعريف في سياق الدوال التكرارية الأولية ، حيث تأخذ الدالة φ للمسند P القيم 0 إذا كان المسند صحيحًا و 1 إذا كان المسند خاطئًا. ^{[ 2 ]}

على سبيل المثال، لأن حاصل ضرب الدوال المميزة${\displaystyle \phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0}$عندما تساوي أي من الدوال صفرًا ، فإنها تلعب دور عملية "أو" المنطقية: إذا${\displaystyle \phi _{1}=0\ }$أو${\displaystyle \ \phi _{2}=0}$أو ... أو${\displaystyle \phi _{n}=0}$إذن، يكون حاصل ضربهما صفرًا . ما يبدو للقارئ المعاصر على أنه الانعكاس المنطقي للدالة الممثلة، أي أن الدالة الممثلة تساوي صفرًا عندما تكون الدالة R "صحيحة" أو مُحققة، يلعب دورًا مفيدًا في تعريف كلين للدوال المنطقية OR وAND وIMPLY، ^{[ 2 ] : 228،} ومعاملات ff mu المحدودة ^{[ 2 ] : 228} وغير المحدودة ^{[ 2 ] : 279،} ودالة CASE. ^{[ 2 ] : 229}

في الرياضيات الكلاسيكية، تأخذ الدوال المميزة للمجموعات القيمتين 1 (للعناصر) أو 0 (لغير العناصر). أما في نظرية المجموعات الضبابية ، فتُعمَّم هذه الدوال لتأخذ قيمًا في الفترة الحقيقية [ 0، 1 ] ، أو بشكل أعم، في بنية جبرية معينة (عادةً ما تكون على الأقل مجموعة مرتبة جزئيًا أو شبكة ). تُسمى هذه الدوال المميزة المعممة عادةً دوال الانتماء ، وتُسمى "المجموعات" المقابلة لها بالمجموعات الضبابية . تُحاكي المجموعات الضبابية التغير التدريجي في درجة الانتماء الذي نراه في العديد من الصفات الواقعية مثل "طويل" و"دافئ" وما إلى ذلك.

بشكل عام، دالة المؤشر لمجموعة ما ليست سلسة؛ بل تكون متصلة إذا وفقط إذا كان نطاقها مكونًا متصلًا . مع ذلك، في الهندسة الجبرية للحقول المنتهية ، تقبل كل منوعات أفينية دالة مؤشر متصلة ( زاريسكي ). ^{[ 3 ]} بالنظر إلى مجموعة منتهية من الدوال${\displaystyle f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}\left[\ x_{1},\ldots ,x_{n}\right]}$يترك${\displaystyle V={\bigl \{}\ x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\ {\bigr \}}}$ليكن موضع تلاشيها. ثم، الدالة${\textstyle \mathbb {P} (x)=\prod \left(\ 1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$يعمل كوظيفة مؤشر لـ${\displaystyle V.}$لو${\displaystyle x\in V}$ثم${\displaystyle \mathbb {P} (x)=1,}$وإلا، بالنسبة للبعض${\displaystyle f_{\alpha },}$لدينا${\displaystyle f_{\alpha }(x)\neq 0}$مما يعني أن${\displaystyle f_{\alpha }(x)^{q-1}=1,}$لذلك${\displaystyle \mathbb {P} (x)=0.}$

على الرغم من أن دوال المؤشر ليست سلسة، إلا أنها تقبل مشتقات ضعيفة . على سبيل المثال، لنأخذ دالة هيفسايد المتدرجة.$${\displaystyle H(x)\equiv \operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x>0{\bigr )}}$$ المشتق التوزيعي لدالة هيفسايد المتدرجة يساوي دالة ديراك دلتا ، أي$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} H(x)}{\mathrm {d} x}}=\delta (x)}$$ وبالمثل، فإن المشتق التوزيعي لـ$${\displaystyle G(x):=\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}x<0{\bigr )}}$$يكون$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G(x)}{\mathrm {d} x}}=-\delta (x).}$$

وبالتالي، يمكن اعتبار مشتقة دالة هيفسايد المتدرجة بمثابة المشتقة العمودية الداخلية عند حدود المجال المحدد بنصف الخط الموجب. في الأبعاد الأعلى، تُعمم المشتقة بشكل طبيعي إلى المشتقة العمودية الداخلية، بينما تُعمم دالة هيفسايد المتدرجة بشكل طبيعي إلى دالة المؤشر لمجال ما D. يُرمز إلى سطح D بالرمز S. وبناءً على ذلك، يمكن استنتاج أن المشتقة العمودية الداخلية للمؤشر تُنتج دالة دلتا سطحية ، والتي يمكن الإشارة إليها بـ${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )}$: $${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\ }$$ حيث n هو العمودي الخارجي للسطح S. تتمتع "دالة دلتا السطح" هذه بالخاصية التالية: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\operatorname {\mathbb {I} } \!{\bigl (}\ \mathbf {x} \in D\ {\bigr )}\;\operatorname {d} ^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;\operatorname {d} ^{n-1}\mathbf {\beta } .}$$

بوضع الدالة f مساوية للواحد، يترتب على ذلك أن المشتقة الطبيعية الداخلية للمؤشر تتكامل مع القيمة العددية لمساحة السطح S.