فضاء الاحتمالات

في نظرية الاحتمالات ، يُطلق على فضاء الاحتمالات أو ثلاثية الاحتمالات اسم فضاء الاحتمالات أو ثلاثية الاحتمالات $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ هو بناء رياضي يوفر نموذجًا رسميًا لعملية أو تجربة عشوائية .

يتكون فضاء الاحتمالات من ثلاثة عناصر: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

فضاء العينة ، $أوميغا$ ، وهي مجموعة جميع النتائج الممكنة لعملية عشوائية قيد الدراسة.
مساحة لإقامة الفعاليات ، ${\mathcal {F}}$ ، وهي مجموعة من الأحداث ، حيث يكون الحدث عبارة عن مجموعة فرعية من النتائج في فضاء العينة.
دالة احتمالية ، $P$ ، والتي تحدد لكل حدث في فضاء الأحداث احتمالًا ، وهو رقم بين 0 و 1 (شامل).

من أجل توفير نموذج للاحتمالية، يجب أن تستوفي هذه العناصر بديهيات الاحتمالية .

على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يحدد فضاء احتمالي يمثل عملية رمي النرد :

فضاء العينة $أوميغا$ عادة ما تكون المجموعة $\{1,2,3,4,5,6\}$ حيث يمثل كل عنصر في المجموعة تسميةً تُشير إلى نتيجة رمي النرد على تلك التسمية. على سبيل المثال، $1$ يمثل هذا الرقم النتيجة التي تترتب على رمي النرد عند الرقم 1.
مساحة الفعاليات ${\mathcal {F}}$ قد تكون مجموعة جميع المجموعات الجزئية من فضاء العينة، والتي ستحتوي حينها على أحداث بسيطة مثل $\{5\}$ ("يستقر النرد على الرقم 5")، بالإضافة إلى أحداث معقدة مثل $\{2,4,6\}$ ("يهبط النرد على عدد زوجي").
دالة الاحتمال $P$ ثم يتم ربط كل حدث بعدد النتائج في ذلك الحدث مقسومًا على 6 - على سبيل المثال، $\{5\}$ سيتم ربطها بـ $1/6$ ، و $\{2,4,6\}$ سيتم ربطها بـ $3/6=1/2$ .

عند إجراء تجربة، فإنها تؤدي إلى نتيجة واحدة فقط. $\omega$ من فضاء العينة $أوميغا$ جميع الفعاليات في مساحة الفعاليات ${\mathcal {F}}$ التي تحتوي على النتيجة المختارة $\omega$ يقال إنها "قد حدثت". دالة الاحتمال $P$ يجب تعريفها بحيث إذا تكررت التجربة مرات عديدة بشكل تعسفي، فإن عدد مرات حدوث كل حدث كجزء من العدد الإجمالي للتجارب، سيميل على الأرجح نحو الاحتمالية المخصصة لذلك الحدث.

قدم عالم الرياضيات السوفيتي أندريه كولموغوروف مفهوم فضاء الاحتمال وبديهيات الاحتمال في ثلاثينيات القرن العشرين. وفي نظرية الاحتمالات الحديثة، توجد مناهج بديلة لوضع البديهيات، مثل جبر المتغيرات العشوائية .

مقدمة

فضاء الاحتمالات لرمي نرد مرتين متتاليتين: فضاء العينة $أوميغا$ يتكون من جميع النتائج الـ 36 الممكنة؛ يتم عرض ثلاثة أحداث مختلفة (مضلعات ملونة) مع احتمالاتها الخاصة (بافتراض توزيع منتظم منفصل ).

فضاء الاحتمالات هو ثلاثية رياضية $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ يقدم هذا النموذج نموذجًا لفئة معينة من المواقف الواقعية. وكما هو الحال مع النماذج الأخرى، يحدد مؤلفه في النهاية العناصر التي... $أوميغا$ ، ${\mathcal {F}}$ ، و $P$ سيحتوي على.

فضاء العينة $أوميغا$ هي مجموعة جميع النتائج الممكنة. والنتيجة هي محصلة تنفيذ واحد للنموذج. قد تكون النتائج حالات طبيعية، أو احتمالات، أو نتائج تجريبية، وما شابه. يجب أن ينتج عن كل حالة من حالات العالم الحقيقي (أو كل جولة من التجربة) نتيجة واحدة فقط. إذا اختلفت نتائج جولات مختلفة من التجربة بأي شكل ذي أهمية، فإنها تُعتبر نتائج متميزة. وتعتمد أهمية هذه الاختلافات على نوع التحليل الذي نرغب في إجرائه. وهذا يؤدي إلى خيارات مختلفة لمساحة العينة.
الجبر سيجما ${\mathcal {F}}$ هي مجموعة من جميع الأحداث التي نرغب في دراستها. قد تتضمن هذه المجموعة جميع الأحداث الأولية أو لا تتضمنها . هنا، يُعرَّف "الحدث" بأنه مجموعة من صفر أو أكثر من النتائج؛ أي مجموعة جزئية من فضاء العينة. يُعتبر الحدث قد "وقع" خلال تجربة ما عندما تكون نتيجتها عنصرًا من عناصر هذا الحدث. بما أن النتيجة نفسها قد تكون عنصرًا من عناصر أحداث متعددة، فمن الممكن أن تقع أحداث متعددة انطلاقًا من نتيجة واحدة. على سبيل المثال، عندما تتكون التجربة من رمي نردين، فإن مجموعة جميع النتائج التي يكون مجموعها 7 نقاط قد تُشكِّل حدثًا، بينما قد تُشكِّل النتائج التي يكون مجموع نقاطها فرديًا حدثًا آخر. إذا كانت النتيجة هي عنصر الحدث الأولي المتمثل في نقطتين على النرد الأول وخمس نقاط على النرد الثاني، يُقال حينها إن كلا الحدثين، "7 نقاط" و"عدد فردي من النقاط"، قد وقعا.
مقياس الاحتمالية $P$ هي دالة مجموعة تُرجع احتمالية حدث ما . الاحتمالية هي عدد حقيقي بين الصفر (الأحداث المستحيلة لها احتمالية صفر، مع أن الأحداث ذات الاحتمالية الصفرية ليست بالضرورة مستحيلة) والواحد (يحدث الحدث بشكل شبه مؤكد ، بيقين شبه تام). $P$ هي دالة $P:{\mathcal {F}}\to [0,1].$ يجب أن تستوفي دالة قياس الاحتمال شرطين بسيطين: أولاً، يجب أن يكون احتمال اتحاد قابل للعد لأحداث متنافية متبادلة مساوياً لمجموع احتمالات كل حدث من هذه الأحداث. على سبيل المثال، احتمال اتحاد الأحداث المتنافية المتبادلة هو ${\text{الرأس}}$ و ${\text{ذيل}}$ في التجربة العشوائية لرمية عملة واحدة، $P({\text{الرأس}}\cup {\text{الذيل}})$ ، هو مجموع احتمالات ${\text{الرأس}}$ واحتمالية ${\text{ذيل}}$ ، $P({\text{الرأس}})+P({\text{الذيل}})$ ثانيًا، احتمال فضاء العينة $أوميغا$ يجب أن تكون القيمة مساوية لـ 1 (وهذا يفسر حقيقة أنه عند تنفيذ النموذج، يجب أن تحدث نتيجة معينة). في المثال السابق، احتمال مجموعة النتائج $P(\{{\text{الرأس}},{\text{الذيل}}\})$ يجب أن تكون مساوية للواحد، لأنه من المؤكد تمامًا أن النتيجة ستكون إما ${\text{الرأس}}$ أو ${\text{ذيل}}$ (يتجاهل النموذج أي احتمال آخر) في رمية عملة واحدة.

ليس كل مجموعة جزئية من فضاء العينة $أوميغا$ يجب بالضرورة اعتبارها حدثًا: فبعض المجموعات الفرعية ببساطة غير ذات أهمية، والبعض الآخر لا يمكن "قياسه" . هذا ليس واضحًا في حالة مثل رمي العملة. في مثال آخر، يمكننا النظر في أطوال رمي الرمح، حيث تكون الأحداث عادةً فترات مثل "بين 60 و65 مترًا" واتحادات هذه الفترات، ولكن ليس مجموعات مثل "الأعداد غير النسبية بين 60 و65 مترًا".

تعريف

باختصار، فضاء الاحتمال هو فضاء قياس بحيث يكون قياس الفضاء بأكمله مساوياً للواحد.

التعريف الموسع هو التالي: فضاء الاحتمال هو ثلاثية $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ يتكون من:

فضاء العينة $أوميغا$ – مجموعة غير فارغة اختيارية ،
الجبر سيجما ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ (يُسمى أيضًا حقل سيجما) - مجموعة من المجموعات الفرعية من $أوميغا$ $أوميغا$ ، والتي تسمى الأحداث ، بحيث:
- ${\mathcal {F}}$ يحتوي على فضاء العينة: $\Omega \in {\mathcal {F}}$ ،
- ${\mathcal {F}}$ مغلق تحت المكملات : إذا $A\in {\mathcal {F}}$ ثم أيضًا $(\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}$ ،
- ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ مغلق في ظل النقابات القابلة للعد : إذا $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ ل $i=1,2,\dots$ $i=1,2,\dots$ ثم أيضًا ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty}A_{i})\in {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty}A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
  - والنتيجة المنطقية من الخاصيتين السابقتين وقانون دي مورغان هي أن ${\mathcal {F}}$ كما أنها مغلقة عند التقاطعات القابلة للعد : إذا $A_{i}\in {\mathcal {F}}$ ل $i=1,2,\dots$ ثم أيضًا ${\textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
مقياس الاحتمالية $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ $P:{\mathcal {F}}\to [0,1]$ – وظيفة على ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}$ بحيث:
- P قابلة للعد والإضافة (وتسمى أيضًا σ-الإضافة): إذا $\{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}$ إذا كانت مجموعة قابلة للعد من مجموعات منفصلة مثنى مثنى ، فإن ${\textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
- قياس فضاء العينة بأكمله يساوي واحدًا: $P(\Omega )=1$ .

الحالة المنفصلة

بالنسبة لفضاء عينة قابل للعد $أوميغا$ ، يمكن إسناد الاحتمالات إلى عناصر $أوميغا$ بواسطة توزيع احتمالي منفصل $p:\Omega \to [0,1]$ بحيث ${\textstyle \sum _{\omega \in \Omega }p(\omega )=1,}$ حيث أن جميع المجموعات الفرعية من $أوميغا$ يمكن التعامل معها كأحداث (وبالتالي، ${\mathcal {F}}=2^{\أوميغا }$ (هي مجموعة القوى ) ويكون مقياس الاحتمال على الشكل التالي

P(A)=\sum _{\omega \in A}p(\omega )\quad {\text{for all }}A\subseteq \Omega .

1

أعظم جبر سيجما ${\mathcal {F}}=2^{\أوميغا }$ يصف المعلومات الكاملة. بشكل عام، جبر سيجما ${\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }$ يتوافق مع تجزئة محدودة أو قابلة للعد $\Omega =B_{1}\cup B_{2}\cup \dots$ الشكل العام للحدث $A\in {\mathcal {F}}$ كون $A=B_{k_{1}}\cup B_{k_{2}}\cup \dots$ .

القضية $p(\omega )=0$ يُسمح بذلك بموجب التعريف، ولكنه نادر الاستخدام، لأن مثل هذا $\omega$ يمكن استبعادها بأمان من فضاء العينة.

الحالة العامة

إذا كانت $Ω$ غير قابلة للعد ، فقد يحدث أن يكون $P (ω) \neq 0$ لبعض $قيم ω$ ؛ تُسمى هذه $القيم ω$ بالذرات . وهي مجموعة قابلة للعد على الأكثر (ربما فارغة )، واحتمالها يساوي مجموع احتمالات جميع الذرات. إذا كان هذا المجموع يساوي 1، فيمكن استبعاد جميع النقاط الأخرى من فضاء العينة بأمان، مما يعيدنا إلى الحالة المنفصلة. أما إذا كان مجموع احتمالات جميع الذرات بين 0 و1، فإن فضاء الاحتمالات ينقسم إلى جزء منفصل (ذري) (ربما فارغ) وجزء غير ذري .

حالة غير ذرية

إذا كان $P (ω) = 0$ لجميع $ω \in Ω$ ، فإن Ω يجب أن تكون غير قابلة للعد (وإلا فإن البديهية $P (Ω) = 1$ ستصبح مستحيلة)، وبالتالي لا تنطبق المعادلة ( 1 ): فاحتمالية مجموعة ما ليست بالضرورة مجموع احتمالات عناصرها، لأن الجمع مُعرَّف فقط للأعداد القابلة للعد من العناصر. هذا يجعل نظرية فضاء الاحتمالات أكثر تعقيدًا من الناحية التقنية. هناك صيغة أقوى من الجمع، وهي نظرية القياس ، قابلة للتطبيق. في البداية، تُنسب الاحتمالات إلى بعض مجموعات "المولدات" (انظر الأمثلة). ثم تسمح عملية التحديد بتخصيص الاحتمالات لمجموعات تمثل نهايات متتاليات من مجموعات المولدات، أو نهايات النهايات، وهكذا. جميع هذه المجموعات هي جبر سيجما. ${\mathcal {F}}$ للاطلاع على التفاصيل التقنية، انظر نظرية كاراثيودوري للتمديد . المجموعات التي تنتمي إلى ${\mathcal {F}}$ تُسمى هذه المجموعات بالمجموعات القابلة للقياس . وهي عموماً أكثر تعقيداً من مجموعات المولدات، ولكنها أفضل بكثير من المجموعات غير القابلة للقياس .

فضاء الاحتمالات الكامل

فضاء احتمالي $(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;P)$ يُقال إن فضاء الاحتمالات كامل إذا كان لكل $B\in {\mathcal {F}}$ مع $P(B)=0$ وكل شيء $A\;\subset \;B$ يمتلك المرء $A\in {\mathcal {F}}$ غالباً ما تقتصر دراسة فضاءات الاحتمالات على فضاءات الاحتمالات الكاملة.

أمثلة

أمثلة منفصلة

المثال 1

إذا كانت التجربة تتكون من رمية واحدة فقط لعملة معدنية عادلة ، فإن النتيجة ستكون إما صورة أو كتابة: $\Omega =\{{\text{H}},{\text{T}}\}$ الجبر سيجما ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ يتضمن $2^{2}=4$ الأحداث، وهي: $\{{\text{H}}\}$ (رؤوس)، $\{{\text{T}}\}$ (ذيول)، $\{\}$ (لا صورة ولا كتابة)، و $\{{\text{H}},{\text{T}}\}$ (إما صورة أو كتابة)؛ بعبارة أخرى، ${\mathcal {F}}=\{\{\},\{{\text{H}}\},\{{\text{T}}\},\{{\text{H}},{\text{T}}\}\}$ هناك احتمال بنسبة 50% لظهور الصورة و50% لظهور الكتابة، لذا فإن مقياس الاحتمال في هذا المثال هو $P(\{\})=0$ ، $P(\{{\text{H}}\})=0.5$ ، $P(\{{\text{T}}\})=0.5$ ، $P(\{{\text{H}},{\text{T}}\})=1$ .

المثال 2

تُرمى العملة المعدنية العادلة ثلاث مرات. هناك 8 نتائج محتملة: $Ω = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}$ (حيث تعني "HTH" على سبيل المثال أن العملة سقطت على وجهها في المرة الأولى، وعلى ظهرها في المرة الثانية، وعلى وجهها مرة أخرى في المرة الأخيرة). تُوصف المعلومات الكاملة بواسطة جبر سيجما. ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ من $28 = 256$ حدثًا، حيث كل حدث من الأحداث هو مجموعة فرعية من Ω.

$لا تعرف أليس سوى نتيجة الرمية الثانية. لذا ،$ تُوصف معلوماتها الناقصة بالتقسيم $Ω = A₁ ⊔ A₂ = {HHH, HHT, THH, THT} ⊔ {HTH, HTT, TTH, TTT} ،$ حيث ⊔ هو الاتحاد المنفصل ، والجبر σ المقابل. ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}=\{\{\},A_{1},A_{2},\Omega \}$ لا يعرف برايان سوى العدد الإجمالي للذيول. يحتوي تقسيمه على أربعة أجزاء: $Ω = B 0 ⊔ B 1 ⊔ B 2 ⊔ B 3 = {HHH} ⊔ {HHT, HTH, THH} ⊔ {TTH, THT, HTT} ⊔ {TTT}$ ؛ وبناءً على ذلك، فإن جبر سيجما الخاص به ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ يحتوي على 2 × ⁴ = 16 حدثًا.

لا يمكن مقارنة جبر سيجما : لا هذا ولا ذاك ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ ولا ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}\subseteq {\mathcal {F}}_{\text{Alice}}$ ; كلاهما جبر فرعي لـ 2 ^Ω .

المثال 3

إذا تم اختيار 100 ناخب عشوائيًا من بين جميع الناخبين في كاليفورنيا، وسُئلوا عن مرشحهم لمنصب الحاكم، فإن مجموعة جميع تسلسلات هؤلاء الناخبين الـ 100 تُمثل فضاء العينة Ω. نفترض استخدام أسلوب المعاينة بدون إرجاع : أي يُسمح فقط بتسلسلات تضم 100 ناخب مختلف . ولتبسيط الأمر، نعتبر عينة مرتبة، أي أن التسلسل (أليس، برايان) يختلف عن التسلسل (برايان، أليس). كما نفترض أن كل ناخب محتمل يعرف خياره المستقبلي بدقة، أي أنه لا يختار عشوائيًا.

لا تعرف أليس سوى ما إذا كان أرنولد شوارزنيجر قد حصل على 60 صوتًا على الأقل أم لا . ويتم وصف معلوماتها غير الكاملة بواسطة جبر سيجما. ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}$ والتي تحتوي على: (1) مجموعة جميع التسلسلات في Ω حيث يصوت 60 شخصًا على الأقل لشوارزنيجر؛ (2) مجموعة جميع التسلسلات حيث يصوت أقل من 60 لشوارزنيجر؛ (3) فضاء العينة بأكمله Ω؛ و (4) المجموعة الفارغة ∅.

يعرف برايان العدد الدقيق للناخبين الذين سيصوتون لشوارزنيجر. ويتم وصف معلوماته غير الكاملة بالتقسيم المقابل $Ω = B 0 ⊔ B 1 ⊔ \dots ⊔ B 100$ وجبر سيجما ${\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ يتكون من ²¹⁰¹ حدث.

في هذه الحالة، يعتبر جبر سيجما الخاص بأليس مجموعة فرعية من جبر برايان: ${\mathcal {F}}_{\text{Alice}}\subset {\mathcal {F}}_{\text{Bryan}}$ . جبر سيجما الخاص ببرايان هو بدوره مجموعة فرعية من جبر سيجما "المعلومات الكاملة" الأكبر بكثير 2 ^Ω يتكون من $2 n (n -1)\dots(n -99)$ حدثًا، حيث n هو عدد جميع الناخبين المحتملين في كاليفورنيا.

أمثلة غير ذرية

المثال 4

يتم اختيار رقم عشوائيًا وبشكل منتظم بين 0 و1. هنا Ω = [0,1]، ${\mathcal {F}}$ هي الجبر σ لمجموعات بوريل على Ω، و P هو مقياس ليبيغ على [0,1].

في هذه الحالة، يمكن اعتبار الفترات المفتوحة من الشكل $(a, b)$ ، حيث $0 < a < b < 1$ ، بمثابة مجموعات مولدة. ويمكن إسناد احتمال $P ((a, b)) = (b - a)$ إلى كل مجموعة من هذه المجموعات ، وهو ما يولد مقياس ليبيغ على [0,1]، وجبر بوريل سيغما على Ω.

المثال 5

تُرمى عملة معدنية متوازنة بلا نهاية. هنا، يمكن اعتبار Ω = {0,1} ^∞ ، وهي مجموعة جميع المتتاليات اللانهائية للأعداد 0 و1. يمكن استخدام مجموعات الأسطوانات ${(x 1, x 2, ...) \in Ω : x 1 = a 1, ..., x n = a n}$ كمجموعات مولدة. تصف كل مجموعة من هذه المجموعات حدثًا تكون فيه أول n رمية قد أسفرت عن متتالية ثابتة $(a 1, ..., a n)$ ، بينما يمكن أن تكون بقية المتتالية عشوائية. يمكن إعطاء كل حدث من هذا القبيل احتمالًا طبيعيًا قدره 2 ^{− n} .

$يرتبط هذان المثالان غير الذريين ارتباطًا وثيقًا$ : فالمتتالية $(x₁, x₂, ...) \in {0,1}$ $\infty$ $تؤدي$ إلى العدد $2⁻¹x₁ + 2⁻²x₂ + ... \in [0,1]$ . مع ذلك، لا يوجد $تطابق$ تام بين {0,1} $\infty$ ^{و [0,1]} $،$ بل هو تماثل بتردد صفر ، مما يسمح بمعاملة فضاءي الاحتمال كشكلين لنفس فضاء الاحتمال. في الواقع، جميع فضاءات الاحتمال غير الذرية غير الشاذة متطابقة بهذا المعنى، وتُسمى فضاءات الاحتمال القياسية . لا تتأثر التطبيقات الأساسية لفضاءات الاحتمال بمعياريتها. مع ذلك، فإن التكييف غير المتقطع سهل وطبيعي في فضاءات الاحتمال القياسية، وإلا يصبح غامضًا.

مفاهيم ذات صلة

التوزيع الاحتمالي

المتغيرات العشوائية

المتغير العشوائي X هو دالة قابلة للقياس X : Ω → S من فضاء العينة Ω إلى فضاء قابل للقياس آخر S يسمى فضاء الحالة .

إذا كانت A ⊂ S ، فإن الرمز Pr( X ∈ A ) هو اختصار شائع الاستخدام لـ $P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in A\})$ .

تعريف الأحداث من حيث فضاء العينة

إذا كانت Ω قابلة للعد ، فإننا نحدد دائمًا تقريبًا ${\mathcal {F}}$ باعتبارها مجموعة القوى لـ Ω، أي ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ وهو جبر سيجما بديهي، وهو أكبر جبر يمكننا إنشاؤه باستخدام Ω. لذلك يمكننا حذفه ${\mathcal {F}}$ واكتب (Ω,P) فقط لتحديد فضاء الاحتمالات.

من ناحية أخرى، إذا كانت Ω غير قابلة للعد واستخدمنا ${\mathcal {F}}=2^{\Omega }$ نواجه مشكلة في تعريف مقياس الاحتمال P الخاص بنا لأن ${\mathcal {F}}$ إذا كانت "كبيرة" جدًا، أي أنه غالبًا ما ستكون هناك مجموعات يستحيل تعيين مقياس فريد لها. في هذه الحالة، علينا استخدام جبر سيجما أصغر. ${\mathcal {F}}$ على سبيل المثال، جبر بوريل لـ Ω، وهو أصغر جبر سيجما يجعل جميع المجموعات المفتوحة قابلة للقياس.

الاحتمال الشرطي

يُؤدي تعريف كولموغوروف للفضاءات الاحتمالية إلى ظهور المفهوم الطبيعي للاحتمال الشرطي. فكل مجموعة $A$ ذات احتمال غير صفري (أي $P (A) > 0$ ) تُحدد مقياس احتمال آخر. $P(B\mid A)={P(B\cap A) \over P(A)}$ في الفضاء. وعادة ما يُنطق هذا على أنه "احتمالية وقوع B بشرط وقوع A ".

بالنسبة لأي حدث $A$ بحيث يكون $P (A) > 0$ ، فإن الدالة $Q$ المعرفة بواسطة $Q (B) = P (B | A)$ لجميع الأحداث $B$ هي نفسها مقياس احتمالي.

استقلال

يقال أن حدثين، A و B ، مستقلان إذا كان $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ .

يُقال إن متغيرين عشوائيين، $X$ و $Y ، مستقلان إذا كان أي حدث مُعرَّف بدلالة$ $X$ مستقلاً عن أي حدث مُعرَّف بدلالة $Y.$ وبصورة رسمية، يُولِّدان جبرين سيجما مستقلين، حيث يُقال إن جبرين سيجما $G$ و $H$ ، وهما مجموعتان جزئيتان من $F$ ، مستقلان إذا كان أي عنصر من $G$ مستقلاً عن أي عنصر من $H.$

حصرية متبادلة

يُقال إن حدثين، $أ$ و $ب،$ متنافيان أو منفصلان إذا كان وقوع أحدهما يستلزم عدم وقوع الآخر، أي أن تقاطعهما فارغ. وهذا شرط أقوى من احتمال أن يكون احتمال تقاطعهما صفرًا.

إذا كان الحدثان $A$ و $B$ منفصلين، فإن $احتمال وقوع A \cup B يساوي مجموع احتمالات وقوع A وB. وينطبق هذا على سلسلة من الأحداث (محدودة أو غير محدودة قابلة للعد)$ . مع ذلك، فإن احتمال اتحاد مجموعة غير قابلة للعد من الأحداث لا يساوي مجموع احتمالاتها. على سبيل المثال، إذا كان $Z متغيرًا عشوائيًا$ يتبع التوزيع الطبيعي ، فإن $احتمال وقوع Z = x$ يساوي صفرًا لأي قيمة لـ $x$ $،$ $بينما$ احتمال $وقوع$ $Z$ $\in$ $R$ $يساوي$ $واحدًا$ .

يُشار إلى الحدث $A \cap B$ باسم " A و B "، ويُشار إلى الحدث $A \cup B$ باسم " A أو B ".

انظر أيضاً

مراجع

↑ لوف، ميشيل . نظرية الاحتمالات، المجلد 1. نيويورك: شركة دي فان نوستراند، 1955.
↑ ستروك، دانيال و. (1999). نظرية الاحتمالات: منظور تحليلي. مطبعة جامعة كامبريدج.

فهرس

بيير سيمون دي لابلاس (1812) النظرية التحليلية للاحتمالات

أول أطروحة رئيسية تمزج حساب التفاضل والتكامل مع نظرية الاحتمالات، أصلها باللغة الفرنسية: Théorie Analytique des Probabilités .

أندريه نيكولاييفيتش كولموغوروف (1950) أسس نظرية الاحتمالات

الأساس النظري الحديث لنظرية الاحتمالات. ظهرت النسخة الألمانية الأصلية ( Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung ) في عام 1933.

هارولد جيفريز (1939) نظرية الاحتمالات

نهج تجريبي بايزي لأسس نظرية الاحتمالات.

إدوارد نيلسون (1987) نظرية الاحتمالات الأولية الجذرية

أسس نظرية الاحتمالات القائمة على التحليل غير القياسي. متاح للتنزيل. http://www.math.princeton.edu/~nelson/books.html

باتريك بيلينجسلي : الاحتمال والقياس ، جون وايلي وأولاده، نيويورك، تورنتو، لندن، 1979.
هينك تيمز (2004) فهم الاحتمالات

مقدمة شيقة لنظرية الاحتمالات للمبتدئين، مطبعة جامعة كامبريدج.

ديفيد ويليامز (1991) الاحتمالات مع المارتينجالات

مقدمة جامعية في الاحتمالات القائمة على نظرية القياس، مطبعة جامعة كامبريدج.

غوت، آلان (2005). الاحتمالات: دورة دراسات عليا . سبرينغر. ISBN 0-387-22833-0.

روابط خارجية

سازونوف، ف. ف. (2001) [1994]، "فضاء الاحتمالات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
رسم متحرك يوضح فضاء الاحتمالات للنرد
المختبرات الافتراضية في الاحتمالات والإحصاء (المؤلف الرئيسي كايل سيغريست)، وخاصةً فضاءات الاحتمالات
سيتيزنديوم
فضاء الاحتمالات الكامل
وايسشتاين، إريك دبليو. "فضاء الاحتمالات" . عالم الرياضيات .

[1] لوف، ميشيل . نظرية الاحتمالات، المجلد 1. نيويورك: شركة دي فان نوستراند، 1955.

[2] ستروك، دانيال و. (1999). نظرية الاحتمالات: منظور تحليلي. مطبعة جامعة كامبريدج.

[ 1 ]

[ 2 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗