احتمال سلبي

لا تكون احتمالية نتيجة التجربة سالبة أبدًا، مع أن توزيع شبه الاحتمالية يسمح باحتمالية سالبة ، أو شبه احتمالية لبعض الأحداث. وقد تنطبق هذه التوزيعات على الأحداث غير القابلة للملاحظة أو الاحتمالات الشرطية.

في عام 1942، كتب بول ديراك ورقة بعنوان "التفسير الفيزيائي لميكانيكا الكم" ^{[ 1 ]} حيث قدم مفهوم الطاقات السالبة والاحتمالات السالبة :

لا ينبغي اعتبار الطاقات السلبية والاحتمالات مجرد هراء. إنها مفاهيم محددة جيداً من الناحية الرياضية، مثل معكوس المال.

حظيت فكرة الاحتمالات السالبة باهتمام متزايد في الفيزياء، ولا سيما في ميكانيكا الكم . جادل ريتشارد فاينمان ^{[ 2 ]} بأنه لا أحد يعترض على استخدام الأعداد السالبة في الحسابات: فمع أن "ناقص ثلاث تفاحات" ليس مفهومًا صحيحًا في الحياة الواقعية، إلا أن مفهوم المال السالب صحيح. وبالمثل، جادل بأن الاحتمالات السالبة، وكذلك الاحتمالات التي تزيد عن واحد، قد تكون مفيدة في حسابات الاحتمالات .

تم اقتراح الاحتمالات السالبة لاحقًا لحل العديد من المشكلات والمفارقات . ^{[ 3 ]} تُعدّ أنصاف العملات مثالًا بسيطًا على الاحتمالات السالبة. وقد طُرحت هذه العملات الغريبة في عام 2005 من قِبل غابور ج. سيكيلي . ^{[ 4 ]} تحتوي أنصاف العملات على عدد لا نهائي من الأوجه المرقمة من 0 إلى 1، وتُؤخذ الأعداد الزوجية الموجبة باحتمالات سالبة. يُشكّل نصفا عملتين عملة كاملة، بمعنى أنه إذا قلبنا نصفي عملتين، فإن مجموع النتائج يكون 0 أو 1 باحتمال 1/2، كما لو أننا قلبنا عملة عادلة. بعد عشرين عامًا، في عام 2025، قدّم نيكولاي ليونينكو وإيغور بودلوبني أول محاكاة عددية لنصف عملة وعملات جزئية أخرى. ^{[ 5 ]}

في كتاب "حاصل قسمة الالتفاف للدوال غير السالبة المحددة" ^{[ 6 ]} و "نظرية الاحتمالات الجبرية" ^{[ 7 ]} ، أثبت إيمري ز. روزا وغابور ج. سيكيلي أنه إذا كان للمتغير العشوائي X توزيع مُوَقَّع أو شبه مُوَقَّع حيث تكون بعض الاحتمالات سالبة، فإنه يمكن دائمًا إيجاد متغيرين عشوائيين، Y وZ، بتوزيعات عادية (غير مُوَقَّعة/غير شبه مُوَقَّعة) بحيث يكون X وY مستقلين، ويكون X + Y = Z في التوزيع. وبالتالي، يمكن دائمًا تفسير X على أنه "الفرق" بين متغيرين عشوائيين عاديين، Z وY. إذا فُسِّر Y على أنه خطأ قياس لـ X وكانت القيمة المرصودة هي Z، فإن المناطق السالبة من توزيع X تُحجب/تُغطى بالخطأ Y.

مثال آخر يُعرف بتوزيع ويغنر في فضاء الطور ، والذي قدمه يوجين ويغنر عام 1932 لدراسة التصحيحات الكمومية، غالبًا ما يؤدي إلى احتمالات سالبة. ^{[ 8 ]} لهذا السبب، عُرف لاحقًا باسم توزيع ويغنر شبه الاحتمالي . في عام 1945، وضع إم إس بارتليت أسس الاتساق الرياضي والمنطقي لهذه القيم السالبة. ^{[ 9 ]} تُستخدم دالة توزيع ويغنر بشكل روتيني في الفيزياء اليوم، وتُشكل حجر الزاوية في تكميم فضاء الطور . تُعد خصائصها السالبة ميزةً للصيغة، وغالبًا ما تُشير إلى التداخل الكمومي. تُحجب المناطق السالبة من التوزيع عن الملاحظة المباشرة بواسطة مبدأ عدم اليقين الكمومي: عادةً ما تكون عزوم توزيع شبه الاحتمال غير الموجب-شبه المحدد هذا مقيدة بشدة، مما يمنع القياس المباشر للمناطق السالبة من التوزيع. ومع ذلك، تُساهم هذه المناطق بشكل سلبي وحاسم في القيم المتوقعة للكميات القابلة للملاحظة المحسوبة من خلال هذه التوزيعات.

تم اقتراح مفهوم الاحتمالات السلبية أيضًا لنماذج تحديد مواقع المرافق الموثوقة، حيث تتعرض المرافق لمخاطر انقطاع ذات ارتباط سلبي عند تحديد مواقع المرافق وتخصيص العملاء وخطط خدمة النسخ الاحتياطي في آن واحد. ^{[ 10 ] [ 11 ]} اقترح لي وآخرون ^{[ 12 ]} بنية محطة افتراضية تحوّل شبكة المرافق ذات الانقطاعات ذات الارتباط الإيجابي إلى شبكة مكافئة مع إضافة محطات دعم افتراضية، وتخضع هذه المحطات الافتراضية لانقطاعات مستقلة. يقلل هذا النهج المشكلة من مشكلة ذات انقطاعات مترابطة إلى مشكلة بدونها. أوضح شي وآخرون ^{[ 13 ]} لاحقًا كيف يمكن أيضًا معالجة الانقطاعات ذات الارتباط السلبي باستخدام إطار النمذجة نفسه، باستثناء أن محطة الدعم الافتراضية قد تتعرض الآن لانقطاع مع "ميل للفشل".

... يرث جميع الخصائص والصفات الرياضية لاحتمالية الفشل باستثناء أننا نسمح لها بأن تكون أكبر من 1...

تمهد هذه النتيجة الطريق لاستخدام برامج رياضية مدمجة ذات أعداد صحيحة مختلطة لتصميم مواقع موثوقة لمنشآت الخدمة على النحو الأمثل في ظل ارتباطات انقطاع المنشأة المعتمدة على الموقع والموجبة/السالبة/المختلطة. ^{[ 14 ]}

اتضح أن مفهوم "الميل" المقترح في دراسة Xie et al. ^{[ 13 ]} هو ما أشار إليه Feynman وآخرون بـ"شبه الاحتمال". تجدر الإشارة إلى أنه عندما يكون شبه الاحتمال أكبر من 1، فإن طرح هذه القيمة من 1 يعطي احتمالًا سالبًا. في سياق تحديد مواقع المنشآت الموثوقة، تتمثل الملاحظة القابلة للتحقق المادي في حالات تعطل المنشأة (التي يُضمن أن تكون احتمالاتها ضمن النطاق التقليدي [0،1])، ولكن لا توجد معلومات مباشرة عن حالات تعطل المحطات أو احتمالاتها المقابلة. وبالتالي، فإن "احتمالات" تعطل المحطات، والتي تُفسر على أنها "احتمالات حالات وسيطة متخيلة"، قد تتجاوز الواحد، ولذلك يُشار إليها بشبه الاحتمالات.

وقد طُبقت الاحتمالات السالبة مؤخرًا في التمويل الرياضي . في التمويل الكمي، لا تُمثل معظم الاحتمالات احتمالات حقيقية، بل احتمالات شبه حقيقية، وغالبًا ما تُعرف باحتمالات الحياد تجاه المخاطر . ^{[ 15 ]} هذه ليست احتمالات حقيقية، بل "احتمالات" نظرية تستند إلى سلسلة من الافتراضات التي تُساعد على تبسيط الحسابات من خلال السماح لهذه الاحتمالات الشبه حقيقية بأن تكون سالبة في حالات معينة، كما أشار إلى ذلك إسبن غاردر هاوغ لأول مرة عام 2004. ^{[ 16 ]}

قدّم مارك بورغين وغونتر مايسنر (2011) مؤخراً تعريفاً رياضياً دقيقاً للاحتمالات السالبة وخصائصها. كما بيّن المؤلفان كيفية تطبيق الاحتمالات السالبة على تسعير الخيارات المالية . ^{[ 15 ]}

تستخدم بعض مسائل التعلّم الآلي صياغات قائمة على الرسوم البيانية - أو الرسوم البيانية الفائقة - حيث تُخصص أوزان للحواف، وغالبًا ما تكون موجبة. يمكن تفسير الوزن الموجب من رأس إلى آخر في مسار عشوائي على أنه احتمال الانتقال من الرأس الأول إلى الثاني. أما في سلسلة ماركوف، فيُمثل هذا احتمال كل حدث بناءً على الحالة التي تم الوصول إليها في الحدث السابق فقط.

تتعامل بعض مشاكل التعلم الآلي، مثل تجميع الارتباطات ، بشكل طبيعي مع رسم بياني مُوَقَّع، حيث يشير وزن الحافة إلى ما إذا كانت عقدتان متشابهتين (مرتبطتين بوزن حافة موجب) أو مختلفتين (مرتبطتين عكسيًا بوزن حافة سالب). يتم هنا استبدال اعتبار وزن الرسم البياني كاحتمالية لعلاقة بين رأسين بمعامل ارتباط، والذي يمكن أن يكون سالبًا أو موجبًا على حد سواء. لا جدال في أوزان الرسم البياني الموجبة والسالبة إذا فُسِّرت على أنها معاملات ارتباط وليست احتمالات، لكنها تُثير قضايا مماثلة، مثل تحديات التطبيع في لابلاس الرسم البياني وقابلية تفسير التجميع الطيفي لتقسيم الرسم البياني المُوَقَّع ؛ انظر على سبيل المثال ^{[ 17 ] .}

وبالمثل، في نظرية الرسم البياني الطيفي ، تمثل القيم الذاتية لمصفوفة لابلاس الترددات ، بينما تشكل المتجهات الذاتية ما يُعرف بأساس فورييه للرسم البياني، والذي يحل محل تحويل فورييه الكلاسيكي في معالجة الإشارات القائمة على الرسم البياني . في تطبيقات التصوير، يُصاغ لابلاس الرسم البياني بشكل مشابه لمؤثر الانتشار غير المتناحي، حيث تُفسر الصورة المُنعّمة غاوسيًا على أنها شريحة زمنية واحدة من حل معادلة الحرارة، والتي تكون الصورة الأصلية شروطها الابتدائية. إذا كان وزن الرسم البياني سالبًا، فإن ذلك يُقابله موصلية سالبة في معادلة الحرارة ، مما يُحفز تركيز الحرارة عند رؤوس الرسم البياني المتصلة بحافة الرسم البياني، بدلًا من تبديد الحرارة الطبيعي . على الرغم من أن الموصلية الحرارية السالبة غير فيزيائية، إلا أن هذا التأثير مفيد لتحسين حواف الصورة وتنعيمها ، على سبيل المثال، يؤدي إلى تحسين زوايا الإشارات أحادية البعد، عند استخدامه في التنعيم القائم على الرسم البياني مع الحفاظ على الحواف . ^{[ 18 ]}

• إن وجود حالات ذات معيار سالب (أو حقول ذات إشارة خاطئة للحد الحركي ، مثل أشباح باولي-فيلار ) يسمح بأن تكون الاحتمالات سالبة. انظر الأشباح (الفيزياء) .
• إجراء موقع
• توزيع ويغنر شبه الاحتمالي