عملية عشوائية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 107 صور
الموسوعة الحرة
محاكاة حاسوبية لعملية حركة وينر أو براون على سطح كرة. تُعتبر عملية وينر على نطاق واسع العملية العشوائية الأكثر دراسةً وأهميةً في نظرية الاحتمالات. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]

في نظرية الاحتمالات والمجالات ذات الصلة، تُعرَّف العملية العشوائية (أو العملية الاحتمالية) بأنها مجموعة من المتغيرات العشوائية في فضاء احتمالي ، حيث يُفسَّر فهرس هذه المجموعة غالبًا على أنه الزمن . تُستخدم العمليات العشوائية على نطاق واسع كنماذج رياضية للأنظمة والظواهر التي تبدو متغيرة بشكل عشوائي . ومن الأمثلة على ذلك نمو تجمع بكتيري ، أو تذبذب التيار الكهربائي نتيجة للضوضاء الحرارية ، أو حركة جزيء غاز . [ 1 ] [ 4 ] [ 5 ] تُستخدم العمليات العشوائية في العديد من التخصصات، مثل علم الأحياء ، [ 6 ] والكيمياء ، [ 7 ] وعلم البيئة ، [ 8 ] وعلم الأعصاب ، [ 9 ] والفيزياء ، [ 10 ] ومعالجة الصور ، ومعالجة الإشارات ، [ 11 ] ونظرية التحكم ، [ 12 ] ونظرية المعلومات ، [ 13 ] وعلوم الحاسوب ، [ 14 ] والاتصالات . [ 15 ] علاوة على ذلك، حفّزت التغيرات العشوائية ظاهريًا في الأسواق المالية الاستخدام الواسع للعمليات العشوائية في مجال التمويل . [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

لطالما حفزت التطبيقات والظواهر الواقعية علماء الرياضيات على اقتراح عمليات عشوائية جديدة. ومن الأمثلة الكلاسيكية على ذلك عملية وينر (وتُسمى أيضًا عملية الحركة البراونية) [ أ ] وعملية بواسون . استخدم لويس باشيليه عملية وينر لنمذجة تغيرات الأسعار في بورصة باريس ، [ 21 ] بينما استخدم إيه كيه إرلانغ عملية بواسون لنمذجة عدد المكالمات الهاتفية التي تحدث خلال فترة زمنية محددة. [ 22 ] تُعتبر هاتان العمليتان أساسيتين في نظرية العمليات العشوائية، [ 1 ] [ 4 ] [ 23 ] وقد تم ابتكارهما بشكل متكرر ومستقل، قبل باشيليه وإرلانغ وبعدهما، في سياقات وبلدان مختلفة. [ 21 ] [ 24 ]

يُستخدم مصطلح "الدالة العشوائية" أيضًا للإشارة إلى عملية عشوائية أو شبه عشوائية، [ 25 ] [ 26 ] لأن العملية شبه العشوائية يُمكن تفسيرها أيضًا على أنها عنصر عشوائي في فضاء دالة . [ 27 ] [ 28 ] يُستخدم مصطلحا "العملية شبه العشوائية" و "العملية العشوائية" بشكل متبادل، غالبًا دون تحديد فضاء رياضي مُعين للمجموعة التي تُفهرس المتغيرات العشوائية. [ 27 ] [ 29 ] ولكن غالبًا ما يُستخدم هذان المصطلحان عندما تُفهرس المتغيرات العشوائية بالأعداد الصحيحة أو بفترة من خط الأعداد الحقيقية . [ 5 ] [ 29 ] إذا فُهرست المتغيرات العشوائية بالمستوى الديكارتي أو أي فضاء إقليدي ذي أبعاد أعلى ، فإن مجموعة المتغيرات العشوائية تُسمى عادةً " حقلًا عشوائيًا" . [ 5 ] [ 30 ] لا تكون قيم العملية شبه العشوائية دائمًا أعدادًا، بل يُمكن أن تكون متجهات أو كائنات رياضية أخرى. [ 5 ] [ 28 ]

استنادًا إلى خصائصها الرياضية، يمكن تصنيف العمليات العشوائية إلى فئات متنوعة، تشمل المسارات العشوائية [ 31 ] ، والمارتينجالات [ 32 ] ، وعمليات ماركوف [ 33 ] ، وعمليات ليفي [ 34 ] ، والعمليات الغاوسية [ 35 ] ، والحقول العشوائية [ 36 ] ، وعمليات التجديد ، والعمليات المتفرعة [ 37 ] . تستخدم دراسة العمليات العشوائية المعارف والتقنيات الرياضية من الاحتمالات ، والتفاضل والتكامل ، والجبر الخطي ، ونظرية المجموعات ، والطوبولوجيا [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] ، بالإضافة إلى فروع التحليل الرياضي مثل التحليل الحقيقي ، ونظرية القياس ، وتحليل فورييه ، والتحليل الوظيفي [ 41 ] [ 42 ] [ 43 ] . تُعتبر نظرية العمليات العشوائية إسهامًا هامًا في الرياضيات [ 44 ] ، ولا تزال موضوعًا بحثيًا نشطًا لأسباب نظرية وتطبيقية. [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]

مقدمة

يمكن تعريف العملية العشوائية بأنها مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بمجموعة رياضية معينة، ما يعني أن كل متغير عشوائي في العملية العشوائية يرتبط بشكل فريد بعنصر في تلك المجموعة. [ 4 ] [ 5 ] تُسمى المجموعة المستخدمة لفهرسة المتغيرات العشوائية بمجموعة الفهرسة . تاريخيًا، كانت مجموعة الفهرسة مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية ، مثل الأعداد الطبيعية ، مما أعطى مجموعة الفهرسة دلالة على الزمن. [ 1 ] يأخذ كل متغير عشوائي في المجموعة قيمًا من نفس الفضاء الرياضي المعروف باسم فضاء الحالة . يمكن أن يكون فضاء الحالة هذا، على سبيل المثال، الأعداد الصحيحة، أو خط الأعداد الحقيقية، أون{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. [ 1 ] [ 5 ] الزيادة هي مقدار التغير الذي يطرأ على العملية العشوائية بين قيمتين مؤشريتين، وغالبًا ما تُفسَّر على أنهما نقطتان زمنيتان. [ 48 ] [ 49 ] يمكن أن يكون للعملية العشوائية العديد من النتائج ، نظرًا لطبيعتها العشوائية، وتُسمى النتيجة الواحدة للعملية العشوائية، من بين أسماء أخرى، دالة العينة أو التحقق . [ 28 ] [ 50 ]

دالة عينة واحدة محاكاة بواسطة الكمبيوتر أو تحقيق ، من بين أمور أخرى، لعملية حركة وينر أو براون ثلاثية الأبعاد للوقت 0 ≤ t ≤ 2. مجموعة مؤشرات هذه العملية العشوائية هي الأعداد غير السالبة، بينما فضاء حالتها هو فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد.

التصنيفات

يمكن تصنيف العمليات العشوائية بطرق مختلفة، على سبيل المثال، من خلال فضاء حالاتها، أو مجموعة مؤشراتها، أو التبعية بين المتغيرات العشوائية. إحدى الطرق الشائعة للتصنيف هي تصنيفها بناءً على عدد عناصر مجموعة المؤشرات وفضاء الحالات. [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]

عند تفسير الزمن، إذا كانت مجموعة مؤشرات عملية عشوائية تحتوي على عدد محدود أو قابل للعد من العناصر، مثل مجموعة محدودة من الأعداد، أو مجموعة الأعداد الصحيحة، أو الأعداد الطبيعية، فإن العملية العشوائية تُسمى عملية زمنية منفصلة . [ 54 ] [ 55 ] أما إذا كانت مجموعة المؤشرات عبارة عن فترة من خط الأعداد الحقيقية، فإن الزمن يُسمى عملية زمنية متصلة . يُشار إلى نوعي العمليات العشوائية على التوالي بالعمليات العشوائية المنفصلة والعمليات العشوائية المتصلة . [ 48 ] [ 56 ] [ 57 ] تُعتبر العمليات العشوائية المنفصلة أسهل في الدراسة لأن العمليات المتصلة تتطلب تقنيات ومعارف رياضية أكثر تقدماً، خاصةً لأن مجموعة المؤشرات غير قابلة للعد. [ 58 ] [ 59 ] إذا كانت مجموعة المؤشرات هي الأعداد الصحيحة، أو مجموعة جزئية منها، فيمكن تسمية العملية العشوائية أيضاً بالمتتالية العشوائية . [ 55 ]

إذا كانت فضاءات الحالة هي الأعداد الصحيحة أو الأعداد الطبيعية، فإن العملية العشوائية تُسمى عملية عشوائية منفصلة أو عملية عشوائية ذات قيم صحيحة . أما إذا كانت فضاءات الحالة هي خط الأعداد الحقيقية، فإن العملية العشوائية تُسمى عملية عشوائية ذات قيم حقيقية أو عملية ذات فضاءات حالة متصلة .ن{\displaystyle n}إذا كان الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، فإن العملية العشوائية تسمىن{\displaystyle n}- عملية متجهة متعددة الأبعاد أون{\displaystyle n}- عملية متجهة . [ 51 ] [ 52 ]

أصل الكلمة

استُخدمت كلمة "stochastic" في اللغة الإنجليزية في الأصل كصفة بمعنى "متعلق بالتخمين"، وهي مشتقة من كلمة يونانية تعني "التصويب على هدف، التخمين"، ويذكر قاموس أكسفورد الإنجليزي أن أول ظهور لها كان عام 1662. [ 60 ] في كتابه عن الاحتمالات "Ars Conjectandi "، الذي نُشر باللاتينية عام 1713، استخدم جاكوب برنولي عبارة "Ars Conjectandi sive Stochastice"، والتي تُرجمت إلى "فن التخمين أو العشوائية". [ 61 ] وقد استخدم لاديسلاوس بورتكيفيتش هذه العبارة، بالإشارة إلى برنولي، [ 62 ] الذي كتب عام 1917 باللغة الألمانية كلمة "stochastik" بمعنى "عشوائي". ظهر مصطلح " العملية العشوائية" لأول مرة في اللغة الإنجليزية في ورقة بحثية لجوزيف دوب عام 1934 . [ 60 ] بالنسبة للمصطلح وتعريف رياضي محدد، استشهد دوب بورقة بحثية أخرى من عام 1934، حيث استخدم مصطلح stochastischer Prozeß باللغة الألمانية من قبل ألكسندر خينشين ، [ 63 ] [ 64 ] على الرغم من أن المصطلح الألماني قد تم استخدامه في وقت سابق، على سبيل المثال، من قبل أندريه كولموغوروف في عام 1931. [ 65 ]

بحسب قاموس أكسفورد الإنجليزي، يعود تاريخ استخدام كلمة " random" في اللغة الإنجليزية بمعناها الحالي، الذي يشير إلى الصدفة أو الحظ، إلى القرن السادس عشر، بينما بدأت الاستخدامات المسجلة السابقة في القرن الرابع عشر كاسم بمعنى "التهور، السرعة الكبيرة، القوة، أو العنف (في ركوب الخيل، الجري، الضرب، إلخ)". وتأتي الكلمة نفسها من كلمة فرنسية وسطى تعني "السرعة، التسرع"، وربما تكون مشتقة من فعل فرنسي يعني "الجري" أو "العدو". أما أول ظهور مكتوب لمصطلح " random process" فيسبق مصطلح "stochastic process" ، الذي يذكره قاموس أكسفورد الإنجليزي أيضًا كمرادف له، وقد استُخدم في مقال لفرانسيس إيدجوورث نُشر عام ١٨٨٨. [ ٦٦ ]

مصطلحات

يختلف تعريف العملية العشوائية، [ 67 ] ولكنها تُعرَّف تقليديًا بأنها مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بمجموعة معينة. [ 68 ] [ 69 ] يُعتبر مصطلحا " العملية العشوائية" و "العملية الاحتمالية" مترادفين ويُستخدمان بشكل متبادل، دون تحديد دقيق لمجموعة الفهارس. [ 27 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 70 ] [ 71 ] [ 72 ] يُستخدم كل من "المجموعة"، [ 28 ] [ 70 ] أو "العائلة" [ 4 ] [ 73 ] بينما يُستخدم أحيانًا مصطلحا "مجموعة المعلمات" [ 28 ] أو "فضاء المعلمات" [ 30 ] بدلًا من "مجموعة الفهارس" .

يُستخدم مصطلح "الدالة العشوائية" أيضًا للإشارة إلى عملية عشوائية أو احتمالية، [ 5 ] [ 74 ] [ 75 ] مع أنه يُستخدم أحيانًا فقط عندما تأخذ العملية الاحتمالية قيمًا حقيقية. [ 28 ] [ 73 ] كما يُستخدم هذا المصطلح عندما تكون مجموعات المؤشرات فضاءات رياضية غير خط الأعداد الحقيقية، [ 5 ] [ 76 ] بينما يُستخدم مصطلحا "العملية الاحتمالية" و "العملية العشوائية" عادةً عندما تُفسَّر مجموعة المؤشرات على أنها زمن، [ 5 ] [ 76 ] [ 77 ] وتُستخدم مصطلحات أخرى مثل " الحقل العشوائي" عندما تكون مجموعة المؤشراتن{\displaystyle n}فضاء إقليدي ذو أبعادRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}أو مشعب . [ 5 ] [ 28 ] [ 30 ]

الترميز

يمكن الإشارة إلى العملية العشوائية، من بين طرق أخرى، بواسطة{X(ت)}ت∈تي{\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}, [ 56 ]{Xت}ت∈تي{\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}, [ 69 ]{Xت}{\displaystyle \{X_{t}\}}[ 78 ]{X(ت)}{\displaystyle \{X(t)\}}أو ببساطة كـX{\displaystyle X}يكتب بعض المؤلفين خطأًX(ت){\displaystyle X(t)}على الرغم من أن ذلك يُعد إساءة استخدام لرموز الدوال . [ 79 ] على سبيل المثال،X(ت){\displaystyle X(t)}أوXت{\displaystyle X_{t}}تُستخدم للإشارة إلى المتغير العشوائي ذي المؤشرت{\displaystyle t}وليس العملية العشوائية بأكملها. [ 78 ] إذا كانت مجموعة المؤشراتتي=[0،∞){\displaystyle T=[0,\infty )}ثم يمكن للمرء أن يكتب، على سبيل المثال،(Xت،ت≥0){\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}للدلالة على العملية العشوائية. [ 29 ]

أمثلة

عملية برنولي

تُعد عملية برنولي واحدة من أبسط العمليات العشوائية ، [ 80 ] وهي عبارة عن سلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع (iid)، حيث يأخذ كل متغير عشوائي إما القيمة واحد أو صفر، ولنقل واحد باحتمالص{\displaystyle p}وصفر باحتمال1-ص{\displaystyle 1-p}يمكن ربط هذه العملية بتبسيط عملية رمي قطعة نقدية بشكل متكرر، حيث يُفترض أن احتمال الحصول على صورة هوص{\displaystyle p}وقيمتها واحد، بينما قيمة الذيل صفر. [ 81 ] بعبارة أخرى، عملية برنولي هي سلسلة من متغيرات برنولي العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيع، [ 82 ] حيث يمثل كل رمية عملة مثالية مثالاً على تجربة برنولي . [ 83 ]

المشي العشوائي

المسارات العشوائية هي عمليات احتمالية تُعرَّف عادةً بأنها مجموع متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع ، أو متجهات عشوائية في الفضاء الإقليدي، لذا فهي عمليات تتغير في زمن منفصل. [ 84 ] [ 85 ] [ 86 ] [ 87 ] [ 88 ] لكن البعض يستخدم المصطلح أيضًا للإشارة إلى العمليات التي تتغير في زمن متصل، [ 89 ] ولا سيما عملية وينر المستخدمة في النماذج المالية، مما أدى إلى بعض الالتباس، وبالتالي إلى انتقادها. [ 90 ] هناك أنواع أخرى متنوعة من المسارات العشوائية، مُعرَّفة بحيث يمكن أن تكون فضاءات حالاتها كائنات رياضية أخرى، مثل الشبكات والمجموعات، وهي عمومًا تحظى بدراسة مكثفة ولها تطبيقات عديدة في مختلف التخصصات. [ 89 ] [ 91 ]

يُعرف المثال الكلاسيكي للمسار العشوائي باسم المسار العشوائي البسيط ، وهو عملية عشوائية في زمن منفصل، حيث تمثل الأعداد الصحيحة فضاء الحالة، ويعتمد على عملية برنولي، حيث يأخذ كل متغير برنولي إما القيمة الموجبة أو السالبة. بعبارة أخرى، يحدث المسار العشوائي البسيط على الأعداد الصحيحة، وتزداد قيمته بمقدار واحد باحتمالية معينة، ولتكن .ص{\displaystyle p}أو ينخفض ​​بمقدار واحد باحتمال1-ص{\displaystyle 1-p}لذا فإن مجموعة مؤشرات هذه المسيرة العشوائية هي الأعداد الطبيعية، بينما فضاء حالاتها هو الأعداد الصحيحة. إذاص=0.5{\displaystyle p=0.5}يُطلق على هذا المسار العشوائي اسم المسار العشوائي المتناظر. [ 92 ] [ 93 ]

عملية وينر

عملية وينر هي عملية عشوائية ذات زيادات ثابتة ومستقلة موزعة توزيعًا طبيعيًا بناءً على حجم هذه الزيادات. [ 2 ] [ 94 ] سُميت عملية وينر نسبةً إلى نوربرت وينر ، الذي أثبت وجودها رياضيًا، ولكنها تُعرف أيضًا باسم عملية الحركة البراونية أو ببساطة الحركة البراونية نظرًا لارتباطها التاريخي كنموذج للحركة البراونية في السوائل. [ 95 ] [ 96 ] [ 97 ]

تمثيلات لعمليات وينر (أو عمليات الحركة البراونية) مع الانجراف ( باللون الأزرق ) وبدون الانجراف ( باللون الأحمر )

يلعب مسار وينر دورًا محوريًا في نظرية الاحتمالات، وغالبًا ما يُعتبر أهم العمليات العشوائية وأكثرها دراسة، وله صلات بعمليات عشوائية أخرى. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 98 ] [ 99 ] [ 100 ] [ 101 ] تتكون مجموعة مؤشراته وفضاء حالاته من الأعداد غير السالبة والأعداد الحقيقية على التوالي، لذا فهو يتميز بمجموعة مؤشرات وفضاء حالات متصلين. [ 102 ] ولكن يمكن تعريف هذا المسار بشكل أعم بحيث يمكن أن يكون فضاء حالاتهن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. [ 91 ] [ 99 ] [ 103 ] إذا كان متوسط ​​أي زيادة يساوي صفرًا، فإن عملية حركة وينر أو براون الناتجة يُقال إنها ذات انحراف صفري. إذا كان متوسط ​​الزيادة لأي نقطتين زمنيتين يساوي الفرق الزمني مضروبًا في ثابت ماμ{\displaystyle \mu }إذا كان هذا العدد حقيقيًا، فإن العملية العشوائية الناتجة يُقال إنها تحتوي على انحراف.μ{\displaystyle \mu }[ 104 ] [ 105 ] [ 106 ]​

يكاد يكون من المؤكد أن مسار عينة لعملية وينر يكون متصلاً في كل مكان ولكنه غير قابل للتفاضل في أي مكان . ويمكن اعتباره نسخة متصلة من المشي العشوائي البسيط. [ 49 ] [ 105 ] تنشأ هذه العملية كحد رياضي لعمليات عشوائية أخرى، مثل بعض المشي العشوائي المعاد قياسه، [ 107 ] [ 108 ] وهو موضوع نظرية دونسكر أو مبدأ الثبات، المعروف أيضًا بنظرية النهاية المركزية الوظيفية. [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]

تُعدّ عملية وينر إحدى أهمّ عائلات العمليات العشوائية، بما في ذلك عمليات ماركوف، وعمليات ليفي، والعمليات الغاوسية. [ 2 ] [ 49 ] ولها تطبيقات عديدة، وهي العملية العشوائية الرئيسية المستخدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي. [ 112 ] [ 113 ] كما تلعب دورًا محوريًا في التمويل الكمّي، [ 114 ] [ 115 ] حيث تُستخدم، على سبيل المثال، في نموذج بلاك-شولز-ميرتون. [ 116 ] وتُستخدم أيضًا في مجالات مختلفة، بما في ذلك معظم العلوم الطبيعية وبعض فروع العلوم الاجتماعية، كنموذج رياضي لظواهر عشوائية متنوعة. [ 3 ] [ 117 ] [ 118 ]

عملية بواسون

عملية بواسون هي عملية عشوائية لها أشكال وتعريفات مختلفة. [ 119 ] [ 120 ] يمكن تعريفها بأنها عملية عد، وهي عملية عشوائية تمثل عددًا عشوائيًا من النقاط أو الأحداث حتى وقت معين. عدد نقاط العملية الواقعة في الفترة من الصفر إلى وقت معين هو متغير عشوائي من نوع بواسون يعتمد على ذلك الوقت ومعامل معين. تستخدم هذه العملية الأعداد الطبيعية كمساحة حالة، والأعداد غير السالبة كمجموعة مؤشرات. تُسمى هذه العملية أيضًا بعملية عد بواسون، لأنها تُفسر كمثال على عملية عد. [ 119 ]

إذا عُرِّفت عملية بواسون بثابت موجب واحد، فإنها تُسمى عملية بواسون متجانسة. [ 119 ] [ 121 ] تُعدّ عملية بواسون المتجانسة أحد أنواع العمليات العشوائية المهمة، مثل عمليات ماركوف وعمليات ليفي. [ 49 ]

يمكن تعريف عملية بواسون المتجانسة وتعميمها بطرق مختلفة. يمكن تعريفها بحيث تكون مجموعة مؤشراتها هي خط الأعداد الحقيقية، وتُسمى هذه العملية العشوائية أيضًا بعملية بواسون المستقرة. [ 122 ] [ 123 ] إذا استُبدل ثابت معلمات عملية بواسون بدالة قابلة للتكامل غير سالبة.ت{\displaystyle t}تُسمى العملية الناتجة بعملية بواسون غير المتجانسة، حيث لا يكون متوسط ​​كثافة نقاط العملية ثابتًا. [ 124 ] تُعد عملية بواسون عملية أساسية في نظرية الطوابير، وهي عملية مهمة للنماذج الرياضية، حيث تُستخدم في نماذج الأحداث التي تحدث عشوائيًا في فترات زمنية محددة. [ 125 ] [ 126 ]

يمكن تفسير عملية بواسون، عند تعريفها على خط الأعداد الحقيقية، على أنها عملية عشوائية، [ 49 ] [ 127 ] من بين كائنات عشوائية أخرى. [ 128 ] [ 129 ] ولكن يمكن تعريفها أيضًا علىن{\displaystyle n}في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n أو غيره من الفضاءات الرياضية، [ 130 ] حيث يُفسَّر غالبًا على أنه مجموعة عشوائية أو مقياس عد عشوائي، بدلًا من كونه عملية عشوائية. [ 128 ] [ 129 ] في هذا السياق، تُعد عملية بواسون، التي تُسمى أيضًا عملية بواسون النقطية، من أهم العناصر في نظرية الاحتمالات، سواءً للتطبيقات أو للأسباب النظرية. [ 22 ] [ 131 ] ولكن لوحظ أن عملية بواسون لا تحظى بالاهتمام الكافي، ويعود ذلك جزئيًا إلى أنها غالبًا ما تُدرس فقط على خط الأعداد الحقيقية، وليس على فضاءات رياضية أخرى. [ 131 ] [ 132 ]

التعريفات

عملية عشوائية

تُعرَّف العملية العشوائية بأنها مجموعة من المتغيرات العشوائية المعرفة على فضاء احتمالي مشترك(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}، أينΩأوميغاهي فضاء عينة ،F{\displaystyle {\mathcal {F}}}هوσ{\displaystyle \sigma }- الجبر ، وP{\displaystyle P}هو مقياس احتمالي ؛ والمتغيرات العشوائية، المفهرسة بمجموعة معينةتي{\displaystyle T}جميعها تأخذ قيمًا في نفس الفضاء الرياضيS{\displaystyle S}، والتي يجب أن تكون قابلة للقياس بالنسبة إلى شيء ماσ{\displaystyle \sigma }-الجبرΣ{\displaystyle \Sigma }[ 28 ]​

بمعنى آخر، بالنسبة لمساحة احتمالية معينة(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}ومساحة قابلة للقياس(S،Σ){\displaystyle (S,\Sigma )}العملية العشوائية هي مجموعة منS{\displaystyle S}المتغيرات العشوائية ذات القيم، والتي يمكن كتابتها على النحو التالي: [ 80 ]

{X(ت):ت∈تي}.{\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}

تاريخياً، في العديد من المشكلات من العلوم الطبيعية، كانت هناك نقطةت∈تي{\displaystyle t\in T}كان له معنى الزمن، لذلكX(ت){\displaystyle X(t)}هو متغير عشوائي يمثل قيمة مُلاحظة في وقتت{\displaystyle t}[ 133 ] يمكن أيضًا كتابة العملية العشوائية على النحو التالي{X(ت،ω):ت∈تي}{\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}ليعكس ذلك أنها في الواقع دالة لمتغيرين،ت∈تي{\displaystyle t\in T}وω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }[ 28 ] [ 134 ]​

توجد طرق أخرى للنظر إلى العملية العشوائية، مع اعتبار التعريف المذكور أعلاه التعريف التقليدي. [ 68 ] [ 69 ] على سبيل المثال، يمكن تفسير العملية العشوائية أو تعريفها على أنهاSتي{\displaystyle S^{T}}متغير عشوائي ذو قيم، حيثSتي{\displaystyle S^{T}}هو فضاء جميع الدوال الممكنة من المجموعةتي{\displaystyle T}في الفضاءS{\displaystyle S}[ 27 ] [ 68 ] ومع ذلك ، فإن هذا التعريف البديل باعتباره "متغيرًا عشوائيًا ذا قيمة دالة" يتطلب عمومًا افتراضات انتظام إضافية لكي يتم تحديدها جيدًا. [ 135 ]

مجموعة الفهرس

المجموعةتي{\displaystyle T}تُسمى مجموعة المؤشرات [ 4 ] [ 51 ] أو مجموعة المعاملات [ 28 ] [ 136 ] للعملية العشوائية. غالبًا ما تكون هذه المجموعة مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية ، مثل الأعداد الطبيعية أو فترة زمنية، مما يُعطي المجموعةتي{\displaystyle T}تفسير الزمن. [ 1 ] بالإضافة إلى هذه المجموعات، مجموعة الفهرستي{\displaystyle T}يمكن أن تكون مجموعة أخرى ذات ترتيب كلي أو مجموعة أكثر عمومية، [ 1 ] [ 54 ] مثل المستوى الديكارتيR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}أون{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، حيث يكون العنصرت∈تي{\displaystyle t\in T}يمكن أن يمثل نقطة في الفضاء. [ 48 ] [ 137 ] ومع ذلك، فإن العديد من النتائج والنظريات لا يمكن تحقيقها إلا في العمليات العشوائية ذات مجموعة مؤشرات مرتبة ترتيبًا كليًا. [ 138 ]

فضاء الحالة

الفضاء الرياضيS{\displaystyle S}يُطلق على فضاء حالة العملية العشوائية اسم فضاء الحالة . ويمكن تعريف هذا الفضاء الرياضي باستخدام الأعداد الصحيحة ، وخطوط الأعداد الحقيقية ،ن{\displaystyle n}الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد n ، أو المستويات المركبة، أو الفضاءات الرياضية الأكثر تجريدًا. يُعرَّف فضاء الحالة باستخدام عناصر تعكس القيم المختلفة التي يمكن أن تأخذها العملية العشوائية. [ 1 ] [ 5 ] [ 28 ] [ 51 ] [ 56 ]

دالة العينة

دالة العينة هي نتيجة واحدة لعملية عشوائية، لذا فهي تتكون من خلال أخذ قيمة واحدة ممكنة لكل متغير عشوائي في العملية العشوائية. [ 28 ] [ 139 ] بتعبير أدق، إذا{X(ت،ω):ت∈تي}{\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}إذا كانت عملية عشوائية، فعندئذٍ لأي نقطةω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }، عملية رسم الخرائط

X(⋅،ω):تي→S،{\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}

يُطلق عليها اسم دالة عينة، أو تحقيق ، أو، على وجه الخصوص عندماتي{\displaystyle T}يُفسر على أنه الزمن، وهو مسار نموذجي للعملية العشوائية{X(ت،ω):ت∈تي}{\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}[ 50 ] هذا يعني أنه بالنسبة لقيمة ثابتةω∈Ω{\displaystyle \omega \in \Omega }توجد دالة عينة تقوم برسم خريطة لمجموعة الفهارستي{\displaystyle T}إلى فضاء الحالةS{\displaystyle S}[ 28 ] تشمل الأسماء الأخرى لدالة العينة لعملية عشوائية المسار ، أو دالة المسار [ 140 ] أو المسار . [ 141 ]

زيادة

الزيادة في عملية عشوائية هي الفرق بين متغيرين عشوائيين لنفس العملية. بالنسبة لعملية عشوائية ذات مجموعة مؤشرات يمكن تفسيرها على أنها زمن، فإن الزيادة هي مقدار تغير العملية العشوائية خلال فترة زمنية محددة. على سبيل المثال، إذا{X(ت):ت∈تي}{\displaystyle \{X(t):t\in T\}}هي عملية عشوائية ذات فضاء حالةS{\displaystyle S}ومجموعة الفهرستي=[0،∞){\displaystyle T=[0,\infty )}ثم لأي عددين غير سالبينت1∈[0،∞){\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}وت2∈[0،∞){\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}بحيثت1≤ت2{\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}الفرقXت2-Xت1{\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}هوS{\displaystyle S}متغير عشوائي ذو قيمة n يُعرف باسم الزيادة. [ 48 ] [ 49 ] عند الاهتمام بالزيادات، غالبًا ما تكون مساحة الحالةS{\displaystyle S}هو خط الأعداد الحقيقية أو الأعداد الطبيعية، ولكن يمكن أن يكونن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n أو الفضاءات الأكثر تجريدًا مثل فضاءات باناخ . [ 49 ]

تعريفات إضافية

قانون

بالنسبة للعملية العشوائيةX:Ω→Sتي{\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}معرفة على فضاء الاحتمالات(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}قانون العمليات العشوائيةX{\displaystyle X}يُعرَّف بأنه مقياس الدفع للأمام :

μ=X*P=P∘X-1،{\displaystyle \mu =X_{*}P=P\circ X^{-1},}

أينP{\displaystyle P}هو مقياس احتمالي، والرمز هو∘{\displaystyle \circ }يشير إلى تركيب الدوال وX-1{\displaystyle X^{-1}}هي الصورة العكسية للدالة القابلة للقياس، أو بصورة مكافئة،Sتي{\displaystyle S^{T}}متغير عشوائي ذو قيمةX{\displaystyle X}، أينSتي{\displaystyle S^{T}}هو فضاء كل ما هو ممكنS{\displaystyle S}الدوال ذات القيم فيت∈تي{\displaystyle t\in T}لذا فإن قانون العملية العشوائية هو مقياس احتمالي. [ 27 ] [ 68 ] [ 142 ] [ 143 ]

بالنسبة لمجموعة فرعية قابلة للقياسب{\displaystyle B}لSتي{\displaystyle S^{T}}، الصورة السابقة لـX{\displaystyle X}أعطِ

X-1(ب)={ω∈Ω:X(ω)∈ب}،{\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}

إذن قانون أX{\displaystyle X}يمكن كتابتها على النحو التالي: [ 28 ]

μ(ب)=P({ω∈Ω:X(ω)∈ب}).{\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}

يُطلق على قانون العملية العشوائية أو المتغير العشوائي أيضًا اسم قانون الاحتمال ، أو توزيع الاحتمال ، أو التوزيع . [ 133 ] [ 142 ] [ 144 ] [ 145 ] [ 146 ]

التوزيعات الاحتمالية ذات الأبعاد المحدودة

بالنسبة للعملية العشوائيةX{\displaystyle X}مع القانونμ{\displaystyle \mu }، وتوزيعها ذو الأبعاد المحدودة لـت1،...،تن∈تي{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}يُعرَّف على النحو التالي:

μت1،...،تن=(Xت1،...،Xتن)*P=P∘(X(ت1)،...،X(تن))-1،{\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}})_{*}P=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}

هذا الإجراءμت1،..،تن{\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}هو التوزيع المشترك للمتجه العشوائي(X(ت1)،...،X(تن)){\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}ويمكن اعتباره بمثابة "إسقاط" للقانونμ{\displaystyle \mu }على مجموعة جزئية منتهية منتي{\displaystyle T}[ 27 ] [ 147 ]​

لأي مجموعة فرعية قابلة للقياسج{\displaystyle C}التابعن{\displaystyle n}قوة ديكارتية مطويةSن=S×⋯×S{\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}، التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة لعملية عشوائيةX{\displaystyle X}يمكن كتابتها على النحو التالي: [ 28 ]

μت1،...،تن(ج)=P({ω∈Ω:(Xت1(ω)،...،Xتن(ω))∈ج}).{\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}

تُحقق التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة لعملية عشوائية شرطين رياضيين يُعرفان بشروط الاتساق. [ 57 ]

الثبات

الاستقرارية هي خاصية رياضية تتميز بها العملية العشوائية عندما تكون جميع المتغيرات العشوائية لتلك العملية موزعة توزيعًا متطابقًا. بعبارة أخرى، إذاX{\displaystyle X}إذا كانت عملية عشوائية ثابتة، فإنه لأيت∈تي{\displaystyle t\in T}المتغير العشوائيXت{\displaystyle X_{t}}لها نفس التوزيع، مما يعني أنه لأي مجموعة منن{\displaystyle n}قيم مجموعة الفهرست1،...،تن{\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}، المقابلن{\displaystyle n}المتغيرات العشوائية

Xت1،...Xتن،{\displaystyle X_{t_{1}},\dots X_{t_{n}},}

جميعها لها نفس التوزيع الاحتمالي . عادةً ما تُفسَّر مجموعة المؤشرات لعملية عشوائية مستقرة على أنها زمن، لذا يمكن أن تكون الأعداد الصحيحة أو خط الأعداد الحقيقية. [ 148 ] [ 149 ] ولكن مفهوم الاستقرار موجود أيضًا في العمليات النقطية والحقول العشوائية، حيث لا تُفسَّر مجموعة المؤشرات على أنها زمن. [ 148 ] [ 150 ] [ 151 ]

عند تعيين الفهرستي{\displaystyle T}يمكن تفسير الزمن على أنه الزمن، ويُقال إن العملية العشوائية مستقرة إذا كانت توزيعاتها ذات الأبعاد المحدودة ثابتة تحت تأثير الزمن. يمكن استخدام هذا النوع من العمليات العشوائية لوصف نظام فيزيائي في حالة استقرار، ولكنه لا يزال يشهد تقلبات عشوائية. [ 148 ] يكمن المنطق وراء الاستقرار في أن توزيع العملية العشوائية المستقرة يظل كما هو مع مرور الوقت. [ 152 ] تشكل سلسلة من المتغيرات العشوائية عملية عشوائية مستقرة فقط إذا كانت المتغيرات العشوائية موزعة توزيعًا متطابقًا. [ 148 ]

يُقال أحيانًا إن العملية العشوائية التي تُعرَّف فيها الاستقرارية المذكورة أعلاه مستقرة تمامًا، ولكن هناك أشكال أخرى للاستقرارية. ومن الأمثلة على ذلك العملية العشوائية المتقطعة أو المستمرة.X{\displaystyle X}إذا قيل إنها ثابتة بالمعنى الواسع، فإن العمليةX{\displaystyle X}لكل منها لحظة ثانية محدودةت∈تي{\displaystyle t\in T}والتباين المشترك للمتغيرين العشوائيينXت{\displaystyle X_{t}}وXت+ح{\displaystyle X_{t+h}}يعتمد الأمر فقط على العددح{\displaystyle h}للجميعت∈تي{\displaystyle t\in T}[ 152 ] [ 153 ] قدم خينشين المفهوم ذي الصلة وهو الاستقرار بالمعنى الواسع ، والذي له أسماء أخرى منها استقرار التغاير أو الاستقرار بالمعنى الواسع . [ 153 ] [ 154 ]

الترشيح

الترشيح هو سلسلة متزايدة من جبر سيجما مُعرَّفة بالنسبة إلى فضاء احتمالي ومجموعة مؤشرات ذات علاقة ترتيب كلي ، كما في حالة كون مجموعة المؤشرات مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية. وبصورة أدق، إذا كانت لعملية عشوائية مجموعة مؤشرات ذات ترتيب كلي، فإن الترشيح{Fت}ت∈تي{\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}، على فضاء احتمالي(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}هي عائلة من جبر سيجما بحيثFs⊆Fت⊆F{\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}للجميعs≤ت{\displaystyle s\leq t}، أينت،s∈تي{\displaystyle t,s\in T}و≤{\displaystyle \leq }يشير إلى الترتيب الكلي لمجموعة الفهارستي{\displaystyle T}[ 51 ] باستخدام مفهوم الترشيح، من الممكن دراسة كمية المعلومات الموجودة في عملية عشوائيةXت{\displaystyle X_{t}}فيت∈تي{\displaystyle t\in T}والذي يمكن تفسيره على أنه وقتت{\displaystyle t}[ 51 ] [ 155 ] الحدس الكامن وراء الترشيحFت{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}هل هذا مع مرور الوقت؟ت{\displaystyle t}التذاكر، المزيد والمزيد من المعلومات حولXت{\displaystyle X_{t}}معروف أو متاح، والذي يتم تسجيله فيFت{\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}مما يؤدي إلى تقسيمات أدق فأدق لـΩ{\displaystyle \Omega }[ 156 ] [ 157 ]​

تعديل

إن تعديل العملية العشوائية هو عملية عشوائية أخرى، ترتبط ارتباطًا وثيقًا بالعملية العشوائية الأصلية. وبشكل أدق، فإن العملية العشوائيةX{\displaystyle X}التي لها نفس مجموعة الفهرستي{\displaystyle T}، فضاء الحالةS{\displaystyle S}ومساحة الاحتمالات(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}كعملية عشوائية أخرىY{\displaystyle Y}ويُقال إنها تعديل لـX{\displaystyle X}إن كان ذلك للجميعت∈تي{\displaystyle t\in T}ما يلي

P(Xت=Yت)=1،{\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=1,}

ينطبق. عمليتان عشوائيتان متماثلتان لقانون ذي أبعاد محدودة [ 158 ] ويقال إنهما متكافئتان عشوائياً أو متكافئتان . [ 159 ]

بدلاً من مصطلح "التعديل"، يُستخدم مصطلح " النسخة" أيضاً، [ 150 ] [ 160 ] [ 161 ] [ 162 ]، إلا أن بعض المؤلفين يستخدمون مصطلح "النسخة" عندما يكون لعمليتين عشوائيتين نفس التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة، ولكنهما قد تُعرَّفان على فضاءات احتمالية مختلفة، لذا فإن العمليتين اللتين تُعتبران تعديلاً لبعضهما البعض، تُعتبران أيضاً نسختين لبعضهما البعض، بالمعنى الأخير، ولكن ليس العكس. [ 163 ] [ 142 ]

إذا استوفت عملية عشوائية حقيقية القيمة مستمرة الزمن شروطًا معينة على زياداتها، فإن نظرية كولموغوروف للاستمرارية تنص على وجود تعديل لهذه العملية له مسارات عينة مستمرة باحتمال واحد، وبالتالي فإن العملية العشوائية لها تعديل أو نسخة مستمرة. [ 161 ] [ 162 ] [ 164 ] ويمكن تعميم النظرية أيضًا على الحقول العشوائية، بحيث تكون مجموعة المؤشرات هين{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n [ 165 ] وكذلك العمليات العشوائية ذات الفضاءات المترية كفضاءات حالة لها. [ 166 ]

لا يمكن تمييزها

عمليتان عشوائيتانX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}معرفة على نفس فضاء الاحتمالات(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}بنفس مجموعة الفهرستي{\displaystyle T}وحدد المساحةS{\displaystyle S}يُقال إنها غير قابلة للتمييز إذا كانت الأمور التالية

P(Xت=Yت للجميع ت∈تي)=1،{\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}{\text{ for all }}t\in T)=1,}

يحمل. [ 142 ] [ 158 ] إذا كان اثنانX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت تعديلات لبعضها البعض، وكانت متصلة بشكل شبه مؤكد ، فإنX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}لا يمكن تمييزها. [ 167 ]

قابلية الفصل

تُعدّ قابلية الفصل خاصيةً للعملية العشوائية، وتعتمد على مجموعة مؤشراتها بالنسبة لمقياس الاحتمال. تُفترض هذه الخاصية لكي تُشكّل الدوال الوظيفية للعمليات العشوائية أو الحقول العشوائية ذات مجموعات المؤشرات غير القابلة للعد متغيرات عشوائية. ولكي تكون العملية العشوائية قابلةً للفصل، بالإضافة إلى شروط أخرى، يجب أن تكون مجموعة مؤشراتها فضاءً قابلاً للفصل ، [ ب ] مما يعني أن مجموعة المؤشرات تحتوي على مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعد. [ 150 ] [ 168 ]

وبشكل أدق، عملية عشوائية حقيقية القيمة مستمرة الزمنX{\displaystyle X}في فضاء احتمالي(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}تكون قابلة للفصل إذا وفقط إذا كانت مجموعة الفهرس الخاصة بهاتي{\displaystyle T}يحتوي على مجموعة فرعية كثيفة قابلة للعديو⊂تي{\displaystyle U\subset T}وهناك مجموعةΩ0⊂Ω{\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }باحتمالية صفر، لذلكP(Ω0)=0{\displaystyle P(\Omega _{0})=0}بحيث يكون لكل مجموعة مفتوحةجي⊂تي{\displaystyle G\subset T}وكل مجموعة مغلقةF⊂R=(-∞،∞){\displaystyle F\subset \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}الحدثان{Xت∈F للجميع ت∈جي∩يو}{\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}و{Xت∈F للجميع ت∈جي}{\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}لا تختلف عن بعضها البعض إلا في مجموعة فرعية منΩ0{\displaystyle \Omega _{0}}[ 169 ] [ 170 ] [ 171 ] يمكن أيضًا صياغة تعريف قابلية الفصل [ ج ] لمجموعات فهارس أخرى وفضاءات حالة، [ 174 ] كما هو الحال في الحقول العشوائية، حيث يمكن أن تكون مجموعة الفهارس وفضاء الحالةن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. [ 30 ] [ 150 ]

قدّم جوزيف دوب مفهوم قابلية فصل العمليات العشوائية . [ 168 ] وتتلخص الفكرة الأساسية لقابلية الفصل في جعل مجموعة قابلة للعد من نقاط مجموعة المؤشرات تحدد خصائص العملية العشوائية. [ 172 ] أي عملية عشوائية ذات مجموعة مؤشرات قابلة للعد تستوفي شروط قابلية الفصل، لذا فإن العمليات العشوائية المتقطعة الزمن قابلة للفصل دائمًا. [ 175 ] تنص نظرية دوب، المعروفة أحيانًا بنظرية دوب لقابلية الفصل، على أن أي عملية عشوائية مستمرة الزمن ذات قيم حقيقية لها تعديل قابل للفصل. [ 168 ] [ 170 ] [ 176 ] توجد أيضًا نسخ من هذه النظرية لعمليات عشوائية أكثر عمومية ذات مجموعات مؤشرات وفضاءات حالة أخرى غير خط الأعداد الحقيقية. [ 136 ]

استقلال

عمليتان عشوائيتانX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}معرفة على نفس فضاء الاحتمالات(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}بنفس مجموعة الفهرستي{\displaystyle T}يقال إنها ستكون مستقلة إذا كان ذلك للجميعن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }ولكل اختيار من الحقبت1،...،تن∈تي{\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}المتجهات العشوائية(X(ت1)،...،X(تن)){\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}و(Y(ت1)،...،Y(تن)){\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}مستقلة. [ 177 ] : ص 515

عدم الارتباط

عمليتان عشوائيتان{Xت}{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}و{Yت}{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}تُسمى هذه العلاقات غير مترابطة إذا كان تباينها المتبادلكXY⁡(ت1،ت2)=هـ⁡[(X(ت1)-μX(ت1))(Y(ت2)-μY(ت2))]{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}يساوي صفرًا في جميع الأوقات. [ 178 ] : ص 142 رسميًا:

{Xت}،{Yت} غير مترابطة⟺كXY⁡(ت1،ت2)=0∀ت1،ت2{\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}.

الاستقلال يعني عدم وجود ارتباط

إذا كانت عمليتان عشوائيتانX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت مستقلة، فهي أيضاً غير مترابطة. [ 178 ] : ص 151

التعامد

عمليتان عشوائيتان{Xت}{\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}و{Yت}{\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}تُسمى متعامدة إذا كان ارتباطها المتبادلRXY⁡(ت1،ت2)=هـ⁡[X(ت1)Y(ت2)¯]{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}يساوي صفرًا في جميع الأوقات. [ 178 ] : ص 142 رسميًا:

{Xت}،{Yت} متعامد⟺RXY⁡(ت1،ت2)=0∀ت1،ت2{\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}.

مساحة سكوروهود

فضاء سكوروهود ، أو فضاء سكوروهود ، هو فضاء رياضي لجميع الدوال المتصلة من اليمين ولها نهايات من اليسار، والمُعرَّفة على فترة ما من خط الأعداد الحقيقية مثل[0،1]{\displaystyle [0,1]}أو[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}وتأخذ هذه الدوال قيمًا على خط الأعداد الحقيقية أو على فضاء متري ما. [ 179 ] [ 180 ] [ 181 ] تُعرف هذه الدوال باسم دوال càdlàg أو cadlag، نسبةً إلى الاختصار الفرنسي للعبارة continue à droite, limite à gauche . [ 179 ] [ 182 ] غالبًا ما يُرمز إلى فضاء دوال Skorokhod، الذي قدمه أناتولي سكوروهود ، [ 181 ] بالحرفد{\displaystyle D}[ 179 ] [ 180 ] [ 181 ] [ 182 ] لذلك يُشار إلى فضاء الدوال أيضًا باسم الفضاءد{\displaystyle D}[ 179 ] [ 183 ] ​​[ 184 ] يمكن أن يشمل ترميز فضاء الدوال هذا أيضًا الفترة التي تُعرَّف عليها جميع دوال càdlàg، على سبيل المثال ،د[0،1]{\displaystyle D[0,1]}يرمز إلى فضاء الدوال càdlàg المعرفة على الفترة [1].[0،1]{\displaystyle [0,1]}[ 182 ] [ 184 ] [ 185 ]​

تُستخدم فضاءات دوال سكوروهود بكثرة في نظرية العمليات العشوائية، إذ يُفترض عادةً أن دوال العينة للعمليات العشوائية ذات الزمن المستمر تنتمي إلى فضاء سكوروهود. [ 181 ] [ 183 ] ​​تحتوي هذه الفضاءات على دوال متصلة، تُقابل دوال العينة لعملية وينر. ولكن هذا الفضاء يحتوي أيضًا على دوال غير متصلة، مما يعني أن دوال العينة للعمليات العشوائية ذات القفزات، مثل عملية بواسون (على خط الأعداد الحقيقية)، هي أيضًا أعضاء في هذا الفضاء. [ 184 ] [ 186 ]

الانتظام

في سياق البناء الرياضي للعمليات العشوائية، يُستخدم مصطلح الانتظام عند مناقشة وافتراض شروط معينة لعملية عشوائية بهدف حل مشكلات البناء المحتملة. [ 187 ] [ 188 ] على سبيل المثال، لدراسة العمليات العشوائية ذات مجموعات المؤشرات غير القابلة للعد، يُفترض أن العملية العشوائية تلتزم بنوع من شروط الانتظام، مثل كون دوال العينة متصلة. [ 189 ] [ 190 ]

أمثلة أخرى

عمليات وسلاسل ماركوف

عمليات ماركوف هي عمليات عشوائية، عادةً ما تكون في زمن منفصل أو متصل ، وتتمتع بخاصية ماركوف، مما يعني أن القيمة التالية لعملية ماركوف تعتمد على القيمة الحالية، ولكنها مستقلة شرطيًا عن القيم السابقة للعملية العشوائية. بعبارة أخرى، يكون سلوك العملية في المستقبل مستقلًا احتماليًا عن سلوكها في الماضي، بالنظر إلى الحالة الحالية للعملية. [ 191 ] [ 192 ]

تُعدّ كلٌّ من عملية الحركة البراونية وعملية بواسون (في بُعد واحد) مثالين على عمليات ماركوف [ 193 ] في الزمن المستمر، بينما تُعدّ المسارات العشوائية على الأعداد الصحيحة ومسألة إفلاس المقامر مثالين على عمليات ماركوف في الزمن المتقطع. [ 194 ] [ 195 ]

سلسلة ماركوف هي نوع من عمليات ماركوف ذات فضاء حالة منفصل أو مجموعة مؤشرات منفصلة (غالبًا ما تمثل الزمن)، إلا أن التعريف الدقيق لسلسلة ماركوف يختلف. [ 196 ] على سبيل المثال، من الشائع تعريف سلسلة ماركوف بأنها عملية ماركوف في زمن منفصل أو متصل مع فضاء حالة قابل للعد (وبالتالي بغض النظر عن طبيعة الزمن)، [ 197 ] [ 198 ] [ 199 ] [ 200 ] ولكن من الشائع أيضًا تعريف سلسلة ماركوف بأنها ذات زمن منفصل في فضاء حالة قابل للعد أو متصل (وبالتالي بغض النظر عن فضاء الحالة). [ 196 ] وقد قيل إن التعريف الأول لسلسلة ماركوف، حيث يكون لها زمن منفصل، هو الأكثر شيوعًا حاليًا، على الرغم من استخدام التعريف الثاني من قبل باحثين مثل جوزيف دوب وكاي لاي تشونغ . [ 201 ]

تُشكّل عمليات ماركوف فئةً مهمةً من العمليات العشوائية، ولها تطبيقات في العديد من المجالات. [ 39 ] [ 202 ] على سبيل المثال، تُشكّل هذه العمليات أساسًا لطريقة محاكاة عشوائية عامة تُعرف باسم سلسلة ماركوف مونت كارلو ، والتي تُستخدم لمحاكاة كائنات عشوائية ذات توزيعات احتمالية محددة، وقد وجدت تطبيقات في الإحصاء البايزي . [ 203 ] [ 204 ]

كان مفهوم خاصية ماركوف في الأصل مخصصًا للعمليات العشوائية في الزمن المستمر والمتقطع، ولكن تم تكييف هذه الخاصية لمجموعات مؤشرات أخرى مثلن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، والذي ينتج عنه مجموعات من المتغيرات العشوائية تُعرف باسم حقول ماركوف العشوائية. [ 205 ] [ 206 ] [ 207 ]

مارتينجال

المارتينجال هو عملية عشوائية منفصلة أو متصلة الزمن، تتميز بخاصية أنه في كل لحظة، وبمعرفة القيمة الحالية وجميع القيم السابقة للعملية، يكون التوقع الشرطي لكل قيمة مستقبلية مساويًا للقيمة الحالية. في الزمن المنفصل، إذا تحققت هذه الخاصية للقيمة التالية، فإنها تتحقق لجميع القيم المستقبلية. يتطلب التعريف الرياضي الدقيق للمارتينجال شرطين آخرين مقترنين بالمفهوم الرياضي للترشيح، والذي يرتبط بفكرة تزايد المعلومات المتاحة مع مرور الوقت. تُعرَّف المارتينجالات عادةً بأنها ذات قيم حقيقية، [ 208 ] [ 209 ] [ 155 ] ولكنها قد تكون أيضًا ذات قيم مركبة [ 210 ] أو حتى أكثر عمومية. [ 211 ]

يُعد كلٌّ من المشي العشوائي المتناظر وعملية وينر (مع انحراف صفري) مثالين على المارتينجالات، على التوالي، في الزمن المتقطع والمتصل. [ 208 ] [ 209 ] بالنسبة لسلسلة من المتغيرات العشوائية المستقلة والمتطابقة التوزيعX1،X2،X3،...{\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }بمتوسط ​​صفري، تتكون العملية العشوائية من المجاميع الجزئية المتتاليةX1،X1+X2،X1+X2+X3،...{\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }هو مارتينجال منفصل الزمن. [ 212 ] في هذا الجانب، تعمم المارتينجالات المنفصلة الزمن فكرة المجاميع الجزئية للمتغيرات العشوائية المستقلة. [ 213 ]

يمكن أيضًا إنشاء المارتينجالات من العمليات العشوائية بتطبيق بعض التحويلات المناسبة، كما هو الحال في عملية بواسون المتجانسة (على خط الأعداد الحقيقية) مما ينتج عنه مارتينجال يُسمى عملية بواسون المُعَوَّضة . [ 209 ] كما يمكن بناء المارتينجالات من مارتينجالات أخرى. [ 212 ] على سبيل المثال، توجد مارتينجالات مبنية على مارتينجال عملية وينر، لتشكيل مارتينجالات زمنية مستمرة. [ 208 ] [ 214 ]

تُجسّد المارتينجالات رياضيًا فكرة "اللعبة العادلة" حيث يُمكن تكوين توقعات معقولة للعوائد، [ 215 ] وقد طُوّرت في الأصل لإثبات استحالة تحقيق ميزة "غير عادلة" في مثل هذه اللعبة. [ 216 ] ولكنها تُستخدم الآن في العديد من مجالات الاحتمالات، وهو أحد الأسباب الرئيسية لدراستها. [ 155 ] [ 216 ] [ 217 ] وقد حُلّت العديد من مسائل الاحتمالات من خلال إيجاد مارتينجال في المسألة ودراسته. [ 218 ] تتقارب المارتينجالات، في ظل شروط معينة على عزماتها، لذا تُستخدم غالبًا لاستنتاج نتائج التقارب، ويعود ذلك إلى حد كبير إلى نظريات تقارب المارتينجال . [ 213 ] [ 219 ] [ 220 ]

تُستخدم المارتينجالات في العديد من التطبيقات الإحصائية، ولكن لوحظ أن استخدامها وتطبيقها ليسا واسعين الانتشار كما ينبغي في مجال الإحصاء، وخاصة الاستدلال الإحصائي. [ 221 ] وقد وُجدت لها تطبيقات في مجالات نظرية الاحتمالات، مثل نظرية الطوابير وحساب بالم [ 222 ] ، وفي مجالات أخرى كالاقتصاد [ 223 ] والتمويل. [ 17 ]

عملية ليفي

عمليات ليفي هي نوع من العمليات العشوائية التي يمكن اعتبارها تعميمًا للمسارات العشوائية في الزمن المستمر. [ 49 ] [ 224 ] لهذه العمليات تطبيقات عديدة في مجالات مثل التمويل، وميكانيكا الموائع، والفيزياء، وعلم الأحياء. [ 225 ] [ 226 ] من أهم خصائص هذه العمليات ثباتها واستقلالها، ولذلك عُرفت باسم العمليات ذات الزيادات الثابتة والمستقلة . بعبارة أخرى، هي عملية عشوائية.X{\displaystyle X}هي عملية ليفي إذا كان لـن{\displaystyle n}الأعداد غير السالبة،0≤ت1≤⋯≤تن{\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}، المقابلن-1{\displaystyle n-1}الزيادات

Xت2-Xت1،...،Xتن-Xتن-1،{\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}

جميعها مستقلة عن بعضها البعض، ويعتمد توزيع كل زيادة فقط على الفرق الزمني. [ 49 ]

يمكن تعريف عملية ليفي بحيث يكون فضاء حالتها فضاءً رياضياً مجرداً، مثل فضاء باناخ ، ولكن غالباً ما تُعرَّف هذه العمليات بحيث تأخذ قيماً في الفضاء الإقليدي. مجموعة المؤشرات هي الأعداد غير السالبة، لذاأنا=[0،∞){\displaystyle I=[0,\infty )}وهذا ما يُعطي تفسيرًا للزمن. تُعدّ العمليات العشوائية المهمة، مثل عملية وينر، وعملية بواسون المتجانسة (في بُعد واحد)، وعمليات التبعية، جميعها عمليات ليفي. [ 49 ] [ 224 ]

حقل عشوائي

الحقل العشوائي هو مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بواسطةن{\displaystyle n}فضاء إقليدي ذو بُعد n أو أي متشعب. بشكل عام، يمكن اعتبار الحقل العشوائي مثالًا على عملية عشوائية، حيث لا تكون مجموعة المؤشرات بالضرورة مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية. [ 30 ] ولكن هناك اصطلاحًا يقضي بأن مجموعة مفهرسة من المتغيرات العشوائية تُسمى حقلًا عشوائيًا عندما يكون للمؤشر بُعدان أو أكثر. [ 5 ] [ 28 ] [ 227 ] إذا كان التعريف المحدد للعملية العشوائية يتطلب أن تكون مجموعة المؤشرات مجموعة جزئية من خط الأعداد الحقيقية، فيمكن اعتبار الحقل العشوائي تعميمًا للعملية العشوائية. [ 228 ]

عملية النقطة

عملية النقاط هي مجموعة من النقاط الموجودة عشوائياً على فضاء رياضي ما مثل خط الأعداد الحقيقية.ن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n، أو الفضاءات الأكثر تجريدًا. أحيانًا لا يُفضّل مصطلح " عملية نقطية" ، إذ تاريخيًا، كانت كلمة " عملية" تُشير إلى تطور نظام ما عبر الزمن، لذا تُسمى العملية النقطية أيضًا " حقلًا نقطيًا عشوائيًا" . [ 229 ] توجد تفسيرات مختلفة للعملية النقطية، مثل "مقياس عد عشوائي" أو "مجموعة عشوائية". [ 230 ] [ 231 ] يعتبر بعض الباحثين العملية النقطية والعملية العشوائية كيانين مختلفين، حيث تُعدّ العملية النقطية كيانًا عشوائيًا ينشأ من عملية عشوائية أو يرتبط بها، [ 232 ] [ 233 ] مع أنه لوحظ أن الفرق بين العمليات النقطية والعمليات العشوائية ليس واضحًا. [ 233 ]

يعتبر مؤلفون آخرون عملية النقطة عملية عشوائية، حيث يتم فهرسة العملية بواسطة مجموعات من الفضاء الأساسي [ d ] الذي تُعرَّف عليه، مثل خط الأعداد الحقيقية أون{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. [ 236 ] [ 237 ] تُدرس عمليات عشوائية أخرى، مثل عمليات التجديد والعد، في نظرية العمليات النقطية. [ 238 ] [ 233 ]

تاريخ

نظرية الاحتمالات المبكرة

تعود جذور نظرية الاحتمالات إلى ألعاب الحظ، التي لها تاريخ عريق، حيث لُعبت بعض الألعاب منذ آلاف السنين، [ 239 ] إلا أن التحليل الذي أُجري عليها من منظور الاحتمالات كان محدودًا للغاية. [ 240 ] يُعتبر عام 1654 غالبًا عام ميلاد نظرية الاحتمالات، عندما تبادل عالما الرياضيات الفرنسيان بيير فيرما وبليز باسكال مراسلاتٍ حول الاحتمالات، بدافعٍ من مشكلةٍ تتعلق بالمقامرة . [ 241 ] [ 242 ] ولكن سبق ذلك أعمالٌ رياضيةٌ أُنجزت حول احتمالية ألعاب المقامرة، مثل كتاب "ليبر دي لودو ألياي" لجيرولامو كاردانو ، الذي كُتب في القرن السادس عشر، ونُشر بعد وفاته عام 1663. [ 243 ]

بعد كاردانو، كتب ياكوب برنولي كتاب "فن التخمين " ( Ars Conjectandi ) ، الذي يُعدّ حدثًا هامًا في تاريخ نظرية الاحتمالات. نُشر كتاب برنولي، بعد وفاته أيضًا، عام 1713، وألهم العديد من علماء الرياضيات لدراسة الاحتمالات. [ 245 ] [ 246 ] ولكن على الرغم من إسهام بعض علماء الرياضيات البارزين في نظرية الاحتمالات، مثل بيير سيمون لابلاس ، وأبراهام دي موافر ، وكارل غاوس ، وسيميون بواسون ، وبافنوتي تشيبيشيف ، [ 247 ] [ 248 ] فإن معظم المجتمع الرياضي [ f ] لم يعتبر نظرية الاحتمالات جزءًا من الرياضيات حتى القرن العشرين. [ 247 ] [ 249 ] [ 250 ] [ 251 ]

الميكانيكا الإحصائية

في العلوم الفيزيائية، طوّر العلماء في القرن التاسع عشر فرعًا يُعرف بالميكانيكا الإحصائية ، حيث تُعتبر الأنظمة الفيزيائية، كالحاويات المملوءة بالغازات، مجموعات من جسيمات متحركة، أو تُعالج رياضيًا بهذه الطريقة. ورغم محاولات بعض العلماء، مثل رودولف كلاوزيوس ، لإدخال عنصر العشوائية في الفيزياء الإحصائية، إلا أن معظم تلك الأعمال كانت تفتقر إلى العشوائية أو تكاد تخلو منها. [ 252 ] [ 253 ] تغير هذا الوضع عام 1859 عندما أسهم جيمس كلارك ماكسويل إسهامًا كبيرًا في هذا المجال، وتحديدًا في النظرية الحركية للغازات، من خلال تقديمه نموذجًا لحركة جسيمات الغاز في اتجاهات عشوائية وبسرعات عشوائية. [ 254 ] [ 255 ] استمر تطوير النظرية الحركية للغازات والفيزياء الإحصائية في النصف الثاني من القرن التاسع عشر، بفضل جهود كلاوزيوس ولودفيج بولتزمان وجوسيا جيبس ، والتي كان لها لاحقًا تأثير على النموذج الرياضي لألبرت أينشتاين للحركة البراونية . [ 256 ]

نظرية القياس ونظرية الاحتمالات

في المؤتمر الدولي للرياضيات في باريس عام 1900، قدّم ديفيد هيلبرت قائمةً من المسائل الرياضية ، حيث تطلّبت مسألته السادسة معالجةً رياضيةً للفيزياء والاحتمالات باستخدام البديهيات . [ 248 ] ومع مطلع القرن العشرين، طوّر علماء الرياضيات نظرية القياس، وهي فرعٌ من الرياضيات يُعنى بدراسة تكاملات الدوال الرياضية، وكان من مؤسسيها عالما الرياضيات الفرنسيان هنري لوبيغ وإميل بوريل . وفي عام 1925، نشر عالم الرياضيات الفرنسي بول ليفي أول كتابٍ في الاحتمالات استخدم فيه أفكارًا من نظرية القياس. [ 248 ]

في عشرينيات القرن العشرين، قدم علماء رياضيات من الاتحاد السوفيتي ، مثل سيرجي بيرنشتاين وألكسندر خينشين وأندريه كولموغوروف ، إسهامات جوهرية في نظرية الاحتمالات . [ 251 ] وفي عام 1929 ، نشر كولموغوروف محاولته الأولى لتقديم أساس رياضي لنظرية الاحتمالات، قائم على نظرية القياس. [ 257 ] وفي أوائل ثلاثينيات القرن العشرين، أنشأ خينشين وكولموغوروف حلقات دراسية حول الاحتمالات، حضرها باحثون مثل يوجين سلوتسكي ونيكولاي سميرنوف . [ 258 ] وقدّم خينشين أول تعريف رياضي للعملية العشوائية باعتبارها مجموعة من المتغيرات العشوائية المفهرسة بخط الأعداد الحقيقية. [ 63 ] [ 259 ] [ h ]

نشأة نظرية الاحتمالات الحديثة

في عام ١٩٣٣، نشر أندريه كولموغوروف باللغة الألمانية كتابه حول أسس نظرية الاحتمالات بعنوان " Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung" [ i ] ، حيث استخدم فيه نظرية القياس لتطوير إطار بديهي لنظرية الاحتمالات. ويُعتبر نشر هذا الكتاب اليوم بمثابة ميلاد نظرية الاحتمالات الحديثة، إذ أصبحت نظريات الاحتمالات والعمليات العشوائية جزءًا من الرياضيات. [ ٢٤٨ ] [ ٢٥١ ]

بعد نشر كتاب كولموغوروف، قام خينشين وكولموغوروف، إلى جانب علماء رياضيات آخرين مثل جوزيف دوب ، وويليام فيلر ، وموريس فريشيه ، وبول ليفي ، وولفغانغ دوبلين ، وهارالد كرامر ، بأعمال أساسية إضافية في نظرية الاحتمالات والعمليات العشوائية. [ 248 ] [ 251 ] وبعد عقود، وصف كرامر ثلاثينيات القرن العشرين بأنها "العصر الذهبي لنظرية الاحتمالات الرياضية". [ 251 ] وقد أدت الحرب العالمية الثانية إلى تعطيل كبير في تطور نظرية الاحتمالات، مما تسبب، على سبيل المثال، في هجرة فيلر من السويد إلى الولايات المتحدة الأمريكية [ 251 ] ووفاة دوبلين، الذي يُعتبر الآن رائدًا في مجال العمليات العشوائية. [ 261 ]

قدّم عالم الرياضيات جوزيف دوب أعمالاً رائدة في نظرية العمليات العشوائية، وساهم إسهامات جوهرية، لا سيما في نظرية المارتينجالات. [ 262 ] [ 260 ] ويُعتبر كتابه "العمليات العشوائية" مرجعاً بالغ الأهمية في مجال نظرية الاحتمالات. [ 263 ]

العمليات العشوائية بعد الحرب العالمية الثانية

بعد الحرب العالمية الثانية، حظيت دراسة نظرية الاحتمالات والعمليات العشوائية باهتمام متزايد من علماء الرياضيات، حيث قُدّمت إسهامات كبيرة في العديد من مجالات الاحتمالات والرياضيات، فضلاً عن استحداث مجالات جديدة. [ 251 ] [ 264 ] ابتداءً من أربعينيات القرن العشرين، نشر كيوسي إيتو أبحاثًا طوّرت مجال حساب التفاضل والتكامل العشوائي ، الذي يشمل التكاملات العشوائية والمعادلات التفاضلية العشوائية القائمة على عملية حركة وينر أو براون. [ 265 ]

في أربعينيات القرن العشرين، بدأت تظهر روابط بين العمليات العشوائية، ولا سيما المارتينجالات، ومجال نظرية الكمون الرياضي ، وذلك بفضل أفكار شيزو كاكوتاني المبكرة ، ثم أعمال جوزيف دوب اللاحقة. [ 264 ] وفي خمسينيات القرن العشرين ، قام جيلبرت هانت بعمل رائد آخر ، ربط فيه بين عمليات ماركوف ونظرية الكمون، مما كان له أثر كبير على نظرية عمليات ليفي، وأدى إلى مزيد من الاهتمام بدراسة عمليات ماركوف باستخدام الأساليب التي طورها إيتو. [ 21 ] [ 266 ] [ 267 ]

في عام 1953، نشر دوب كتابه "العمليات العشوائية" ، الذي كان له تأثير كبير على نظرية العمليات العشوائية، وأكد على أهمية نظرية القياس في الاحتمالات. [ 264 ] [ 263 ] كما طور دوب بشكل رئيسي نظرية المارتينجال، مع مساهمات لاحقة كبيرة من بول أندريه ماير . وقد سبق أن قام سيرجي بيرنشتاين وبول ليفي وجان فيل بأعمال مماثلة ، حيث اعتمد الأخير مصطلح "المارتينجال" للعملية العشوائية. [ 268 ] [ 269 ] أصبحت طرق نظرية المارتينجال شائعة لحل مسائل احتمالية متنوعة. طُورت تقنيات ونظريات لدراسة عمليات ماركوف، ثم طُبقت على المارتينجال. في المقابل، وُضعت طرق من نظرية المارتينجال لمعالجة عمليات ماركوف. [ 264 ]

طُوِّرت مجالات أخرى في علم الاحتمالات واستُخدمت لدراسة العمليات العشوائية، وكان من أبرزها نظرية الانحرافات الكبيرة. [ 264 ] لهذه النظرية تطبيقات عديدة في الفيزياء الإحصائية، وغيرها من المجالات، وتعود أفكارها الأساسية إلى ثلاثينيات القرن العشرين على الأقل. وفي ستينيات وسبعينيات القرن العشرين، أنجز ألكسندر وينتزل في الاتحاد السوفيتي، ومونرو د. دونسكر وسرينيفاسا فارادان في الولايات المتحدة الأمريكية، أعمالًا رائدة في هذا المجال، [ 270 ] والتي تُوِّجت لاحقًا بفوز فارادان بجائزة أبيل عام 2007. [ 271 ] في التسعينيات والألفية الجديدة، تم تقديم وتطوير نظريات تطور شرام-لوينر [ 272 ] والمسارات الخشنة [ 142 ] لدراسة العمليات العشوائية وغيرها من الكائنات الرياضية في نظرية الاحتمالات، مما أدى على التوالي إلى منح ميداليات فيلدز إلى ويندلين فيرنر [ 273 ] في عام 2008 وإلى مارتن هايرر في عام 2014. [ 274 ]

لا تزال نظرية العمليات العشوائية محورًا للبحث، حيث تُعقد مؤتمرات دولية سنوية حول موضوع العمليات العشوائية. [ 45 ] [ 225 ]

اكتشافات العمليات العشوائية المحددة

على الرغم من أن خينشين قدّم تعريفات رياضية للعمليات العشوائية في ثلاثينيات القرن العشرين، [ 63 ] [ 259 ] فقد تم اكتشاف عمليات عشوائية محددة في سياقات مختلفة، مثل عملية الحركة البراونية وعملية بواسون. [ 21 ] [ 24 ] بعض أنواع العمليات العشوائية، مثل عمليات النقاط أو عمليات التجديد، لها تاريخ طويل ومعقد يمتد لقرون. [ 275 ]

عملية برنولي

تُعدّ عملية برنولي، التي يمكن استخدامها كنموذج رياضي لرمي عملة معدنية غير متوازنة، ربما أول عملية عشوائية دُرست. [ 81 ] وتتألف هذه العملية من سلسلة من تجارب برنولي المستقلة، [ 82 ] والتي سُميت نسبةً إلى جاكوب برنولي الذي استخدمها لدراسة ألعاب الحظ، بما في ذلك مسائل الاحتمالات التي اقترحها ودرسها كريستيان هويغنز سابقًا. [ 276 ] وقد نُشرت أعمال برنولي، بما في ذلك عملية برنولي، في كتابه "فن التخمين" (Ars Conjectandi) عام 1713. [ 277 ]

المشي العشوائي

في عام ١٩٠٥، صاغ كارل بيرسون مصطلح " المشي العشوائي" عند طرحه مسألة تصف المشي العشوائي على المستوى، مستلهمًا ذلك من تطبيق في علم الأحياء، إلا أن مسائل مماثلة تتضمن المشي العشوائي كانت قد دُرست بالفعل في مجالات أخرى. ويمكن اعتبار بعض مسائل المقامرة التي دُرست قبل قرون مسائل تتضمن المشي العشوائي. [ ٨٩ ] [ ٢٧٧ ] على سبيل المثال، تعتمد مسألة " إفلاس المقامر" على المشي العشوائي البسيط، [ ١٩٥ ] [ ٢٧٨ ] وهي مثال على المشي العشوائي ذي الحواجز الممتصة. [ ٢٤١ ] [ ٢٧٩ ] وقدّم كل من باسكال وفيرما وهويينز حلولًا عددية لهذه المسألة دون تفصيل طرقهم، [ ٢٨٠ ] ثم قدّم جاكوب برنولي وأبراهام دي مويفر حلولًا أكثر تفصيلًا . [ ٢٨١ ]

للمشي العشوائي فين{\displaystyle n}في دراسة الشبكات الصحيحة ذات الأبعاد n ، نشر جورج بوليا ، في عامي 1919 و1921، بحثًا تناول فيه احتمالية عودة مسار عشوائي متناظر إلى موضع سابق في الشبكة. بيّن بوليا أن المسار العشوائي المتناظر، الذي له احتمال متساوٍ للتقدم في أي اتجاه في الشبكة، سيعود إلى موضع سابق في الشبكة عددًا لا نهائيًا من المرات باحتمالية واحد في بُعد واحد وبُعدين، ولكن باحتمالية صفر في ثلاثة أبعاد أو أكثر. [ 282 ] [ 283 ]

عملية وينر

تعود أصول عملية وينر، أو عملية الحركة البراونية، إلى مجالات متنوعة تشمل الإحصاء والتمويل والفيزياء. [ 21 ] في عام 1880، كتب الفلكي الدنماركي ثورفالد ثيلي بحثًا حول طريقة المربعات الصغرى، حيث استخدم هذه العملية لدراسة أخطاء نموذج في تحليل السلاسل الزمنية. [ 284 ] [ 285 ] [ 286 ] يُعتبر هذا العمل الآن اكتشافًا مبكرًا للطريقة الإحصائية المعروفة باسم ترشيح كالمان ، إلا أنه لم يحظَ بالاهتمام الكافي. يُعتقد أن الأفكار الواردة في بحث ثيلي كانت متقدمة جدًا بحيث لم يستوعبها المجتمع الرياضي والإحصائي الأوسع في ذلك الوقت. [ 286 ]

قدّم نوربرت وينر أول برهان رياضي على وجود عملية وينر. وقد ظهر هذا الكائن الرياضي سابقاً في أعمال ثورفالد ثيل ، ولويس باشيليه ، وألبرت أينشتاين . [ 21 ]

استخدم عالم الرياضيات الفرنسي لويس باشيليه عملية وينر في أطروحته عام 1900 [ 287 ] [ 288 ] لنمذجة تغيرات الأسعار في بورصة باريس [ 289 ] ، دون أن يكون على دراية بأعمال ثيل [21]. وقد تم التكهن بأن باشيليه استقى أفكاره من نموذج المشي العشوائي لجول رينو ، لكن باشيليه لم يستشهد به [ 290 ] ، وتُعتبر أطروحة باشيليه الآن رائدة في مجال الرياضيات المالية [ 289 ] [ 290 ] .

يُعتقد عمومًا أن أعمال باشيليه لم تحظَ باهتمام يُذكر وطواها النسيان لعقود، إلى أن أعاد اكتشافها ليونارد سافاج في خمسينيات القرن العشرين ، ثم ازدادت شعبيتها بعد ترجمة أطروحة باشيليه إلى الإنجليزية عام ١٩٦٤. إلا أن هذه الأعمال لم تُنسَ قط في الأوساط الرياضية، إذ نشر باشيليه كتابًا عام ١٩١٢ يشرح فيه أفكاره بالتفصيل، [ ٢٩٠ ] وقد استشهد به رياضيون من بينهم دوب وفيلر [ ٢٩٠ ] وكولموغوروف. [ ٢١ ] استمر الاستشهاد بالكتاب، ولكن ابتداءً من ستينيات القرن العشرين، بدأت أطروحة باشيليه الأصلية تُستشهد بها أكثر من كتابه، وذلك عندما بدأ الاقتصاديون بالاستشهاد بأعمال باشيليه. [ ٢٩٠ ]

في عام ١٩٠٥، نشر ألبرت أينشتاين بحثًا درس فيه الملاحظة الفيزيائية للحركة البراونية، أو حركة الجسيمات في السوائل، لتفسير حركتها العشوائية ظاهريًا، مستخدمًا أفكارًا من النظرية الحركية للغازات . واستنتج أينشتاين معادلة تفاضلية ، تُعرف بمعادلة الانتشار ، لوصف احتمالية وجود جسيم في منطقة معينة من الفضاء. وبعد فترة وجيزة من نشر أينشتاين بحثه الأول عن الحركة البراونية، نشر ماريان سمولوشوفسكي بحثًا استشهد فيه بأينشتاين، لكنه ذكر أنه توصل بشكل مستقل إلى نتائج مماثلة باستخدام طريقة مختلفة. [ ٢٩١ ]

ألهم عمل أينشتاين، بالإضافة إلى النتائج التجريبية التي حصل عليها جان بيرين ، نوربرت وينر في عشرينيات القرن العشرين [ 292 ] لاستخدام نوع من نظرية القياس، التي طورها بيرسي دانييل ، وتحليل فورييه لإثبات وجود عملية وينر ككائن رياضي. [ 21 ]

عملية بواسون

سُميت عملية بواسون نسبةً إلى سيميون بواسون ، نظرًا لاعتماد تعريفها على توزيع بواسون ، إلا أن بواسون لم يدرس هذه العملية قط. [ 22 ] [ 293 ] وهناك العديد من الادعاءات حول الاستخدامات أو الاكتشافات المبكرة لعملية بواسون. [ 22 ] [ 24 ] في مطلع القرن العشرين، ظهرت عملية بواسون بشكل مستقل في سياقات مختلفة. [ 22 ] [ 24 ] في السويد عام 1903، نشر فيليب لوندبيرغ أطروحة تتضمن عملًا يُعتبر الآن أساسيًا ورائدًا، حيث اقترح فيها نمذجة مطالبات التأمين باستخدام عملية بواسون متجانسة. [ 294 ] [ 295 ]

حدث اكتشاف آخر في الدنمارك عام 1909 عندما استنتج أ. ك. إرلانغ توزيع بواسون أثناء تطويره نموذجًا رياضيًا لعدد المكالمات الهاتفية الواردة في فترة زمنية محددة. لم يكن إرلانغ على دراية آنذاك بأعمال بواسون السابقة، وافترض أن عدد المكالمات الهاتفية الواردة في كل فترة زمنية مستقل عن بعضها البعض. ثم وجد الحالة الحدية، والتي تُعدّ في جوهرها إعادة صياغة لتوزيع بواسون كحدّ لتوزيع ذي الحدين. [ 22 ]

في عام ١٩١٠، نشر إرنست رذرفورد وهانز جايجر نتائج تجريبية حول عدّ جسيمات ألفا. وبدافع من عملهما، درس هاري بيتمان مسألة العدّ واستنتج احتمالات بواسون كحلٍّ لمجموعة من المعادلات التفاضلية، مما أدى إلى اكتشاف عملية بواسون بشكل مستقل. [ ٢٢ ] بعد ذلك، أُجريت العديد من الدراسات والتطبيقات لعملية بواسون، إلا أن تاريخها المبكر معقد، وهو ما يُفسَّر بتطبيقاتها المتنوعة في مجالات عديدة من قِبَل علماء الأحياء، وعلماء البيئة، والمهندسين، وعلماء الفيزياء. [ ٢٢ ]

عمليات ماركوف

سُميت عمليات ماركوف وسلاسل ماركوف نسبةً إلى أندريه ماركوف الذي درس سلاسل ماركوف في أوائل القرن العشرين. كان ماركوف مهتمًا بدراسة امتداد للمتتاليات العشوائية المستقلة. في ورقته البحثية الأولى حول سلاسل ماركوف، التي نُشرت عام 1906، بيّن ماركوف أنه في ظل شروط معينة، تتقارب متوسطات نتائج سلسلة ماركوف إلى متجه ثابت من القيم، مُثبتًا بذلك قانونًا ضعيفًا للأعداد الكبيرة دون افتراض الاستقلال، [ 296 ] [ 297 ] [ 298 ] الذي كان يُعتبر شرطًا أساسيًا لصحة مثل هذه القوانين الرياضية. [ 298 ] استخدم ماركوف لاحقًا سلاسل ماركوف لدراسة توزيع حروف العلة في رواية "يوجين أونجين" التي كتبها ألكسندر بوشكين ، وأثبت نظرية النهاية المركزية لهذه السلاسل.

في عام ١٩١٢، درس بوانكاريه سلاسل ماركوف على الزمر المنتهية بهدف دراسة خلط أوراق اللعب. ومن الاستخدامات المبكرة الأخرى لسلاسل ماركوف نموذج الانتشار، الذي قدمه بول وتاتيانا إهرنفست عام ١٩٠٧، وعملية التفرع، التي قدمها فرانسيس غالتون وهنري ويليام واتسون عام ١٨٧٣، والتي سبقت عمل ماركوف. [ ٢٩٦ ] [ ٢٩٧ ] بعد عمل غالتون وواتسون، كُشف لاحقًا أن عملية التفرع الخاصة بهما قد اكتُشفت ودُرست بشكل مستقل قبل ذلك بنحو ثلاثة عقود من قِبل إيرينيه جول بيناميه . [ ٢٩٩ ] ابتداءً من عام ١٩٢٨، أبدى موريس فريشيه اهتمامًا بسلاسل ماركوف، مما أدى في النهاية إلى نشره دراسة مفصلة عنها عام ١٩٣٨. [ ٢٩٦ ] [ ٣٠٠ ]

طوّر أندريه كولموغوروف، في بحثٍ نُشر عام 1931، جزءًا كبيرًا من النظرية المبكرة لعمليات ماركوف ذات الزمن المستمر. [ 251 ] [ 257 ] استلهم كولموغوروف جزئيًا من عمل لويس باشيليه عام 1900 حول تقلبات سوق الأسهم، بالإضافة إلى عمل نوربرت وينر حول نموذج أينشتاين للحركة البراونية. [ 257 ] [ 301 ] قدّم كولموغوروف مجموعةً محددةً من عمليات ماركوف تُعرف بعمليات الانتشار، ودرسها، حيث اشتقّ مجموعةً من المعادلات التفاضلية التي تصف هذه العمليات. [ 257 ] [ 302 ] وبشكلٍ مستقل عن عمل كولموغوروف، اشتقّ سيدني تشابمان، في بحثٍ نُشر عام 1928، معادلةً تُعرف الآن بمعادلة تشابمان-كولموغوروف ، بطريقةٍ أقل دقةً من الناحية الرياضية مقارنةً بكولموغوروف، وذلك أثناء دراسته للحركة البراونية. [ 303 ] تُعرف المعادلات التفاضلية الآن باسم معادلات كولموغوروف [ 304 ] أو معادلات كولموغوروف-تشابمان. [ 305 ] ومن بين علماء الرياضيات الآخرين الذين ساهموا بشكل كبير في وضع أسس عمليات ماركوف، ويليام فيلر، بدءًا من ثلاثينيات القرن العشرين، ثم يوجين دينكين، بدءًا من خمسينيات القرن العشرين. [ 251 ]

عمليات ليفي

تُنسب عمليات ليفي، مثل عملية وينر وعملية بواسون (على خط الأعداد الحقيقية)، إلى بول ليفي الذي بدأ دراستها في ثلاثينيات القرن العشرين، [ 225 ] ولكنها ترتبط بتوزيعات قابلة للقسمة بلا حدود تعود إلى عشرينيات القرن العشرين. [ 224 ] في ورقة بحثية نُشرت عام 1932، اشتق كولموغوروف دالة مميزة للمتغيرات العشوائية المرتبطة بعمليات ليفي. وقد اشتق ليفي هذه النتيجة لاحقًا في ظل شروط أكثر عمومية عام 1934، ثم قدم خينشين بشكل مستقل صيغة بديلة لهذه الدالة المميزة عام 1937. [ 251 ] [ 306 ] بالإضافة إلى ليفي وخينشين وكولوموغروف، قدم برونو دي فينيتي وكيوسي إيتو إسهامات أساسية مبكرة في نظرية عمليات ليفي . [ 224 ]

البناء الرياضي

في الرياضيات، تُعدّ عمليات بناء الكائنات الرياضية ضرورية، كما هو الحال بالنسبة للعمليات العشوائية، لإثبات وجودها رياضيًا. [ 57 ] يوجد منهجان رئيسيان لبناء عملية عشوائية. يتضمن أحدهما النظر في فضاء قابل للقياس من الدوال، وتحديد دالة قابلة للقياس مناسبة من فضاء احتمالي إلى هذا الفضاء، ثم استنتاج التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة المناظرة. [ 307 ]

يتمثل نهج آخر في تعريف مجموعة من المتغيرات العشوائية بحيث يكون لها توزيعات محددة ذات أبعاد محدودة، ثم استخدام نظرية كولموغوروف للوجود [ j ] لإثبات وجود عملية عشوائية مقابلة. [ 57 ] [ 307 ] تنص هذه النظرية، وهي نظرية وجود للقياسات على فضاءات الضرب اللانهائية، [ 311 ] على أنه إذا حقق أي توزيع ذي أبعاد محدودة شرطين، يُعرفان بشروط الاتساق ، فإنه توجد عملية عشوائية بتلك التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. [ 57 ]

مشاكل البناء

عند بناء العمليات العشوائية ذات الزمن المستمر، تظهر بعض الصعوبات الرياضية نتيجةً لمجموعات المؤشرات غير القابلة للعد، وهي صعوبات لا تظهر في العمليات ذات الزمن المتقطع. [ 58 ] [ 59 ] إحدى المشكلات هي إمكانية وجود أكثر من عملية عشوائية لها نفس التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. على سبيل المثال، لكل من التعديل المستمر من اليسار والتعديل المستمر من اليمين لعملية بواسون نفس التوزيعات ذات الأبعاد المحدودة. [ 312 ] هذا يعني أن توزيع العملية العشوائية لا يحدد بالضرورة خصائص دوال العينة الخاصة بها بشكل فريد. [ 307 ] [ 313 ]

تتمثل مشكلة أخرى في أن الدوال الوظيفية للعمليات الزمنية المستمرة التي تعتمد على عدد غير قابل للعد من نقاط مجموعة المؤشرات قد لا تكون قابلة للقياس، وبالتالي قد لا تكون احتمالات بعض الأحداث محددة بدقة. [ 168 ] على سبيل المثال، لا يُعد الحد الأعلى لعملية عشوائية أو حقل عشوائي بالضرورة متغيرًا عشوائيًا محددًا بدقة. [ 30 ] [ 59 ] بالنسبة للعمليات العشوائية الزمنية المستمرةX{\displaystyle X}، وخصائص أخرى تعتمد على عدد لا يُحصى من نقاط مجموعة المؤشرتي{\displaystyle T}يشمل: [ 168 ]

  • دالة عينة لعملية عشوائيةX{\displaystyle X}هي دالة متصلة لـت∈تي{\displaystyle t\in T};
  • دالة عينة لعملية عشوائيةX{\displaystyle X}هي دالة محدودة لـت∈تي{\displaystyle t\in T}؛ و
  • دالة عينة لعملية عشوائيةX{\displaystyle X}هي دالة متزايدة لـت∈تي{\displaystyle t\in T}.

حيث يمكن قراءة الرمز ∈ بمعنى "عضو في المجموعة"، كما فيت{\displaystyle t}أحد أفراد المجموعةتي{\displaystyle T}.

للتغلب على الصعوبتين المذكورتين أعلاه، وهما "أكثر من واحد..." و"وظائف..."، يمكن استخدام افتراضات ومناهج مختلفة. [ 69 ]

حل مشاكل البناء

يتمثل أحد الأساليب المقترحة لتجنب مشاكل البناء الرياضي للعمليات العشوائية، والتي اقترحها جوزيف دوب ، في افتراض أن العملية العشوائية قابلة للفصل. [ 314 ] يضمن الفصل أن التوزيعات اللانهائية الأبعاد تحدد خصائص دوال العينة، وذلك باشتراط أن تكون دوال العينة محددة أساسًا بقيمها على مجموعة كثيفة قابلة للعد من النقاط في مجموعة المؤشر. [ 315 ] علاوة على ذلك، إذا كانت العملية العشوائية قابلة للفصل، فإن الدوال الوظيفية لعدد غير قابل للعد من نقاط مجموعة المؤشر تكون قابلة للقياس، ويمكن دراسة احتمالاتها. [ 168 ] [ 315 ]

ثمة نهج آخر ممكن، طُوِّر في الأصل بواسطة أناتولي سكوروخود وأندريه كولموغوروف [ 316 ] ، لعملية عشوائية متصلة الزمن ذات فضاء متري كحالة لها. لبناء هذه العملية العشوائية، يُفترض أن دوال العينة تنتمي إلى فضاء دوال مناسب، وهو عادةً فضاء سكوروخود الذي يتألف من جميع الدوال المتصلة من اليمين ذات النهايات من اليسار. يُستخدم هذا النهج حاليًا أكثر من افتراض قابلية الفصل [ 69 ] [ 262 ]، ولكن العملية العشوائية المبنية على هذا النهج ستكون قابلة للفصل تلقائيًا [ 317 ] .

على الرغم من قلة استخدامها، تُعتبر فرضية الفصل أكثر عمومية لأن لكل عملية عشوائية نسخة قابلة للفصل. [ 262 ] كما تُستخدم عندما يتعذر بناء عملية عشوائية في فضاء سكوروهود. [ 173 ] على سبيل المثال، يُفترض الفصل عند بناء ودراسة الحقول العشوائية، حيث تُفهرس مجموعة المتغيرات العشوائية بمجموعات أخرى غير خط الأعداد الحقيقية، مثلن{\displaystyle n}الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. [ 30 ] [ 318 ]

طلب

تطبيقات في مجال التمويل

نموذج بلاك-شولز

يُعدّ نموذج بلاك-شولز لتسعير الخيارات أحد أشهر تطبيقات العمليات العشوائية في مجال التمويل . وقد طوّره كلٌّ من فيشر بلاك ، ومايرون شولز ، وروبرت ميرتون (الذين نالوا جائزة نوبل التذكارية في العلوم الاقتصادية عام 1997 بفضل إسهاماتهم )، ويستخدم هذا النموذج الحركة البراونية الهندسية ، وهي نوعٌ خاص من العمليات العشوائية، لوصف ديناميكيات أسعار الأصول. [ 319 ] [ 320 ]

يفترض النموذج أن سعر السهم يتبع عملية عشوائية مستمرة الزمن مدفوعة بمعادلة تفاضلية عشوائية (SDE): دSت=μSتدت+σSتددبليوت{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dW_{t}} أين:

  • Sت{\textstyle S_{t}}يمثل سعر الأصل الأساسي في الوقت t .
  • μ هو معدل الانحراف، الذي يمثل العائد المتوقع للأصل.
  • σ هو تقلب عوائد الأصل.
  • دبليوت{\textstyle W_{t}}هي عملية وينر قياسية (حركة براونية) تُدخل صدمات السوق العشوائية.

يرتكز نموذج بلاك-شولز على فرضية أساسية مفادها أن سعر الأصل المالي، كالسهم مثلاً، يتبع توزيعاً لوغاريتمياً طبيعياً ، وأن عوائده المستمرة تتبع توزيعاً طبيعياً. وبفضل هذه الخصائص، يوفر النموذج حلاً رياضياً مغلقاً لتسعير خيارات النمط الأوروبي. وقد كان لصيغة بلاك-شولز أثر بالغ على الأسواق المالية، إذ شكلت أساساً للكثير من عمليات تداول الخيارات الحديثة. ورغم وجود بعض القيود على النموذج، كافتراض ثبات التقلبات وانعدام تكاليف المعاملات، إلا أنه لا يزال شائع الاستخدام لبساطته وأهميته العملية.

نماذج التقلب العشوائي

يُعدّ نموذج التقلبات العشوائية تطبيقًا هامًا آخر للعمليات العشوائية في مجال التمويل ، إذ يهدف إلى رصد الطبيعة المتغيرة بمرور الوقت لتقلبات السوق. ويُعتبر نموذج هيستون [ 321 ] مثالًا شائعًا، حيث يسمح لتقلبات أسعار الأصول باتباع عملية عشوائية خاصة بها بدلًا من بقائها ثابتة تمامًا.

في نموذج هيستون، يتم نمذجة سعر الأصل وتباينه كنظام من المعادلات التفاضلية العشوائية المترابطة: دSت=μSتدت+vتSتددبليوتS{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {v_{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}}دvت=κ(θ-vت)دت+ξvتددبليوتv{\displaystyle dv_{t}=\kappa (\theta -v_{t})\,dt+\xi {\sqrt {v_{t}}}\,dW_{t}^{v}} أين:

  • vت{\textstyle v_{t}}يمثل التباين اللحظي، والذي يتبع عملية كوكس-إنجرسول-روس ذات الانعكاس المتوسط .
  • θ هو متوسط ​​التباين على المدى الطويل، و κ هو المعدل الذيvت{\textstyle v_{t}}يعود إلى θ .
  • ξ هو "تقلب التقلب".
  • دبليوتS{\textstyle W_{t}^{S}}ودبليوتv{\textstyle W_{t}^{v}}هناك عمليتان متميزتان من عمليات وينر مرتبطتان رياضيا (بمعامل ارتباط ρ )، مما يسمح للنموذج بالتقاط تأثيرات الرافعة المالية (على سبيل المثال، غالبًا ما تزداد التقلبات عندما تنخفض أسعار الأسهم).

بخلاف نموذج بلاك-شولز، الذي يفترض ثبات التقلبات وينتج عنه سطح تقلبات مسطح، توفر نماذج التقلبات العشوائية إطارًا أكثر مرونة لنمذجة ديناميكيات السوق. فهي تُعيد إنتاج "ابتسامة التقلبات" بنجاح، والتي تُلاحظ في تسعير الخيارات في العالم الحقيقي، مما يجعلها بالغة الأهمية خلال فترات عدم اليقين الشديد أو ضغوط السوق.

تطبيقات في علم الأحياء

ديناميات السكان

يُعدّ علم ديناميكيات السكان أحد التطبيقات الرئيسية للعمليات العشوائية في علم الأحياء . فعلى عكس النماذج الحتمية التي تفترض أن تغيرات السكان تتم بطرق يمكن التنبؤ بها، تأخذ النماذج العشوائية في الحسبان العشوائية الكامنة في الولادات والوفيات والهجرة. وتصف عملية الولادة والوفاة [ 322 ] ، وهي نموذج عشوائي بسيط، كيفية تقلب أعداد السكان بمرور الوقت نتيجة للولادات والوفيات العشوائية. وتكتسب هذه النماذج أهمية خاصة عند التعامل مع مجموعات سكانية صغيرة، حيث يمكن أن يكون للأحداث العشوائية تأثيرات كبيرة، كما هو الحال في الأنواع المهددة بالانقراض أو المجموعات الميكروبية الصغيرة.

مثال آخر هو عملية التفرع [ 322 ] ، التي تُحاكي نموّ جماعة سكانية حيث يتكاثر كل فرد بشكل مستقل. تُستخدم عملية التفرع غالبًا لوصف انقراض أو انفجار الجماعات السكانية، لا سيما في علم الأوبئة، حيث يمكنها محاكاة انتشار الأمراض المعدية داخل الجماعة السكانية.

تطبيقات في علوم الحاسوب

الخوارزميات العشوائية

تلعب العمليات العشوائية دورًا محوريًا في علوم الحاسوب، لا سيما في تحليل وتطوير الخوارزميات العشوائية . تستخدم هذه الخوارزميات مدخلات عشوائية لتبسيط حل المشكلات أو تحسين الأداء في المهام الحسابية المعقدة. على سبيل المثال، تُستخدم سلاسل ماركوف على نطاق واسع في الخوارزميات الاحتمالية لمهام التحسين وأخذ العينات، كتلك المستخدمة في محركات البحث مثل PageRank من جوجل. [ 323 ] تُوازن هذه الأساليب بين الكفاءة الحسابية والدقة، مما يجعلها بالغة الأهمية في التعامل مع مجموعات البيانات الضخمة. كما تُطبّق الخوارزميات العشوائية على نطاق واسع في مجالات مثل التشفير، والمحاكاة واسعة النطاق، والذكاء الاصطناعي، حيث يجب إدارة عدم اليقين بفعالية. [ 323 ]

نظرية الطوابير

يُعدّ تطبيق نظرية الطوابير ، التي تُحاكي وصول المهام ومعالجتها بشكل عشوائي في النظام، تطبيقًا هامًا آخر للعمليات العشوائية في علوم الحاسوب . [ 324 ] ويكتسب هذا التطبيق أهمية خاصة في تحليل حركة مرور الشبكة وإدارة الخوادم. فعلى سبيل المثال، تُساعد نماذج الطوابير في التنبؤ بالتأخيرات، وإدارة تخصيص الموارد، وتحسين الإنتاجية في خوادم الويب وشبكات الاتصالات. وتتيح مرونة النماذج العشوائية للباحثين محاكاة أداء بيئات حركة المرور العالية وتحسينه. فعلى سبيل المثال، تُعدّ نظرية الطوابير أساسية لتصميم مراكز بيانات فعّالة وبنى تحتية للحوسبة السحابية. [ 325 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يمكن أن يشير مصطلح الحركة البراونية إلى العملية الفيزيائية، والمعروفة أيضًا باسم الحركة البراونية ، وإلى العملية العشوائية، وهي كائن رياضي، ولكن لتجنب الالتباس، تستخدم هذه المقالة مصطلحي عملية الحركة البراونية أو عملية وينر للإشارة إلى الأخيرة بأسلوب مشابه، على سبيل المثال، لـ Gikhman و Skorokhod [ 19 ] أو Rosenblatt. [ 20 ]
  2. ↑ يظهر مصطلح "قابل للفصل" مرتين هنا بمعنيين مختلفين، الأول من منظور الاحتمالات والثاني من منظور الطوبولوجيا والتحليل. ولكي تكون العملية العشوائية قابلة للفصل (بالمعنى الاحتمالي)، يجب أن تكون مجموعة مؤشراتها فضاءً قابلاً للفصل (بالمعنى الطوبولوجي أو التحليلي)، بالإضافة إلى شروط أخرى. [ 136 ]
  3. ↑ يمكن صياغة تعريف قابلية الفصل لعملية عشوائية حقيقية القيمة مستمرة الزمن بطرق أخرى. [ 172 ] [ 173 ]
  4. ↑ في سياق العمليات النقطية، يمكن أن يعني مصطلح "فضاء الحالة" الفضاء الذي يتم فيه تعريف العملية النقطية مثل الخط الحقيقي، [ 234 ] [ 235 ] والذي يتوافق مع مجموعة المؤشرات في مصطلحات العمليات العشوائية.
  5. ↑ يُعرف أيضًا باسم جيمس أو جاك برنولي. [ 244 ]
  6. ↑ وقد لوحظ أن مدرسة سانت بطرسبرغ في روسيا كانت استثناءً بارزاً، حيث درس علماء الرياضيات بقيادة تشيبيشيف نظرية الاحتمالات. [ 249 ]
  7. ↑ يُكتب اسم خينشين أيضًا باللغة الإنجليزية (أو يُنقل إليها صوتيًا) باسم خينتشين. [ 63 ]
  8. ↑ يستخدم دوب، عند الاستشهاد بخينشين، مصطلح "المتغير الاحتمالي"، والذي كان يُستخدم سابقًا كمصطلح بديل لـ "المتغير العشوائي". [ 260 ]
  9. ↑ تُرجمت لاحقًا إلى اللغة الإنجليزية ونُشرت في عام 1950 بعنوان أسس نظرية الاحتمالات [ 248 ]
  10. ↑ يُعرف هذا المبرهن بأسماء أخرى منها مبرهنة كولموغوروف للاتساق، [ 308 ] ومبرهنة كولموغوروف للتمديد ، [ 309 ] أو مبرهنة دانييل-كولموغوروف. [ 310 ]

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 جوزيف ل. دوب (1990). العمليات العشوائية . وايلي. ص  46، 47.
  2. 1 2 3 4 ل. سي جي روجرز؛ ديفيد ويليامز (2000). الانتشار، عمليات ماركوف، والمارتينجالات: المجلد 1، الأسس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1. ISBN  978-1-107-71749-7.
  3. 1 2 3 ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 29. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  4. 1 2 3 4 5 إيمانويل بارزن (2015). العمليات العشوائية . منشورات كوريير دوفر. الصفحات 7، 8. ISBN  978-0-486-79688-8.
  5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 يوسيف إيليتش غيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1969). مقدمة في نظرية العمليات العشوائية . شركة كورير. ص 1. ISBN  978-0-486-69387-3.
  6. ↑ بريسلوف، بول سي. (2014). العمليات العشوائية في بيولوجيا الخلية . سبرينغر. ISBN 978-3-319-08488-6.
  7. ↑ فان كامبن، إن جي (2011). العمليات العشوائية في الفيزياء والكيمياء . إلسيفير . ISBN 978-0-08-047536-3.
  8. ^ لاند ، راسل. إنجن، شتاينار. ساثر، بيرنت إريك (2003). الديناميات السكانية العشوائية في علم البيئة والحفظ . مطبعة جامعة أكسفورد . رقم ISBN 978-0-19-852525-7.
  9. ↑ لاينغ، كارلو؛ لورد، غابرييل ج. (2010). الأساليب العشوائية في علم الأعصاب . مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 978-0-19-923507-0.
  10. ↑ بول، فولفغانغ؛ باشناغل، يورغ (2013). العمليات العشوائية: من الفيزياء إلى التمويل . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . ISBN 978-3-319-00327-6.
  11. ↑ دوغيرتي، إدوارد ر. (1999). العمليات العشوائية لمعالجة الصور والإشارات . مطبعة SPIE للهندسة البصرية. ISBN 978-0-8194-2513-3.
  12. ↑ بيرتسيكاس، ديمتري ب. (1996). التحكم الأمثل العشوائي: حالة الزمن المتقطع . أثينا ساينتيفيك. ISBN 1-886529-03-5.
  13. ↑ توماس م. كوفر؛ جوي أ. توماس (2012). عناصر نظرية المعلومات . جون وايلي وأولاده . ص 71. ISBN  978-1-118-58577-1.
  14. ↑ بارون، مايكل (2015). الاحتمالات والإحصاء لعلماء الحاسوب ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي . ص 131. ISBN   978-1-4987-6060-7.
  15. ↑ باتشيلي، فرانسوا؛ بلاشتشيزين، بارتلومي (2009). الهندسة العشوائية والشبكات اللاسلكية . دار نشر ناو . رقم ISBN 978-1-60198-264-3.
  16. ↑ ستيل، ج. مايكل (2001). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . ISBN 978-0-387-95016-7.
  17. 1 2 موسيلا، ماريك؛ روتكوفسكي، ماريك (2006). طرق مارتينجال في النمذجة المالية . سبرينغر ساينس + وسائل الإعلام التجارية . رقم ISBN 978-3-540-26653-2.
  18. ↑ شريف، ستيفن إي. (2004). حساب التفاضل والتكامل العشوائي للتمويل II: نماذج الزمن المستمر . سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . ISBN 978-0-387-40101-0.
  19. ↑ يوسيف إيليتش غيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1969). مقدمة في نظرية العمليات العشوائية . شركة كورير. ISBN 978-0-486-69387-3.
  20. ↑ موراي روزنبلات (1962). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد.
  21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 جارو، روبرت؛ بروتر، فيليب (2004). "تاريخ موجز للتكامل العشوائي والتمويل الرياضي: السنوات الأولى، 1880-1970". كتاب تذكاري لهيرمان روبين . سلسلة محاضرات معهد الإحصاء الرياضي - سلسلة الدراسات. ص 75-80 . CiteSeerX 10.1.1.114.632 . doi : 10.1214/lnms/1196285381 . ISBN   978-0-940600-61-4ISSN 0749-2170​​ 
  22. 1 2 3 4 5 6 7 8 ستيرزاكر، ديفيد (2000). "نصائح للقنافذ، أو، الثوابت يمكن أن تتغير". المجلة الرياضية . 84 (500): 197-210 . doi : 10.2307/3621649 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3621649. S2CID 125163415 .   
  23. ↑ دونالد ل. سنايدر؛ مايكل آي. ميلر (2012). عمليات النقاط العشوائية في الزمان والمكان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 32. ISBN  978-1-4612-3166-0.
  24. 1 2 3 4 غوتورب، بيتر؛ ثورارينسدوتير، ثورديس ل. (2012). "ماذا حدث للفوضى المنفصلة، ​​وعملية كينويل، وخاصية شارب ماركوف؟ نبذة تاريخية عن عمليات النقاط العشوائية". المجلة الإحصائية الدولية . 80 (2): 253-268 . doi : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x . ISSN 0306-7734 . S2CID 80836 .  
  25. ↑ غوساك، دميترو؛ كوكوش، ألكسندر؛ كوليك، أليكسي؛ ميشورا، يوليا ؛ بيليبينكو، أندريه (2010). نظرية العمليات العشوائية: مع تطبيقات في الرياضيات المالية ونظرية المخاطر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 21. ISBN  978-0-387-87862-1.
  26. ↑ فاليري سكوروخود (2005). المبادئ الأساسية وتطبيقات نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 42. ISBN  978-3-540-26312-8.
  27. 1 2 3 4 5 6 أولاف كالينبيرغ (2002). أسس الاحتمالات الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 24-25 . ISBN  978-0-387-95313-7.
  28. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ ١٥ ١٦ جون لامبرتي (١٩٧٧). العمليات العشوائية: مسح للنظرية الرياضية . سبرينغر-فيرلاغ. ص ١-٢ . ISBN  978-3-540-90275-1.
  29. 1 2 3 4 لويك شومون؛ مارك يور (2012). تمارين في الاحتمالات: جولة إرشادية من نظرية القياس إلى العمليات العشوائية، عبر التكييف . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 175. ISBN  978-1-107-60655-5.
  30. ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ روبرت ج. أدلر؛ جوناثان إي. تايلور (٢٠٠٩). الحقول العشوائية والهندسة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات ٧-٨ . ISBN  978-0-387-48116-6.
  31. ↑ غريغوري ف. لولر ؛ فلادا ليميتش (2010). المشي العشوائي: مقدمة حديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-139-48876-1.
  32. ↑ ديفيد ويليامز (1991). الاحتمالات مع المارتينجالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-40605-5.
  33. ↑ LCG Rogers؛ David Williams (2000). الانتشار، عمليات ماركوف، والمارتينجالات: المجلد 1، الأسس . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-71749-7.
  34. ↑ ديفيد أبلباوم (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-83263-2.
  35. ↑ ميخائيل ليفشيتس (2012). محاضرات حول العمليات الغاوسية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-642-24939-6.
  36. ↑ روبرت ج. أدلر (2010). هندسة الحقول العشوائية . سيام. رقم ISBN 978-0-89871-693-1.
  37. ↑ صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-0-08-057041-9.
  38. ↑ بروس هاجيك (2015). العمليات العشوائية للمهندسين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-316-24124-0.
  39. 1 2 ج. لاتوش؛ ف. راماسوامي (1999). مقدمة في أساليب التحليل المصفوفي في النمذجة العشوائية . SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
  40. ↑ دي جيه دالي؛ ديفيد فير جونز (2007). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الثاني: النظرية العامة والبنية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-21337-8.
  41. ↑ باتريك بيلينجسلي (2008). الاحتمالات والقياس . وايلي إنديا برايفت ليمتد. ISBN 978-81-265-1771-8.
  42. ↑ بيير بريمو (2014). تحليل فورييه والعمليات العشوائية . سبرينغر. ISBN 978-3-319-09590-5.
  43. ↑ آدم بوبروفسكي (2005). التحليل الوظيفي للاحتمالات والعمليات العشوائية: مقدمة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-83166-6.
  44. ↑ أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1336-1347 .
  45. 1 2 يوشين بلاث؛ بيتر إمكيلر؛ سيلفي رويلي (2011). دراسات استقصائية في العمليات العشوائية . الجمعية الرياضية الأوروبية. ISBN 978-3-03719-072-2.
  46. ↑ ميشيل تالاغراند (2014). الحدود العليا والسفلى للعمليات العشوائية: الأساليب الحديثة والمسائل الكلاسيكية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 4–. ISBN  978-3-642-54075-2.
  47. ↑ بول سي. بريسلوف (2014). العمليات العشوائية في بيولوجيا الخلية . سبرينغر. الصفحات من 7 إلى 9. ISBN  978-3-319-08488-6.
  48. 1 2 3 4 صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 27. ISBN  978-0-08-057041-9.
  49. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1337.
  50. 1 2 ل. سي جي روجرز؛ ديفيد ويليامز (2000). الانتشار، عمليات ماركوف، والمارتينجالات: المجلد 1، الأسس . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 121-124 . ISBN  978-1-107-71749-7.
  51. 1 2 3 4 5 6 إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 294، 295. ISBN  978-1-118-59320-2.
  52. 1 2 صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 26. ISBN  978-0-08-057041-9.
  53. ↑ دونالد ل. سنايدر؛ مايكل آي. ميلر (2012). عمليات النقاط العشوائية في الزمان والمكان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 24، 25. ISBN  978-1-4612-3166-0.
  54. 1 2 باتريك بيلينجسلي (2008). الاحتمال والقياس . وايلي إنديا برايفت ليمتد. ص 482. ISBN  978-81-265-1771-8.
  55. 1 2 ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 527. ISBN  978-1-4471-5201-9.
  56. 1 2 3 بيير بريمو (2014). تحليل فورييه والعمليات العشوائية . سبرينغر. ص 120. ISBN  978-3-319-09590-5.
  57. 1 2 3 4 5 جيفري س. روزنتال (2006). نظرة أولية على نظرية الاحتمالات الصارمة . دار النشر العالمية العلمية. الصفحات 177-178 . ISBN  978-981-310-165-4.
  58. 1 2 بيتر إي. كلويدن ؛ إيكهارد بلاتن (2013). الحل العددي للمعادلات التفاضلية العشوائية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 63. ردمك  978-3-662-12616-5.
  59. 1 2 3 دافار خوشنويسان (2006). العمليات متعددة المعاملات: مقدمة في الحقول العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 153-155 . ISBN  978-0-387-21631-7.
  60. 1 2 "احتمالي" . قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد. (يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة .)
  61. ↑ أو بي شينين (2006). نظرية الاحتمالات والإحصاء كما تم توضيحها في عبارات قصيرة . دار نشر إن جي. ص 5. ISBN  978-3-938417-40-9.
  62. ↑ أوسكار شينين؛ هاينريش ستريكر (2011). ألكسندر أ. تشوبروف: حياته، عمله، مراسلاته . دار نشر V&R unipress GmbH. ص 136. ISBN  978-3-89971-812-6.
  63. 1 2 3 4 دوب، جوزيف (1934). "العمليات العشوائية والإحصاء" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 20 (6): 376-379 . Bibcode : 1934PNAS...20..376D . doi : 10.1073 / pnas.20.6.376 . PMC 1076423. PMID 16587907 .  
  64. ^ خينتشين، أ. (1934). "Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse". الرياضيات أنالن . 109 (1): 604-615 . دوى : 10.1007 / BF01449156 . ISSN 0025-5831 . S2CID 122842868 .  
  65. ^ كولموجوروف، أ. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". الرياضيات أنالن . 104 (1): 1. دوى : 10.1007/BF01457949 . ISSN 0025-5831 . S2CID 119439925 .  
  66. ↑ "عشوائي" . قاموس أكسفورد الإنجليزي ( الطبعة الإلكترونية). مطبعة جامعة أكسفورد. (يشترط الاشتراك أو عضوية المؤسسة المشاركة .)
  67. ↑ بيرت إي. فريستيدت؛ لورانس إف. غراي (2013). مدخل حديث لنظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 580. ISBN  978-1-4899-2837-5.
  68. 1 2 3 4 ل. سي جي روجرز؛ ديفيد ويليامز (2000). الانتشار، عمليات ماركوف، والمارتينجالات: المجلد 1، الأسس . مطبعة جامعة كامبريدج. الصفحات 121، 122. ISBN  978-1-107-71749-7.
  69. 1 2 3 4 5 سورين أسموسن (2003). الاحتمالية التطبيقية وقوائم الانتظار . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 408. ردمك  978-0-387-00211-8.
  70. 1 2 ديفيد ستيرزاكر (2005). العمليات والنماذج العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 45. ISBN  978-0-19-856814-8.
  71. ↑ موراي روزنبلات (1962). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 91 . 
  72. ↑ جون أ. غوبنر (2006). الاحتمالات والعمليات العشوائية لمهندسي الكهرباء والحاسوب . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 383. ISBN  978-1-139-45717-0.
  73. 1 2 كيوزي إيتو (2006). أساسيات العمليات العشوائية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 13. ISBN  978-0-8218-3898-3.
  74. ↑ م. لوف (1978). نظرية الاحتمالات 2. سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 163. ISBN  978-0-387-90262-3.
  75. ↑ بيير بريمو (2014). تحليل فورييه والعمليات العشوائية . سبرينغر. ص 133. ISBN  978-3-319-09590-5.
  76. 1 2 جوساك وآخرون. (2010) ، ص. 1
  77. ↑ ريتشارد ف. باس (2011). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1. ISBN  978-1-139-50147-7.
  78. 1 2 ، جون لامبرتي (1977). العمليات العشوائية: مسح للنظرية الرياضية . سبرينغر-فيرلاغ. ص 3. ISBN  978-3-540-90275-1.
  79. ↑ فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 55. ISBN  978-1-86094-555-7.
  80. 1 2 إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 293. ISBN  978-1-118-59320-2.
  81. 1 2 فلوريسكو، إيونوت (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 301. ISBN  978-1-118-59320-2.
  82. 1 2 بيرتسيكاس، ديمتري ب.؛ تسيتسيكليس، جون ن. (2002). مقدمة في الاحتمال . أثينا العلمية. ص. 273. ردمك  978-1-886529-40-3.
  83. ↑ إيبي، أوليفر سي. (2013). عناصر المشي العشوائي وعمليات الانتشار . جون وايلي وأولاده. ص 11. ISBN  978-1-118-61793-9.
  84. ↑ آخيم كلينكه (2013). نظرية الاحتمالات: دورة شاملة . سبرينغر. ص 347. ISBN  978-1-4471-5362-7.
  85. ↑ غريغوري ف. لولر؛ فلادا ليميتش (2010). المشي العشوائي: مقدمة حديثة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1. ISBN  978-1-139-48876-1.
  86. ↑ أولاف كالينبيرغ (2002). أسس الاحتمالات الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 136. ISBN  978-0-387-95313-7.
  87. ↑ إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 383. ISBN  978-1-118-59320-2.
  88. ↑ ريك دوريت (2010). الاحتمالات: النظرية والأمثلة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 277. ISBN  978-1-139-49113-6.
  89. 1 2 3 فايس، جورج هـ. (2006). "المسارات العشوائية". موسوعة العلوم الإحصائية . ص 1. doi : 10.1002/0471667196.ess2180.pub2 . ISBN  978-0471667193.
  90. ↑ أريس سبانوس (1999). نظرية الاحتمالات والاستدلال الإحصائي: النمذجة الاقتصادية القياسية باستخدام البيانات الرصدية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 454. ISBN  978-0-521-42408-0.
  91. 1 2 فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع التطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 81. ISBN  978-1-86094-555-7.
  92. ↑ آلان غوت (2012). الاحتمالات: دورة دراسات عليا . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 88. ISBN  978-1-4614-4708-5.
  93. ↑ جيفري غريمت؛ ديفيد ستيرزاكر (2001). الاحتمالات والعمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 71. ISBN  978-0-19-857222-0.
  94. ↑ فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 56. ISBN  978-1-86094-555-7.
  95. ↑ براش، ستيفن ج. (1968). "تاريخ العمليات العشوائية". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 5 (1): 1-2 . doi : 10.1007/BF00328110 . ISSN 0003-9519 . S2CID 117623580 .  
  96. ↑ أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1338.
  97. ↑ يوسيف إيليتش غيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1969). مقدمة في نظرية العمليات العشوائية . شركة كورير. ص 21. ISBN  978-0-486-69387-3.
  98. ↑ إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 471. ISBN  978-1-118-59320-2.
  99. 1 2 صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). دورة تمهيدية في العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 21، 22. ISBN  978-0-08-057041-9.
  100. ^ ايوانيس كاراتزاس. ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ص. ثامنا. رقم ISBN  978-1-4612-0949-2.
  101. ^ دانيال ريفوز . مارك يور (2013). مارتينجال المستمر والحركة البراونية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. تاسعا. رقم ISBN  978-3-662-06400-9.
  102. ↑ جيفري س. روزنتال (2006). نظرة أولية على نظرية الاحتمالات الدقيقة . دار النشر العالمية العلمية، ص 186. ISBN  978-981-310-165-4.
  103. ↑ دونالد ل. سنايدر؛ مايكل آي. ميلر (2012). عمليات النقاط العشوائية في الزمان والمكان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 33. ISBN  978-1-4612-3166-0.
  104. ↑ ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 118. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  105. 1 2 بيتر مورتيرز؛ يوفال بيريز (2010). الحركة البراونية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 1، 3. ISBN  978-1-139-48657-6.
  106. ↑ يوانيس كاراتزاس؛ ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ص 78. ISBN  978-1-4612-0949-2.
  107. ↑ يوانيس كاراتزاس؛ ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ص 61. ISBN  978-1-4612-0949-2.
  108. ↑ ستيفن إي. شريف (2004). حساب التفاضل والتكامل العشوائي للتمويل II: نماذج الزمن المستمر . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 93. ISBN  978-0-387-40101-0.
  109. ↑ أولاف كالينبيرغ (2002). أسس الاحتمالات الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 225، 260. ISBN  978-0-387-95313-7.
  110. ↑ يوانيس كاراتزاس؛ ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ص 70. ISBN  978-1-4612-0949-2.
  111. ↑ بيتر مورتيرز؛ يوفال بيريز (2010). الحركة البراونية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 131. ISBN  978-1-139-48657-6.
  112. ↑ فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ISBN 978-1-86094-555-7.
  113. ↑ يوانيس كاراتزاس؛ ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ISBN 978-1-4612-0949-2.
  114. ↑ أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1341.
  115. ↑ صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 340. ISBN  978-0-08-057041-9.
  116. ↑ فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 124. ISBN  978-1-86094-555-7.
  117. ↑ يوانيس كاراتزاس؛ ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ص 47. ISBN  978-1-4612-0949-2.
  118. ^ أوبو ف. ويرسما (2008). حساب الحركة البراونية . جون وايلي وأولاده. ص. 2. رقم ISBN  978-0-470-02171-2.
  119. 1 2 3 هينك سي. تيمز (2003). دورة تمهيدية في النماذج العشوائية . وايلي. ص 1، 2. ISBN  978-0-471-49881-0.
  120. ↑ دي جيه دالي؛ دي فير جونز (2006). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 19-36 . ISBN  978-0-387-21564-8.
  121. ↑ مارك أ. بينسكي؛ صموئيل كارلين (2011). مقدمة في النمذجة العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 241. ISBN  978-0-12-381416-6.
  122. ↑ جيه إف سي كينغمان (1992). عمليات بواسون . مطبعة كلارندون. ص 38. ISBN  978-0-19-159124-2.
  123. ↑ دي جيه دالي؛ دي فير جونز (2006). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 19. ISBN  978-0-387-21564-8.
  124. ↑ جيه إف سي كينغمان (1992). عمليات بواسون . مطبعة كلارندون. ص 22. ISBN  978-0-19-159124-2.
  125. ↑ صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. الصفحات 118، 119. ISBN  978-0-08-057041-9.
  126. ↑ ليونارد كلاينروك ( 1976). أنظمة الانتظار: النظرية . وايلي. ص 61. ISBN  978-0-471-49110-1.
  127. ↑ موراي روزنبلات (1962). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 94 . 
  128. 1 2 مارتن هينجي (2013). الهندسة العشوائية للشبكات اللاسلكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 10، 18. ISBN  978-1-107-01469-5.
  129. 1 2 سونغ نوك تشيو؛ ديتريش ستويان؛ ويلفريد س. كيندال؛ جوزيف ميكي (2013). الهندسة العشوائية وتطبيقاتها . جون وايلي وأولاده. ص 41، 108. ISBN  978-1-118-65825-3.
  130. ↑ جيه إف سي كينغمان (1992). عمليات بواسون . مطبعة كلارندون. ص 11. ISBN  978-0-19-159124-2.
  131. 1 2 روي ل. ستريت (2010). عمليات بواسون النقطية: التصوير والتتبع والاستشعار . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 1. ISBN  978-1-4419-6923-1.
  132. ↑ جيه إف سي كينغمان (1992). عمليات بواسون . مطبعة كلارندون. ص. 5. ISBN  978-0-19-159124-2.
  133. 1 2 ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 528. ISBN  978-1-4471-5201-9.
  134. ↑ جورج ليندغرين؛ هولغر روتزن؛ ماريا ساندستين (2013). العمليات العشوائية الثابتة للعلماء والمهندسين . مطبعة سي آر سي. ص 11. ISBN  978-1-4665-8618-5.
  135. ↑ أومان، روبرت (ديسمبر 1961). "بنى بوريل لفضاءات الدوال" . مجلة إلينوي للرياضيات . 5 (4). doi : 10.1215/ijm/1255631584 . S2CID 117171116 . 
  136. 1 2 3 فاليري سكوروخود (2005). المبادئ الأساسية وتطبيقات نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 93، 94. ISBN  978-3-540-26312-8.
  137. ↑ دونالد ل. سنايدر؛ مايكل آي. ميلر (2012). عمليات النقاط العشوائية في الزمان والمكان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 25. ISBN  978-1-4612-3166-0.
  138. ↑ فاليري سكوروخود (2005). المبادئ الأساسية وتطبيقات نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 104. ISBN  978-3-540-26312-8.
  139. ↑ إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 296. ISBN  978-1-118-59320-2.
  140. ↑ باتريك بيلينجسلي (2008). الاحتمال والقياس . وايلي إنديا برايفت ليمتد. ص 493. ISBN  978-81-265-1771-8.
  141. ↑ بيرنت أوكسندال (2003). المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع تطبيقات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 10. ISBN  978-3-540-04758-2.
  142. 1 2 3 4 5 بيتر ك. فريز ؛ نيكولاس ب. فيكتوار (2010). العمليات العشوائية متعددة الأبعاد كمسارات غير منتظمة: النظرية والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 571. ISBN  978-1-139-48721-4.
  143. ↑ سيدني آي. ريسنيك (2013). مغامرات في العمليات العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 40-41 . ISBN  978-1-4612-0387-2.
  144. ↑ وارد ويت (2006). حدود العمليات العشوائية: مقدمة في حدود العمليات العشوائية وتطبيقها على الطوابير . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 23. ISBN  978-0-387-21748-2.
  145. ↑ ديفيد أبلباوم (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 4. ISBN  978-0-521-83263-2.
  146. ↑ دانيال ريفوز؛ مارك يور (2013). المارتينجالات المستمرة والحركة البراونية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 10. ISBN  978-3-662-06400-9.
  147. ↑ LCG Rogers؛ David Williams (2000). الانتشار، عمليات ماركوف، والمارتينجالات: المجلد 1، الأسس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 123. ISBN  978-1-107-71749-7.
  148. 1 2 3 4 جون لامبرتي (1977). العمليات العشوائية: مسح للنظرية الرياضية . سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 6 و7. ISBN  978-3-540-90275-1.
  149. ↑ يوسيف إ. غيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1969). مقدمة في نظرية العمليات العشوائية . شركة كورير. ص 4. ISBN  978-0-486-69387-3.
  150. ١ ٢ ٣ ٤ روبرت ج. أدلر (٢٠١٠). هندسة الحقول العشوائية . سيام. ص ١٤، ١٥. ISBN  978-0-89871-693-1.
  151. ↑ سونغ نوك تشيو؛ ديتريش ستويان؛ ويلفريد س. كيندال؛ جوزيف ميكي (2013). الهندسة العشوائية وتطبيقاتها . جون وايلي وأولاده. ص 112. ISBN  978-1-118-65825-3.
  152. 1 2 جوزيف ل. دوب (1990). العمليات العشوائية . وايلي. ص 94-96 . 
  153. 1 2 إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 298، 299. ISBN  978-1-118-59320-2.
  154. ↑ يوسيف إيليتش غيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1969). مقدمة في نظرية العمليات العشوائية . شركة كورير. ص 8. ISBN  978-0-486-69387-3.
  155. 1 2 3 ديفيد ويليامز (1991). الاحتمالات مع المارتينجالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 93، 94. ISBN  978-0-521-40605-5.
  156. ↑ فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 22-23 . ISBN  978-1-86094-555-7.
  157. ↑ بيتر مورتيرز؛ يوفال بيريز (2010). الحركة البراونية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 37. ISBN  978-1-139-48657-6.
  158. 1 2 ل. سي جي روجرز؛ ديفيد ويليامز (2000). الانتشار، وعمليات ماركوف، والمارتينجالات: المجلد 1، الأسس . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 130. ISBN  978-1-107-71749-7.
  159. ↑ ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 530. ISBN  978-1-4471-5201-9.
  160. ↑ فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 48. ISBN  978-1-86094-555-7.
  161. 1 2 بيرنت أوكسندال (2003). المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع تطبيقات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 14. ISBN  978-3-540-04758-2.
  162. 1 2 إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 472. ISBN  978-1-118-59320-2.
  163. ^ دانييل ريفوز. مارك يور (2013). مارتينجال المستمر والحركة البراونية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص 18 – 19. ISBN  978-3-662-06400-9.
  164. ↑ ديفيد أبلباوم (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 20. ISBN  978-0-521-83263-2.
  165. ↑ هيروشي كونيتا (1997). التدفقات العشوائية والمعادلات التفاضلية العشوائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 31. ISBN  978-0-521-59925-2.
  166. ↑ أولاف كالينبيرغ (2002). أسس الاحتمالات الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 35. ISBN  978-0-387-95313-7.
  167. ↑ مونيك جانبلانك ؛ مارك يور ؛ مارك تشيسني (2009). الأساليب الرياضية للأسواق المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 11. ISBN  978-1-85233-376-8.
  168. 1 2 3 4 5 6 كيوشي إيتو (2006). أساسيات العمليات العشوائية . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 32-33 . ISBN  978-0-8218-3898-3.
  169. ↑ يوسيف إيليتش غيخمان؛ أناتولي فلاديميروفيتش سكوروخود (1969). مقدمة في نظرية العمليات العشوائية . شركة كورير. ص 150. ISBN  978-0-486-69387-3.
  170. 1 2 بيتر تودوروفيتش (2012). مقدمة في العمليات العشوائية وتطبيقاتها . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 19-20 . ISBN  978-1-4613-9742-7.
  171. ↑ إيليا مولتشانوف (2005). نظرية المجموعات العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 340. ISBN  978-1-85233-892-3.
  172. 1 2 باتريك بيلينجسلي (2008). الاحتمال والقياس . وايلي إنديا برايفت ليمتد. ص 526-527 . ISBN  978-81-265-1771-8.
  173. 1 2 ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 535. ISBN  978-1-4471-5201-9.
  174. ^ جوساك وآخرون. (2010) ، ص. 22
  175. ↑ جوزيف ل. دوب (1990). العمليات العشوائية . وايلي. ص 56. 
  176. ↑ دافار خوشنويسان (2006). العمليات متعددة المعاملات: مقدمة في الحقول العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 155. ISBN  978-0-387-21631-7.
  177. ↑ لابيدوث، آموس، أساسيات الاتصال الرقمي ، مطبعة جامعة كامبريدج، 2009.
  178. 1 2 3 كون إيل بارك، أساسيات الاحتمالات والعمليات العشوائية مع تطبيقات في الاتصالات، سبرينغر، 2018، 978-3-319-68074-3
  179. 1 2 3 4 وارد ويت (2006). حدود العمليات العشوائية: مقدمة في حدود العمليات العشوائية وتطبيقها على الطوابير . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 78-79 . ISBN  978-0-387-21748-2.
  180. 1 2 جوساك وآخرون. (2010) ، ص. 24
  181. 1 2 3 4 فلاديمير إي. بوغاتشيف (2007). نظرية القياس (المجلد 2) . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 53. ISBN  978-3-540-34514-5.
  182. 1 2 3 فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 4. ISBN  978-1-86094-555-7.
  183. 1 2 سورين أسموسن (2003). الاحتمالية التطبيقية وقوائم الانتظار . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 420. ردمك  978-0-387-00211-8.
  184. 1 2 3 باتريك بيلينجسلي (2013). تقارب مقاييس الاحتمال . جون وايلي وأولاده. ص 121. ISBN  978-1-118-62596-5.
  185. ↑ ريتشارد ف. باس (2011). العمليات العشوائية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 34. ISBN  978-1-139-50147-7.
  186. ↑ نيكولاس هـ. بينغهام؛ روديغر كيسل (2013). التقييم المحايد للمخاطر: تسعير وتحوط المشتقات المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 154. ISBN  978-1-4471-3856-3.
  187. ↑ ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 532. ISBN  978-1-4471-5201-9.
  188. ↑ دافار خوشنويسان (2006). العمليات متعددة المعاملات: مقدمة في الحقول العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 148-165 . ISBN  978-0-387-21631-7.
  189. ↑ بيتر تودوروفيتش (2012). مقدمة في العمليات العشوائية وتطبيقاتها . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 22. ISBN  978-1-4613-9742-7.
  190. ↑ وارد ويت (2006). حدود العمليات العشوائية: مقدمة في حدود العمليات العشوائية وتطبيقها على الطوابير . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 79. ISBN  978-0-387-21748-2.
  191. ↑ ريتشارد سيرفوزو (2009). أساسيات العمليات العشوائية التطبيقية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 2. ISBN  978-3-540-89332-5.
  192. ^ يا روزانوف (2012). حقول ماركوف العشوائية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 58. ردمك  978-1-4613-8190-7.
  193. ↑ شيلدون م. روس (1996). العمليات العشوائية . وايلي. ص 235، 358. ISBN  978-0-471-12062-9.
  194. ↑ إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 373، 374. ISBN  978-1-118-59320-2.
  195. 1 2 صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 49. ISBN  978-0-08-057041-9.
  196. 1 2 سورين أسموسن (2003). الاحتمالية التطبيقية وقوائم الانتظار . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 7. رقم ISBN  978-0-387-00211-8.
  197. ↑ إيمانويل بارزن (2015). العمليات العشوائية . منشورات كوريير دوفر. ص 188. ISBN  978-0-486-79688-8.
  198. ↑ صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 29، 30. ISBN  978-0-08-057041-9.
  199. ↑ جون لامبرتي (1977). العمليات العشوائية: مسح للنظرية الرياضية . سبرينغر-فيرلاغ. ص 106-121 . ISBN  978-3-540-90275-1.
  200. ↑ شيلدون م. روس (1996). العمليات العشوائية . وايلي. ص 174، 231. ISBN  978-0-471-12062-9.
  201. ↑ شون ماين؛ ريتشارد ل. تويدي (2009). سلاسل ماركوف والاستقرار العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 19. ISBN  978-0-521-73182-9.
  202. ↑ صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 47. ISBN  978-0-08-057041-9.
  203. ^ روفين ي. روبنشتاين. ديرك بي كروس (2011). المحاكاة وطريقة مونت كارلو . جون وايلي وأولاده. ص. 225. ردمك  978-1-118-21052-9.
  204. ↑ داني غامرمان؛ هيديبرت ف. لوبيز (2006). سلسلة ماركوف مونت كارلو: المحاكاة العشوائية للاستدلال البايزي، الطبعة الثانية . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-58488-587-0.
  205. ^ يا روزانوف (2012). حقول ماركوف العشوائية . سبرينغر العلوم والإعلام التجاري. ص. 61. ردمك  978-1-4613-8190-7.
  206. ↑ دونالد ل. سنايدر؛ مايكل آي. ميلر (2012). عمليات النقاط العشوائية في الزمان والمكان . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 27. ISBN  978-1-4612-3166-0.
  207. ↑ بيير بريمو (2013). سلاسل ماركوف: حقول جيبس، ومحاكاة مونت كارلو، وقوائم الانتظار . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 253. ISBN  978-1-4757-3124-8.
  208. 1 2 3 فيما سي. كليبانر (2005). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل العشوائي مع تطبيقات . مطبعة إمبريال كوليدج. ص 65. ISBN  978-1-86094-555-7.
  209. 1 2 3 يوانيس كاراتزاس؛ ستيفن شريف (1991). الحركة البراونية وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . سبرينغر. ص 11. ISBN  978-1-4612-0949-2.
  210. ↑ جوزيف ل. دوب (1990). العمليات العشوائية . وايلي. ص 292، 293. 
  211. ↑ جيل بيزييه (2016). المارتينجالات في فضاءات باناخ . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-316-67946-3.
  212. 1 2 ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي والتطبيقات المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 12، 13. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  213. 1 2 ب. هول؛ سي سي هايدي (2014). نظرية الحد المارتينجالي وتطبيقاتها . إلسيفير ساينس. ص 2. ISBN  978-1-4832-6322-9.
  214. ↑ ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 115. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  215. ↑ شيلدون م. روس (1996). العمليات العشوائية . وايلي. ص 295. ISBN  978-0-471-12062-9.
  216. 1 2 ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي والتطبيقات المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 11. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  217. ↑ أولاف كالينبيرغ (2002). أسس الاحتمالات الحديثة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 96. ISBN  978-0-387-95313-7.
  218. ↑ ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 371. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  219. ↑ ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 22. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  220. ↑ جيفري غريمت؛ ديفيد ستيرزاكر (2001). الاحتمالات والعمليات العشوائية . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 336. ISBN  978-0-19-857222-0.
  221. ↑ جلاسرمن، بول؛ كو، ستيفن (2006). "حوار مع كريس هايدي". العلوم الإحصائية . 21 (2): 292، 293. arXiv : math/0609294 . Bibcode : 2006math......9294G . doi : 10.1214/088342306000000088 . ISSN 0883-4237 . S2CID 62552177 .  
  222. ↑ فرانسوا باتشيلي؛ بيير بريمو (2013). عناصر نظرية الطوابير: حساب مارتينجال بالم والتكرارات العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-3-662-11657-9.
  223. ↑ ب. هول؛ سي سي هايدي (2014). نظرية الحد المارتينجالي وتطبيقاتها . إلسيفير ساينس. ص. س. ISBN  978-1-4832-6322-9.
  224. 1 2 3 4 جان بيرتوان (1998). عمليات ليفي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 8. ISBN  978-0-521-64632-1.
  225. 1 2 3 أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1336.
  226. ↑ ديفيد أبلباوم (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 69. ISBN  978-0-521-83263-2.
  227. ↑ ليونيد كورالوف؛ ياكوف ج. سيناي (2007). نظرية الاحتمالات والعمليات العشوائية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 171. ISBN  978-3-540-68829-7.
  228. ↑ ديفيد أبلباوم (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 19. ISBN  978-0-521-83263-2.
  229. ↑ سونغ نوك تشيو؛ ديتريش ستويان؛ ويلفريد س. كيندال؛ جوزيف ميكي (2013). الهندسة العشوائية وتطبيقاتها . جون وايلي وأولاده. ص 109. ISBN  978-1-118-65825-3.
  230. ↑ سونغ نوك تشيو؛ ديتريش ستويان؛ ويلفريد س. كيندال؛ جوزيف ميكي (2013). الهندسة العشوائية وتطبيقاتها . جون وايلي وأولاده. ص 108. ISBN  978-1-118-65825-3.
  231. ↑ مارتن هينجي (2013). الهندسة العشوائية للشبكات اللاسلكية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 10. ISBN  978-1-107-01469-5.
  232. ↑ دي جيه دالي؛ دي فير جونز (2006). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 194. ISBN  978-0-387-21564-8.
  233. 1 2 3 كوكس، د. ر .؛ إيشام، فاليري (1980). عمليات النقطة . مطبعة سي آر سي. ص 3. ISBN 978-0-412-21910-8.
  234. ↑ جيه إف سي كينغمان (1992). عمليات بواسون . مطبعة كلارندون. ص 8. ISBN  978-0-19-159124-2.
  235. ^ جيسبر مولر. راسموس بلينج واجيبيترسن (2003). الاستدلال الإحصائي والمحاكاة لعمليات النقطة المكانية . الصحافة اتفاقية حقوق الطفل. ص. 7. رقم ISBN  978-0-203-49693-0.
  236. ↑ صموئيل كارلين؛ هوارد إي. تايلور (2012). مدخل إلى العمليات العشوائية . دار النشر الأكاديمية. ص 31. ISBN  978-0-08-057041-9.
  237. ↑ فولكر شميدت (2014). الهندسة العشوائية، والإحصاء المكاني، والحقول العشوائية: نماذج وخوارزميات . سبرينغر. ص 99. ISBN  978-3-319-10064-7.
  238. ↑ دي جيه دالي؛ دي فير جونز (2006). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-21564-8.
  239. ↑ ديفيد، ف. ن. (1955). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء 1. النرد والألعاب (ملاحظة حول تاريخ الاحتمالات)". Biometrika . 42 (1/2): 1–15 . doi : 10.2307/2333419 . ISSN 0006-3444 . JSTOR 2333419 .  
  240. ↑ ل. إي. مايستروف (2014). نظرية الاحتمالات: لمحة تاريخية . إلسيفير ساينس. ص 1. ISBN  978-1-4832-1863-2.
  241. 1 2 سينيتا، إي. (2006). "الاحتمالات، تاريخها". موسوعة العلوم الإحصائية . ص 1. doi : 10.1002/0471667196.ess2065.pub2 . ISBN  978-0471667193.
  242. ↑ جون تاباك (2014). الاحتمالات والإحصاء: علم عدم اليقين . دار إنفوبيس للنشر. الصفحات 24-26 . ISBN  978-0-8160-6873-9.
  243. ^ بيلهاوس، ديفيد (2005). "فك تشفير Liber de Ludo Aleae من Cardano" . تاريخ الرياضيات . 32 (2): 180-202 . دوى : 10.1016/j.hm.2004.04.001 . ISSN 0315-0860 . 
  244. ↑ أندرس هالد (2005). تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750. جون وايلي وأولاده. ص 221. ISBN  978-0-471-72517-6.
  245. ↑ ل. إي. مايستروف (2014). نظرية الاحتمالات: لمحة تاريخية . إلسيفير ساينس. ص 56. ISBN  978-1-4832-1863-2.
  246. ↑ جون تاباك (2014). الاحتمالات والإحصاء: علم عدم اليقين . دار إنفوبيس للنشر. ص 37. ISBN  978-0-8160-6873-9.
  247. 1 2 تشونغ، كاي لاي (1998). "الاحتمالية ودووب". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 105 (1): 28-35 . doi : 10.2307/2589523 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589523 .  
  248. 1 2 3 4 5 6 بينغهام، ن. (2000). "دراسات في تاريخ الاحتمالات والإحصاء 46. القياس في الاحتمال: من ليبيغ إلى كولموغوروف". بيومتريكا . 87 (1): 145-156 . doi : 10.1093/biomet/87.1.145 . ISSN 0006-3444 . 
  249. 1 2 بنزي، مارغريتا؛ بنزي ميشيل. سينيتا، يوجين (2007). "فرانشيسكو باولو كانتيلي. ب. 20 ديسمبر 1875، د. 21 يوليو 1966". المراجعة الإحصائية الدولية . 75 (2): 128. دوى : 10.1111/j.1751-5823.2007.00009.x . ردمك 0306-7734 . S2CID 118011380 .  
  250. ↑ دوب، جوزيف ل. (1996). "تطور الدقة في الاحتمالات الرياضية (1900-1950)". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 103 (7): 586-595 . doi : 10.2307/2974673 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2974673 .  
  251. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 كريمر، هارالد (1976). "نصف قرن مع نظرية الاحتمالات: بعض الذكريات الشخصية" . حوليات الاحتمالات . 4 (4): 509-546 . doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN 0091-1798 . 
  252. ↑ تروسديل، سي. (1975). "النظريات الحركية المبكرة للغازات". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 15 (1): 22-23 . doi : 10.1007/BF00327232 . ISSN 0003-9519 . S2CID 189764116 .  
  253. ↑ براش، ستيفن ج. (1967). "أسس الميكانيكا الإحصائية 1845-1915". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 4 (3): 150-151 . doi : 10.1007/BF00412958 . ISSN 0003-9519 . S2CID 120059181 .  
  254. ↑ تروسديل، سي. (1975). "النظريات الحركية المبكرة للغازات". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 15 (1): 31-32 . doi : 10.1007/BF00327232 . ISSN 0003-9519 . S2CID 189764116 .  
  255. ↑ براش، إس جي (1958). "تطور النظرية الحركية للغازات، الجزء الرابع: ماكسويل". حوليات العلوم . 14 (4): 243-255 . doi : 10.1080/00033795800200147 . ISSN 0003-3790 . 
  256. ↑ براش، ستيفن ج. (1968). "تاريخ العمليات العشوائية". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 5 (1): 15-16 . doi : 10.1007/BF00328110 . ISSN 0003-9519 . S2CID 117623580 .  
  257. 1 2 3 4 كيندال، دي جي؛ باتشيلور، جي كي؛ بينغهام، إن إتش؛ هايمان، دبليو كي؛ هايلاند، جي إم إي؛ لورنتز، جي جي؛ موفات، إتش كي؛ باري، دبليو؛ رازبوروف، إيه إيه؛ روبنسون، سي إيه؛ ويتل، بي. (1990). "أندريه نيكولايفيتش كولموغوروف (1903-1987)". نشرة جمعية لندن الرياضية . 22 (1): 33. doi : 10.1112/blms/22.1.31 . ISSN 0024-6093 . 
  258. ^ فير جونز، ديفيد (2006). "خينشين، ألكسندر ياكوفليفيتش". موسوعة العلوم الإحصائية . ص. 1. دوي : 10.1002/0471667196.ess6027.pub2 . رقم ISBN  978-0471667193.
  259. 1 2 فير جونز، ديفيد (2006). "خينشين، ألكسندر ياكوفليفيتش". موسوعة العلوم الإحصائية . ص. 4. دوي : 10.1002/0471667196.ess6027.pub2 . رقم ISBN  978-0471667193.
  260. 1 2 سنيل، ج. لوري (2005). "نعي: جوزيف ليونارد دوب" . مجلة الاحتمالات التطبيقية . 42 (1): 251. doi : 10.1239/jap/1110381384 . ISSN 0021-9002 . 
  261. ↑ ليندفال، تورغني (1991). "دبليو. دوبلين، 1915-1940" . حوليات الاحتمالات . 19 (3): 929-934 . doi : 10.1214/aop/1176990329 . ISSN 0091-1798 . 
  262. 1 2 3 جيتور، رونالد (2009). "جيه إل دوب: أسس العمليات العشوائية ونظرية الكمون الاحتمالي". حوليات الاحتمالات . 37 (5): 1655. arXiv : 0909.4213 . Bibcode : 2009arXiv0909.4213G . doi : 10.1214/09-AOP465 . ISSN 0091-1798 . S2CID 17288507 .  
  263. 1 2 بينغهام، نيو هامبشاير (2005). "دوب: بعد نصف قرن" . مجلة الاحتمالات التطبيقية . 42 (1): 257-266 . doi : 10.1239/jap/1110381385 . ISSN 0021-9002 . 
  264. 1 2 3 4 5 ماير، بول-أندريه (2009). "العمليات العشوائية من عام 1950 إلى الوقت الحاضر". المجلة الإلكترونية لتاريخ الاحتمالات والإحصاء . 5 (1): 1-42 .
  265. ^ “كيوسي إيتو يحصل على جائزة كيوتو”. إشعارات AMS . 45 (8): 981 – 982. 1998.
  266. ↑ جان بيرتوان (1998). عمليات ليفي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 8 و9. ISBN  978-0-521-64632-1.
  267. ↑ ج. مايكل ستيل (2012). حساب التفاضل والتكامل العشوائي وتطبيقاته المالية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 176. ISBN  978-1-4684-9305-4.
  268. ↑ ب. هول؛ سي سي هايدي (2014). نظرية الحد المارتينجالي وتطبيقاتها . إلسيفير ساينس. ص 1، 2. ISBN  978-1-4832-6322-9.
  269. ↑ دينكين، إي بي (1989). "كولموغوروف ونظرية عمليات ماركوف" . حوليات الاحتمالات . 17 (3): 822-832 . doi : 10.1214/aop/1176991248 . ISSN 0091-1798 . 
  270. ↑ إليس، ريتشارد س. (1995). "نظرة عامة على نظرية الانحرافات الكبيرة وتطبيقاتها في الميكانيكا الإحصائية". المجلة الإسكندنافية للعلوم الاكتوارية . 1995 (1): 98. doi : 10.1080/03461238.1995.10413952 . ISSN 0346-1238 . 
  271. ↑ راوسن، مارتن؛ سكو، كريستيان (2008). "مقابلة مع سرينيفاسا فارادان". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 55 (2): 238-246 .
  272. ↑ مالتي هينكل؛ دراجي كاريفسكي (2012). الثبات المطابق: مقدمة في الحلقات والواجهات وتطور لوفنر العشوائي . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 113. ISBN  978-3-642-27933-1.
  273. ↑ "منح ميداليات فيلدز لعام 2006". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 53 (9): 1041-1044 . 2015.
  274. ↑ كواستيل، جيريمي (2015). "أعمال الفائزين بميدالية فيلدز لعام 2014". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 62 (11): 1341-1344 .
  275. ↑ دي جيه دالي؛ دي فير جونز (2006). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 1-4 . ISBN  978-0-387-21564-8.
  276. ↑ أندرس هالد (2005). تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750. جون وايلي وأولاده. ص 226. ISBN  978-0-471-72517-6.
  277. 1 2 جويل لويس ليبويتز (1984). ظواهر عدم التوازن II: من العشوائية إلى الديناميكا المائية . دار نشر نورث هولاند. الصفحات 8-10 . ISBN  978-0-444-86806-0.
  278. ↑ إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 374. ISBN  978-1-118-59320-2.
  279. ↑ أوليفر سي. إيبي (2013). عناصر المشي العشوائي وعمليات الانتشار . جون وايلي وأولاده. ص 5. ISBN  978-1-118-61793-9.
  280. ↑ أندرس هالد (2005). تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750. جون وايلي وأولاده. ص 63. ISBN  978-0-471-72517-6.
  281. ↑ أندرس هالد (2005). تاريخ الاحتمالات والإحصاء وتطبيقاتهما قبل عام 1750. جون وايلي وأولاده. ص 202. ISBN  978-0-471-72517-6.
  282. ↑ إيونوت فلوريسكو (2014). الاحتمالات والعمليات العشوائية . جون وايلي وأولاده. ص 385. ISBN  978-1-118-59320-2.
  283. ↑ باري د. هيوز (1995). المسارات العشوائية والبيئات العشوائية: المسارات العشوائية . مطبعة كلارندون. ص 111. ISBN  978-0-19-853788-5.
  284. ^ ثيل ، ثوروالد ن. (1880). "من خلال اتباع طريقة Kvadraterbs في الاعتبار في أي وقت من الأوقات، فإن تعقيدات هذه الخبث غير المكتملة من خلال توفير ميزة "نظامية" مميزة" . Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . السلسلة 5 (12): 381- 408.
  285. ↑ هالد، أندرس (1981). "مساهمات تي إن ثيل في الإحصاء". المجلة الإحصائية الدولية / Revue Internationale de Statistique . 49 (1): 1–20 . doi : 10.2307/1403034 . ISSN 0306-7734 . JSTOR 1403034 .  
  286. 1 2 لوريتزن، ستيفن ل. (1981). "تحليل السلاسل الزمنية في عام 1880: مناقشة لمساهمات تي إن ثيل". المجلة الإحصائية الدولية / Revue Internationale de Statistique . 49 (3): 319-320 . doi : 10.2307/1402616 . ISSN 0306-7734 . JSTOR 1402616 .  
  287. ^ باشيلير، لويس (1900). "Théorie de la spéculation" (PDF) . آن. الخيال العلمي. المفوضية الأوروبية. نورم. ممتاز. الدوري 3, 17: 21–89 . دوى : 10.24033/asens.476 . أرشفة (PDF) من النسخة الأصلية بتاريخ 2011-06-05.
  288. ↑ باشيليه، لويس (1900). "نظرية المضاربة" . حوليات العلوم، المدرسة العليا العادية . السلسلة 3، 17: 21-89 (الترجمة الإنجليزية لديفيد ر. ماي، 2011). doi : 10.24033/asens.476 .
  289. ١ ٢ كورتو، جان ميشيل؛ كابانوف، يوري؛ برو، برنارد؛ كريبل، بيير؛ ليبون، إيزابيل؛ لو مارشان، أرنو (٢٠٠٠). "لويس باشيليه في الذكرى المئوية لنظرية المضاربة" ( ملف PDF) . التمويل الرياضي . ١٠ (٣): ٣٣٩-٣٥٣ . doi : 10.1111/1467-9965.00098 . ISSN 0960-1627 . S2CID 14422885. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ ٢٠١٨-٠٧-٢١.  
  290. 1 2 3 4 5 يوفانوفيتش، فرانك (2012). "باشيليه: ليس الرائد المنسي كما صُوِّر. تحليل لانتشار أعمال لويس باشيليه في الاقتصاد" ( ملف PDF) . المجلة الأوروبية لتاريخ الفكر الاقتصادي . 19 (3): 431-451 . doi : 10.1080/09672567.2010.540343 . ISSN 0967-2567 . S2CID 154003579. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 21-07-2018.  
  291. ↑ براش، ستيفن ج. (1968). "تاريخ العمليات العشوائية". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 5 (1): 25. doi : 10.1007/BF00328110 . ISSN 0003-9519 . S2CID 117623580 .  
  292. ↑ براش، ستيفن ج. (1968). "تاريخ العمليات العشوائية". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 5 (1): 1-36 . doi : 10.1007/BF00328110 . ISSN 0003-9519 . S2CID 117623580 .  
  293. ↑ دي جيه دالي؛ دي فير جونز (2006). مقدمة في نظرية العمليات النقطية: المجلد الأول: النظرية والأساليب الأولية . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. الصفحات 8-9 . ISBN  978-0-387-21564-8.
  294. ↑ إمبريشتس، بول؛ فراي، روديجر؛ فورر، هانزيورغ (2001). "العمليات العشوائية في التأمين والتمويل". العمليات العشوائية: النظرية والأساليب . دليل الإحصاء. المجلد 19. ص 367. doi : 10.1016/S0169-7161(01)19014-0 . ISBN   978-0444500144ISSN 0169-7161​​ 
  295. ↑ كرامر، هارالد (1969). "مراجعة تاريخية لأعمال فيليب لوندبيرغ حول نظرية المخاطر". المجلة الإسكندنافية للعلوم الاكتوارية . 1969 (ملحق 3): 6-12 . doi : 10.1080/03461238.1969.10404602 . ISSN 0346-1238 . 
  296. 1 2 3 تشارلز ميلر غرينستيد؛ جيمس لوري سنيل (1997). مقدمة في الاحتمالات . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 464-466 . ISBN  978-0-8218-0749-1.
  297. 1 2 بيير بريمو (2013). سلاسل ماركوف: حقول جيبس، ومحاكاة مونت كارلو، والطوابير . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص. 9. ISBN  978-1-4757-3124-8.
  298. 1 2 هايز، برايان (2013). "الحلقات الأولى في سلسلة ماركوف". العالم الأمريكي . 101 (2): 92-96 . doi : 10.1511/2013.101.92 .
  299. ↑ سينيتا، إي. (1998). "إي جيه بينامي [1796-1878]: الأهمية، وعدم المساواة، والتدويل". المجلة الإحصائية الدولية / Revue Internationale de Statistique . 66 (3): 291–292 . doi : 10.2307/1403518 . ISSN 0306-7734 . JSTOR 1403518 .  
  300. ^ برو، ب. هيرتز، س. (2001). "موريس فريشيه". إحصائيو القرون . ص 331 – 334. دوى : 10.1007 / 978-1-4613-0179-0_71 . رقم ISBN  978-0-387-95283-3.
  301. ^ مارك باربوت. برنارد لوكر؛ لوران مازلياك (2016). بول ليفي وموريس فريشيه: 50 عامًا من المراسلات في 107 رسائل . سبرينغر لندن. ص. 5. رقم ISBN  978-1-4471-7262-8.
  302. ↑ فاليري سكوروخود (2005). المبادئ الأساسية وتطبيقات نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 146. ISBN  978-3-540-26312-8.
  303. ↑ بيرنشتاين، جيريمي (2005). "باتشيليه". المجلة الأمريكية للفيزياء . 73 (5): 398-396 . Bibcode : 2005AmJPh..73..395B . doi : 10.1119/1.1848117 . ISSN 0002-9505 . 
  304. ↑ ويليام ج. أندرسون (2012). سلاسل ماركوف ذات الزمن المستمر: منهج موجه نحو التطبيقات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص. 7. ISBN  978-1-4612-3038-0.
  305. ↑ كيندال، دي جي؛ باتشيلور، جي كي؛ بينغهام، إن إتش؛ هايمان، دبليو كي؛ هايلاند، جي إم إي؛ لورنتز، جي جي؛ موفات، إتش كي؛ باري، دبليو؛ رازبوروف، إيه إيه؛ روبنسون، سي إيه؛ ويتل، بي. (1990). "أندريه نيكولايفيتش كولموغوروف (1903-1987)". نشرة جمعية لندن الرياضية . 22 (1): 57. doi : 10.1112/blms/22.1.31 . ISSN 0024-6093 . 
  306. ↑ ديفيد أبلباوم (2004). عمليات ليفي وحساب التفاضل والتكامل العشوائي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 67. ISBN  978-0-521-83263-2.
  307. 1 2 3 روبرت ج. أدلر (2010). هندسة الحقول العشوائية . SIAM. ص 13. ISBN  978-0-89871-693-1.
  308. ↑ كريشنا ب. أثريا؛ سوميندرا ن. لاهيري (2006). نظرية القياس ونظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ISBN 978-0-387-32903-1.
  309. ↑ بيرنت أوكسندال (2003). المعادلات التفاضلية العشوائية: مقدمة مع تطبيقات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 11. ISBN  978-3-540-04758-2.
  310. ↑ ديفيد ويليامز (1991). الاحتمالات مع المارتينجالات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 124. ISBN  978-0-521-40605-5.
  311. ↑ ريك دوريت (2010). الاحتمالات: النظرية والأمثلة . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 410. ISBN  978-1-139-49113-6.
  312. ↑ باتريك بيلينجسلي (2008). الاحتمال والقياس . وايلي إنديا برايفت ليمتد. الصفحات 493-494 . ISBN  978-81-265-1771-8.
  313. ↑ ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 529-530 . ISBN  978-1-4471-5201-9.
  314. ↑ كريشنا ب. أثريا؛ سوميندرا ن. لاهيري (2006). نظرية القياس ونظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 221. ISBN  978-0-387-32903-1.
  315. 1 2 روبرت ج. أدلر؛ جوناثان إي. تايلور (2009). الحقول العشوائية والهندسة . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 14. ISBN  978-0-387-48116-6.
  316. ↑ كريشنا ب. أثريا؛ سوميندرا ن. لاهيري (2006). نظرية القياس ونظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 211. ISBN  978-0-387-32903-1.
  317. ↑ ألكسندر أ. بوروفكوف (2013). نظرية الاحتمالات . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 536. ISBN  978-1-4471-5201-9.
  318. ↑ بنيامين ياكير (2013). القيم المتطرفة في الحقول العشوائية: نظرية وتطبيقاتها . جون وايلي وأولاده. ص 5. ISBN  978-1-118-72062-2.
  319. ↑ بلاك، فيشر؛ سكولز، مايرون (1973). "تسعير الخيارات والتزامات الشركات" . مجلة الاقتصاد السياسي . 81 (3): 637-654 . doi : 10.1086/260062 . ISSN 0022-3808 . JSTOR 1831029 .  
  320. ↑ ميرتون، روبرت سي. (يوليو 2005)، "نظرية التسعير الرشيد للخيارات" ، نظرية التقييم ( الطبعة الثانية)، وورلد ساينتيفيك، ص 229-288 ، doi : 10.1142/9789812701022_0008 ، hdl : 1721.1/49331 ، ISBN   978-981-256-374-3تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 سبتمبر 2024{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN ( link )
  321. ↑ هيستون، ستيفن ل. (1993). "حل مغلق لخيارات ذات تقلب عشوائي مع تطبيقات على خيارات السندات والعملات" . مجلة الدراسات المالية . 6 (2): 327-343 . doi : 10.1093/rfs/6.2.327 . ISSN 0893-9454 . JSTOR 2962057 .  
  322. 1 2 روس، شيلدون م. (2010). مقدمة في نماذج الاحتمالات ( الطبعة العاشرة). أمستردام هايدلبرغ: إلسيفير. ISBN  978-0-12-375686-2.
  323. 1 2 موتاني، راجيف؛ راغافان، برابهاكار، محرران. (1995). الخوارزميات العشوائية . كامبريدج، نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-511-81407-5.
  324. ↑ شورتل، جون ف.؛ طومسون، جيمس م.؛ غروس، دونالد؛ هاريس، كارل م. (2017). أساسيات نظرية الطوابير . سلسلة وايلي في الاحتمالات والإحصاء ( الطبعة الخامسة). هوبوكين، نيو جيرسي: جون وايلي وأولاده. ISBN  978-1-118-94352-6.
  325. ↑ أساسيات نظرية الطوابير ( الطبعة الخامسة). هوبوكين: جون وايلي وأولاده. 2018. ISBN  978-1-118-94356-4.

للمزيد من القراءة

مقالات

  • أبلباوم، ديفيد (2004). "عمليات ليفي: من الاحتمالات إلى التمويل والمجموعات الكمومية". إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 51 (11): 1336-1347 .
  • كريمر، هارالد (1976). "نصف قرن مع نظرية الاحتمالات: بعض الذكريات الشخصية" . حوليات الاحتمالات . 4 (4): 509-546 . doi : 10.1214/aop/1176996025 . ISSN 0091-1798 . 
  • غوتورب، بيتر؛ ثورارينسدوتير، ثورديس ل. (2012). "ماذا حدث للفوضى المنفصلة، ​​وعملية كينويل، وخاصية شارب ماركوف؟ نبذة تاريخية عن عمليات النقاط العشوائية". المجلة الإحصائية الدولية . 80 (2): 253-268 . doi : 10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x . ISSN 0306-7734 . S2CID 80836 .  
  • جارو، روبرت؛ بروتر، فيليب (2004). "تاريخ موجز للتكامل العشوائي والتمويل الرياضي: السنوات الأولى، 1880-1970". كتاب تذكاري لهيرمان روبين . سلسلة محاضرات معهد الإحصاء الرياضي - سلسلة الدراسات. ص 75-91 . doi : 10.1214/lnms/1196285381 . ISBN  978-0-940600-61-4ISSN 0749-2170​​ 
  • ماير، بول-أندريه (2009). "العمليات العشوائية من عام 1950 إلى الوقت الحاضر". المجلة الإلكترونية لتاريخ الاحتمالات والإحصاء . 5 (1): 1-42 .

الكتب

  • شعار ويكيميديا ​​كومنزالوسائط المتعلقة بالعمليات العشوائية على ويكيميديا ​​كومنز