انتشار

الانتشار هو الحركة الصافية لأي شيء (على سبيل المثال، الذرات، الأيونات، الجزيئات، الطاقة) عمومًا من منطقة ذات تركيز أعلى إلى منطقة ذات تركيز أقل. يتم دفع الانتشار من خلال تدرج في طاقة جيبس ​​الحرة أو الجهد الكيميائي . من الممكن الانتشار "صعودًا" من منطقة ذات تركيز أقل إلى منطقة ذات تركيز أعلى، كما هو الحال في التحلل الشوكي . الانتشار هو عملية عشوائية بسبب العشوائية المتأصلة للكيان المنتشر ويمكن استخدامه لنمذجة العديد من السيناريوهات العشوائية في الحياة الواقعية. لذلك، يتم استخدام الانتشار والنماذج الرياضية المقابلة في العديد من المجالات خارج الفيزياء، مثل الإحصاء ونظرية الاحتمالات ونظرية المعلومات والشبكات العصبية والتمويل والتسويق .

يُستخدم مفهوم الانتشار على نطاق واسع في العديد من المجالات، بما في ذلك الفيزياء ( انتشار الجسيمات )، والكيمياء ، وعلم الأحياء ، وعلم الاجتماع ، والاقتصاد ، والإحصاء ، وعلوم البيانات ، والتمويل (انتشار الأشخاص والأفكار والبيانات وقيم الأسعار). ومع ذلك، فإن الفكرة المركزية للانتشار مشتركة بين كل هذه المجالات: تنتشر المادة أو المجموعة الخاضعة للانتشار من نقطة أو موقع يوجد فيه تركيز أعلى لتلك المادة أو المجموعة.

التدرج هو التغير في قيمة كمية ما؛ على سبيل المثال التركيز أو الضغط أو درجة الحرارة مع التغير في متغير آخر، عادةً المسافة . ويسمى التغير في التركيز على مسافة ما تدرج التركيز ، ويسمى التغير في الضغط على مسافة ما تدرج الضغط ، ويسمى التغير في درجة الحرارة على مسافة ما تدرج درجة الحرارة .

تشتق كلمة الانتشار من الكلمة اللاتينية diffundere والتي تعني "الانتشار".

من السمات المميزة للانتشار أنه يعتمد على الحركة العشوائية للجسيمات ، ويؤدي إلى اختلاط أو نقل الكتلة دون الحاجة إلى حركة جماعية موجهة. الحركة الجماعية، أو التدفق الجماعي، هي سمة الحمل الحراري . ^[1] يستخدم مصطلح الحمل الحراري لوصف مزيج ظاهرتي النقل .

إذا كان من الممكن وصف عملية الانتشار بقوانين فيك ، فإنها تسمى انتشارًا طبيعيًا (أو انتشارًا فيكيًا)؛ وإلا فإنها تسمى انتشارًا شاذًا (أو انتشارًا غير فيكيًا).

عند الحديث عن مدى الانتشار، يتم استخدام مقياسين للطول في سيناريوهين مختلفين:

1. الحركة البراونية لمصدر نقطي دافع (على سبيل المثال، رشة عطر واحدة) - الجذر التربيعي لمتوسط ​​الإزاحة التربيعية من هذه النقطة. في الانتشار الفيكاني، يكون هذا هو ، حيث هو بُعد هذه الحركة البراونية؛${\displaystyle {\sqrt {2nDt}}}$${\displaystyle n}$
2. مصدر تركيز ثابت في بُعد واحد - طول الانتشار. في الانتشار الفيكي، يكون هذا هو .${\displaystyle 2{\sqrt {Dt}}}$

"التدفق الشامل" هو حركة/تدفق الجسم بالكامل بسبب تدرج الضغط (على سبيل المثال، الماء الذي يخرج من الصنبور). "الانتشار" هو الحركة/التشتت التدريجي للتركيز داخل الجسم بدون حركة صافية للمادة. ومن الأمثلة على العملية التي تحدث فيها كل من الحركة الشاملة والانتشار التنفس البشري. ^[2]

أولاً، هناك عملية "التدفق الشامل". تقع الرئتان في التجويف الصدري ، الذي يتوسع كخطوة أولى في التنفس الخارجي. يؤدي هذا التوسع إلى زيادة حجم الحويصلات الهوائية في الرئتين، مما يسبب انخفاض الضغط في الحويصلات الهوائية. هذا يخلق تدرجًا في الضغط بين الهواء خارج الجسم عند ضغط مرتفع نسبيًا والحويصلات الهوائية عند ضغط منخفض نسبيًا. يتحرك الهواء إلى أسفل تدرج الضغط عبر مجاري الهواء في الرئتين وإلى الحويصلات الهوائية حتى يتساوى ضغط الهواء والضغط الموجود في الحويصلات الهوائية، أي أن حركة الهواء عن طريق التدفق الشامل تتوقف بمجرد عدم وجود تدرج في الضغط.

ثانياً، هناك عملية "انتشار". فالهواء الواصل إلى الحويصلات الهوائية يحتوي على تركيز أعلى من الأكسجين مقارنة بالهواء "الراكد" في الحويصلات الهوائية. وتؤدي الزيادة في تركيز الأكسجين إلى خلق تدرج في تركيز الأكسجين بين الهواء في الحويصلات الهوائية والدم في الشعيرات الدموية المحيطة بالحويصلات الهوائية. ثم ينتقل الأكسجين عن طريق الانتشار، على طول تدرج التركيز، إلى الدم. والنتيجة الأخرى لوصول الهواء إلى الحويصلات الهوائية هي انخفاض تركيز ثاني أكسيد الكربون في الحويصلات الهوائية. وهذا يخلق تدرجاً في تركيز ثاني أكسيد الكربون لينتشر من الدم إلى الحويصلات الهوائية، حيث أن الهواء النقي يحتوي على تركيز منخفض للغاية من ثاني أكسيد الكربون مقارنة بالدم في الجسم.

ثالثًا، هناك عملية أخرى تسمى "التدفق الشامل". إذ يعمل ضخ القلب على نقل الدم إلى أنحاء الجسم. ومع انقباض البطين الأيسر للقلب، ينخفض ​​الحجم، مما يزيد الضغط في البطين. ويؤدي هذا إلى خلق تدرج في الضغط بين القلب والشعيرات الدموية، ويتحرك الدم عبر الأوعية الدموية عن طريق التدفق الشامل على طول تدرج الضغط.

هناك طريقتان لتقديم مفهوم الانتشار : إما النهج الظاهراتي الذي يبدأ بقوانين فيك للانتشار وعواقبها الرياضية، أو النهج الفيزيائي الذري، من خلال النظر في السير العشوائي للجسيمات المنتشرة . ^[3]

في النهج الظاهراتي، الانتشار هو حركة مادة من منطقة ذات تركيز عالٍ إلى منطقة ذات تركيز منخفض دون حركة كتلة . وفقًا لقوانين فيك، فإن تدفق الانتشار يتناسب مع التدرج السلبي للتركيزات. ينتقل من مناطق ذات تركيز أعلى إلى مناطق ذات تركيز أقل. بعد فترة من الوقت، تم تطوير تعميمات مختلفة لقوانين فيك في إطار الديناميكا الحرارية والديناميكا الحرارية غير المتوازنة . ^[4]

من وجهة النظر الذرية ، يُعتبر الانتشار نتيجة للمشي العشوائي للجسيمات المنتشرة. في الانتشار الجزيئي ، تكون الجزيئات المتحركة في الغاز أو السائل أو الصلب ذاتية الدفع بواسطة الطاقة الحركية. تم اكتشاف المشي العشوائي للجسيمات الصغيرة المعلقة في سائل في عام 1827 بواسطة روبرت براون ، الذي وجد أن الجسيم الدقيق المعلق في وسط سائل وكبير بما يكفي ليكون مرئيًا تحت المجهر الضوئي يُظهر حركة سريعة وغير منتظمة للجسيمات تُعرف بالحركة البراونية. تم تطوير نظرية الحركة البراونية والخلفيات الذرية للانتشار بواسطة ألبرت أينشتاين . ^[5] يتم تطبيق مفهوم الانتشار عادةً على أي موضوع يتضمن المشي العشوائي في مجموعات من الأفراد.

في الكيمياء وعلوم المواد ، يشير الانتشار أيضًا إلى حركة جزيئات السوائل في المواد الصلبة المسامية. ^[6] يتم تمييز أنواع مختلفة من الانتشار في المواد الصلبة المسامية. يحدث الانتشار الجزيئي عندما يكون الاصطدام بجزيء آخر أكثر احتمالية من الاصطدام بجدران المسام. في ظل هذه الظروف، تكون الانتشارية مماثلة لتلك الموجودة في مساحة غير محصورة وتتناسب مع متوسط ​​المسار الحر. يحدث انتشار كنودسن عندما يكون قطر المسام مماثلاً أو أصغر من متوسط ​​المسار الحر للجزيء المنتشر عبر المسام. في ظل هذه الحالة، يصبح الاصطدام بجدران المسام أكثر احتمالية تدريجيًا ويكون الانتشار أقل. أخيرًا، هناك انتشار تكويني، والذي يحدث إذا كانت الجزيئات ذات حجم مماثل لحجم المسام. في ظل هذه الحالة، تكون الانتشارية أقل بكثير مقارنة بالانتشار الجزيئي والاختلافات الصغيرة في القطر الحركي للجزيء تسبب اختلافات كبيرة في الانتشار .

غالبًا ما يستخدم علماء الأحياء مصطلحي "الحركة الصافية" أو "الانتشار الصافي" لوصف حركة الأيونات أو الجزيئات عن طريق الانتشار. على سبيل المثال، يمكن للأكسجين أن ينتشر عبر الأغشية الخلوية طالما كان هناك تركيز أعلى من الأكسجين خارج الخلية. ومع ذلك، نظرًا لأن حركة الجزيئات عشوائية، فإن جزيئات الأكسجين تتحرك أحيانًا خارج الخلية (ضد تدرج التركيز). نظرًا لوجود المزيد من جزيئات الأكسجين خارج الخلية، فإن احتمال دخول جزيئات الأكسجين إلى الخلية أعلى من احتمال مغادرة جزيئات الأكسجين للخلية. وبالتالي، فإن الحركة "الصافية" لجزيئات الأكسجين (الفرق بين عدد الجزيئات التي تدخل الخلية أو تخرج منها) تكون داخل الخلية. بعبارة أخرى، هناك حركة صافية لجزيئات الأكسجين أسفل تدرج التركيز.

في نطاق الزمن، تم استخدام الانتشار في المواد الصلبة قبل فترة طويلة من إنشاء نظرية الانتشار. على سبيل المثال، وصف بليني الأكبر سابقًا عملية الترابط ، والتي تنتج الفولاذ من عنصر الحديد (Fe) من خلال انتشار الكربون. هناك مثال آخر معروف منذ قرون عديدة، وهو انتشار ألوان الزجاج الملون أو الفخار والخزف الصيني .

في العلوم الحديثة، أجرى توماس جراهام أول دراسة تجريبية منهجية للانتشار . درس الانتشار في الغازات، ووصف الظاهرة الرئيسية في الفترة من 1831 إلى 1833: ^[7]

"... الغازات ذات الطبيعة المختلفة، عندما تتلامس، لا تنظم نفسها وفقًا لكثافتها، الأثقل في الأسفل والأخف في الأعلى، ولكنها تنتشر تلقائيًا، بشكل متبادل ومتساوٍ، من خلال بعضها البعض، وبالتالي تظل في حالة حميمة من الخليط لأي فترة من الزمن."

ساهمت قياسات جراهام في تمكين جيمس كليرك ماكسويل من استنباط معامل انتشار _ثاني أكسيد الكربون في الهواء في عام 1867. ونسبة الخطأ أقل من 5%.

في عام 1855، اقترح أدولف فيك ، وهو عالم تشريح يبلغ من العمر 26 عامًا من زيورخ، قانون الانتشار . وقد استخدم أبحاث جراهام، وصرح بأن هدفه هو "تطوير قانون أساسي لعملية الانتشار في عنصر واحد من الفضاء". وأكد على وجود تشابه عميق بين الانتشار وتوصيل الحرارة أو الكهرباء، مما أدى إلى إنشاء صيغة قانونية مماثلة لقانون فورييه للتوصيل الحراري (1822) وقانون أوم للتيار الكهربائي (1827).

أثبت روبرت بويل انتشار المواد الصلبة في القرن السابع عشر ^[8] عن طريق اختراق الزنك في عملة نحاسية. ومع ذلك، لم تتم دراسة انتشار المواد الصلبة بشكل منهجي حتى الجزء الثاني من القرن التاسع عشر. درس ويليام تشاندلر روبرتس أوستن ، عالم المعادن البريطاني الشهير والمساعد السابق لتوماس جراهام، انتشار الحالة الصلبة بشكل منهجي على مثال الذهب في الرصاص في عام 1896. : ^[9]

"... إن ارتباطي الطويل بأبحاث جراهام جعل من محاولة توسيع نطاق عمله في مجال انتشار السوائل إلى المعادن بمثابة واجب بالنسبة لي."

في عام 1858، قدم رودولف كلاوزيوس مفهوم المسار الحر المتوسط . وفي نفس العام، طور جيمس كليرك ماكسويل أول نظرية ذرية لعمليات النقل في الغازات. تم تطوير النظرية الذرية الحديثة للانتشار والحركة البراونية من قبل ألبرت أينشتاين وماريان سمولوخوفسكي وجان بابتيست بيرين . قدم لودفيج بولتزمان ، في تطوير الخلفيات الذرية لعمليات النقل العيانية ، معادلة بولتزمان ، والتي خدمت الرياضيات والفيزياء كمصدر لأفكار ومخاوف عملية النقل لأكثر من 140 عامًا. ^[10]

في عامي 1920 و1921، قام جورج دي هيفسي بقياس الانتشار الذاتي باستخدام النظائر المشعة . وقد درس الانتشار الذاتي للنظائر المشعة للرصاص في الرصاص السائل والصلب.

اقترح ياكوف فرينكل (يُطلق عليه أحيانًا ياكوف/جاكوب فرينكل) فكرة الانتشار في البلورات من خلال العيوب المحلية (الفراغات والذرات الخلالية ) وشرحها في عام 1926. وخلص إلى أن عملية الانتشار في المادة المكثفة عبارة عن مجموعة من القفزات الأولية والتفاعلات شبه الكيميائية للجسيمات والعيوب. كما قدم العديد من آليات الانتشار ووجد ثوابت المعدلات من البيانات التجريبية.

وبعد فترة من الوقت، قام كارل فاغنر ووالتر إتش شوتكي بتطوير أفكار فرينكل حول آليات الانتشار بشكل أكبر. وفي الوقت الحاضر، من المعترف به عالميًا أن العيوب الذرية ضرورية للتوسط في الانتشار في البلورات. ^[9]

قام هنري إيرينغ ، بالتعاون مع مؤلفين مشاركين، بتطبيق نظريته حول معدلات التفاعل المطلقة على نموذج فرينكل شبه الكيميائي للانتشار. ^[11] يؤدي التشابه بين حركية التفاعل والانتشار إلى إصدارات غير خطية مختلفة من قانون فيك. ^[12]

يعبر كل نموذج من نماذج الانتشار عن تدفق الانتشار باستخدام التركيزات والكثافات ومشتقاتها. التدفق هو متجه يمثل كمية واتجاه النقل. إذا كانت هناك مساحة صغيرة ذات خط عمودي ، فإن نقل كمية فيزيائية عبر المساحة لكل زمن هو ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle \Delta t}$

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})\,\Delta S\,\Delta t+o(\Delta S\,\Delta t)\,,}$

حيث هو حاصل الضرب الداخلي و هو ترميز little-o . إذا استخدمنا ترميز مساحة المتجه فإن ${\displaystyle (\mathbf {J} ,{\boldsymbol {\nu }})}$${\displaystyle o(\cdots )}$ ${\displaystyle \Delta \mathbf {S} ={\boldsymbol {\nu }}\,\Delta S}$

${\displaystyle \Delta N=(\mathbf {J} ,\Delta \mathbf {S} )\,\Delta t+o(\Delta \mathbf {S} \,\Delta t)\,.}$

أبعاد تدفق الانتشار هي [التدفق] = [الكمية]/([الزمن]·[المساحة]). قد تكون الكمية الفيزيائية المنتشرة هي عدد الجسيمات أو الكتلة أو الطاقة أو الشحنة الكهربائية أو أي كمية أخرى واسعة النطاق . بالنسبة لكثافتها، فإن معادلة الانتشار لها الشكل ${\displaystyle N}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} +W\,,}$

حيث تكون شدة أي مصدر محلي لهذه الكمية (على سبيل المثال، معدل التفاعل الكيميائي). بالنسبة لمعادلة الانتشار، يمكن صياغة شروط حدود عدم التدفق على النحو التالي على الحدود، حيث تكون العمودي على الحدود عند النقطة . ${\displaystyle W}$${\displaystyle (\mathbf {J} (x),{\boldsymbol {\nu }}(x))=0}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nu }}}$${\displaystyle x}$

قانون فيك الأول: التدفق الانتشاري، يتناسب طرديًا مع التدرج السلبي للتركيز المكاني، : ${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle n(x,t)}$

${\displaystyle \mathbf {J} =-D(x)\,\nabla n(x,t),}$

حيث D هو معامل الانتشار . معادلة الانتشار المقابلة (قانون فيك الثاني) هي

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot (D(x)\,\nabla n(x,t))\,.}$

في حالة أن معامل الانتشار مستقل عن ، يمكن تبسيط قانون فيك الثاني إلى ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial n(x,t)}{\partial t}}=D\,\Delta n(x,t)\ ,}$

أين عامل لابلاس ؟ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta n(x,t)=\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}n(x,t)}{\partial x_{i}^{2}}}\ .}$

يصف قانون فيك انتشار خليط في وسط ما. يجب أن يكون تركيز هذا الخليط صغيرًا ويجب أن يكون تدرج هذا التركيز صغيرًا أيضًا. القوة الدافعة للانتشار في قانون فيك هي التدرج المضاد للتركيز، . ${\displaystyle -\nabla n}$

في عام 1931، أدرج لارس أونسيجر ^[13] عمليات النقل متعددة المكونات في السياق العام للديناميكا الحرارية الخطية غير المتوازنة. بالنسبة للنقل متعدد المكونات،

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=\sum _{j}L_{ij}X_{j}\,,}$

حيث هو تدفق الكمية الفيزيائية (المكونة) رقم، هو القوة الحرارية الديناميكية رقم و هو مصفوفة أونساجر لمعاملات النقل الحركي . ${\displaystyle \mathbf {J} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle L_{ij}}$

تم تقديم القوى الديناميكية الحرارية لعمليات النقل بواسطة أونسيجر باعتبارها تدرجات مكانية لمشتقات كثافة الإنتروبيا (استخدم مصطلح "القوة" بين علامتي الاقتباس أو "القوة الدافعة"): ${\displaystyle s}$

${\displaystyle X_{i}=\nabla {\frac {\partial s(n)}{\partial n_{i}}}\,,}$

أين هي "الإحداثيات الديناميكية الحرارية". بالنسبة لانتقال الحرارة والكتلة يمكننا أن نأخذ (كثافة الطاقة الداخلية) و هو تركيز المكون th. القوى الدافعة المقابلة هي متجهات الفضاء ${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{0}=u}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle X_{0}=\nabla {\frac {1}{T}}\ ,\;\;\;X_{i}=-\nabla {\frac {\mu _{i}}{T}}\;(i>0),}$لأن${\displaystyle \mathrm {d} s={\frac {1}{T}}\,\mathrm {d} u-\sum _{i\geq 1}{\frac {\mu _{i}}{T}}\,{\rm {d}}n_{i}}$

حيث T هي درجة الحرارة المطلقة و هي الجهد الكيميائي للمكون th. يجب التأكيد على أن معادلات الانتشار المنفصلة تصف عملية الخلط أو نقل الكتلة بدون حركة كبيرة. لذلك، يتم إهمال المصطلحات المتعلقة بتغير الضغط الكلي. من الممكن انتشار الخلطات الصغيرة والتدرجات الصغيرة. ${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle i}$

بالنسبة لمعادلات أونساجر الخطية، يجب أن نأخذ القوى الديناميكية الحرارية في التقريب الخطي بالقرب من التوازن:

${\displaystyle X_{i}=\sum _{k\geq 0}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{i}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\nabla n_{k}\ ,}$

حيث يتم حساب مشتقات عند التوازن . يجب أن تكون مصفوفة المعاملات الحركية متماثلة ( علاقات أونساجر المتبادلة ) ومحددة موجبة ( لنمو الإنتروبيا ). ${\displaystyle s}$${\displaystyle n^{*}}$ ${\displaystyle L_{ij}}$

معادلات النقل هي

${\displaystyle {\frac {\partial n_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\operatorname {div} X_{j}=\sum _{k\geq 0}\left[-\sum _{j\geq 0}L_{ij}\left.{\frac {\partial ^{2}s(n)}{\partial n_{j}\,\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}\right]\,\Delta n_{k}\ .}$

هنا، ترتبط جميع المؤشرات i و j و k = 0 و1 و2 و... بالطاقة الداخلية (0) ومكونات مختلفة. التعبير الموجود بين قوسين مربعين هو مصفوفة معاملات الانتشار ( i و k  > 0) والانتشار الحراري ( i  > 0، k  = 0 أو k  > 0، i  = 0) والتوصيل الحراري ( i = k = 0 ). ${\displaystyle D_{ik}}$

في ظل الظروف المتساوية الحرارة، يكون T  = ثابتًا. الجهد الديناميكي الحراري ذو الصلة هو الطاقة الحرة (أو الإنتروبيا الحرة ). القوى الدافعة الديناميكية الحرارية للانتشار المتساوي الحرارة هي تدرجات معاكسة للجهد الكيميائي، ومصفوفة معاملات الانتشار هي ${\displaystyle -(1/T)\,\nabla \mu _{j}}$

${\displaystyle D_{ik}={\frac {1}{T}}\sum _{j\geq 1}L_{ij}\left.{\frac {\partial \mu _{j}(n,T)}{\partial n_{k}}}\right|_{n=n^{*}}}$

( i,k  > 0).

هناك تعسف جوهري في تعريف القوى الديناميكية الحرارية والمعاملات الحركية لأنها غير قابلة للقياس بشكل منفصل ويمكن قياس مجموعاتها فقط. على سبيل المثال، في العمل الأصلي لـ Onsager ^[13] تتضمن القوى الديناميكية الحرارية مضاعفًا إضافيًا T ، بينما في Course of Theoretical Physics ^[14] تم حذف هذا المضاعف ولكن إشارة القوى الديناميكية الحرارية معاكسة. يتم استكمال كل هذه التغييرات بالتغييرات المقابلة في المعاملات ولا تؤثر على الكميات القابلة للقياس. ${\textstyle \sum _{j}L_{ij}X_{j}}$

تولد صيغة الديناميكا الحرارية الخطية غير العكسية (أونسيجر) أنظمة معادلات الانتشار الخطية في الشكل

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}\,\Delta c_{j}.}$

إذا كانت مصفوفة معاملات الانتشار قطرية، فإن نظام المعادلات هذا هو مجرد مجموعة من معادلات فيك المنفصلة لمكونات مختلفة. افترض أن الانتشار غير قطري، على سبيل المثال، ، وفكر في الحالة مع . في هذه الحالة، . إذا كان في بعض النقاط، فإن يصبح سالبًا عند هذه النقاط في وقت قصير. لذلك، فإن الانتشار الخطي غير القطري لا يحافظ على إيجابية التركيزات. يجب أن تكون المعادلات غير القطرية للانتشار متعدد المكونات غير خطية. ^[12]${\displaystyle D_{12}\neq 0}$${\displaystyle c_{2}=\cdots =c_{n}=0}$${\displaystyle \partial c_{2}/\partial t=D_{12}\,\Delta c_{1}}$${\displaystyle D_{12}\,\Delta c_{1}(x)<0}$${\displaystyle c_{2}(x)}$

تربط علاقة أينشتاين (نظرية الحركة) بين معامل الانتشار والحركة (نسبة سرعة الانجراف النهائية للجسيم إلى القوة المطبقة ). ^[15] بالنسبة للجسيمات المشحونة:

${\displaystyle D={\frac {\mu \,k_{\text{B}}T}{q}},}$

حيث D هو ثابت الانتشار ، μ هو "الحركة"، k _B هو ثابت بولتزمان ، T هي درجة الحرارة المطلقة ، و q هي الشحنة الأولية ، أي شحنة إلكترون واحد.

فيما يلي، لجمع الإمكانات الكيميائية μ والحركة في نفس الصيغة، نستخدم للحركة الترميز . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

تم تطبيق النهج القائم على الحركة بشكل أكبر بواسطة T. Teorell. ^[16] في عام 1935، درس انتشار الأيونات عبر الغشاء. وقد صاغ جوهر نهجه في الصيغة:

التدفق يساوي الحركة × التركيز × القوة لكل أيون جرام .

هذه هي ما يسمى بصيغة تيوريل . ^{[ بحاجة لمصدر ]} يُستخدم مصطلح "أيون جرام" ("جسيم جرام") لكمية من المادة تحتوي على عدد أفوجادرو من الأيونات (الجسيمات). المصطلح الحديث الشائع هو المول .

القوة في ظل الظروف المتساوية الحرارة تتكون من جزأين:

1. قوة الانتشار الناتجة عن تدرج التركيز: .${\displaystyle -RT{\frac {1}{n}}\,\nabla n=-RT\,\nabla (\ln(n/n^{\text{eq}}))}$
2. القوة الكهروستاتيكية الناتجة عن تدرج الجهد الكهربائي: .${\displaystyle q\,\nabla \varphi }$

هنا R هو ثابت الغاز، T هي درجة الحرارة المطلقة، n هو التركيز، يتم الإشارة إلى تركيز التوازن بواسطة "eq" العلوي، q هي الشحنة و φ هو الجهد الكهربائي.

الفرق البسيط ولكن الحاسم بين صيغة تيوريل وقوانين أونساجر هو عامل التركيز في صيغة تيوريل للتدفق. في نهج أينشتاين-تيوريل، إذا كان التركيز بالنسبة للقوة المحدودة يميل إلى الصفر فإن التدفق يميل أيضًا إلى الصفر، في حين أن معادلات أونساجر تنتهك هذه القاعدة البسيطة والواضحة فيزيائيًا.

الصيغة العامة لصيغة تيوريل للأنظمة غير المثالية في ظل الظروف المتساوية الحرارة هي ^[12]

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})),}$

حيث μ هي الإمكانات الكيميائية ، وμ ₀ هي القيمة القياسية للإمكانات الكيميائية. والتعبير هو ما يسمى بالنشاط . وهو يقيس "التركيز الفعال" لنوع ما في خليط غير مثالي. وفي هذا التدوين، فإن صيغة تيوريل للتدفق لها شكل بسيط للغاية ^[12]${\displaystyle a=\exp \left({\frac {\mu -\mu _{0}}{RT}}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {J} ={\mathfrak {m}}a(-\nabla \mu +({\text{external force per mole}})).}$

يتضمن الاشتقاق القياسي للنشاط عامل تطبيع وللتركيزات الصغيرة ، حيث هو التركيز القياسي. لذلك، تصف هذه الصيغة للتدفق تدفق الكمية غير البعدية الطبيعية : ${\displaystyle a=n/n^{\ominus }+o(n/n^{\ominus })}$${\displaystyle n^{\ominus }}$${\displaystyle n/n^{\ominus }}$

${\displaystyle {\frac {\partial (n/n^{\ominus })}{\partial t}}=\nabla \cdot [{\mathfrak {m}}a(\nabla \mu -({\text{external force per mole}}))].}$

يتجاهل نموذج أينشتاين القصور الذاتي للجزئي المنتشر. تبدأ معادلة لانجفين البديلة بقانون نيوتن الثاني للحركة: ^[17]

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}+F(t)}$

أين

• x هو الموضع.
• μ هي حركة الجسيم في السائل أو الغاز، والتي يمكن حسابها باستخدام علاقة أينشتاين (نظرية الحركة) .
• م هي كتلة الجسيم.
• F هي القوة العشوائية المطبقة على الجسيم.
• لقد حان الوقت.

وبحل هذه المعادلة، حصلنا على ثابت الانتشار المعتمد على الزمن في حد زمني طويل وعندما يكون الجسيم أكثر كثافة بشكل ملحوظ من السائل المحيط، ^[17]

${\displaystyle D(t)=\mu \,k_{\rm {B}}T(1-e^{-t/(m\mu )})}$

أين

• kB هو ثابت بولتزمان _؛
• T هي درجة الحرارة المطلقة .
• μ هي حركة الجسيم في السائل أو الغاز، والتي يمكن حسابها باستخدام علاقة أينشتاين (نظرية الحركة) .
• م هي كتلة الجسيم.
• لقد حان الوقت.

في المقاييس الزمنية الطويلة، يتم استعادة نتيجة أينشتاين، ولكن في المقاييس الزمنية القصيرة، يتم أيضًا تفسير النظام الباليستي . علاوة على ذلك، على عكس نهج أينشتاين، يمكن تعريف السرعة، مما يؤدي إلى نظرية التقلب والتبديد ، التي تربط بين المنافسة بين الاحتكاك والقوى العشوائية في تحديد درجة الحرارة. ^{[17] : 3.2}

قد يلعب انتشار الكواشف على سطح المحفز دورًا مهمًا في التحفيز غير المتجانس. يعتمد نموذج الانتشار في الطبقة الأحادية المثالية على قفزات الكواشف على أقرب الأماكن الحرة. تم استخدام هذا النموذج لأكسدة CO على Pt تحت ضغط غاز منخفض .

يتضمن النظام عدة كواشف على السطح. تركيزاتها السطحية هي السطح عبارة عن شبكة من أماكن الامتزاز. كل جزيء من الكاشف يملأ مكانًا على السطح. بعض الأماكن حرة. تركيز الأماكن الحرة هو . مجموع الكل (بما في ذلك الأماكن الحرة) ثابت، كثافة أماكن الامتزاز ب . ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{m}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{m}.}$${\displaystyle z=c_{0}}$${\displaystyle c_{i}}$

يعطي نموذج القفزة تدفق الانتشار لـ ( i  = 1، ...،  n ): ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-D_{i}[z\,\nabla c_{i}-c_{i}\nabla z]\,.}$

معادلة الانتشار المقابلة هي: ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=-\operatorname {div} \mathbf {J} _{i}=D_{i}[z\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta z]\,.}$

بسبب قانون الحفاظ، لدينا نظام معادلات الانتشار m . بالنسبة لمكون واحد نحصل على قانون فيك والمعادلات الخطية لأن . بالنسبة لمكونين أو أكثر تكون المعادلات غير خطية. ${\displaystyle z=b-\sum _{i=1}^{n}c_{i}\,,}$${\displaystyle (b-c)\,\nabla c-c\,\nabla (b-c)=b\,\nabla c}$

إذا كان بإمكان جميع الجسيمات تبادل مواقعها مع أقرب جيرانها، فإن التعميم البسيط يعطي

${\displaystyle \mathbf {J} _{i}=-\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\nabla c_{i}-c_{i}\,\nabla c_{j}]}$

${\displaystyle {\frac {\partial c_{i}}{\partial t}}=\sum _{j}D_{ij}[c_{j}\,\Delta c_{i}-c_{i}\,\Delta c_{j}]}$

حيث هي مصفوفة متماثلة من المعاملات التي تميز شدة القفزات. يجب اعتبار الأماكن الخالية (الشواغر) بمثابة "جسيمات" خاصة ذات تركيز . ${\displaystyle D_{ij}=D_{ji}\geq 0}$${\displaystyle c_{0}}$

تعتبر الإصدارات المختلفة من نماذج القفز هذه مناسبة أيضًا لآليات الانتشار البسيطة في المواد الصلبة.

بالنسبة للانتشار في الوسائط المسامية، المعادلات الأساسية هي (إذا كان Φ ثابتًا): ^[18]

${\displaystyle \mathbf {J} =-\phi D\,\nabla n^{m}}$

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\,,}$

حيث D هو معامل الانتشار، Φ هي المسامية، n هو التركيز، m  > 0 (عادةً m  > 1، الحالة m  = 1 تتوافق مع قانون فيك).

يجب توخي الحذر عند حساب مسامية (Φ) الوسط المسامي بشكل صحيح في كل من مصطلحات التدفق ومصطلحات التراكم. ^[19] على سبيل المثال، عندما تذهب المسامية إلى الصفر، فإن التدفق المولي في الوسط المسامي يذهب إلى الصفر لتدرج تركيز معين. عند تطبيق تباعد التدفق، يتم إلغاء مصطلحات المسامية ويتم تشكيل المعادلة الثانية أعلاه.

بالنسبة لانتشار الغازات في الوسائط المسامية، فإن هذه المعادلة هي صياغة رسمية لقانون دارسي : التدفق الحجمي للغاز في الوسائط المسامية هو

${\displaystyle q=-{\frac {k}{\mu }}\,\nabla p}$

حيث k هي نفاذية الوسط، μ هي اللزوجة و p هو الضغط.

يتم إعطاء التدفق المولي الحملي على النحو التالي

ج  =  ن ق

ويعطي قانون دارسي معادلة الانتشار في الأوساط المسامية حيث m  =  γ  + 1. ${\displaystyle p\sim n^{\gamma }}$

في الوسائط المسامية، ترتبط السرعة الخطية المتوسطة (ν) بالتدفق الحجمي على النحو التالي:

${\displaystyle \upsilon =q/\phi }$

الجمع بين التدفق المولي الحملي والتدفق الانتشاري يعطي معادلة التشتت الحملي

${\displaystyle {\frac {\partial n}{\partial t}}=D\,\Delta n^{m}\ -\nu \cdot \nabla n^{m},}$

بالنسبة لتسرب المياه الجوفية، يعطي تقريب بوسينسك نفس المعادلة مع  م  = 2.

بالنسبة للبلازما ذات المستوى العالي من الإشعاع، فإن معادلة زيلدوفيتش -رايزر تعطي m  > 4 لنقل الحرارة.

معامل الانتشار هو المعامل في قانون فيك الأول ، حيث J هو تدفق الانتشار ( كمية المادة ) لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية، n (للمخاليط المثالية) هو التركيز، x هو الموضع [الطول]. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x}$

لنفترض وجود غازين لهما جزيئات بنفس القطر d والكتلة m ( انتشار ذاتي ). في هذه الحالة، تعطي نظرية المسار الحر المتوسط ​​الأولية للانتشار معامل الانتشار

${\displaystyle D={\frac {1}{3}}\ell v_{T}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}m}}}{\frac {T^{3/2}}{Pd^{2}}}\,,}$

حيث k _B هو ثابت بولتزمان ، و T هي درجة الحرارة ، و P هو الضغط ، و متوسط ​​المسار الحر ، و v _T هي السرعة الحرارية المتوسطة: ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\rm {B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}P}}\,,\;\;\;v_{T}={\sqrt {\frac {8k_{\rm {B}}T}{\pi m}}}\,.}$

يمكننا أن نرى أن معامل الانتشار في تقريب المسار الحر المتوسط ​​ينمو مع T مثل T ^3/2 وينخفض ​​مع P مثل 1/ P. إذا استخدمنا لـ P قانون الغاز المثالي P  =  RnT مع التركيز الكلي n ، فيمكننا أن نرى أنه بالنسبة للتركيز المعطى n ينمو معامل الانتشار مع T مثل T ^1/2 وبالنسبة لدرجة الحرارة المعينة فإنه ينخفض ​​مع التركيز الكلي مثل 1/ n .

بالنسبة لغازين مختلفين، A وB، مع كتل جزيئية m _A و m _B وأقطار جزيئية d _A و d _B ، فإن متوسط ​​تقدير المسار الحر لمعامل انتشار A في B وB في A هو:

${\displaystyle D_{\rm {AB}}={\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {k_{\rm {B}}^{3}}{\pi ^{3}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2m_{\rm {A}}}}+{\frac {1}{2m_{\rm {B}}}}}}{\frac {4T^{3/2}}{P(d_{\rm {A}}+d_{\rm {B}})^{2}}}\,,}$

في حركية بولتزمان لخليط الغازات، لكل غاز دالة توزيع خاصة به، حيث t هي لحظة الزمن، وx هو الموضع و c هي سرعة جزيء المكون i من الخليط. كل مكون له سرعته المتوسطة . إذا لم تتطابق السرعات ، فهناك انتشار . ${\displaystyle f_{i}(x,c,t)}$${\textstyle C_{i}(x,t)={\frac {1}{n_{i}}}\int _{c}cf(x,c,t)\,dc}$${\displaystyle C_{i}(x,t)}$

في تقريب تشابمان-إنسكوج ، يتم التعبير عن جميع وظائف التوزيع من خلال كثافات الكميات المحفوظة: ^[10]

• تركيزات فردية من الجسيمات، (جسيمات لكل حجم)،${\textstyle n_{i}(x,t)=\int _{c}f_{i}(x,c,t)\,dc}$
• كثافة الزخم ( m _i هي كتلة الجسيم i )،${\textstyle \sum _{i}m_{i}n_{i}C_{i}(x,t)}$
• كثافة الطاقة الحركية$${\displaystyle \sum _{i}\left(n_{i}{\frac {m_{i}C_{i}^{2}(x,t)}{2}}+\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc\right).}$$

يتم تعريف درجة الحرارة الحركية T والضغط P في الفضاء ثلاثي الأبعاد على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T={\frac {1}{n}}\int _{c}{\frac {m_{i}(c_{i}-C_{i}(x,t))^{2}}{2}}f_{i}(x,c,t)\,dc;\quad P=k_{\rm {B}}nT,}$

أين الكثافة الكلية؟ ${\textstyle n=\sum _{i}n_{i}}$

بالنسبة لغازين، فإن الفرق بين السرعتين، يعطى بالمعادلة التالية: ^[10]${\displaystyle C_{1}-C_{2}}$

${\displaystyle C_{1}-C_{2}=-{\frac {n^{2}}{n_{1}n_{2}}}D_{12}\left\{\nabla \left({\frac {n_{1}}{n}}\right)+{\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{Pn(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P-{\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})+k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T\right\},}$

حيث هي القوة المطبقة على جزيئات المكون i و هي نسبة الانتشار الحراري. ${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle k_{T}}$

المعامل D ₁₂ موجب. هذا هو معامل الانتشار. تصف أربعة مصطلحات في صيغة C ₁ − C ₂ أربعة تأثيرات رئيسية في انتشار الغازات:

1. ${\displaystyle \nabla \,\left({\frac {n_{1}}{n}}\right)}$يصف تدفق المكون الأول من المناطق ذات النسبة العالية n ₁ / n إلى المناطق ذات القيم المنخفضة لهذه النسبة (وبالمثل، تدفق المكون الثاني من n ₂ / n العالية إلى n ₂ / n المنخفضة لأن n ₂ / n  = 1 –  n ₁ / n )؛
2. ${\displaystyle {\frac {n_{1}n_{2}(m_{2}-m_{1})}{n(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}\nabla P}$يصف تدفق الجزيئات الثقيلة إلى المناطق ذات الضغط العالي والجزيئات الأخف إلى المناطق ذات الضغط المنخفض، وهذا هو الانتشار البارودي.
3. ${\displaystyle {\frac {m_{1}n_{1}m_{2}n_{2}}{P(m_{1}n_{1}+m_{2}n_{2})}}(F_{1}-F_{2})}$يصف الانتشار الناتج عن اختلاف القوى المطبقة على جزيئات من أنواع مختلفة. على سبيل المثال، في مجال الجاذبية الأرضية، يجب أن تهبط الجزيئات الأثقل، أو في المجال الكهربائي يجب أن تتحرك الجزيئات المشحونة، حتى لا يتوازن هذا التأثير بمجموع المصطلحات الأخرى. لا ينبغي الخلط بين هذا التأثير والانتشار الضغطي الناتج عن تدرج الضغط.
4. ${\displaystyle k_{T}{\frac {1}{T}}\nabla T}$يصف الانتشار الحراري ، وهو تدفق الانتشار الناتج عن التدرج في درجة الحرارة.

تُسمى كل هذه التأثيرات بالانتشار لأنها تصف الاختلافات بين سرعات المكونات المختلفة في الخليط. لذلك، لا يمكن وصف هذه التأثيرات بأنها نقل عام وتختلف عن الحمل الحراري أو الحمل الحراري.

في التقريب الأول، ^[10]

• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{2n(d_{1}+d_{2})^{2}}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}}$$للكرات الصلبة؛
• $${\displaystyle D_{12}={\frac {3}{8nA_{1}({\nu })\Gamma (3-{\frac {2}{\nu -1}})}}\left[{\frac {kT(m_{1}+m_{2})}{2\pi m_{1}m_{2}}}\right]^{1/2}\left({\frac {2kT}{\kappa _{12}}}\right)^{\frac {2}{\nu -1}}}$$لقوة الطرد${\displaystyle \kappa _{12}r^{-\nu }.}$

يتم تعريف العدد بواسطة التربيعات (الصيغ (3.7)، (3.9)، الفصل 10 من كتاب تشابمان وكاولينج الكلاسيكي ^[10] ) ${\displaystyle A_{1}({\nu })}$

يمكننا أن نرى أن الاعتماد على T للكرات الصلبة هو نفسه بالنسبة لنظرية المسار الحر المتوسط ​​البسيط ولكن بالنسبة لقوانين تنافر القوة فإن الأس مختلف. الاعتماد على التركيز الكلي n لدرجة حرارة معينة له دائمًا نفس الخاصية، 1/ n .

في التطبيقات الخاصة بديناميكيات الغازات، يجب دمج تدفق الانتشار والتدفق الكلي في نظام واحد من معادلات النقل. يصف التدفق الكلي انتقال الكتلة. سرعته V هي متوسط ​​سرعة الكتلة. يتم تحديده من خلال كثافة الزخم وتركيزات الكتلة:

${\displaystyle V={\frac {\sum _{i}\rho _{i}C_{i}}{\rho }}\,.}$

حيث هو تركيز الكتلة للنوع i ، هو كثافة الكتلة. ${\displaystyle \rho _{i}=m_{i}n_{i}}$${\textstyle \rho =\sum _{i}\rho _{i}}$

حسب التعريف، تكون سرعة انتشار المكون i هي . يتم وصف انتقال الكتلة للمكون i بواسطة معادلة الاستمرارية${\displaystyle v_{i}=C_{i}-V}$${\textstyle \sum _{i}\rho _{i}v_{i}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho _{i}}{\partial t}}+\nabla (\rho _{i}V)+\nabla (\rho _{i}v_{i})=W_{i}\,,}$

أين هو معدل الإنتاج الصافي للكتلة في التفاعلات الكيميائية، . ${\displaystyle W_{i}}$${\textstyle \sum _{i}W_{i}=0}$

في هذه المعادلات، يصف المصطلح الحمل الحراري للمكون i ويمثل المصطلح انتشار هذا المكون. ${\displaystyle \nabla (\rho _{i}V)}$${\displaystyle \nabla (\rho _{i}v_{i})}$

في عام 1948، اقترح ويندل إتش فوري استخدام شكل معدلات الانتشار الموجودة في النظرية الحركية كإطار للنهج الظاهراتي الجديد للانتشار في الغازات. وقد تم تطوير هذا النهج بشكل أكبر من قبل FA Williams وSH Lam. ^[20] بالنسبة لسرعات الانتشار في الغازات متعددة المكونات ( N مكونات) استخدموا

${\displaystyle v_{i}=-\left(\sum _{j=1}^{N}D_{ij}\mathbf {d} _{j}+D_{i}^{(T)}\,\nabla (\ln T)\right)\,;}$

${\displaystyle \mathbf {d} _{j}=\nabla X_{j}+(X_{j}-Y_{j})\,\nabla (\ln P)+\mathbf {g} _{j}\,;}$

${\displaystyle \mathbf {g} _{j}={\frac {\rho }{P}}\left(Y_{j}\sum _{k=1}^{N}Y_{k}(f_{k}-f_{j})\right)\,.}$

هنا، هي مصفوفة معامل الانتشار، هي معامل الانتشار الحراري، هي قوة الجسم لكل وحدة كتلة تؤثر على النوع i ، هي جزء الضغط الجزئي للنوع i (و هو الضغط الجزئي)، هي جزء الكتلة للنوع i ، و${\displaystyle D_{ij}}$${\displaystyle D_{i}^{(T)}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle X_{i}=P_{i}/P}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Y_{i}=\rho _{i}/\rho }$${\textstyle \sum _{i}X_{i}=\sum _{i}Y_{i}=1.}$

عندما لا تكون كثافة الإلكترونات في المواد الصلبة في حالة توازن، يحدث انتشار الإلكترونات. على سبيل المثال، عندما يتم تطبيق تحيز على طرفي قطعة من أشباه الموصلات، أو يضيء ضوء على أحد الطرفين (انظر الشكل الأيمن)، تنتشر الإلكترونات من مناطق الكثافة العالية (الوسط) إلى مناطق الكثافة المنخفضة (طرفين)، مما يشكل تدرجًا في كثافة الإلكترونات. تولد هذه العملية تيارًا، يشار إليه باسم تيار الانتشار .

يمكن أيضًا وصف تيار الانتشار بواسطة قانون فيك الأول

${\displaystyle J=-D\,\partial n/\partial x\,,}$

حيث J هي كثافة تيار الانتشار ( كمية المادة ) لكل وحدة مساحة لكل وحدة زمنية، n (للمخاليط المثالية) هي كثافة الإلكترون، x هو الموضع [الطول].

كانت النماذج التحليلية والعددية التي تحل معادلة الانتشار لظروف أولية وحدودية مختلفة شائعة لدراسة مجموعة واسعة من التغييرات التي تطرأ على سطح الأرض. وقد استُخدم الانتشار على نطاق واسع في دراسات تآكل تراجع المنحدرات، وتآكل المنحدرات، وتدهور المنحدرات الصدعية، وتراجع تراسات/خط الشاطئ بسبب الموجات، وشق القناة الرسوبية، وتراجع الجرف الساحلي، وتطور الدلتا. ^[21] وعلى الرغم من أن سطح الأرض لا ينتشر حرفيًا في العديد من هذه الحالات، فإن عملية الانتشار تحاكي بشكل فعال التغييرات الشاملة التي تحدث على مدى عقود إلى آلاف السنين. يمكن أيضًا استخدام نماذج الانتشار لحل مشكلات القيمة الحدودية العكسية حيث تُعرف بعض المعلومات حول البيئة الترسيبية من إعادة بناء البيئة القديمة وتُستخدم معادلة الانتشار لمعرفة تدفق الرواسب والسلسلة الزمنية لتغيرات شكل الأرض. ^[22]

يعمل غسيل الكلى على مبادئ انتشار المواد المذابة والترشيح الفائق للسوائل عبر غشاء شبه نافذ . الانتشار هو خاصية للمواد في الماء؛ تميل المواد الموجودة في الماء إلى التحرك من منطقة ذات تركيز عالٍ إلى منطقة ذات تركيز منخفض. ^[23] يتدفق الدم من جانب واحد من الغشاء شبه المنفذ، ويتدفق سائل غسيل الكلى، أو سائل غسيل الكلى الخاص، من الجانب الآخر. الغشاء شبه المنفذ هو طبقة رقيقة من المواد تحتوي على ثقوب بأحجام مختلفة، أو مسام. تمر المواد المذابة والسوائل الأصغر حجمًا عبر الغشاء، لكن الغشاء يمنع مرور المواد الأكبر حجمًا (على سبيل المثال، خلايا الدم الحمراء والبروتينات الكبيرة). هذا يكرر عملية الترشيح التي تحدث في الكلى عندما يدخل الدم إلى الكلى ويتم فصل المواد الأكبر حجمًا عن المواد الأصغر حجمًا في الكبيبة . ^[23]

إن أحد المفاهيم الخاطئة الشائعة هو أن الذرات أو الأيونات أو الجزيئات الفردية تتحرك بشكل عشوائي، وهذا ليس صحيحاً. ففي الرسوم المتحركة على اليمين، يبدو أن الأيون في اللوحة اليسرى يتحرك "عشوائياً" في غياب أيونات أخرى. ولكن كما يظهر في اللوحة اليمنى، فإن هذه الحركة ليست عشوائية بل هي نتيجة "تصادمات" مع أيونات أخرى. وعلى هذا فإن حركة ذرة أو أيون أو جزيء واحد داخل خليط تبدو عشوائية فقط عند النظر إليها بمعزل عن غيرها. إن حركة المادة داخل خليط عن طريق "السير العشوائي" تحكمها الطاقة الحركية داخل النظام والتي يمكن أن تتأثر بالتغيرات في التركيز أو الضغط أو درجة الحرارة. (هذا وصف كلاسيكي. ففي المقاييس الأصغر، تكون التأثيرات الكمومية غير قابلة للإهمال بشكل عام. وعلى هذا فإن دراسة حركة ذرة واحدة تصبح أكثر دقة لأن الجسيمات في مثل هذه المقاييس الصغيرة توصف بسعات الاحتمالات بدلاً من المقاييس الحتمية للموضع والسرعة).

في حين يمكن ملاحظة الحركة البراونية للجسيمات المتوسطة الحجم متعددة الجزيئات (مثل حبوب اللقاح التي درسها براون) تحت المجهر الضوئي، لا يمكن فحص الانتشار الجزيئي إلا في ظل ظروف تجريبية خاضعة لرقابة دقيقة. ومنذ تجارب جراهام، أصبح من المعروف جيدًا أن تجنب الحمل الحراري ضروري وقد تكون هذه مهمة غير تافهة.

في الظروف العادية، تهيمن عملية الانتشار الجزيئي فقط على الأطوال في نطاق النانومتر إلى الملليمتر. وعلى مقاييس الطول الأكبر، يكون النقل في السوائل والغازات عادةً بسبب ظاهرة نقل أخرى ، وهي الحمل الحراري . ولفصل الانتشار في هذه الحالات، هناك حاجة إلى جهود خاصة.

وعلى النقيض من ذلك، فإن التوصيل الحراري عبر الوسائط الصلبة هو حدث يومي (على سبيل المثال، ملعقة معدنية مغمورة جزئيًا في سائل ساخن). وهذا يفسر سبب تفسير انتشار الحرارة رياضيًا قبل انتشار الكتلة.

• الانتشار المتباين الخواص ، المعروف أيضًا باسم معادلة بيرونا-مالك، يعزز التدرجات العالية
• الانتشار الذري في المواد الصلبة
• انتشار بوم ، انتشار البلازما عبر المجالات المغناطيسية
• انتشار الدوامة ، في وصف الحبيبات الخشنة للتدفق المضطرب
• خروج الغاز من خلال ثقوب صغيرة
• الانتشار الإلكتروني مما ينتج عنه تيار كهربائي يسمى تيار الانتشار
• الانتشار الميسر ، موجود في بعض الكائنات الحية
• الانتشار الغازي ، يستخدم لفصل النظائر
• معادلة الحرارة ، انتشار الطاقة الحرارية
• انتشار إيتو ، رياضيات الحركة البراونية، عملية عشوائية مستمرة.
• انتشار الغاز بطريقة كنودسن في المسام الطويلة مع تصادمات متكررة بالجدران
• رحلة ليفي
• الانتشار الجزيئي ، انتشار الجزيئات من المناطق الأكثر كثافة إلى المناطق الأقل كثافة
• انتشار الزخم على سبيل المثال انتشار مجال السرعة الهيدروديناميكية
• انتشار الفوتون
• انتشار البلازما
• المشي العشوائي ، ^[24] نموذج للانتشار
• الانتشار العكسي ، ضد تدرج التركيز، في فصل الطور
• الانتشار الدوراني ، إعادة التوجيه العشوائي للجزيئات
• انتشار الدوران ، انتشار العزوم المغناطيسية الدورانية في المواد الصلبة
• انتشار السطح ، انتشار الجسيمات على السطح
• التاكسي هو نشاط حركة اتجاهية يقوم به الحيوان استجابة لمحفز
  • الحركة هي نشاط حركي غير اتجاهي يقوم به الحيوان استجابة لمحفز
• الانتشار عبر الثقافات ، انتشار السمات الثقافية عبر المنطقة الجغرافية
• الانتشار المضطرب ، نقل الكتلة أو الحرارة أو الزخم داخل سائل مضطرب