الدالة الهرميتية

في التحليل الرياضي ، الدالة الهرميتية هي دالة مركبة تتميز بأن مرافقها المركب يساوي الدالة الأصلية مع تغيير إشارة المتغير :

${\displaystyle f^{*}(x)=f(-x)}$

(حيث${\displaystyle ^{*}}$يشير إلى المرافق المعقد) للجميع${\displaystyle x}$في مجال${\displaystyle f}$في الفيزياء ، تُعرف هذه الخاصية باسم تناظر PT .

يمتد هذا التعريف أيضًا إلى الدوال ذات متغيرين أو أكثر، على سبيل المثال، في حالة أن${\displaystyle f}$إذا كانت دالة لمتغيرين، فإنها تكون هيرميتية إذا

${\displaystyle f^{*}(x_{1},x_{2})=f(-x_{1},-x_{2})}$

لجميع الأزواج${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$في مجال${\displaystyle f}$.

ويترتب على هذا التعريف مباشرة ما يلي:${\displaystyle f}$تكون دالة هيرميتية إذا وفقط إذا

• الجزء الحقيقي من${\displaystyle f}$هي دالة زوجية ،
• الجزء الخيالي من${\displaystyle f}$هي دالة فردية .

تظهر الدوال الهرميتية بكثرة في الرياضيات والفيزياء ومعالجة الإشارات . على سبيل المثال، ينتج عن الخصائص الأساسية لتحويل فورييه العبارتان التاليتان:

• الوظيفة${\displaystyle f}$تكون ذات قيمة حقيقية إذا وفقط إذا كان تحويل فورييه لـ${\displaystyle f}$هيرميتية.
• الوظيفة${\displaystyle f}$تكون هيرميتية إذا وفقط إذا كان تحويل فورييه لـ${\displaystyle f}$له قيمة حقيقية.

بما أن تحويل فورييه لإشارة حقيقية مضمون أن يكون هيرميتيًا، فإنه يمكن ضغطه باستخدام تناظر الزوجي/الفردي الهيرميتي. وهذا، على سبيل المثال، يسمح بتخزين تحويل فورييه المتقطع لإشارة (وهي عادةً ما تكون مركبة) في نفس مساحة الإشارة الحقيقية الأصلية. بعبارة أخرى، يكفي نصف تحويل فورييه لإشارة حقيقية لتمثيلها بشكل غير كامل في مجال التردد.

بالنسبة لأطياف السعة (التي تم الحصول عليها من DFT )، يكون محور التناظر حول نقطة نايكويست ؛ النصف هو صورة معكوسة للنصف الآخر.

• إذا كانت الدالة f هيرميتية، فإن${\displaystyle f\star g=f*g}$.

أين${\displaystyle \star }$هو الارتباط المتبادل ، و${\displaystyle *}$هو الالتفاف .

• إذا كان كل من f و g هيرميتيين، فإن${\displaystyle f\star g=g\star f}$.

• المرافق المركب – عملية أساسية على الأعداد المركبة 
• الدوال الزوجية والفردية – الدوال التي يكون فيها f(–x) يساوي f(x) أو –f(x)