تحويل فورييه

عندما يكون المتغير المستقل ( ⁠${\displaystyle x}$يمثل الوقت (ويرمز إليه غالبًا بـ${\displaystyle t}$) ، متغير التحويل (${\displaystyle \xi }$يمثل ) التردد ( يرمز إليه غالبًا بـ${\displaystyle f}$على سبيل المثال، إذا كانت وحدة الزمن هي الثانية ، فإن وحدة التردد هي الهرتز . ويمكن أيضًا كتابة متغير التحويل بدلالة التردد الزاوي .${\displaystyle \omega =2\pi \xi }$، بوحدة راديان في الثانية.

الاستبدال${\displaystyle \xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}}$يؤدي إدخالها في المعادلة 1 إلى هذا الاصطلاح، حيث الدالة${\displaystyle {\widehat {f}}}$تمت إعادة تسميتها${\displaystyle {\widehat {f}}_{1}}$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )&\triangleq \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$ بخلاف تعريف المعادلة 1 ، لم يعد تحويل فورييه تحويلاً وحدوياً ، كما أن هناك تناظراً أقل بين صيغ التحويل ومعكوسه. وتُستعاد هذه الخصائص بتقسيم${\displaystyle 2\pi }$قم بتقسيم التحويل ومعكوسه بالتساوي، مما يؤدي إلى اصطلاح آخر: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )&\triangleq {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\left({\tfrac {\omega }{2\pi }}\right),\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega x}\,d\omega .\end{aligned}}}$$يمكن إنشاء تنويعات على جميع الاتفاقيات الثلاث عن طريق مرافقة النواة الأسية المركبة لكل من التحويل الأمامي والتحويل العكسي. يجب أن تكون الإشارات متعاكسة.

ملخص لأشكال تحويل فورييه الشائعة، أحادية البعد

التردد العادي ξ (هرتز)	وحدة	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi \xi x}\,dx={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{1}(\xi )\,e^{i2\pi x\xi }\,d\xi \end{aligned}}}$
التردد الزاوي ω (راديان/ثانية)	وحدة	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \ {\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\ \int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{2}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	غير موحد	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i\omega x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\sqrt {2\pi }}\ \ {\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}_{3}(\omega )\,e^{i\omega x}\,d\omega \end{aligned}}}$

تعميم للدوال ذات الأبعاد n

التردد العادي ξ (هرتز)	وحدة	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{1}(\xi )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i2\pi \xi \cdot x}\,dx=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(2\pi \xi )={\widehat {f}}_{3}(2\pi \xi )\\f(x)&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{1}(\xi )e^{i2\pi \xi \cdot x}\,d\xi \end{aligned}}}$
التردد الزاوي ω (راديان/ثانية)	وحدة	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\ &\triangleq \ {\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{1}\!\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$
	غير موحد	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}_{3}(\omega )\ &\triangleq \ \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\widehat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\right)=(2\pi )^{\frac {n}{2}}{\widehat {f}}_{2}(\omega )\\f(x)&={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\widehat {f}}_{3}(\omega )e^{i\omega \cdot x}\,d\omega \end{aligned}}}$

دالة قابلة للقياس${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$يُطلق عليها اسم قابلة للتكامل (ليبيغ) إذا كان تكامل ليبيغ لقيمتها المطلقة محدودًا: $${\displaystyle \|f\|_{1}=\int _{\mathbb {R} }|f(x)|\,dx<\infty .}$$ لو${\displaystyle f}$إذا كانت الدالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ، فإن تحويل فورييه، المعطى بالمعادلة 1 ، يكون مُعرَّفًا جيدًا لجميع قيم ⁠${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$[ ^{10 ]} علاوة على ^ذلك ،${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{\infty }\cap C_{0}(\mathbb {R} )}$محدودة، ومستمرة بانتظام ، وتتلاشى (بحسب مبرهنة ريمان-ليبيغ ) عند اللانهاية . هنا${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} )}$يرمز إلى فضاء الدوال المتصلة على${\displaystyle \mathbb {R} }$تلك التي تقترب من الصفر عندما يقترب x من اللانهاية الموجبة أو السالبة.

المساحة${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$هو فضاء الدوال القابلة للقياس التي يكون معيارها${\displaystyle \|f\|_{1}}$هي محدودة، باستثناء علاقة التكافؤ للمساواة في كل مكان تقريبًا . تحويل فورييه على${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$هي علاقة تقابلية . ومع ذلك، لا توجد طريقة سهلة لوصف الصورة، وبالتالي لا توجد طريقة سهلة لوصف التحويل العكسي. على وجه الخصوص، لم تعد المعادلة 2 صالحة، لأنها ذُكرت فقط في ظل فرضية أن${\displaystyle f(x)}$كان "لطيفًا بما فيه الكفاية" (على سبيل المثال،${\displaystyle f(x)}$يتحلل مع جميع المشتقات ).

بينما تحدد المعادلة 1 تحويل فورييه للدوال (ذات القيم المركبة) في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$⁠ ، فهي غير محددة جيدًا لفئات التكامل الأخرى، وأهمها فضاء الدوال القابلة للتكامل التربيعي ⁠${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$على سبيل المثال، الدالة${\displaystyle f(x)=(1+x^{2})^{-1/2}}$هو في${\displaystyle L^{2}}$لكن ليس${\displaystyle L^{1}}$وبالتالي، فإن تكامل ليبيغ في المعادلة 1 غير موجود. ومع ذلك، فإن تحويل فورييه على الفضاء الجزئي الكثيف${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )}$يسمح بامتداد متصل فريد لمؤثر وحدوي على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$يُعد هذا التوسع مهمًا جزئيًا لأنه ، على عكس حالة${\displaystyle L^{1}}$، تحويل فورييه هو تشاكل ذاتي للفضاء${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$⁠ .

في مثل هذه الحالات، يمكن الحصول على تحويل فورييه بشكل صريح عن طريق تنظيم التكامل، ثم الانتقال إلى النهاية. عمليًا، يُعتبر التكامل غالبًا تكاملًا غير محدود بدلًا من تكامل ليبيغ صحيح، ولكن في بعض الأحيان ، من أجل التقارب، نحتاج إلى استخدام النهاية الضعيفة أو القيمة الرئيسية بدلًا من النهايات (النقطية) الضمنية في التكامل غير المحدود. يقدم كل من تيتشمارش (1986) وديم وماكين (1985) ثلاث طرق دقيقة لتوسيع تحويل فورييه ليشمل الدوال القابلة للتكامل التربيعي باستخدام هذه الطريقة. مبدأ عام في التعامل مع${\displaystyle L^{2}}$تحويل فورييه هو أن التراكيب الخطية المحدودة للدوال الغاوسية كثيفة في${\displaystyle L^{1}\cap L^{2}}$ويمكن استنتاج الخصائص المختلفة لتحويل فورييه ، مثل خاصية الوحدة، بسهولة بالنسبة للتوزيعات الغاوسية. ويمكن إثبات العديد من خصائص تحويل فورييه من حقيقتين حول التوزيعات الغاوسية: ^{[ 11 ]}

• الذي - التي${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$هو تحويل فورييه الخاص به؛ و
• أن التكامل الغاوسي${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\pi x^{2}}\,dx=1}$⁠ .

إحدى سمات${\displaystyle L^{1}}$تحويل فورييه هو عبارة عن تشاكل بين جبر باناخ من${\displaystyle L^{1}}$مزود بعملية الالتفاف لجبر باناخ للدوال المتصلة تحت${\displaystyle L^{\infty }}$المعيار (الأعلى). الاصطلاحات المختارة في هذه المقالة هي تلك الخاصة بالتحليل التوافقي ، بحيث يكون تحويل فورييه وحدويًا على${\displaystyle L^{2}}$وتماثل جبري من${\displaystyle {1}}$إلى​​${\displaystyle L^{\infty }}$، دون إعادة تطبيع مقياس ليبيغ. ^{[ 12 ]}

في عام 1822، ادعى فورييه (انظر جوزيف فورييه، قسم  النظرية التحليلية للحرارة ) أن أي دالة، سواء كانت متصلة أو غير متصلة، يمكن توسيعها إلى سلسلة من الدوال الجيبية. ^{[ 13 ]} وقد تم تصحيح هذا العمل المهم وتوسيعه من قبل آخرين لتوفير الأساس للأشكال المختلفة لتحويل فورييه المستخدمة منذ ذلك الحين.

يمكن وصف الموجة الجيبية الحمراء بسعة الذروة (1)، والفرق بين الذروتين (2)، والقيمة الفعالة (3)، والطول الموجي (4). يوجد فرق طور مقداره θ بين الموجتين الجيبيتين الحمراء والزرقاء .

بشكل عام، المعاملات${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$هي أعداد مركبة، ولها شكلان متكافئان (انظر صيغة أويلر ): $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\underbrace {Ae^{i\theta }} _{\text{polar coordinate form}}=\underbrace {A\cos(\theta )+iA\sin(\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}}.}$$

المنتج مع${\displaystyle e^{i2\pi \xi x}}$تأخذ المعادلة ( 2 ) هذه الأشكال: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {f}}(\xi )\cdot e^{i2\pi \xi x}&=Ae^{i\theta }\cdot e^{i2\pi \xi x}\\[6pt]&=\underbrace {Ae^{i(2\pi \xi x+\theta )}} _{\text{polar coordinate form}}\\[6pt]&=\underbrace {A\cos(2\pi \xi x+\theta )+iA\sin(2\pi \xi x+\theta )} _{\text{rectangular coordinate form}},\end{aligned}}}$$ والذي ينقل كلاً من سعة وطور التردد${\displaystyle \xi }$وبالمثل ، فإن التفسير البديهي للمعادلة 1 هو أن الضرب${\displaystyle f(x)}$بواسطة${\displaystyle e^{-i2\pi \xi x}}$له تأثير الطرح${\displaystyle \xi }$من كل مكون ترددي للدالة${\displaystyle f(x)}$[ ملاحظة ^{5 ]} المكون الذي كان عند ^التردد${\displaystyle \xi }$يمكن أن ينتج قيمة غير صفرية للتكامل اللانهائي، لأن (على الأقل من الناحية الشكلية) جميع المكونات الأخرى المزاحة متذبذبة وتتكامل إلى الصفر (انظر §  مثال ).

ومن الجدير بالذكر مدى سهولة تبسيط المنتج باستخدام الشكل القطبي، ومدى سهولة استنتاج الشكل المستطيل من خلال تطبيق صيغة أويلر.

تُدخل صيغة أويلر إمكانية القيم السالبة${\displaystyle \xi }$. تم تعريف المعادلة 1 ⁠${\displaystyle \forall \xi \in \mathbb {R} }$. فقط بعض القيم المركبة${\displaystyle f(x)}$لديها تحويلات${\displaystyle {\widehat {f}}=0,\ \forall \ \xi <0}$. (انظر الإشارة التحليلية ؛ مثال بسيط هو ⁠${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}\ (\xi _{0}>0)}$. ) لكن التردد السالب ضروري لتوصيف جميع القيم المركبة الأخرى ⁠${\displaystyle f(x)}$، الموجودة في معالجة الإشارات ، والمعادلات التفاضلية الجزئية ، والرادار ، والبصريات غير الخطية ، وميكانيكا الكم ، وغيرها.

للحصول على قيمة حقيقية${\displaystyle f(x)}$تتمتع المعادلة 1 بخاصية التناظر${\displaystyle {\widehat {f}}(-\xi )={\widehat {f}}^{*}(\xi )}$ (انظر قسم  الاقتران أدناه). يُمكّن هذا التكرار المعادلة 2 من التمييز${\displaystyle f(x)=\cos(2\pi \xi _{0}x)}$من​${\displaystyle e^{i2\pi \xi _{0}x}}$لكنها لا تستطيع تحديد الإشارة الفعلية لـ${\displaystyle \xi _{0}}$لأن​${\displaystyle \cos(2\pi \xi _{0}x)}$و${\displaystyle \cos(2\pi (-\xi _{0})x)}$لا يمكن تمييزها على خط الأعداد الحقيقية فقط.

لا يمكن تعريف تحويل فورييه لدالة دورية باستخدام صيغة التكامل مباشرةً. لكي يكون التكامل في المعادلة 1 قابلاً للتعريف، يجب أن تكون الدالة قابلة للتكامل المطلق . ولذلك، يشيع استخدام متسلسلات فورييه . ويمكن توسيع التعريف ليشمل الدوال الدورية من خلال اعتبارها توزيعات معتدلة .

وهذا يُتيح إمكانية رؤية العلاقة بين متسلسلة فورييه وتحويل فورييه للدوال الدورية التي لها متسلسلة فورييه متقاربة .${\displaystyle f(x)}$هي دالة دورية ، دورها ⁠${\displaystyle P}$، التي لها متسلسلة فورييه متقاربة، إذن: $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\cdot \delta \left(\xi -{\tfrac {n}{P}}\right),}$$ أين${\displaystyle c_{n}}$هي معاملات متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle f}$، و${\displaystyle \delta }$هي دالة ديراك دلتا . بعبارة أخرى، تحويل فورييه هو دالة ديراك مشطية يتم ضرب أسنانها بمعاملات متسلسلة فورييه.

تحويل فورييه لدالة قابلة للتكامل${\displaystyle f}$يمكن أخذ عينات منها على فترات منتظمة ذات طول عشوائي${\displaystyle 1/P}$يمكن استنتاج هذه العينات من دورة واحدة لدالة دورية .${\displaystyle f_{P}}$، والتي لها معاملات متسلسلة فورييه تتناسب مع تلك العينات وفقًا لصيغة جمع بواسون : $${\displaystyle f_{P}(x)\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(x+nP)={\frac {1}{P}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)e^{i2\pi {\frac {k}{P}}x},\quad \forall k\in \mathbb {Z} .}$$

قابلية التكامل${\displaystyle f}$يضمن ذلك تقارب عملية الجمع الدوري . لذلك، فإن العينات${\displaystyle {\widehat {f}}({\tfrac {k}{P}})}$يمكن تحديد ذلك عن طريق تحليل متسلسلة فورييه: $${\displaystyle {\widehat {f}}\left({\tfrac {k}{P}}\right)=\int _{P}f_{P}(x)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}x}\,dx.}$$

متى${\displaystyle f(x)}$يتميز بدعم مدمج ،${\displaystyle f_{P}(x)}$تحتوي على عدد محدود من الحدود ضمن فترة التكامل. عندما${\displaystyle f(x)}$لا يتوفر دعم مضغوط، والتقييم العددي لـ${\displaystyle f_{P}(x)}$يتطلب الأمر تقريبًا، مثل التناقص التدريجي${\displaystyle f(x)}$أو تقليص عدد المصطلحات.

يتمتع تحويل فورييه بالخصائص الأساسية التالية: ^{[ 15 ]}

تغيير المقياس الزمني

$${\displaystyle f(ax)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\frac {1}{|a|}}{\widehat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\right);\quad \ a\neq 0}$$ القضية${\displaystyle a=-1}$يؤدي ذلك إلى خاصية انعكاس الزمن : $${\displaystyle f(-x)\ \ {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\ \ {\widehat {f}}(-\xi )}$$

RE هو أيضًا دالة حقيقية متناظرة زوجيًا (f_RÊ). ويُنشئ الإزاحة الزمنية g(t) = g_RE + g_RO جزءًا تخيليًا، i_ig_IO. (انظر قسم التناظر).">

${\displaystyle \scriptstyle f(t)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {f}}(\omega )}$

${\displaystyle \scriptstyle g(t)}$

${\displaystyle \scriptstyle {\widehat {g}}(\omega )}$

${\displaystyle \scriptstyle t}$

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

${\displaystyle \scriptstyle t}$

${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

تحويل دالة حقيقية ذات تناظر زوجي${\displaystyle f(t)=f_{_{\text{RE}}}}$وهي أيضًا دالة حقيقية ذات تناظر زوجي (${\displaystyle {\widehat {f}}\!_{_{\text{RE}}}}$) . الإزاحة الزمنية ،${\displaystyle g(t)=g_{_{\text{RE}}}+g_{_{\text{RO}}}}$، يُنشئ مكونًا وهميًا ،${\displaystyle i\ {\widehat {g\ \!}}_{_{\text{IO}}}}$. (انظر §  التناظر .)

يمكن تعريف تحويل فورييه في بعض الحالات للدوال غير القابلة للتكامل، ولكن تحويلات فورييه للدوال القابلة للتكامل لها العديد من الخصائص القوية.

تحويل فورييه${\displaystyle {\widehat {f}}}$لأي دالة قابلة للتكامل${\displaystyle f}$متصلة بشكل منتظم و ^{[ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle \left\|{\widehat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}}$$

بحسب ليمّا ريمان-ليبيغ ، ^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .}$$

لكن،${\displaystyle {\widehat {f}}}$ليس بالضرورة أن تكون قابلة للتكامل. على سبيل المثال، تحويل فورييه للدالة المستطيلة ، وهي قابلة للتكامل، هو دالة sinc ، وهي غير قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ ، لأن تكاملاتها غير المحددة تتصرف بشكل مشابه للمتسلسلة التوافقية المتناوبة ، حيث تتقارب إلى مجموع دون أن تكون متقاربة تقاربًا مطلقًا .

لا يمكن عمومًا كتابة التحويل العكسي كتكامل ليبيغ . ومع ذلك، عندما يكون كلاهما${\displaystyle f}$و${\displaystyle {\widehat {f}}}$إذا كانت قابلة للتكامل، فإن المعادلة العكسية $${\displaystyle f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )e^{i2\pi x\xi }\,d\xi }$$ينطبق هذا على جميع قيم x تقريبًا . ونتيجة لذلك، فإن تحويل فورييه يكون أحاديًا على L ¹ ( R ) .

دع​${\displaystyle f(x)}$و​​${\displaystyle g(x)}$ليكن قابلاً للتكامل، وليكن${\displaystyle {\widehat {f}}}$و​​${\displaystyle {\widehat {g}}}$⁠ لتكن تحويلات فورييه الخاصة بهم. إذا ⁠${\displaystyle f(x)}$و​​${\displaystyle g(x)}$إذا كانت قابلة للتكامل التربيعي أيضًا، فإن صيغة بارسيفال تتبع: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi ){\overline {{\widehat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,}$$ حيث يشير الخط إلى الاقتران المركب .

تنص نظرية بلانشيريل ، التي تستنتج مما سبق، على أن ^{[ 21 ]}$${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .}$$

تُتيح نظرية بلانشيريل إمكانية توسيع تحويل فورييه، من خلال حجة الاستمرارية، إلى مؤثر وحدوي على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$. على ⁠${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )\cap L^{2}(\mathbb {R} )}$يتوافق هذا الامتداد مع تحويل فورييه الأصلي المحدد على${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$وبالتالي توسيع نطاق تحويل فورييه إلى${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )+L^{2}(\mathbb {R} )}$( وبالتالي إلى )${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} )}$لـ​​${\displaystyle 1\leq p\leq 2}$تُفسَّر نظرية بلانشيريل في العلوم بأن تحويل فورييه يحافظ على طاقة الكمية الأصلية. ولا يوجد توحيد تام لمصطلحات هذه الصيغ. وقد أُثبتت نظرية بارسيفال فقط لمتسلسلات فورييه، وكان ليابونوف أول من أثبتها. إلا أن صيغة بارسيفال تنطبق على تحويل فورييه أيضًا، ولذا ، فرغم أن بلانشيريل هو من أثبتها في سياق تحويل فورييه، إلا أنها لا تزال تُعرف غالبًا بصيغة بارسيفال، أو علاقة بارسيفال، أو حتى نظرية بارسيفال.

انظر إلى ثنائية بونترياجين للحصول على صياغة عامة لهذا المفهوم في سياق المجموعات الأبيلية المدمجة محليًا.

يُحوّل تحويل فورييه بين عملية الالتفاف وعملية ضرب الدوال. إذا${\displaystyle f(x)}$و​​${\displaystyle g(x)}$هي دوال قابلة للتكامل مع تحويلات فورييه${\displaystyle {\widehat {f}}}$و​​${\displaystyle {\widehat {g}}(\xi )}$وبالتالي ، فإن تحويل فورييه للالتفاف يُعطى بضرب تحويلات فورييه .${\displaystyle {\widehat {f}}}$و​​${\displaystyle {\widehat {g}}}$( في ظل اصطلاحات أخرى لتعريف تحويل فورييه، قد يظهر عامل ثابت).

هذا يعني أنه إذا: $${\displaystyle h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(x-y)\,dy,}$$ حيث تشير علامة ∗ إلى عملية الالتفاف، إذن: $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\widehat {f}}(\xi )\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

في نظرية الأنظمة الخطية الثابتة مع الزمن (LTI) ، من الشائع تفسير ⁠${\displaystyle g(x)}$باعتبارها استجابة نبضية لنظام خطي ثابت مع مدخلات${\displaystyle f(x)}$والإخراج​​${\displaystyle h(x)}$، حيث أن استبدال الدفعة الوحدوية بـ${\displaystyle f(x)}$ينتج​​${\displaystyle h(x)=g(x)}$في هذه الحالة ،${\displaystyle {\widehat {g}}(\xi )}$يمثل استجابة التردد للنظام.

وعلى العكس من ذلك، إذا${\displaystyle f(x)}$يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب دالتين قابلتين للتكامل التربيعي .${\displaystyle p(x)}$و​​${\displaystyle q(x)}$ثم تحويل فورييه لـ${\displaystyle f(x)}$يُعطى الناتج عن عملية الالتفاف لتحويلات فورييه الخاصة بكل منهما .${\displaystyle {\widehat {p}}(\xi )}$و​​${\displaystyle {\widehat {q}}(\xi )}$⁠ .

وبالمثل، يمكن إثبات أنه إذا${\displaystyle h(x)}$⁠ هو الارتباط المتبادل لـ ⁠${\displaystyle f(x)}$و​​${\displaystyle g(x)}$⁠ : $${\displaystyle h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy}$$ ثم تحويل فورييه لـ${\displaystyle h(x)}$هو : $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}\,{\widehat {g}}(\xi ).}$$

كحالة خاصة، الارتباط الذاتي للدالة${\displaystyle f(x)}$هو : $${\displaystyle h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy}$$ والتي $${\displaystyle {\widehat {h}}(\xi )={\overline {{\widehat {f}}(\xi )}}{\widehat {f}}(\xi )=\left|{\widehat {f}}(\xi )\right|^{2}.}$$

لنفترض أن f ( x ) قابلة للتفاضل تقريبًا في كل مكان ، وكلاهما${\displaystyle f}$ومشتقاته​​${\displaystyle f'}$قابلة للتكامل ( في${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} )}$ثم يُعطى تحويل فورييه للمشتقة بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\widehat {f'}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=i2\pi \xi {\widehat {f}}(\xi ).}$$ وبشكل أعم، فإن تحويل فورييه لـ${\displaystyle n}$المشتقة من الدرجة الثالثة${\displaystyle f^{(n)}}$يتم إعطاؤها بواسطة $${\displaystyle {\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)\right\}=(i2\pi \xi )^{n}{\widehat {f}}(\xi ).}$$

وبالمثل ،${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\left\{{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )\right\}=(-i2\pi x)^{n}f(x)}$، لذا​${\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x^{n}f(x)\right\}=\left({\frac {i}{2\pi }}\right)^{n}{\frac {d^{n}}{d\xi ^{n}}}{\widehat {f}}(\xi )}$⁠ .

بتطبيق تحويل فورييه واستخدام هذه الصيغ، يمكن تحويل بعض المعادلات التفاضلية العادية إلى معادلات جبرية، وهي أسهل بكثير في الحل. كما تُنتج هذه الصيغ قاعدة عامة "${\displaystyle f(x)}$يكون السطح أملسًا إذا وفقط إذا${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$سرعان ما يتراجع إلى${\displaystyle 0}$لـ​​${\displaystyle \vert \xi \vert \to \infty }$باستخدام القواعد المماثلة لتحويل فورييه العكسي، يمكن للمرء أيضًا أن يقول "${\displaystyle f(x)}$سرعان ما يتراجع إلى${\displaystyle 0}$لـ​​${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$إذا وفقط إذا${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi )}$سلس .

تحويل فورييه هو تحويل خطي له دوال ذاتية تخضع لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=\lambda \psi }$، مع​${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$⁠ .

يتم إيجاد مجموعة من الدوال الذاتية من خلال ملاحظة أن المعادلة التفاضلية المتجانسة $${\displaystyle \left[U\left({\frac {1}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+U(x)\right]\psi (x)=0}$$ يؤدي إلى الدوال الذاتية${\displaystyle \psi (x)}$تحويل فورييه${\displaystyle {\mathcal {F}}}$طالما بقي شكل المعادلة ثابتًا تحت تحويل فورييه. ^{[ ملاحظة 6 ]} بعبارة أخرى، كل حل${\displaystyle \psi (x)}$وتحويل فورييه الخاص به${\displaystyle {\widehat {\psi }}(\xi )}$تخضع جميع الحلول لنفس المعادلة. وبافتراض تفرد الحلول، فإن كل حل${\displaystyle \psi (x)}$لذا، يجب أن تكون دالة ذاتية لتحويل فورييه. ويبقى شكل المعادلة دون تغيير تحت تحويل فورييه إذا${\displaystyle U(x)}$يمكن توسيعها في متسلسلة قوى يكون فيها لجميع الحدود نفس العامل لأي من ⁠${\displaystyle \pm 1}$،​​${\displaystyle \pm i}$ينشأ من العوامل${\displaystyle i^{n}}$يتم إدخال هذا العامل بواسطة قواعد التفاضل عند تحويل فورييه للمعادلة التفاضلية المتجانسة، لأنه يمكن حينها إلغاؤه. أبسط ما يمكن${\displaystyle U(x)=x}$يؤدي إلى التوزيع الطبيعي القياسي . ^{[ 22 ]}

وبشكل أعم، يمكن إيجاد مجموعة من الدوال الذاتية أيضًا من خلال ملاحظة أن قواعد التفاضل تعني أن المعادلة التفاضلية العادية$${\displaystyle \left[W\left({\frac {i}{2\pi }}{\frac {d}{dx}}\right)+W(x)\right]\psi (x)=C\psi (x)}$$ مع${\displaystyle C}$ثابت و${\displaystyle W(x)}$كونها دالة زوجية غير ثابتة، فإنها تظل ثابتة في شكلها عند تطبيق تحويل فورييه.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$لكلا طرفي المعادلة. أبسط مثال على ذلك هو ⁠${\displaystyle W(x)=x^{2}}$وهو ما يُعادل النظر في معادلة شرودنغر للمذبذب التوافقي الكمومي . ^{[ 23 ]} تُوفر الحلول المُقابلة خيارًا هامًا لأساس متعامد لـ L² ( R ) وتُعطى بواسطة دوال هيرميت "الفيزيائية". وبشكل مُكافئ ^، يُمكن استخدام $${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right),}$$ أين​${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)}$هي كثيرات حدود هيرميت "الاحتمالية"، والتي تُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{{\frac {1}{2}}x^{2}}\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

بموجب هذا الاصطلاح لتحويل فورييه، لدينا ما يلي: $${\displaystyle {\widehat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi ).}$$

بمعنى آخر، تشكل دوال هيرميت نظامًا متعامدًا كاملًا من الدوال الذاتية لتحويل فورييه على${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$[ ^{15 ] [ 24 ]} ومع ذلك ، ^فإن هذا الاختيار للدوال الذاتية ليس فريدًا. بسبب${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}=\mathrm {id} }$لا يوجد سوى أربع قيم ذاتية مختلفة لتحويل فورييه (الجذور الرابعة للوحدة ).${\displaystyle \pm 1}$و​​${\displaystyle \pm i}$(و ) وأي توليفة خطية من الدوال الذاتية ذات القيمة الذاتية نفسها تعطي دالة ذاتية أخرى. ^{[ 25 ]} ونتيجة لذلك، من الممكن تحليل ^L2 ( R ) كمجموع مباشر لأربعة فضاءات _H0 و _H1 و H2 _و H3 حيث يعمل تحويل فورييه على _Hk ببساطة _عن طريق الضرب في ik ^.

بما أن المجموعة الكاملة من دوال هيرميت ψ _n توفر حلاً للهوية، فإنها تقوم بقطرية عامل فورييه، أي يمكن تمثيل تحويل فورييه بمجموع حدود موزونة بالقيم الذاتية المذكورة أعلاه، ويمكن جمع هذه المجاميع بشكل صريح: $${\displaystyle {\mathcal {F}}[f](\xi )=\int dxf(x)\sum _{n\geq 0}(-i)^{n}\psi _{n}(x)\psi _{n}(\xi )~.}$$

اقترح نوربرت وينر هذا النهج لتعريف تحويل فورييه لأول مرة . ^{[ 26 ]} من بين خصائص أخرى، تتناقص دوال هيرميت بشكل أُسّي سريع في كلٍ من نطاقي التردد والزمن، ولذلك تُستخدم لتعريف تعميم لتحويل فورييه، وهو تحويل فورييه الكسري المستخدم في تحليل الزمن والتردد. ^{[ 27 ]} في الفيزياء ، قدّم إدوارد كوندون هذا التحويل . ^{[ 28 ]} يصبح تغيير الأساس هذا ممكنًا لأن تحويل فورييه هو تحويل وحدوي عند استخدام الاصطلاحات الصحيحة . وبالتالي، في ظل الشروط المناسبة، يُتوقع أن ينتج عن مولد ذاتي الترافق.${\displaystyle N}$عبر ^{[ 29 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}[\psi ]=e^{-itN}\psi .}$$

المشغل${\displaystyle N}$هو عامل العدد للمذبذب التوافقي الكمي المكتوب على النحو التالي ^{[ 30 ] [ 31 ]}$${\displaystyle N\equiv {\frac {1}{4\pi }}\left(2\pi x-{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\left(2\pi x+{\frac {\partial }{\partial x}}\right)=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+\pi x^{2}-{\frac {1}{2}}.}$$

يمكن تفسيره على أنه مولد تحويلات فورييه الكسرية لقيم عشوائية لـ t ، وتحويل فورييه المستمر التقليدي${\displaystyle {\mathcal {F}}}$للقيمة المحددة${\displaystyle t=\pi /2}$، مع نواة ميهلر التي تُنفذ التحويل النشط المقابل. الدوال الذاتية لـ${\displaystyle N}$هي دوال هيرميت${\displaystyle \psi _{n}(x)}$وبالتالي فهي أيضًا دوال ذاتية لـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$⁠ .

عند توسيع تحويل فورييه ليشمل التوزيعات، فإن مشط ديراك هو أيضًا دالة ذاتية لتحويل فورييه.

في ظل ظروف مناسبة على الوظيفة${\displaystyle f}$، ويمكن استعادته من تحويل فورييه الخاص به${\displaystyle {\widehat {f}}}$في الواقع، يُرمز إلى عامل تحويل فورييه بـ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$، لذا​${\displaystyle {\mathcal {F}}f:={\widehat {f}}}$ثم بالنسبة للدوال المناسبة، فإن تطبيق تحويل فورييه مرتين يؤدي ببساطة إلى عكس الدالة :${\displaystyle \left({\mathcal {F}}^{2}f\right)(x)=f(-x)}$، وهو ما يمكن تفسيره على أنه "عكس الزمن". وبما أن عكس الزمن عملية دورية ثنائية، فإن تطبيق ذلك مرتين ينتج عنه ⁠${\displaystyle {\mathcal {F}}^{4}(f)=f}$وبالتالي ، فإن عامل تحويل فورييه دوري بأربع دورات، وبالمثل يمكن الحصول على تحويل فورييه العكسي بتطبيق تحويل فورييه ثلاث مرات :${\displaystyle {\mathcal {F}}^{3}\left({\widehat {f}}\right)=f}$. على وجه الخصوص، فإن تحويل فورييه قابل للعكس (في ظل ظروف مناسبة).