معادلة الاستمرارية

معادلة الاستمرارية أو معادلة النقل هي معادلة تصف انتقال كمية ما. وهي بسيطة وفعالة بشكل خاص عند تطبيقها على كمية محفوظة ، ولكن يمكن تعميمها لتشمل أي كمية شاملة . وبما أن الكتلة والطاقة والزخم والشحنة الكهربائية وغيرها من الكميات الطبيعية محفوظة في ظل شروطها المناسبة، فإنه يمكن وصف مجموعة متنوعة من الظواهر الفيزيائية باستخدام معادلات الاستمرارية.

معادلات الاستمرارية هي شكلٌ أقوى وأكثر محليةً لقوانين حفظ الطاقة . فعلى سبيل المثال، ينصّ قانون حفظ الطاقة، بصيغته المخففة ، على أن الطاقة لا تُستحدث ولا تُفنى، أي أن إجمالي كمية الطاقة في الكون ثابت. ولا ينفي هذا القانون إمكانية اختفاء كمية من الطاقة من نقطة ما وظهورها في الوقت نفسه في نقطة أخرى. أما الصيغة الأقوى فهي أن الطاقة محفوظة محليًا : فلا يمكن استحداثها ولا إفناؤها، ولا يمكنها الانتقال الفوري من مكان إلى آخر، بل تتحرك فقط بتدفق مستمر. ومعادلة الاستمرارية هي الطريقة الرياضية للتعبير عن هذا النوع من العبارات. فعلى سبيل المثال، تنصّ معادلة الاستمرارية للشحنة الكهربائية على أن كمية الشحنة الكهربائية في أي حيز لا تتغير إلا بمقدار التيار الكهربائي المتدفق إلى ذلك الحيز أو منه عبر حدوده.

بشكل عام، يمكن أن تتضمن معادلات الاستمرارية مصطلحي "مصدر" و"مستقبل"، مما يسمح لها بوصف الكميات التي غالبًا ما تكون محفوظة، ولكن ليس دائمًا، مثل كثافة نوع جزيئي يمكن إنشاؤه أو تدميره بواسطة التفاعلات الكيميائية. في مثال من الحياة اليومية، توجد معادلة استمرارية لعدد الأشخاص الأحياء؛ تحتوي على "مصطلح مصدر" لحساب المواليد، و"مصطلح مستقبل" لحساب الوفيات.

يمكن التعبير عن أي معادلة استمرارية في "شكل تكاملي" (من حيث تكامل التدفق )، والذي ينطبق على أي منطقة محدودة، أو في "شكل تفاضلي" (من حيث عامل التباعد ) والذي ينطبق عند نقطة ما.

معادلات الاستمرارية هي أساس معادلات النقل الأكثر تحديدًا مثل معادلة الحمل الحراري والانتشار ، ومعادلة بولتزمان للنقل ، ومعادلات نافيير-ستوكس .

يمكن تصور التدفقات التي تحكمها معادلات الاستمرارية باستخدام مخطط سانكي .

المعادلة العامة

تعريف التدفق

تُعدّ معادلة الاستمرارية مفيدةً عند إمكانية تعريف التدفق . ولتعريف التدفق، يجب أولاً وجود كمية $q$ قابلة للتدفق أو الحركة، مثل الكتلة ، أو الطاقة ، أو الشحنة الكهربائية ، أو الزخم ، أو عدد الجزيئات، وما إلى ذلك. ولنفترض أن $ρ$ هي الكثافة الحجمية لهذه الكمية، أي مقدار $q$ لكل وحدة حجم.

يُوصَف تدفق هذه الكمية $q$ بتدفقها. تدفق $q$ هو حقل متجهي ، نرمز له بـ j . فيما يلي بعض الأمثلة وخصائص التدفق:

يُعرَّف التدفق بأنه "كمية المادة $q$ المتدفقة في وحدة الزمن، عبر وحدة المساحة". على سبيل المثال، في معادلة استمرارية الكتلة للماء المتدفق، إذا كان 1 غرام من الماء يتدفق في الثانية عبر أنبوب مساحة مقطعه العرضي 1 ^سم² ، فإن متوسط تدفق الكتلة $j$ داخل الأنبوب يساوي (1 غ/ث) / سم² ^، ويكون اتجاهه على طول الأنبوب في اتجاه تدفق الماء. أما خارج الأنبوب، حيث لا يوجد ماء، فيكون التدفق صفرًا.
إذا كان هناك حقل سرعة $u$ يصف التدفق ذي الصلة - بمعنى آخر، إذا كانت كل الكمية $q$ عند نقطة $x$ تتحرك بسرعة $u (x)$ - فإن التدفق يساوي بحكم التعريف الكثافة مضروبة في حقل السرعة:

\mathbf {j} =\rho \mathbf {u}

على سبيل المثال، إذا كانت u

في معادلة استمرارية الكتلة للمياه المتدفقة هي سرعة الماء عند كل نقطة، و

ρ

هي كثافة الماء عند كل نقطة، فإن

j

سيكون تدفق الكتلة، والمعروف أيضًا باسم تصريف المادة .

في مثال معروف، يكون تدفق الشحنة الكهربائية هو كثافة التيار الكهربائي .

إذا كان هناك سطح وهمي $S$ ، فإن التكامل السطحي للتدفق على $S$ يساوي مقدار $q$ الذي يمر عبر السطح $S$ لكل وحدة زمنية:

$({\text{معدل تدفق }}q{\text{ عبر السطح الوهمي }}S)=\iint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S}$

في أي

{\textstyle \iint _{S}d\mathbf {S} }

هو تكامل سطحي .

(لاحظ أن المفهوم الذي يُطلق عليه هنا اسم "التدفق" يُطلق عليه أيضًا اسم كثافة التدفق في بعض المراجع، وفي هذا السياق يشير "التدفق" إلى التكامل السطحي لكثافة التدفق. انظر المقالة الرئيسية حول التدفق لمزيد من التفاصيل.)

الشكل التكاملي

تنص الصيغة التكاملية لمعادلة الاستمرارية على ما يلي:

تزداد كمية $q$ في منطقة ما عندما تتدفق كمية إضافية من $q$ إلى الداخل عبر سطح المنطقة، وتقل عندما تتدفق إلى الخارج؛
تزداد كمية $q$ في منطقة ما عندما يتم إنشاء $q$ جديد داخل المنطقة، وتنخفض عندما يتم تدمير $q ؛$
وبصرف النظر عن هاتين العمليتين، لا توجد طريقة أخرى لتغيير كمية $q$ في منطقة ما.

رياضياً، الصيغة التكاملية لمعادلة الاستمرارية التي تعبر عن معدل زيادة $q$ داخل حجم $V$ هي:

${\frac {\partial q}{\partial t}}+\oint _{S}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {S} =\Sigma$

في الصيغة التكاملية لمعادلة الاستمرارية، يُمثل $S$ أي سطح مغلق يُحيط تمامًا بحجم $V$ ، مثل أي من الأسطح على اليسار. لا يمكن أن يكون $S$ سطحًا ذا حدود، مثل تلك الموجودة على اليمين. (الأسطح باللون الأزرق، والحدود باللون الأحمر).

أين

$S$ هو أي سطح مغلق وهمي ، يحيط بحجم $V$ ،
$\oint _{S}d\mathbf {S}$ يشير إلى التكامل السطحي على ذلك السطح المغلق،
$يمثل q$ إجمالي كمية المادة في الحجم $V$ ،
$يمثل j$ تدفق $q$ ،
$لقد$ حان الوقت،
$يمثل Σ$ المعدل الصافي لتوليد $q$ داخل الحجم $V$ لكل وحدة زمنية. عندما يتم توليد $q (أي عندما$ ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}>0$ تُسمى هذه المنطقة مصدرًا لـ $q$ ، وهي تجعل $Σ$ أكثر إيجابية. عندما يتم تدمير $q (أي عندما$ ${\tfrac {\partial q}{\partial t}}<0$ تُسمى هذه المنطقة بمستودع q ، وهي تجعل $Σ$ أكثر سلبية. يُكتب المصطلح $Σ أحيانًا على النحو التالي$ $:$ $dq/dt|_{\text{gen}}$ أو التغير الكلي لـ $q$ من توليده أو تدميره داخل حجم التحكم.

في مثال بسيط، يمكن أن يُمثل $V$ مبنى، و $q$ عدد الأشخاص الأحياء فيه. يتكون السطح $S$ من الجدران والأبواب والسقف والأساسات. تنص معادلة الاستمرارية على أن عدد الأشخاص الأحياء في المبنى: (1) يزداد عند دخولهم إليه (أي عند وجود تدفق داخلي عبر السطح)، (2) ينقص عند خروجهم منه (أي عند وجود تدفق خارجي عبر السطح)، (3) يزداد عند ولادة شخص جديد (أي عند وجود معدل تغير زمني موجب داخل الحجم)، و(4) ينقص عند وفاة شخص (أي عند وجود معدل تغير زمني سالب داخل الحجم). وختامًا، في هذا المثال، توجد أربع طرق مختلفة لتغير المعدل الصافي Σ $.$

الصيغة التفاضلية

وبحسب نظرية التباعد ، يمكن أيضًا كتابة معادلة الاستمرارية العامة في "صيغة تفاضلية":

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =\sigma$

أين

$\nabla\cdot$ هو التباعد ،
$ρ$ هي كثافة الكمية $q$ (أي الكمية $q$ لكل وحدة حجم)،
$يمثل j$ تدفق $q$ (أي j = ρ v ، حيث v هو حقل المتجهات الذي يصف حركة الكمية $q$ ).
$لقد$ حان الوقت،
$يمثل σ$ معدل توليد $q$ لكل وحدة حجم لكل وحدة زمنية.وتُسمى $الحدود التي تولد q$ (أي $σ > 0$ ) أو تزيل $q$ (أي $σ < 0 )$ بالمصادر والمصارف على التوالي.

يمكن استخدام هذه المعادلة العامة لاستنتاج أي معادلة استمرارية، بدءًا من معادلة استمرارية الحجم البسيطة وصولًا إلى معادلات نافيير-ستوكس المعقدة . كما تُعمم هذه المعادلة معادلة الحمل . وتتشابه معادلات أخرى في الفيزياء، مثل قانون جاوس للمجال الكهربائي وقانون جاوس للجاذبية ، في شكلها الرياضي مع معادلة الاستمرارية، ولكنها لا تُسمى عادةً بمصطلح "معادلة الاستمرارية"، لأن $j$ في تلك الحالات لا يُمثل تدفق كمية فيزيائية حقيقية.

في حالة كون $q$ كمية محفوظة لا يمكن إنشاؤها أو تدميرها (مثل الطاقة )، فإن $σ = 0$ وتصبح المعادلات كالتالي: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

الكهرومغناطيسية

في نظرية الكهرومغناطيسية ، تُعدّ معادلة الاستمرارية قانونًا تجريبيًا يُعبّر عن حفظ الشحنة (المحلية) . رياضيًا، هي نتيجة تلقائية لمعادلات ماكسويل ، على الرغم من أن حفظ الشحنة أكثر جوهرية من معادلات ماكسويل. تنص هذه المعادلة على أن تباعد كثافة التيار J $($ بالأمبير لكل متر مربع) يساوي معدل التغير السالب لكثافة الشحنة $ρ$ ( بالكولوم لكل متر مكعب). $\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}$

التوافق مع معادلات ماكسويل

تنص إحدى معادلات ماكسويل ، وهي قانون أمبير (مع تصحيح ماكسويل) ، على أن $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}.$

بأخذ تباعد كلا الطرفين (التباعد والمشتقة الجزئية في زمن الانتقال) ينتج عنه $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {H} )=\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}},$ لكن تباعد اللفة يساوي صفرًا، لذلك $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial (\nabla \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}=0.$

لكن قانون جاوس (معادلة أخرى من معادلات ماكسويل) ينص على أن $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho ,$ والتي يمكن استبدالها في المعادلة السابقة للحصول على معادلة الاستمرارية $\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.$

التيار الكهربائي هو حركة الشحنة. تنص معادلة الاستمرارية على أنه إذا كانت الشحنة تتحرك خارج حجم تفاضلي (أي أن تباعد كثافة التيار موجب)، فإن كمية الشحنة داخل ذلك الحجم ستنخفض، وبالتالي فإن معدل تغير كثافة الشحنة يكون سالبًا. لذلك، فإن معادلة الاستمرارية تُعادل قانون حفظ الشحنة.

إذا كانت الأقطاب المغناطيسية الأحادية موجودة، فسيكون هناك معادلة استمرارية لتيارات الأقطاب الأحادية أيضًا، انظر مقالة الأقطاب الأحادية للحصول على معلومات أساسية وازدواجية بين التيارات الكهربائية والمغناطيسية.

ديناميكا الموائع

في ديناميكا الموائع ، تنص معادلة الاستمرارية على أن معدل دخول الكتلة إلى النظام يساوي معدل خروجها منه مضافًا إليه تراكم الكتلة داخله. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} الصيغة التفاضلية لمعادلة الاستمرارية هي: ^{[ 1 ]} ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$ أين

$ρ$ هي كثافة السائل ،
$لقد$ حان الوقت،
يمثل $u$ حقل متجه سرعة التدفق .

يمكن فهم المشتق الزمني على أنه تراكم (أو فقدان) الكتلة في النظام، بينما يمثل حد التباعد الفرق بين التدفق الداخل والتدفق الخارج. في هذا السياق، تُعد هذه المعادلة أيضًا إحدى معادلات أويلر (ديناميكا الموائع) . تشكل معادلات نافيير-ستوكس معادلة استمرارية متجهة تصف حفظ الزخم الخطي .

إذا كان السائل غير قابل للانضغاط (معدل الإجهاد الحجمي يساوي صفرًا)، فإن معادلة استمرارية الكتلة تتبسط إلى معادلة استمرارية الحجم: ^{[ 3 ]} $\nabla \cdot \mathbf {u} =0,$ وهذا يعني أن تباعد حقل السرعة يساوي صفرًا في كل مكان. فيزيائيًا، يُعادل هذا القول أن معدل تمدد الحجم المحلي يساوي صفرًا، وبالتالي فإن تدفق الماء عبر أنبوب متقارب سيتكيف فقط عن طريق زيادة سرعته لأن الماء غير قابل للانضغاط إلى حد كبير.

رؤية الحاسوب

في مجال رؤية الحاسوب ، يُعرف التدفق البصري بأنه نمط الحركة الظاهرية للأجسام في مشهد مرئي. وبافتراض أن سطوع الجسم المتحرك لم يتغير بين إطارين متتاليين للصورة، يمكن اشتقاق معادلة التدفق البصري على النحو التالي: ${\frac {\partial I}{\partial x}}V_{x}+{\frac {\partial I}{\partial y}}V_{y}+{\frac {\partial I}{\partial t}}=\nabla I\cdot \mathbf {V} +{\frac {\partial I}{\partial t}}=0$ أين

$لقد$ حان الوقت،
$إحداثيات x و y$ في الصورة،
$I$ هي شدة الصورة عند إحداثيات الصورة $(x, y)$ والزمن $t$ ،
$V$ هو متجه سرعة التدفق البصري $(V_{x},V_{y})$ عند إحداثيات الصورة $(س ، ص)$ والزمن $t$

الطاقة والحرارة

ينص قانون حفظ الطاقة على أن الطاقة لا تُستحدث ولا تُفنى. (انظر أدناه للاطلاع على الفروق الدقيقة المرتبطة بالنظرية النسبية العامة). لذلك، توجد معادلة استمرارية لتدفق الطاقة: ${\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {q} =0$ أين

$u$ ، كثافة الطاقة المحلية(الطاقة لكل وحدة حجم)،
$q$ ، تدفق الطاقة (نقل الطاقة لكل وحدة مساحة مقطع عرضي لكل وحدة زمنية) كمتجه،

من الأمثلة العملية المهمة تدفق الحرارة . فعندما تتدفق الحرارة داخل جسم صلب، يمكن دمج معادلة الاستمرارية مع قانون فورييه (حيث يتناسب تدفق الحرارة طرديًا مع تدرج درجة الحرارة) للوصول إلى معادلة الحرارة . وقد تتضمن معادلة تدفق الحرارة أيضًا حدودًا للمصدر: فعلى الرغم من أن الطاقة لا تُستحدث ولا تُفنى، إلا أنه يمكن توليد الحرارة من أنواع أخرى من الطاقة، على سبيل المثال عن طريق الاحتكاك أو التسخين الجولي .

التوزيعات الاحتمالية

إذا كانت هناك كمية تتحرك باستمرار وفقًا لعملية عشوائية، مثل موقع جزيء مذاب يتحرك حركة براونية ، فإن هناك معادلة استمرارية لتوزيع احتمالية حركته . التدفق في هذه الحالة هو احتمال مرور الجسيم عبر سطح ما لكل وحدة مساحة في وحدة الزمن. ووفقًا لمعادلة الاستمرارية، فإن التباعد السالب لهذا التدفق يساوي معدل تغير كثافة الاحتمال . تعكس معادلة الاستمرارية حقيقة أن الجزيء موجود دائمًا في مكان ما - فتكامل توزيع احتمالية حركته يساوي دائمًا 1 - وأنه يتحرك حركة مستمرة (بدون انتقال آني ).

ميكانيكا الكم

تُعدّ ميكانيكا الكم مجالاً آخر توجد فيه معادلة استمرارية تتعلق بحفظ الاحتمالية . تتطلب المصطلحات الواردة في هذه المعادلة التعريفات التالية، وهي أقل وضوحاً من الأمثلة الأخرى المذكورة أعلاه، لذا نوردها هنا:

الدالة الموجية $Ψ$ لجسيم واحد في فضاء الموضع (بدلاً من فضاء الزخم )، أي دالة للموضع $r$ والزمن $t$ ، $Ψ = Ψ(r, t)$ .
دالة كثافة الاحتمال هي $\rho (\mathbf {r} ,t)=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=|\Psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}.$
يُرمز إلى احتمال وجود الجسيم داخل $V$ عند $t$ ويُعرّف بواسطة $P=P_{\mathbf {r} \in V}(t)=\int _{V}\Psi ^{*}\Psi dV=\int _{V}|\Psi |^{2}dV.$
تيار الاحتمال (تدفق الاحتمال) هو $\mathbf {j} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right].$

بناءً على هذه التعريفات، تصبح معادلة الاستمرارية كما يلي: $\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0\mathrel {\rightleftharpoons } \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0.$

يمكن استخدام أي من الصيغتين. وبشكل بديهي، تشير الكميات المذكورة أعلاه إلى أن هذا يمثل تدفق الاحتمالية. إن فرصة وجود الجسيم في موضع ما $r$ وزمن $ما t$ تتدفق كسائل ؛ ومن هنا جاء مصطلح تيار الاحتمالية ، وهو حقل متجهي . ولا يتدفق الجسيم نفسه بشكل حتمي في هذا الحقل المتجهي .

التوافق مع معادلة شرودنغر

معادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن ومرافقها المركب ( $i \to - i$ في جميع أنحاء) هي على التوالي: ^{[ 4 ]} $\begin{aligned}-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi + U\Psi &=i\hbar{\frac{\partial\Psi}{\partialt}},\\-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi^*+ U\Psi^*&=-i\hbar{\frac{\partial\Psi^*}{\partialt}},\\\end{aligned}}}$ حيث $U$ هي دالة الجهد . المشتقة الجزئية لـ $ρ$ بالنسبة إلى $t$ هي: ${\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\left(\Psi ^{*}\Psi \right)=\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}.$

بضرب معادلة شرودنغر في $Ψ*$ ثم حلها لإيجاد $Ψ* ⁠ \partialΨ / \partial t ⁠$ ، وبالمثل بضرب معادلة شرودنغر المركبة المترافقة في $Ψ$ ثم حلها لإيجاد $Ψ ⁠ \partialΨ* / \partial t ⁠$ ؛ ${\begin{aligned}\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right],\\\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right],\\\end{aligned}}$

بالتعويض في المشتقة الزمنية لـ $ρ$ : ${\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]-{\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}+U\Psi \Psi ^{*}\right]\\&={\frac {1}{i\hbar }}\left[-{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +U\Psi ^{*}\Psi \right]+{\frac {1}{i\hbar }}\left[+{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}-U\Psi ^{*}\Psi \right]\\[2pt]&=-{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi ^{*}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +{\frac {1}{i\hbar }}{\frac {\hbar ^{2}\Psi }{2m}}\nabla ^{2}\Psi ^{*}\\[2pt]&={\frac {\hbar }{2im}}\left[\Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}-\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi \right]\\\end{aligned}}$

تشير معاملات لابلاس ( $\nabla2 ) في النتيجة$ $أعلاه$ إلى أن الجانب الأيمن هو تباعد $j$ ، ويشير الترتيب المعكوس للحدود إلى أن هذا هو معكوس $j$ ، بشكل عام: ${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {j} &=\nabla \cdot \left[{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\left(\nabla \Psi \right)-\Psi \left(\nabla \Psi ^{*}\right)\right)\right]\\&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)-\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)\right]\\&=-{\frac {\hbar }{2mi}}\left[\Psi \left(\nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)-\Psi ^{*}\left(\nabla ^{2}\Psi \right)\right]\\\end{aligned}}$ إذن، معادلة الاستمرارية هي: ${\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {j} \\[3pt]{}\Rightarrow {}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\\\end{aligned}}$

ويتبع الشكل التكاملي نفس الصيغة المتبعة في المعادلة العامة.

أشباه الموصلات

يتكون التدفق الكلي للتيار في أشباه الموصلات من تيار الانجراف وتيار الانتشار لكل من الإلكترونات في نطاق التوصيل والفجوات في نطاق التكافؤ.

الشكل العام للإلكترونات في بُعد واحد: ${\frac {\partial n}{\partial t}}=n\mu _{n}{\frac {\partial E}{\partial x}}+\mu _{n}E{\frac {\partial n}{\partial x}}+D_{n}{\frac {\partial ^{2}n}{\partial x^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$ أين:

n هو التركيز الموضعي للإلكترونات
$\mu _{n}$ حركة الإلكترون
يمثل E المجال الكهربائي عبر منطقة الاستنزاف
D _n هو معامل انتشار الإلكترونات
G _n هو معدل توليد الإلكترونات
R _n هو معدل إعادة تركيب الإلكترونات

وبالمثل، بالنسبة للثقوب: ${\frac {\partial p}{\partial t}}=-p\mu _{p}{\frac {\partial E}{\partial x}}-\mu _{p}E{\frac {\partial p}{\partial x}}+D_{p}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+(G_{p}-R_{p})$ أين:

يمثل p التركيز الموضعي للثقوب
$\mu _{p}$ هل حركة الثقوب
يمثل E المجال الكهربائي عبر منطقة الاستنزاف
D _p هو معامل الانتشار للثقوب
G _p هو معدل توليد الثقوب
R _p هو معدل إعادة تركيب الثقوب

الاشتقاق

يقدم هذا القسم اشتقاقًا للمعادلة المذكورة أعلاه للإلكترونات. ويمكن إيجاد اشتقاق مماثل للمعادلة الخاصة بالفجوات.

لنفترض أن عدد الإلكترونات محفوظ عبر حجم من مادة شبه موصلة ذات مساحة مقطع عرضي A وطول dx على طول المحور x . بتعبير أدق، يمكن القول: ${\text{Rate of change of electron density}}=({\text{Electron flux in}}-{\text{Electron flux out}})+{\text{Net generation inside a volume}}$

رياضياً، يمكن كتابة هذه المساواة على النحو التالي: ${\begin{aligned}{\frac {dn}{dt}}A\,dx&=\left[J(x+dx)-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\&=\left[J(x)+{\frac {dJ}{dx}}dx-J(x)\right]{\frac {A}{e}}+(G_{n}-R_{n})A\,dx\\[1.2ex]{\frac {dn}{dt}}&={\frac {1}{e}}{\frac {dJ}{dx}}+(G_{n}-R_{n})\end{aligned}}$ يرمز J هنا إلى كثافة التيار (التي يكون اتجاهها معاكساً لاتجاه تدفق الإلكترونات وفقاً للعرف) الناتج عن تدفق الإلكترونات داخل الحجم المدروس لأشباه الموصلات. ويُطلق عليها أيضاً كثافة تيار الإلكترونات.

إن كثافة التيار الإلكتروني الكلية هي مجموع كثافتي تيار الانجراف وتيار الانتشار: $J_{n}=en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}$

لذلك، لدينا ${\frac {dn}{dt}}={\frac {1}{e}}{\frac {d}{dx}}\left(en\mu _{n}E+eD_{n}{\frac {dn}{dx}}\right)+(G_{n}-R_{n})$

يؤدي تطبيق قاعدة الضرب إلى التعبير النهائي التالي: ${\frac {dn}{dt}}=\mu _{n}E{\frac {dn}{dx}}+\mu _{n}n{\frac {dE}{dx}}+D_{n}{\frac {d^{2}n}{dx^{2}}}+(G_{n}-R_{n})$

حل

يكمن مفتاح حل هذه المعادلات في الأجهزة الحقيقية في اختيار المناطق التي تكون فيها معظم الآليات ضئيلة كلما أمكن ذلك، بحيث تتحول المعادلات إلى شكل أبسط بكثير.

النسخة النسبية

النسبية الخاصة

توفر الرموز والأدوات الخاصة بالنسبية الخاصة ، وخاصة المتجهات الرباعية والتدرجات الرباعية ، طريقة ملائمة لكتابة أي معادلة استمرارية.

يمكن دمج كثافة الكمية $ρ$ وتيارها $j$ في متجه رباعي يسمى التيار الرباعي : $J=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$ حيث $c$ هي سرعة الضوء . تباعد هذا التيار هو: $\partial _{\mu }J^{\mu }=c{\frac {\partial \rho }{\partial ct}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$ حيث $\partialμ$ هو التدرج الرباعي و $μ$ هو مؤشر يُحدد بُعد الزمكان . عندئذٍ تكون معادلة الاستمرارية كما يلي $:$ $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ في الحالة المعتادة حيث لا توجد مصادر أو مصارف، أي بالنسبة للكميات المحفوظة تمامًا مثل الطاقة أو الشحنة. معادلة الاستمرارية هذه ثابتة لورنتز بشكل واضح .

من أمثلة معادلات الاستمرارية التي تُكتب غالبًا بهذا الشكل: حفظ الشحنة الكهربائية $\partial _{\mu }J^{\mu }=0$ حيث $J$ هو التيار الكهربائي 4 ؛ وحفظ الطاقة والزخم $\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0$ حيث $T$ هو موتر الإجهاد والطاقة .

النسبية العامة

في النسبية العامة ، حيث يكون الزمكان منحنيًا، فإن معادلة الاستمرارية (في شكل تفاضلي) للطاقة أو الشحنة أو الكميات المحفوظة الأخرى تتضمن التباعد المتغير بدلاً من التباعد العادي.

على سبيل المثال، يُعدّ موتر الإجهاد والطاقة حقلاً موترياً من الرتبة الثانية يحتوي على كثافات الطاقة والزخم، وتدفقات الطاقة والزخم، وإجهادات القص، لتوزيع الكتلة والطاقة. وينص الشكل التفاضلي لحفظ الطاقة والزخم في النسبية العامة على أن التباعد المتغير لموتر الإجهاد والطاقة يساوي صفرًا. ${\displaystyle {T^{\mu }}_{\nu$

هذا قيد مهم على شكل معادلات أينشتاين للمجال في النسبية العامة . ^{[ 5 ]}

ومع ذلك، فإن التباعد العادي لموتر الإجهاد والطاقة لا يختفي بالضرورة: ^[⁶^] $\partial _{\mu }T^{\mu \nu }=-\Gamma _{\mu \lambda }^{\mu }T^{\lambda \nu }-\Gamma _{\mu \lambda }^{\nu }T^{\mu \lambda },$

يختفي الجانب الأيمن تماماً في حالة الهندسة المسطحة فقط.

ونتيجة لذلك، يصعب تحديد الصيغة التكاملية لمعادلة الاستمرارية، وهي ليست بالضرورة صالحة لمنطقة يكون فيها الزمكان منحنيًا بشكل كبير (مثلًا حول ثقب أسود، أو عبر الكون بأكمله). ^{[ 7 ]}

فيزياء الجسيمات

تمتلك الكواركات والغلوونات شحنة لونية ، والتي يتم الحفاظ عليها دائمًا مثل الشحنة الكهربائية، وهناك معادلة استمرارية لتيارات الشحنة اللونية هذه (يتم إعطاء تعبيرات صريحة للتيارات عند موتر قوة مجال الغلوون ).

توجد العديد من الكميات الأخرى في فيزياء الجسيمات التي غالبًا ما تكون محفوظة أو دائمًا: عدد الباريونات (يتناسب مع عدد الكواركات مطروحًا منه عدد الكواركات المضادة)، وعدد الإلكترونات، وعدد الميون، وعدد تاو ، والدوران النظائري ، وغيرها. ^{[ 8 ]} لكل منها معادلة استمرارية مقابلة، قد تتضمن حدود المصدر/المصب.

نظرية نوثر

أحد أسباب شيوع معادلات الحفظ في الفيزياء هو نظرية نوثر . تنص هذه النظرية على أنه كلما كانت قوانين الفيزياء تتمتع بتناظر مستمر ، توجد معادلة استمرارية لبعض الكميات الفيزيائية المحفوظة. ومن أشهر الأمثلة على ذلك:

قوانين الفيزياء ثابتة بغض النظر عن تغير الزمن ، فمثلاً، قوانين الفيزياء اليوم هي نفسها التي كانت عليها بالأمس. هذا التناظر يؤدي إلى معادلة الاستمرارية لحفظ الطاقة .
قوانين الفيزياء ثابتة فيما يتعلق بالانتقال المكاني - على سبيل المثال، لا يخضع الصاروخ في الفضاء الخارجي لقوى أو إمكانيات مختلفة إذا تم إزاحته في أي اتجاه معين (مثل x، y، z)، مما يؤدي إلى حفظ المكونات الثلاثة للزخم .
قوانين الفيزياء ثابتة بغض النظر عن الاتجاه؛ فعلى سبيل المثال، عند الطفو في الفضاء الخارجي، لا يمكن تحديد اتجاه الجسم بدقة؛ إذ تبقى قوانين الفيزياء ثابتة بغض النظر عن اتجاه الجسم. هذا التناظر يؤدي إلى معادلة استمرارية حفظ الزخم الزاوي .

انظر أيضاً

مراجع

1 2 بيدلوسكي، جوزيف (1987). ديناميكا الموائع الجيوفيزيائية . سبرينغر . ص 10-13 . ISBN 978-0-387-96387-7.
↑ كلانسي، إل جيه (1975)، الديناميكا الهوائية ، القسم 3.3، دار بيتمان للنشر المحدودة، لندن
↑ فيلدينغ، سوزان. "أساسيات ديناميكا الموائع" (ملف PDF) . جامعة دورهام . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2019 .
↑ للاطلاع على هذا الاشتقاق، انظر على سبيل المثال: McMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN 0-07-145546-9.
↑ د. مكماهون (2006). تبسيط النسبية . ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية). رقم ISBN 0-07-145545-0.
↑ سي دبليو ميسنر؛ كيه إس ثورن؛ جيه إيه ويلر (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.
↑ مايكل وايس؛ جون بايز. "هل الطاقة محفوظة في النسبية العامة؟" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-04-2014 .
↑ سي دبليو ميسنر؛ كيه إس ثورن؛ جيه إيه ويلر (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. الصفحات 558-559 . ISBN 0-7167-0344-0.

للمزيد من القراءة

لامب، هـ. (2006) [1932]. الديناميكا المائية ( الطبعة السادسة). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-45868-9.
غريفيث، دي جيه (1999). مقدمة في الديناميكا الكهربائية ( الطبعة الثالثة). بيرسون للتعليم. رقم ISBN 81-7758-293-3.
جرانت، آي إس؛ فيليبس، دبليو آر (2008). الكهرومغناطيسية . سلسلة مانشستر للفيزياء ( الطبعة الثانية). رقم ISBN 978-0-471-92712-9.
ويلر، جيه إيه؛ ميسنر، سي؛ ثورن، كيه إس (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.

[Pedlosky-1] 1 2 بيدلوسكي، جوزيف (1987). ديناميكا الموائع الجيوفيزيائية . سبرينغر . ص 10-13 . ISBN 978-0-387-96387-7.

[2] كلانسي، إل جيه (1975)، الديناميكا الهوائية ، القسم 3.3، دار بيتمان للنشر المحدودة، لندن

[Fielding-3] فيلدينغ، سوزان. "أساسيات ديناميكا الموائع" (ملف PDF) . جامعة دورهام . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 ديسمبر 2019 .

[4] للاطلاع على هذا الاشتقاق، انظر على سبيل المثال: McMahon, D. (2006). Quantum Mechanics Demystified . McGraw Hill. ISBN 0-07-145546-9.

[5] د. مكماهون (2006). تبسيط النسبية . ماكجرو هيل (الولايات المتحدة الأمريكية). رقم ISBN 0-07-145545-0.

[6] سي دبليو ميسنر؛ كيه إس ثورن؛ جيه إيه ويلر (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. رقم ISBN 0-7167-0344-0.

[7] مايكل وايس؛ جون بايز. "هل الطاقة محفوظة في النسبية العامة؟" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-04-2014 .

[8] سي دبليو ميسنر؛ كيه إس ثورن؛ جيه إيه ويلر (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. الصفحات 558-559 . ISBN 0-7167-0344-0.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗