احتمال

يتعلق الاحتمال بالأحداث والوصف العددي لمدى احتمالية وقوعها. احتمال وقوع حدث ما هو رقم بين 0 و1؛ فكلما زاد الاحتمال، زادت احتمالية وقوع الحدث. ^{[ ملاحظة 1 ] [ 1 ] [ 2 ]} غالبًا ما يُعبَّر عن هذا الرقم كنسبة مئوية (%)، تتراوح من 0% إلى 100%. مثال بسيط على ذلك هو رمي عملة معدنية متوازنة (غير متحيزة). بما أن العملة متوازنة، فإن النتيجتين ("الصورة" و"الكتابة") متساويتان في الاحتمال؛ فاحتمال "الصورة" هو نفسه احتمال "الكتابة". ولأنه لا توجد نتائج أخرى ممكنة، فإن احتمال "الصورة" أو "الكتابة" هو 1/2 (والذي يمكن كتابته أيضًا على أنه 0.5 أو 50%).

لقد تمّ صياغة هذه المفاهيم رياضياً بشكلٍ بديهي في نظرية الاحتمالات ، والتي تُستخدم على نطاق واسع في مجالات دراسية مثل الإحصاء ، والرياضيات ، والعلوم ، والتمويل ، والمقامرة ، والذكاء الاصطناعي ، والتعلم الآلي ، وعلوم الحاسوب ، ونظرية الألعاب ، والفلسفة ، وذلك، على سبيل المثال، لاستخلاص استنتاجات حول التكرار المتوقع للأحداث. كما تُستخدم نظرية الاحتمالات لوصف الآليات والانتظامات الكامنة وراء الأنظمة المعقدة . ^{[ 3 ]}

كلمة "الاحتمال " مشتقة من الكلمة اللاتينية " probabilitas " ، والتي تعني أيضاً " النزاهة "، وهي مقياس لسلطة الشاهد في قضية قانونية في أوروبا، وغالباً ما ترتبط بنبل الشاهد . وهذا يختلف إلى حد كبير عن المعنى الحديث للاحتمال ، الذي يُعدّ، على النقيض، مقياساً لقوة الأدلة التجريبية ، ويُستنتج من الاستدلال الاستقرائي والإحصائي . ^{[ 4 ]}

عند التعامل مع التجارب العشوائية - أي التجارب العشوائية والمحددة بدقة - في إطار نظري بحت (مثل رمي قطعة نقدية)، يمكن وصف الاحتمالات عدديًا بقسمة عدد النتائج المرغوبة على العدد الإجمالي لجميع النتائج. يُشار إلى هذا بالاحتمال النظري (على عكس الاحتمال التجريبي ، الذي يتعامل مع الاحتمالات في سياق التجارب الحقيقية). الاحتمال هو رقم بين 0 و1؛ كلما زاد الاحتمال، زادت احتمالية حدوث النتيجة المرغوبة. على سبيل المثال، رمي قطعة نقدية مرتين سيعطي نتائج "صورة-صورة"، و"صورة-كتابة"، و"كتابة-صورة"، و"كتابة-كتابة". احتمال الحصول على نتيجة "صورة-صورة" هو 1 من 4 نتائج، أو عدديًا 1/4، أو 0.25 أو 25%. احتمال الحصول على نتيجة صورة واحدة على الأقل هو 3 من 4، أو 0.75، وهذا الحدث أكثر احتمالًا. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالتطبيق العملي، هناك فئتان رئيسيتان متنافستان من تفسيرات الاحتمالات، ولكل منهما وجهة نظر مختلفة حول الطبيعة الأساسية للاحتمال:

• يُخصّص أتباع المذهب الموضوعي أرقامًا لوصف حالة موضوعية أو فيزيائية. يُعدّ الاحتمال التكراري أكثر أشكال الاحتمال الموضوعي شيوعًا ، إذ يُشير إلى أن احتمال وقوع حدث عشوائي يُعبّر عن التكرار النسبي لنتيجة تجربة ما عند تكرارها إلى ما لا نهاية. ويعتبر هذا التفسير الاحتمال هو التكرار النسبي للنتائج "على المدى البعيد". ^{[ 5 ]} ويُعدّ احتمال الميل تعديلًا لهذا المفهوم ، إذ يُفسّر الاحتمال على أنه ميل تجربة ما إلى إعطاء نتيجة معينة، حتى لو أُجريت مرة واحدة فقط.
• يُخصّص أصحاب المذهب الذاتي أرقامًا لكل احتمال ذاتي، أي كدرجة من درجات الاعتقاد . ^{[ 6 ]} وقد فُسِّرت درجة الاعتقاد على أنها "السعر الذي تشتري أو تبيع به رهانًا يُدرّ وحدة منفعة واحدة إذا كان E، وصفرًا إذا لم يكن E"، ^{[ 7 ]} مع أن هذا التفسير ليس محل إجماع عالمي. ^{[ 8 ]} يُعدّ الاحتمال البايزي أكثر أنواع الاحتمال الذاتي شيوعًا ، إذ يجمع بين خبرة الخبراء والبيانات التجريبية لإنتاج الاحتمالات. تُمثَّل خبرة الخبراء بتوزيع احتمالي مسبق (ذاتي) . تُدمج هذه البيانات في دالة احتمالية . ينتج عن حاصل ضرب التوزيع المسبق والاحتمالية، بعد تطبيعه، توزيع احتمالي لاحق يشمل جميع المعلومات المعروفة حتى الآن. ^{[ 9 ]} وفقًا لنظرية اتفاق أومان ، فإنّ العوامل البايزية التي تتشابه معتقداتها المسبقة ستنتهي بمعتقدات لاحقة متشابهة. مع ذلك، قد تؤدي التوزيعات المسبقة المختلفة بدرجة كافية إلى استنتاجات مختلفة، بغض النظر عن مقدار المعلومات التي تتشاركها العوامل. ^{[ 10 ]}

يُعدّ علم دراسة الاحتمالات تطورًا حديثًا في الرياضيات. تُظهر ألعاب القمار وجود اهتمام تاريخي بتقييم مفاهيم الاحتمالات كميًا، إلا أن الوصف الرياضي الدقيق لم يظهر إلا لاحقًا. ثمة أسباب لبطء تطور رياضيات الاحتمالات. فبينما شكّلت ألعاب الحظ حافزًا لدراسة الاحتمالات رياضيًا، لا تزال بعض القضايا الأساسية ^{[ ملاحظة 2 ] غامضة بسبب الخرافات. [ 11 ]}

بحسب ريتشارد جيفري ، "قبل منتصف القرن السابع عشر، كان مصطلح 'محتمل' (من اللاتينية probabilis ) يعني مقبولًا ، وكان يُستخدم بهذا المعنى، بشكلٍ قاطع، للإشارة إلى الرأي والفعل. وكان الفعل أو الرأي المحتمل هو ما قد يُقدم عليه أو يتبناه العقلاء في ظل الظروف." ^{[ 12 ]} ومع ذلك، في السياقات القانونية على وجه الخصوص، يمكن أن ينطبق مصطلح 'محتمل' أيضًا على القضايا التي توجد أدلة قوية تدعمها. ^{[ 13 ]}

أثبت العالم الإيطالي الموسوعي جيرولامو كاردانو، الذي عاش في القرن السادس عشر، فعالية تعريف الاحتمالات بأنها نسبة النتائج المواتية إلى النتائج غير المواتية (مما يعني أن احتمال وقوع حدث ما يُعطى بنسبة النتائج المواتية إلى إجمالي عدد النتائج الممكنة ^{[ 14 ]} ). وبغض النظر عن العمل التمهيدي لكاردانو، يعود تاريخ نظرية الاحتمالات إلى مراسلات بيير دي فيرما وبليز باسكال (1654). وقدّم كريستيان هويغنز (1657) أول معالجة علمية معروفة لهذا الموضوع. ^{[ 15 ]} وتناول كلٌ من كتاب جاكوب برنولي " فن التخمين " (الذي نُشر بعد وفاته عام 1713) وكتاب أبراهام دي موافر " نظرية الاحتمالات " (1718) هذا الموضوع كفرع من فروع الرياضيات. ^{[ 16 ]} انظر كتاب إيان هاكينج " ظهور الاحتمال" ^{[ 4 ]} وكتاب جيمس فرانكلين " علم التخمين" ^{[ 17 ]} للاطلاع على تاريخ التطور المبكر لمفهوم الاحتمال الرياضي نفسه.

يمكن تتبع نظرية الأخطاء إلى كتاب روجر كوتس "أوبرا ميسيلانيا" ( الذي نُشر بعد وفاته عام 1722)، ولكن أول من طبّق هذه النظرية على مناقشة أخطاء الملاحظة كان توماس سيمبسون في مذكرته التي أعدها عام 1755 (والتي طُبعت عام 1756). ^{[ 18 ]} وقد أرست الطبعة المُعاد طباعتها (عام 1757) من هذه المذكرة بديهيات مفادها أن الأخطاء الموجبة والسالبة متساوية الاحتمال، وأن حدودًا معينة قابلة للتحديد تُعرّف نطاق جميع الأخطاء. كما ناقش سيمبسون الأخطاء المتصلة ووصف منحنى الاحتمال.

يعود أصل أول قانونين مقترحين للخطأ إلى بيير سيمون لابلاس . نُشر القانون الأول عام ١٧٧٤، وينص على أن تكرار الخطأ يُمكن التعبير عنه كدالة أسية للقيمة العددية للخطأ ، بغض النظر عن الإشارة. أما القانون الثاني للخطأ، فقد اقترحه لابلاس عام ١٧٧٨، وينص على أن تكرار الخطأ هو دالة أسية لمربع الخطأ. ^{[ ١٩ ]} يُعرف القانون الثاني للخطأ بالتوزيع الطبيعي أو قانون غاوس. "من الصعب تاريخيًا أن يُنسب هذا القانون إلى غاوس، الذي على الرغم من نبوغه المعروف، ربما لم يكن قد توصل إلى هذا الاكتشاف قبل بلوغه عامين من عمره." ^{[ ١٩ ]} 

قدم دانيال برنولي (1778) مبدأ الحد الأقصى لمجموع احتمالات نظام الأخطاء المتزامنة.

قام أدريان ماري ليجندر (1805) بتطوير طريقة المربعات الصغرى ، وقدمها في كتابه " طرق جديدة لتحديد مدارات المذنبات " . ^{[ 20 ]} وبسبب جهله بمساهمة ليجندر، استنتج الكاتب الأيرلندي الأمريكي روبرت أدريان ، محرر مجلة "المحلل" (1808)، قانون سهولة الخطأ لأول مرة.

$${\displaystyle \phi (x)=ce^{-h^{2}x^{2}}}$$

أين${\displaystyle h}$وهو ثابت يعتمد على دقة الملاحظة، و${\displaystyle c}$هو عامل قياس يضمن أن المساحة تحت المنحنى تساوي 1. وقدّم برهانين، وكان الثاني مطابقًا تقريبًا لبرهان جون هيرشل (1850). قدّم غاوس أول برهان معروف في أوروبا (الثالث بعد برهان أدريان) عام 1809. وقدّم لابلاس (1810، 1812)، وغوس (1823)، وجيمس إيفوري (1825، 1826)، وهاغن (1837)، وفريدريش بيسل ( 1838)، وويليام إف. دونكين (1844، 1856)، ومورغان كروفتون (1870) براهين أخرى. ومن المساهمين الآخرين إليس (1844)، ودي مورغان (1864)، وغليشر (1872)، وجيوفاني سكياباريلي (1875). صيغة بيترز (1856) لـ r ، وهو الخطأ المحتمل لملاحظة واحدة، معروفة جيدًا.

في القرن التاسع عشر، شمل مؤلفو النظرية العامة لابلاس ، وسيلفستر لاكروا (1816)، وليترو (1833)، وأدولف كيتليه (1853)، وريتشارد ديديكيند (1860)، وهيلمرت (1872)، وهيرمان لوران (1873)، ولياغر، وديديون، وكارل بيرسون . وقد حسّن أوغسطس دي مورغان وجورج بول من عرض النظرية.

في عام 1906، قدّم أندريه ماركوف ^{[ 21 ]} مفهوم سلاسل ماركوف ، الذي لعب دورًا هامًا في نظرية العمليات العشوائية وتطبيقاتها. وقد طوّر أندريه كولموغوروف النظرية الحديثة للاحتمالات القائمة على نظرية القياس في عام 1931. ^{[ 22 ]}

من الناحية الهندسية، شمل المساهمون في مجلة "ذا إديوكيشنال تايمز" كلاً من ميلر، وكروفتون، وماكول، وولستنهولم، وواتسون، وأرتيماس مارتن . ^{[ 23 ]} انظر الهندسة التكاملية لمزيد من المعلومات.

كغيرها من النظريات ، تُعدّ نظرية الاحتمالات تمثيلاً لمفاهيمها بعبارات شكلية ، أي بعبارات يمكن النظر إليها بمعزل عن معناها. وتُعالج هذه العبارات الشكلية بقواعد الرياضيات والمنطق، ثم تُفسَّر النتائج أو تُترجم إلى مجال المسألة المطروحة. 

كانت هناك محاولتان ناجحتان على الأقل لصياغة الاحتمال بشكل رسمي، وهما صياغة كولموغوروف وصياغة كوكس . في صياغة كولموغوروف (انظر أيضًا فضاء الاحتمال )، تُفسَّر المجموعات على أنها أحداث ، والاحتمال على أنه مقياس على فئة من المجموعات. أما في نظرية كوكس ، فيُعتبر الاحتمال مفهومًا أساسيًا (أي لا يخضع لمزيد من التحليل)، وينصب التركيز على بناء تخصيص متسق لقيم الاحتمال للقضايا. في كلتا الحالتين، تبقى قوانين الاحتمال كما هي، باستثناء بعض التفاصيل التقنية.

هناك طرق أخرى لتحديد عدم اليقين، مثل نظرية دمبستر-شافر أو نظرية الاحتمالية ، لكنها تختلف بشكل أساسي ولا تتوافق مع قوانين الاحتمالات المفهومة عادةً.

تُطبَّق نظرية الاحتمالات في الحياة اليومية في تقييم المخاطر ونمذجتها . وتستخدم صناعة التأمين والأسواق علم الإكتوارية لتحديد الأسعار واتخاذ قرارات التداول. كما تُطبِّق الحكومات الأساليب الاحتمالية في التنظيم البيئي ، وتحليل الاستحقاقات، والتنظيم المالي .

من الأمثلة على استخدام نظرية الاحتمالات في تداول الأسهم تأثير الاحتمالية المتوقعة لأي صراع واسع النطاق في الشرق الأوسط على أسعار النفط، مما يُحدث آثارًا متتالية على الاقتصاد ككل. فتقييم أحد تجار السلع بأن الحرب أكثر ترجيحًا قد يؤدي إلى ارتفاع أو انخفاض أسعار تلك السلعة، ويُشير إلى رأي تجار آخرين. وبناءً على ذلك، فإن الاحتمالات لا تُقيّم بشكل مستقل ولا بالضرورة بشكل عقلاني. وقد ظهرت نظرية التمويل السلوكي لوصف تأثير هذا التفكير الجماعي على التسعير والسياسات والسلام والصراع. ^{[ 24 ]}

إضافةً إلى التقييم المالي، يُمكن استخدام الاحتمالات لتحليل الاتجاهات في علم الأحياء (مثل انتشار الأمراض) وعلم البيئة (مثل مربعات بونيت البيولوجية ). ^{[ 25 ]} وكما هو الحال في التمويل، يُمكن استخدام تقييم المخاطر كأداة إحصائية لحساب احتمالية وقوع أحداث غير مرغوب فيها، ويُمكن أن يُساعد في تطبيق بروتوكولات لتجنب مواجهة مثل هذه الظروف. تُستخدم الاحتمالات لتصميم ألعاب الحظ بحيث تتمكن الكازينوهات من تحقيق ربح مضمون، مع توفير دفعات للاعبين بشكل متكرر بما يكفي لتشجيعهم على مواصلة اللعب. ^{[ 26 ]}

يُعدّ مفهوم الموثوقية تطبيقًا هامًا آخر لنظرية الاحتمالات في الحياة اليومية . تستخدم العديد من المنتجات الاستهلاكية، مثل السيارات والإلكترونيات الاستهلاكية، نظرية الموثوقية في تصميم المنتجات لتقليل احتمالية الأعطال. وقد تؤثر احتمالية الأعطال على قرارات الشركة المصنعة بشأن ضمان المنتج . ^{[ 27 ]}

يُعد نموذج لغة التخزين المؤقت ونماذج اللغة الإحصائية الأخرى المستخدمة في معالجة اللغة الطبيعية أمثلة على تطبيقات نظرية الاحتمالات.

لنفترض تجربة يمكن أن تُنتج عددًا من النتائج. تُسمى مجموعة جميع النتائج الممكنة فضاء العينة للتجربة، ويُشار إليها أحيانًا بـ$أوميغا$تُشكَّل مجموعة القوى لفضاء العينة من خلال النظر في جميع مجموعات النتائج الممكنة. على سبيل المثال، يمكن أن ينتج عن رمي النرد ست نتائج محتملة. إحدى هذه المجموعات تُعطي عددًا فرديًا على النرد. بالتالي، فإن المجموعة الجزئية {1، 3، 5} هي عنصر من مجموعة القوى لفضاء عينة رمي النرد. تُسمى هذه المجموعات "أحداثًا". في هذه الحالة، {1، 3، 5} هو حدث سقوط النرد على عدد فردي. إذا وقعت النتائج الفعلية ضمن حدث معين، يُقال إن هذا الحدث قد وقع.

الاحتمال هو طريقة لتخصيص قيمة لكل حدث بين الصفر والواحد، مع اشتراط أن يُخصص للحدث المُكوّن من جميع النتائج المُمكنة (في مثالنا، الحدث {1، 2، 3، 4، 5، 6}) القيمة 1. ولكي يُعتبر الاحتمال مُتحققًا، يجب أن يُلبي تخصيص القيم الشرط التالي: بالنسبة لأي مجموعة من الأحداث المُتنافية (الأحداث التي ليس لها نتائج مُشتركة، مثل الأحداث {1، 6}، {3}، و{2، 4})، فإن احتمال وقوع حدث واحد على الأقل من هذه الأحداث يُعطى بمجموع احتمالات جميع الأحداث الفردية. ^{[ 28 ]}

احتمالية وقوع الحدث A تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle P(A)}$, ^{[ 29 ]}${\displaystyle p(A)}$، أو${\displaystyle {\text{Pr}}(A)}$[ ^{30 ] يمكن أن يمتد هذا التعريف الرياضي للاحتمال إلى فضاءات عينة لا نهائية} ، وحتى فضاءات عينة لا يمكن عدها، باستخدام مفهوم القياس.

إن عكس أو مكمل الحدث أ هو الحدث [ليس أ ] (أي حدث عدم وقوع أ )، ويرمز إليه غالبًا بـ${\displaystyle A',A^{c}}$،${\displaystyle {\overline {A}},A^{\complement },\neg A}$، أو${\displaystyle {\sim }A}$احتمالية وقوع الحدث A تُعطى بالمعادلة: P (not A ) = 1 − P ( A ) . ^{[ 31 ]} على سبيل المثال ، احتمال عدم الحصول على الرقم ستة عند رمي نرد سداسي الأوجه هو 1 – (احتمال الحصول على الرقم ستة) = 1 − 1/6 = 5/6 . لمزيد من التفاصيل ، انظر الحدث المُكمِّل .

إذا وقع حدثان A و B في تجربة واحدة، يُطلق على هذا اسم التقاطع أو الاحتمال المشترك لـ A و B ، ويُرمز له بـ${\displaystyle P(A\cap B).}$

فعاليات مستقلة

إذا كان الحدثان A و B مستقلين فإن الاحتمال المشترك هو ^{[ 29 ]}$${\displaystyle P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B).}$$ على سبيل المثال، إذا تم قلب عملتين معدنيتين، فإن احتمال ظهور صورة لكلتيهما هو${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.}$^{[ 32 ]}

ملخص الاحتمالات

ملخص الاحتمالات

حدث	احتمال
أ	${\displaystyle P(A)\in [0,1]}$
ليس أ	${\displaystyle P(A^{\complement })=1-P(A)\,}$
أ أو ب	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\P(A\cup B)&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{إذا كان A و B متنافيين}}\\\end{aligned}}}$
أ و ب	${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\P(A\cap B)&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{إذا كان A و B مستقلين}}\\\end{aligned}}}$
أ معطى ب	${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {P(B|A)P(A)}{P(B)}}\,}$

في كون حتمي قائم على مفاهيم نيوتن ، لن يكون هناك احتمال إذا عُرفت جميع الشروط ( شيطان لابلاس ) (لكن توجد حالات تتجاوز فيها حساسية الظروف الأولية قدرتنا على قياسها، أي معرفتها). في حالة عجلة الروليت ، إذا عُرفت قوة اليد ودورة تلك القوة، فسيكون الرقم الذي ستتوقف عنده الكرة مؤكدًا (مع أن هذا عمليًا لا ينطبق إلا على عجلة روليت لم تُسوَّى بدقة - كما كشف كتاب " كازينو نيوتن " لتوماس أ. باس ). يفترض هذا أيضًا معرفة القصور الذاتي والاحتكاك للعجلة، ووزن الكرة، ونعومتها، واستدارتها، وتغيرات سرعة اليد أثناء الدوران، وما إلى ذلك. لذا، قد يكون الوصف الاحتمالي أكثر فائدة من ميكانيكا نيوتن لتحليل نمط نتائج رميات عجلة الروليت المتكررة. يواجه الفيزيائيون الموقف نفسه في النظرية الحركية للغازات ، حيث يكون النظام، على الرغم من كونه حتميًا من حيث المبدأ ، معقدًا للغاية (حيث يكون عدد الجزيئات عادةً من رتبة مقدار ثابت أفوجادرو).6.02 × 10 ²³ ) أن الوصف الإحصائي لخصائصها هو الوحيد الممكن. ^{[ 35 ]}

تُعدّ نظرية الاحتمالات ضرورية لوصف الظواهر الكمومية. ^{[ 36 ]} كان من الاكتشافات الثورية في أوائل القرن العشرين في الفيزياء، الكشف عن الطبيعة العشوائية لجميع العمليات الفيزيائية التي تحدث على المقاييس دون الذرية، والتي تخضع لقوانين ميكانيكا الكم . تتطور دالة الموجة الموضوعية بشكل حتمي، ولكن وفقًا لتفسير كوبنهاغن ، فإنها تتعامل مع احتمالات الرصد، ويُفسَّر الناتج بانهيار دالة الموجة عند إجراء الرصد. مع ذلك، لم يلقَ التخلي عن الحتمية لصالح النفعية قبولًا عامًا. فقد صرّح ألبرت أينشتاين في رسالة شهيرة إلى ماكس بورن : "أنا مقتنع بأن الله لا يلعب النرد". ^{[ 37 ]} ومثل أينشتاين، اعتقد إرفين شرودنغر ، مكتشف دالة الموجة، أن ميكانيكا الكم هي تقريب إحصائي لواقع حتمي كامن . ^{[ 38 ]} في بعض التفسيرات الحديثة للميكانيكا الإحصائية للقياس، يتم استدعاء التفكك الكمي لتفسير ظهور النتائج التجريبية الاحتمالية الذاتية.

• الطوارئ
• التكافؤ الاحتمالي
• المنطق الضبابي
• الاستدلال (علم النفس)

• كالينبيرغ، أ. (2005) التناظرات الاحتمالية ومبادئ الثبات . سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك. 510 صفحة. ISBN  0-387-25115-4
• كالينبيرغ، أ. (2002) أسس الاحتمالات الحديثة، الطبعة الثانية. سلسلة سبرينغر في الإحصاء. 650 صفحة. ISBN  0-387-95313-2
• أولوفسون، بيتر (2005) الاحتمالات والإحصاء والعمليات العشوائية ، وايلي-إنترساينس. 504 صفحة، رقم ISBN 0-471-67969-0.

• المختبرات الافتراضية في الاحتمالات والإحصاء (جامعة ألاباما - هنتسفيل)
• فيزر، جيمس؛ داودن، برادلي (محرران). "الاحتمال والاستقراء" . موسوعة الإنترنت للفلسفة . ISSN 2161-0002 . OCLC 37741658 .  
• برنامج "الاحتمالات" على قناة بي بي سي
• كتاب إلكتروني عن الاحتمالات والإحصاء
• إدوين طومسون جاينز . نظرية الاحتمالات: منطق العلم . نسخة أولية: جامعة واشنطن، (1996). – فهرس HTML مع روابط لملفات PostScript و PDF (الفصول الثلاثة الأولى)
• شخصيات من تاريخ الاحتمالات والإحصاء (جامعة ساوثهامبتون)
• الاحتمالات والإحصاءات حول الاستخدامات الأولى للصفحات (جامعة ساوثهامبتون)
• أقدم استخدامات الرموز في الاحتمالات والإحصاء: حول أقدم استخدامات الرموز الرياضية المختلفة
• درسٌ تعليميٌّ حول الاحتمالات ونظرية بايز، مُعدٌّ لطلاب السنة الأولى في جامعة أكسفورد.
• مقدمة في الاحتمالات - كتاب إلكتروني مؤرشف بتاريخ 27 يوليو 2011 على موقع Wayback Machine ، من تأليف تشارلز جرينستيد ولوري سنيل. المصدر مؤرشف بتاريخ 25 مارس 2012 على موقع Wayback Machine ( رخصة جنو للوثائق الحرة ).
• (باللغتين الإنجليزية والإيطالية) برونو دي فينيتي ، Probabilità e induzione ، بولونيا، CLUEB، 1993. ISBN 88-8091-176-7(نسخة رقمية)
• محاضرة ريتشارد فاينمان عن الاحتمالات.