المصطلح الحركي

الموسوعة الحرة

في نظرية الحقل الكمومي ، يُعرَّف الحد الحركي بأنه أي حد في لاغرانجيان يكون ثنائي الخطية في الحقول وله مشتقة واحدة على الأقل . الحقول التي تحتوي على حدود حركية ديناميكية ، وتُشكِّل مع حدود الكتلة نظرية حقل حر . يتحدد شكلها بشكل أساسي بواسطة دوران الحقول، إلى جانب قيود أخرى مثل الوحدة وثبات لورنتز . تظهر حدود حركية غير قياسية تُخلّ بالوحدة أو لا تكون موجبة التحديد ، كما هو الحال عند صياغة حقول الأشباح ، وفي بعض نماذج علم الكونيات ، وفي أنظمة المادة المكثفة ، وفي نظريات الحقل التوافقي غير الوحدوية .

ملخص

في لاغرانجيان، تُقسّم حدود الحقل الثنائية الخطية إلى نوعين: حدود بدون مشتقات وحدود مع مشتقات. تُعطي الحدود الثنائية الخطية الحقول كتلة وتُعرف بحدود الكتلة. أما الحدود الثنائية الخطية، التي تحتوي على مشتق واحد على الأقل، فتُعرف بحدود الحركة، وهي التي تجعل الحقول ديناميكية. [ 1 ] : 30-31. تُسمى نظرية الحقل التي تحتوي على حدود ثنائية خطية فقط بنظرية الحقل الحر. يجب أن تحتوي النظريات التفاعلية على حدود تفاعلية إضافية، تحتوي كل منها على ثلاثة حقول أو أكثر. في نظرية الحقل، تُستمدّ المُوَصِّلات المستخدمة في مخططات فاينمان من حدود الحركة والكتلة فقط. [ 2 ]

يُقيَّد شكل الحدود الحركية بشدة بالمتطلبات الفيزيائية والتناظرات التي يجب أن تستوفيها نظرية المجال. [ 1 ] : 113-118 يجب أن تكون هذه الحدود هيرميتية لإعطاء لاغرانجي حقيقي ، وموجبة التحديد لتجنب أنماط الطاقة السالبة وعدم الاستقرار ، وللحفاظ على الوحدة. يمكن أيضًا كسر الوحدة إذا كان للحدود الحركية أكثر من مشتقتين. [ 1 ] : 133 كما يجب أن تكون ثابتة لورنتز في النظريات النسبية . يعتمد الشكل المحدد للحد الحركي على تمثيل لورنتز للمجالات، والذي يُحدد في أربعة أبعاد بشكل أساسي بواسطة اللف المغزلي. تحتوي مجالات اللف المغزلي الصحيحة على مشتقتين في حدودها الحركية، بينما تحتوي مجالات اللف المغزلي نصف الصحيحة على مشتقة واحدة فقط. [ 1 ] : 219

عند قياس الحقول ، تُستبدل المشتقات بمشتقات متغيرة القياس لجعل الحدود الحركية ثابتة القياس. [ 3 ] : 418 عند حساب مخططات فاينمان، تُوسّع هذه المشتقات المتغيرة عادةً للحصول على الحدود الحركية الثنائية الخطية مع مجموعة من حدود التفاعل. [ 1 ] : 509-511 وبالمثل، عند رفع نظرية من فضاء-زمن مسطح إلى فضاء-زمن منحني ، يجب استبدال مشتقات الحدود الحركية بمشتقات متغيرة .

المصطلحات الحركية الأساسية حسب الدوران

غالبًا ما تُعبَّر الحدود الحركية في نظريات الحقول الوحدوية الثابتة لورنتز بأشكال قانونية معينة. في فضاء مينكوفسكي رباعي الأبعاد ، تعتمد الحدود الحركية بشكل أساسي على دوران الحقل، حيث يُعطى الحد الحركي لحقل قياسي حقيقي ذي دوران صفري بالعلاقة [ nb 1 ] [ 4 ] : 18

ل0=12∂μϕ∂μϕ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}={\frac {1}{2}}\جزئي _{\mu }\phi \جزئي ^{\mu }\phi .}

تصف نظرية المجال التي تحتوي على هذا الحد فقط مجالًا قياسيًا حقيقيًا عديم الكتلة . أما الحد الحركي لمجال قياسي معقد فيُعطى بالصيغة التالية:ل0=∂μφ*∂μφ{\displaystyle {\mathcal {L}}_{0}=\جزئي _{\mu }\varphi ^{*}\جزئي ^{\mu }\varphi }، على الرغم من أنه يمكن تحليل هذا إلى مجموع حدين حركيين حقيقيين للمكونات الحقيقية والخيالية .

تُعطى الحدود الحركية لفيرميون ديراك بواسطة [ 1 ] : 1168

ل1/2=أناψ¯γμ∂μψ.{\displaystyle {\mathcal {L}} _ {1/2} = i {\bar {\psi }}\gamma ^{\mu}\partial _{\mu }\psi .}

عاملأنا{\displaystyle i}يلزم لجعل المصطلح الحركي هيرميتيًا، بينماγμ{\displaystyle \gamma ^{\mu }}هي مصفوفات غاما ،ψ{\displaystyle \psi }هو سبينور ديراك ، وψ¯{\displaystyle {\bar {\psi }}}هو المتجه الدوراني المرافق . يمكن تحليل هذا الحد الحركي إلى مجموع من فرميونات فايل ذات اليد اليسرى واليد اليمنى.ل1/2=أناψR†σμ∂μψR+أناψ†σ¯μ∂μψل//، أينσμ{\displaystyle \sigma ^{\mu }}وσ¯μ{\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }}هي متجهات باولي الرباعية .

يُعطى الحد الحركي لحقل قياس أبلي بدلالة موتر شدة المجالFμν=∂μأν-∂νأμ{\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}كما [ 5 ]

ل1=-14FμνFμν.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{1}=-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}

الإشارة السالبة ضرورية لضمان أن(∂0أأنا)2{\displaystyle (\partial _{0}A^{i})^{2}}تكون الحدود موجبة للحصول على طاقات موجبة. بالنسبة لحقول القياس غير التبادلية، يتم استبدال موتر شدة المجال بموتر شدة مجال غير تبادلي.Fμνأ=∂μأνأ-∂νأμأ+زوأبجأμبأνج{\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c}}، أينوأبج{\displaystyle f^{abc}}هي ثوابت البنية لجبر مجموعة القياس . وتؤدي هذه الحدود الإضافية إلى ظهور حدود تفاعل تكعيبية ورباعية لبوزونات القياس .

الحقول ذات اللف المغزلي 3/2، والتي تتوافق مع الجرافيتينو ، لها حدود حركية معطاة بواسطة [ 6 ].

ل3/2=-12ψ¯μγμνρ∂νψρ.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{3/2}=-{\frac {1}{2}}{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }.}

يصف لاغرانجيان يحتوي على هذا الحد فقط حقل راريتا-شوينغر عديم الكتلة . هناγμνρ=γ[μγνγρ]{\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }=\gamma ^{[\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho ]}}هي نواتج متناظرة عكسية لمصفوفات غاما.

تتميز الحقول ذات اللف المغزلي 2، المقابلة للجرافيتونات ، بحد حركي فريد يُعطى بالمعادلة [ 1 ] : 135

ل2=14∂μحνρ∂μحνρ-12∂μحνρ∂νحμρ+12∂μح∂νحνμ-14∂μح∂μح،{\displaystyle {\mathcal {L}}_{2}={\frac {1}{4}}\partial ^{\mu }h^{\nu \rho }\partial _{\mu }h_{\nu \rho }-{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }h^{\nu \rho }\partial _{\nu }h_{\mu \rho }+{\frac {1}{2}}\partial ^{\mu }h\partial ^{\nu }h_{\nu \mu }-{\frac {1}{4}}\partial ^{\mu }h\partial _{\mu }h,}

حيث يُعرف هذا اللاغرانجي باسم لاغرانجي فيرز-باولي. بالنسبة لحقل عديم الكتلة ذي لف مغزلي 2، يمكن تمديد هذا الحد الحركي بشكل فريد باستخدام تناظر قياس الحقول إلى لاغرانجي أينشتاين-هيلبرت .

يمكن أيضًا كتابة الحدود الحركية للحقول ذات اللف المغزلي الأكبر من اثنين. [ 1 ] : 138 الحدود الحركية للحقول عديمة الكتلة لا تتوافق إلا مع النظريات غير التفاعلية. يمكن للحقول ذات الكتلة واللف المغزلي الأعلى أن تُشكّل نظريات حقل فعّالة تفاعلية ، وتُستخدم لوصف بعض الهادرونات وبعض حالات إثارة الأوتار في نظرية الأوتار . [ 7 ]

في الأبعاد الأخرى غير الأربعة، يمكن كتابة حدود حركية أخرى، مثل تلك الخاصة بحقول الموترات في نظرية القياس ذات الشكل الأعلى . مثال آخر هو حد تشيرن-سيمونز الحركي في بُعدين (1+2) ، وهو حد حركي لحقول القياس من الشكل التالي:ϵμνρأμ∂νأρ{\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho }A_{\mu }\partial _{\nu }A_{\rho }}. [ 8 ] : 309 على عكس المصطلح الحركي المنتظم لحقول القياس، فإن هذا له مشتق واحد وهو مصطلح طوبولوجي .

المصطلحات الحركية غير المتعارف عليها

تظهر الحدود الحركية السالبة المحددة، والتي تحمل إشارة معاكسة للحدود الحركية المتعارف عليها، في بعض الأنظمة الفيزيائية. على سبيل المثال، حقول فاديف-بوبوف الوهمية، التي تظهر في نظريات القياس، إما أن تحمل حدودًا حركية سالبة الإشارة، أو أن إحصائيات الجسيمات فيها خاطئة، مما يجعلها غير فيزيائية وفقًا لنظرية إحصائيات اللف المغزلي . [ 4 ] : ​​443 كما تظهر الحقول الوهمية في تنظيم باولي-فيلارس ، حيث تلغي الحدود المتباعدة في مخططات الحلقات . [ 1 ] : 831 وفي علم الكونيات، تحمل بعض الحقول العددية، المعروفة باسم الحقول الوهمية، حدودًا حركية سالبة. [ 9 ] تمتلك هذه الحقول طاقة حركية سالبة، لذا تدفع الديناميكيات الحقل نحو مناطق ذات طاقة أعلى عبر جهد كامن . في بعض الأحيان، يمكن تحويل الحدود الحركية غير المتعارف عليها إلى حدود متعارف عليها من خلال إعادة تعريف الحقل، على الرغم من أن هذا قد يُدخل حدود تفاعل إضافية. [ ملاحظة 2 ]

تُعدّ الحقول الخالية من الحدود الحركية مهمة أيضاً، وتشمل هذه الحقول المساعدة ، ومضاعفات لاغرانج ، وحقول الخلفية، وجميعها غير ديناميكية. للحقول المساعدة تطبيقات عديدة، مثل صياغات النظريات الفائقة التناظر خارج الغلاف ، حيث تُستخدم لضمان تساوي عدد درجات حرية البوزونات والفيرميونات في المضاعف الفائق خارج الغلاف . [ 10 ] تُستخدم مضاعفات لاغرانج لفرض قيود أو شروط إضافية على الحقول الفيزيائية الأخرى. [ 8 ] : 327 تمثل حقول الخلفية حقلاً خارجياً لا يُحل في نظرية الحقل ، وبالتالي لا يتغير الفعل بالنسبة لهذه الحقول. [ 3 ] : 327

المصطلحات الحركية متعددة المجالات

في نظرية تتضمن حقولًا متعددة من النوع نفسه، مثل حقول قياسية متعددة أو فرميونات متعددة، يمكن تجميع حدودها الحركية والكتلية معًا في مصفوفات حركية وكتلية . على سبيل المثال، بالنسبة لمجموعة من الحقول القياسية الحقيقية المجمعة في متجهΦ=(ϕ1،⋯،ϕن){\displaystyle \Phi =(\phi _{1},\cdots ,\phi _{n})}يمكن كتابة مصطلحي الطاقة الحركية والكتلة على النحو التالي:

ل=12ΦأناكأناجΦج-12ΦأنامأناجΦج،{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\Phi _{i}K_{ij}\Phi _{j}-{\frac {1}{2}}\Phi _{i}M_{ij}\Phi _{j},}

أينكأناج{\displaystyle K_{ij}}ومأناج{\displaystyle M_{ij}}يجب أن تكون المصفوفة هيرميتية وموجبة التحديد . توجد تعابير مماثلة للفيرميونات. يمكن دائمًا تحويل مصفوفة الطاقة الحركية إلى شكل قطري معياري مع قطريّة مصفوفة الكتلة. [ 11 ] يتحقق ذلك أولًا بقطريّة مصفوفة الطاقة الحركية، ثم إعادة قياس الحقول بحيث تُصبح جميع حدود الطاقة الحركية مُعَيَّرة معياريًا، مما يجعل المصفوفة متناسبة مع مصفوفة الوحدة . بعد ذلك، يمكن قطريّة مصفوفة الكتلة، مع العلم أن هذه القطريّة الثانية لا تؤثر على مصفوفة الطاقة الحركية لأنها متناسبة مع مصفوفة الوحدة.

ليس من المستحسن دائمًا حساب مصفوفات الطاقة الحركية والكتلة قطريًا، إذ قد يؤدي ذلك إلى خلط التفاعلات في النظرية الكاملة. على سبيل المثال، يُحسب انتشار النيوترينوات في أساس الكتلة ، الذي يحسب مصفوفات الطاقة الحركية والكتلة قطريًا. [ 1 ] : 601-602. مع ذلك، تُكتب التفاعلات التي تُنتج النيوترينوات في أساس النكهة ، الذي يحسب اقتران النيوترينوات ببوزونات W قطريًا . تُجرى الحسابات لكل عملية في أساسها الخاص. ويؤدي التباين بين هذين الأساسين إلى تذبذبات النيوترينوات .

مثال آخر يظهر عند وجود بوزونين قياسيين أبيليين، حيث تُنتج هذه النظريات غالبًا حدًا للخلط الحركي. [ 12 ] هذا الحد على الشكل التالي:ϵFμνF~μν{\displaystyle \epsilon F_{\mu \nu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }}[ ملاحظة 3 ] ، وهو ما يؤدي إلى تحويل بوزون قياس إلى آخر أثناء انتشاره. يمكن التخلص منه عن طريق قطريّة الحدود الحركية، إلا أن هذا قد يُؤدي إلى خلط التفاعلات. يُعدّ هذا الخلط الحركي شائعًا في ظواهر الفوتونات المظلمة . [ 13 ]

يمكن أن تظهر مصطلحات حركية أكثر عمومية في نظريات الحقول العددية في شكل نماذج سيجما غير الخطية . في هذه الحالة، يتم استبدال المصفوفة الحركية بدالة للحقول نفسها.كأناج→زأناج(ϕ){\displaystyle K_{ij}\rightarrow g_{ij}(\phi )}[ 14 ] في هذه النماذج، تتصرف هذه الدالة كمقياس على مشعب ، يُعرف باسم المشعب القياسي، حيث تعمل الكميات القياسية كإحداثيات . يُعيد توسيع تايلور حول المقياس المسطح الحدود الحركية الثنائية الخطية المنتظمة بالإضافة إلى سلسلة من حدود التفاعل. تُمثل الحدود ذات المشتقين في نموذج سيجما نموذجًا بحقل قياسي واحد.و(ϕ)∂μϕ∂μϕ{\displaystyle f(\phi )\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi }يمكن دائمًا وضعها في شكل معياري من خلال إعادة تعريف المجال. [ 15 ]

المشتقات من الرتب العليا

تكون حدود الحركة المشتقة من الرتب العليا ثنائية الخطية في الحقول، ولكنها تحتوي على أكثر من مشتقتين. وعادةً ما تُخلّ هذه الحدود بوحدة الاضطراب ، مما يؤدي إلى ظهور نظريات غير وحدوية. وذلك لأن الوحدة في فضاء الزخم تتطلب أن يكون للمُوَصِّلات انخفاض تقاربي لا يتجاوزص-2{\displaystyle p^{-2}}في زخمها ، بما يتوافق مع الحدود الحركية ذات المشتقات الثنائية على الأكثر في فضاء الموضع. [ 1 ] : 470

تُعدّ النظريات غير الوحدوية ذات الحدود الحركية من الرتب العليا مفيدة في العديد من المجالات، مثل فيزياء المادة المكثفة، حيث لا يُشترط الوحدوية بشكلٍ صارم. وقد استُخدمت هذه النظريات لدراسة المرونة ، والانتقالات الطورية ، وبعض البوليمرات . [ 16 ] كما تُسهم هذه الحدود الحركية في تحسين سلوك مخططات فاينمان في نطاق الأشعة فوق البنفسجية ، وتحويل النظريات غير القابلة لإعادة التطبيع إلى نظريات قابلة لإعادة التطبيع، [ 17 ] كما هو الحال في نظرية الجاذبية ذات المشتقات العليا . [ 18 ] وتُعرف فئة من النظريات ذات المشتقات العليا بنماذج لي-ويك، [ 19 ] والتي تُصاغ عادةً على مستوى مصفوفة التشتت ، وتُعتبر وحدوية، إذ تتغلب من خلالها على العائق المذكور آنفًا باستخدام معادلات القطع. [ 17 ]

عندما تظهر حدود حركية للمشتقات العليا في نظرية مينكوفسكي وتؤدي إلى مُوَصِّلات ذات أقطاب مركبة ، تصبح النظرية غير متسقة رياضيًا . [ 20 ] ويعود ذلك إلى أن هذه الحدود الحركية تُسبب تباعدات فوق بنفسجية غير محلية وغير هيرميتية لا يمكن التخلص منها باستخدام إجراء إعادة التطبيع القياسي. ولا تؤثر هذه التناقضات على نظريات المشتقات العليا التي لا تحتوي على أقطاب مركبة للمُوَصِّلات، أو على النظريات الإقليدية البحتة .

تتميز نظريات الحقول العددية ذات المشتقات العليا الحرة بإمكانية حلها، ولا تعاني من عدم الاستقرار مثل اضمحلال الفراغ . [ 21 ] كما يمكن أن تكون مطابقة تمامًا. قد تكون نظريات الحقول المطابقة غير الوحدوية هذه مفيدة لدراسة تناظر dS/CFT .

ملحوظات

  1. ↑ التوقيع المتري المستخدم هنا هو التوقيع السالب في الغالب. تغيير التوقيعات يمكن أن يغير إشارات الحدود الحركية.
  2. ↑ على سبيل المثال،s-2∂μs∂μs{\displaystyle s^{-2}\partial _{\mu }s\partial ^{\mu }s}يعادل∂μϕ∂μϕ{\displaystyle \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi }في إطار إعادة تعريف المجالs=هـϕ{\displaystyle s=e^{\phi }}.
  3. ↑ عادةًϵ{\displaystyle \epsilon }يُعتبر هذا المعامل صغيرًا بحيث يكون الخلط الحركي تفاعلًا اضطرابيًا بين البوزونين القياسيين.

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 شوارتز، دكتور في الطب (2014). نظرية الحقل الكمومي والنموذج القياسي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-03473-0.
  2. ↑ زي، أ. (2003). "2". نظرية الحقل الكمومي باختصار . مطبعة جامعة برينستون. ص 23. ISBN  978-0-691-01019-9.
  3. 1 2 سريدنيكي، م. (2007). نظرية الحقل الكمومي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-86449-7.
  4. 1 2 بيسكين، إم إي ؛ شرودر، دي في (1995). مقدمة في نظرية الحقل الكمومي . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-201-50397-5.
  5. ↑ فرادكين، إي. (2021). "3". نظرية الحقل الكمومي: منهج متكامل . مطبعة جامعة برينستون. ص 52. ISBN  978-0-691-14908-0.
  6. ↑ دال أغاتا، ج.؛ زاغرمان، م. (2021). "2". الجاذبية الفائقة: من المبادئ الأولى إلى التطبيقات الحديثة . سبرينغر. ص 26. ISBN  978-3-662-63978-8.
  7. ↑ بوخبايندر، آي إل؛ ريشيتنياك، أ. (2012). "صياغة لاغرانجية عامة لحقول الدوران العالي ذات تناظر مؤشر عشوائي. الجزء الأول: الحقول البوزونية". الفيزياء النووية ب . 862 (1): 270-326 . arXiv : 1110.5044 . Bibcode : 2012NuPhB.862..270B . doi : 10.1016/j.nuclphysb.2012.04.016 .
  8. 1 2 ناستاس، هـ. (2019). نظرية الحقل الكلاسيكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-108-47701-7.
  9. ↑ كادويل، آر آر (2002). "خطر وهمي؟". رسائل الفيزياء ب . 545 : 23-29 . arXiv : astro-ph/9908168 . doi : 10.1016/S0370-2693(02)02589-3 .
  10. ↑ ناستاس، هـ. (2024). "3". مقدمة في الجاذبية الفائقة وتطبيقاتها . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 38-39 . ISBN  978-1-009-44559-7.
  11. ↑ غيدالين، إي.؛ موعلم، أ.؛ رازولسكايا، ل. (2001). "خلط الميزونات شبه القياسية في نظرية المجال الفعّالة". مجلة الفيزياء D. 64 ( 7) 076007. arXiv : hep-ph/0106301 . Bibcode : 2001PhRvD..64g6007G . doi : 10.1103/PhysRevD.64.076007 .
  12. ↑ باور، م.؛ بلين، ت. (2019). "4". سبرينغر. مقدمة أخرى للمادة المظلمة: منهج فيزياء الجسيمات . سبرينغر. ص 92. ISBN  978-3-030-16233-7.
  13. ↑ كابوتو، أ.؛ ميلار، أ. ج.؛ أوهير، ك. أ.؛ فيتاغليانو، إ. (2021). "حدود الفوتون المظلم: دليل عملي". مجلة الفيزياء ، المجلد 104 (9) 095029. arXiv : 2105.04565 . Bibcode : 2021PhRvD.104i5029C . doi : 10.1103/PhysRevD.104.095029 .
  14. ↑ فريدمان، د.ز .؛ فان بروين، أ. (2012). "7". الجاذبية الفائقة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 163-166 . ISBN  978-0-521-19401-3.
  15. ↑ سميث، أ.؛ براكس، ب.؛ فان دي بروك، س.؛ بورغيس، س.ب.؛ ديفيس، أ. (2025). "علم الكونيات المحجوب بالأكسيوديلاتون: أشكال جديدة من الطاقة المظلمة المبكرة". arXiv : 2505.05450 [ hep-th ].
  16. ↑ سفاري، م.؛ فاكا، ج. ب. (2018). "نظريات قياسية متعددة النقاط الحرجة مع حدود حركية ذات مشتقات أعلى: نهج إعادة التطبيع الاضطرابي مع توسيع ε" . مجلة الفيزياء D. 97 ( 4) 041701. arXiv : 1708.09795 . doi : 10.1103/PhysRevD.97.041701 .
  17. 1 2 أنسلمي، د.؛ بيفا، م. (2017). "صياغة جديدة لنظرية حقل لي-ويك الكمومي". مجلة فيزياء الطاقة العالية . 2017 (6) 66: 066. arXiv : 1703.04584 . Bibcode : 2017JHEP...06..066A . doi : 10.1007/JHEP06(2017)066 . hdl : 11568/865571 .
  18. ↑ ستيل، ك.س. (1977). "إعادة تطبيع الجاذبية الكمومية ذات المشتقات العليا" . مجلة الفيزياء ، المجلد 16 (4): 953-969 . رمز Bibcode : 1977PhRvD..16..953S . doi : 10.1103/PhysRevD.16.953 .
  19. ↑ لي، تي دي ؛ ويك، جي سي (1969). "المقياس السالب ووحدة مصفوفة التشتت". الفيزياء النووية ب . 9 (2): 209-243 . Bibcode : 1969NuPhB...9..209L . doi : 10.1016/0550-3213(69)90098-4 .
  20. ↑ أغليتي، يو جي؛ أنسلمي، د. (2017). "عدم اتساق نظريات مينكوفسكي للمشتقات العليا" . المجلة الأوروبية للفيزياء ج . 77 (2): 84. arXiv : 1612.06510 . Bibcode : 2017EPJC...77...84A . doi : 10.1140/epjc/s10052-017-4646-7 .
  21. ↑ بروست، سي.؛ هينتربيشلر، ك. (2017). "نظرية الحقل التوافقي القياسي الحر \ensuremath{\square}$^{k}$". JHEP . 02 : 066. arXiv : 1607.07439 . doi : 10.1007/JHEP02(2017)066 .