بديهيات الاحتمالات

تُعدّ بديهيات الاحتمالات القياسية أساس نظرية الاحتمالات التي وضعها عالم الرياضيات الروسي أندريه كولموغوروف عام 1933. ^{[ 1 ]} وكما هو الحال في جميع الأنظمة البديهية ، فإنها تُحدد الافتراضات الأساسية التي يقوم عليها تطبيق الاحتمالات في مجالات مثل الرياضيات البحتة والعلوم الفيزيائية، مع تجنب المفارقات المنطقية. ^{[ 2 ]}

لا تُحدد بديهيات الاحتمال أو تفترض أي تفسير معين للاحتمال ، ولكن قد يكون الدافع وراءها هو الانطلاق من تعريف فلسفي للاحتمال والقول بأن هذه البديهيات مُحققة بهذا التعريف. على سبيل المثال،

• تستمد نظرية كوكس قوانين الاحتمالات بناءً على تعريف "منطقي" للاحتمال باعتباره احتمال أو مصداقية القضايا المنطقية العشوائية. ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• تُظهر حجج الكتاب الهولندي أن على الفاعلين العقلانيين أن يقوموا بمراهنات تتناسب مع مقياس ذاتي لاحتمالية وقوع الأحداث.

البديهية الثالثة، وهي بديهية الجمع من النوع سيجما ، حديثة نسبياً، وتعود أصولها إلى نظرية القياس لليبيغ . يستبدلها بعض المؤلفين ببديهية الجمع المحدود، وهي بديهية أضعف بكثير، وتكفي للتعامل مع بعض التطبيقات. ^{[ 5 ]}

من أجل صياغة بديهيات كولموغوروف، يجب تحديد البيانات التالية:

• فضاء العينة ،$أوميغا$، وهي مجموعة جميع النتائج الممكنة أو الأحداث الأولية .
• فضاء جميع الأحداث ، والتي يُفترض أن كل منها عبارة عن مجموعة من النتائج (أي مجموعات فرعية من$أوميغا$مساحة الفعاليات،${\textstyle F}$، يجب أن يكون جبر سيجما على$أوميغا$.
• مقياس الاحتمالية${\textstyle P}$والتي تُخصص لكل حدث${\displaystyle E\in F}$احتمالية ذلك،${\displaystyle P(E)}$.

وبناءً على هذه الافتراضات مجتمعة، فإنها تعني أن${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$هي فضاء قياس . ويُفترض أيضًا أن${\displaystyle P(\Omega )=1}$مما يجعل هذا الثلاثي فضاء احتمالي . ^{[ 1 ]}

ولإثبات أن النظرية التي تولدها بديهيات كولموغوروف تتوافق مع الاحتمال الكلاسيكي ، يتم عادةً استخلاص بعض النتائج الأولية. ^{[ 7 ]}

• منذ${\displaystyle P}$بما أن العملية قابلة للجمع بشكل نهائي، فلدينا${\displaystyle P(A)+P(A^{c})=P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1}$، لذا${\displaystyle P(A^{c})=1-P(A)}$.
• وبناءً على ذلك، فإن${\displaystyle P(\emptyset )=0}$. يتم تفسير المجموعة الفارغة على أنها حدث "لا يحدث أي نتيجة"، وهو أمر مستحيل.
• وبالمثل، إذا${\displaystyle A\subseteq B}$، ثم${\displaystyle P(B)=P(A\cup (B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A)}$. بعبارة أخرى،${\displaystyle P}$رتيب . ^{[ 8 ]}​
• منذ${\displaystyle \emptyset \subseteq E\subseteq \Omega }$لأي مناسبة${\displaystyle E}$وبناءً على ذلك${\displaystyle 0\leq P(E)\leq 1}$.

عن طريق القسمة${\displaystyle A\cup B}$إلى مجموعات منفصلة${\displaystyle A\setminus (A\cap B)}$،${\displaystyle B\setminus (A\cap B)}$و${\displaystyle A\cap B}$، يصل المرء إلى نسخة احتمالية من مبدأ الإدراج والاستبعاد ^{[ 9 ]}$${\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}$$في الحالة التي$أوميغا$إذا كانت المجموعة محدودة، فإن المتطابقتين متكافئتان.

لكي يتم إجراء الحسابات فعلياً عندما$أوميغا$إذا كانت مجموعة غير منتهية، فمن المفيد أحيانًا التعميم من فضاء عينة محدود. على سبيل المثال، إذا$أوميغا$عندما تتكون من جميع التسلسلات اللانهائية لرمي عملة معدنية متوازنة، فليس من الواضح كيفية حساب احتمال أي مجموعة معينة من التسلسلات (أي حدث معين). إذا كان الحدث هو "كل رمية هي صورة"، فمن البديهي أن الاحتمال يمكن حسابه على النحو التالي:$${\displaystyle P({\text{سلسلة لانهائية من الرؤوس}})=\lim _{n\to \infty }P({\text{سلسلة من n رؤوس}})=\lim _{n\to \infty }2^{-n}=0.}$$ولجعل هذا الأمر دقيقاً، يجب إثبات أن${\displaystyle P}$متصلة ، بالمعنى التالي. إذا${\displaystyle A_{j},\,\,j=1,2,\ldots }$هي سلسلة من الأحداث تتزايد (أو تتناقص) إلى حدث آخر${\displaystyle A}$ثم ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(A_{n})=P(A).}$$

لنفترض رمية عملة معدنية واحدة، ونفترض أن العملة ستستقر إما على صورة (H) أو كتابة (T) (ولكن ليس كليهما). لا يُفترض ما إذا كانت العملة عادلة أم لا. ^{[ 11 ]}

يمكننا تعريف ما يلي:

${\displaystyle \Omega =\{H,T\}}$

${\displaystyle F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}}$

تُشير بديهيات كولموغوروف إلى ما يلي:

${\displaystyle P(\varnothing )=0}$

احتمالية عدم ظهور الصورة أو الكتابة هي صفر.

${\displaystyle P(\{H,T\}^{c})=0}$

احتمالية ظهور الصورة أو الكتابة هي 1.

${\displaystyle P(\{H\})+P(\{T\})=1}$

مجموع احتمالية ظهور الصورة واحتمالية ظهور الكتابة يساوي 1.

• جبر بوريل – فئة من المجموعات الرياضية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• الاحتمال الشرطي – احتمال وقوع حدث ما، بشرط وقوع حدث آخر بالفعل 
• تصميم احتمالي بالكامل
• إحصاءات بديهية
• شبه الاحتمالية - مفهوم في الإحصاء. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• نظرية المجموعات - فرع من الرياضيات يدرس المجموعات 
• الجبر سيجما – البنية الجبرية لجبر المجموعات. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 

• ديغروت، موريس هـ. (1975). الاحتمالات والإحصاء . ريدينغ: أديسون-ويسلي. ص 12-16 . ISBN  0-201-01503-X.
• مكورد، جيمس ر.؛ موروني، ريتشارد م. (1964). "الاحتمال البديهي" . مقدمة في نظرية الاحتمالات . نيويورك: ماكميلان. ص 13-28 . 
• التعريف الرسمي للاحتمالية في نظام ميزر ، وقائمة النظريات التي تم إثباتها رسميًا حولها.