الفضاء (الرياضيات)

في الرياضيات اليونانية القديمة، كان "الفضاء" تجريدًا هندسيًا للواقع ثلاثي الأبعاد الذي نراه في حياتنا اليومية. حوالي عام 300 قبل الميلاد، وضع إقليدس بديهيات لخصائص الفضاء. بنى إقليدس الرياضيات كلها على هذه الأسس الهندسية، حتى أنه عرّف الأعداد بمقارنة أطوال القطع المستقيمة بطول قطعة مرجعية مختارة.

اعتمد رينيه ديكارت طريقة الإحداثيات ( الهندسة التحليلية ) عام 1637. ^{[ 3 ]} في ذلك الوقت، كانت النظريات الهندسية تُعامل على أنها حقائق موضوعية مطلقة يمكن معرفتها بالحدس والعقل، على غرار موضوعات العلوم الطبيعية؛ ^{[ 4 ] : ​​11} ، وكانت البديهيات تُعامل على أنها نتائج بديهية للتعريفات. ^{[ 4 ] : ​​15}

استُخدمت علاقتان للتكافؤ بين الأشكال الهندسية: التطابق والتشابه . تُحوّل الإزاحات والدورانات والانعكاسات الشكل إلى أشكال متطابقة، بينما تُحوّله علاقات التماثل إلى أشكال متشابهة. على سبيل المثال، جميع الدوائر متشابهة فيما بينها، لكن القطع الناقص لا يُشابه الدوائر. أما علاقة التكافؤ الثالثة، التي قدمها غاسبار مونج عام ١٧٩٥، فتظهر في الهندسة الإسقاطية : لا تتحول القطع الناقصة فقط، بل أيضًا القطع المكافئة والقطع الزائد، إلى دوائر تحت تأثير التحويلات الإسقاطية المناسبة؛ فجميعها أشكال متكافئة إسقاطيًا.

تُظهر العلاقة بين الهندستين، الإقليدية والإسقاطية، ^{[ 4 ] : ​​133} أن الكائنات الرياضية لا تُعطى لنا ببنيتها . ^{[ 4 ] : ​​21} بل إن كل نظرية رياضية تصف كائناتها ببعض خصائصها ، وتحديدًا تلك التي تُوضع كمسلمات في أسس النظرية. ^{[ 4 ] : ​​20}

لا يمكن أن تظهر المسافات والزوايا في نظريات الهندسة الإسقاطية، لأن هذه المفاهيم لا تُذكر في بديهيات الهندسة الإسقاطية ولا تُعرَّف انطلاقًا من المفاهيم المذكورة فيها. إن السؤال "ما هو مجموع زوايا المثلث الثلاث؟" ذو معنى في الهندسة الإقليدية، ولكنه عديم المعنى في الهندسة الإسقاطية.

ظهر وضع مختلف في القرن التاسع عشر: ففي بعض الهندسات، يكون مجموع زوايا المثلث الثلاث مُحددًا بدقة، ولكنه يختلف عن القيمة الكلاسيكية (180 درجة). وقد نصّت الهندسة الزائدية غير الإقليدية ، التي قدمها نيكولاي لوباتشيفسكي عام 1829 ويانوس بولياي عام 1832 (وكارل فريدريش غاوس عام 1816، غير منشور) ^{[ 4 ] : ​​133} ، على أن المجموع يعتمد على المثلث، وهو دائمًا أقل من 180 درجة. وقد حصل يوجينيو بلترامي عام 1868 وفيليكس كلاين عام 1871 على "نماذج" إقليدية للهندسة الزائدية غير الإقليدية، وبذلك برّرا هذه النظرية تمامًا باعتبارها إمكانية منطقية. ^{[ 4 ] : ​​24 [ 5 ]}

أجبر هذا الاكتشاف على التخلي عن ادعاءات الحقيقة المطلقة للهندسة الإقليدية. فقد أظهر أن البديهيات ليست "بديهية" ولا "استنتاجات من التعريفات"، بل هي فرضيات. إلى أي مدى تتوافق مع الواقع التجريبي؟ لم تعد هذه المشكلة الفيزيائية المهمة مرتبطة بالرياضيات. فحتى لو لم تتوافق "الهندسة" مع الواقع التجريبي، فإن نظرياتها تظل "حقائق رياضية" لا تقل أهمية. ^{[ 4 ] : ​​15}

النموذج الإقليدي للهندسة غير الإقليدية هو اختيار لبعض الكائنات الموجودة في الفضاء الإقليدي، وبعض العلاقات بين هذه الكائنات، بحيث تحقق جميع بديهيات (وبالتالي جميع نظريات) الهندسة غير الإقليدية. تُحاكي هذه الكائنات والعلاقات الإقليدية الهندسة غير الإقليدية كما يُحاكي ممثلون معاصرون عرضًا تاريخيًا. يستطيع الممثلون تقليد موقف لم يحدث في الواقع. تُحاكي العلاقات بين الممثلين على خشبة المسرح العلاقات بين الشخصيات في المسرحية. وبالمثل، تُحاكي العلاقات المختارة بين الكائنات المختارة في النموذج الإقليدي العلاقات غير الإقليدية. يُبين هذا أن العلاقات بين الكائنات أساسية في الرياضيات، بينما طبيعة الكائنات نفسها ليست كذلك.

كانت كلمة "الهندسة" (من اليونانية القديمة: geo- "الأرض"، -metron "القياس") تعني في البداية طريقة عملية لمعالجة الأطوال والمناطق والأحجام في الفضاء الذي نعيش فيه، ولكن تم توسيعها على نطاق واسع بعد ذلك (وكذلك مفهوم الفضاء المعني هنا).

بحسب بورباكي ^{[ 4 ] : ​​131،} يمكن تسمية الفترة بين عام 1795 ( الهندسة الوصفية لمونج) وعام 1872 ( برنامج إرلانجن لكلاين) بـ"العصر الذهبي للهندسة". يُطلق الآن على الفضاء الأصلي الذي درسه إقليدس اسم الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد . وقد أُعيد تشكيل بديهياته، التي بدأها إقليدس قبل 23 قرنًا، باستخدام بديهيات هيلبرت ، وبديهيات تارسكي، وبديهيات بيركوف . تصف أنظمة البديهيات هذه الفضاء عبر مفاهيم أولية (مثل "نقطة"، و"بين"، و"متطابق") مقيدة بعدد من البديهيات .

حققت الهندسة التحليلية تقدماً كبيراً ونجحت في استبدال نظريات الهندسة الكلاسيكية بحسابات تعتمد على ثوابت مجموعات التحويل. ^{[ 4 ] : ​​134، 5} ومنذ ذلك الحين، أصبحت النظريات الجديدة للهندسة الكلاسيكية أكثر جاذبية للهواة منها للرياضيين المحترفين. ^{[ 4 ] : ​​136} ومع ذلك، لم يضيع إرث الهندسة الكلاسيكية. فبحسب بورباكي، ^{[ 4 ] : ​​138} "رغم تجاهل دورها كعلم مستقل وحيوي، فقد تحولت الهندسة الكلاسيكية إلى لغة عالمية للرياضيات المعاصرة".

في الوقت نفسه، بدأت الأعداد تحل محل الهندسة كأساس للرياضيات. فعلى سبيل المثال، في مقال ريتشارد ديديكيند عام 1872 بعنوان " الاستمرارية والأعداد غير النسبية " ، يؤكد أن النقاط على خط مستقيم يجب أن تمتلك خصائص قطوع ديديكيند ، وبالتالي فإن الخط المستقيم هو نفسه مجموعة الأعداد الحقيقية. ويحرص ديديكيند على التنويه بأن هذا افتراض لا يمكن إثباته. في الدراسات الحديثة، يُنظر إلى تأكيد ديديكيند غالبًا على أنه تعريف للخط المستقيم، مما يختزل الهندسة إلى حساب. يُعرَّف الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد بأنه فضاء أفيني، وفضاء المتجهات المرتبط به، والمُكوَّن من فروق عناصره، مزود بضرب داخلي. ^{[ 6 ]} أما التعريف "من الصفر"، كما في كتاب إقليدس، فلا يُستخدم كثيرًا الآن، لأنه لا يُبين علاقة هذا الفضاء بالفضاءات الأخرى. كذلك، يُعرَّف الفضاء الإسقاطي ثلاثي الأبعاد الآن بأنه فضاء جميع الفضاءات الفرعية أحادية البعد (أي الخطوط المستقيمة المارة بنقطة الأصل) لفضاء متجهي رباعي الأبعاد. ويتطلب هذا التحول في الأسس مجموعة جديدة من البديهيات، وإذا ما اعتُمدت هذه البديهيات، فإن بديهيات الهندسة الكلاسيكية تتحول إلى نظريات.

يتألف الفضاء الآن من كائنات رياضية مختارة (مثل الدوال على فضاء آخر، أو الفضاءات الجزئية لفضاء آخر، أو عناصر مجموعة ما) تُعامل كنقاط، وعلاقات مختارة بين هذه النقاط. لذا، فإن الفضاءات ليست سوى هياكل رياضية ملائمة. قد يتوقع المرء أن تُدرك الهياكل المسماة "الفضاءات" هندسيًا أكثر من الكائنات الرياضية الأخرى، لكن هذا ليس صحيحًا دائمًا.

بحسب المحاضرة الافتتاحية الشهيرة التي ألقاها برنارد ريمان عام ١٨٥٤، يمكن اعتبار كل كائن رياضي مُعَلم بواسطة n عددًا حقيقيًا نقطةً في الفضاء ذي الأبعاد n الذي يضم جميع هذه الكائنات. ^{[ ٤ ] : ١٤٠} ويتبع علماء الرياضيات المعاصرون هذه الفكرة بشكل روتيني، ويجدون أنه من المفيد للغاية استخدام مصطلحات الهندسة الكلاسيكية في كل مكان تقريبًا. ^{[ ٤ ] : ١٣٨}

تُعد الدوال كائنات رياضية مهمة. وعادة ما تشكل فضاءات دوال لا نهائية الأبعاد ، كما أشار ريمان ^{[ 4 ] : ​​141} وتم تطويرها في القرن العشرين من خلال التحليل الوظيفي .

بينما لكل نوع من أنواع الفضاء تعريفه الخاص، فإن المفهوم العام لـ"الفضاء" عصيّ على التحديد الرسمي. تُسمى بعض البنى فضاءات، بينما لا تُسمى أخرى كذلك، دون معيار رسمي. علاوة على ذلك، لا يوجد إجماع على المفهوم العام لـ"البنية". ووفقًا لبودلاك ^{[ 7 ]،} "لا يمكن تفسير الرياضيات [...] تفسيرًا كاملًا بمفهوم واحد كالبنية الرياضية. ومع ذلك، فإن منهج بورباكي البنيوي هو الأفضل المتاح لدينا". سنعود إلى منهج بورباكي البنيوي في القسم الأخير "الفضاءات والبنى"، بينما نُقدّم الآن تصنيفًا مُحتملًا للفضاءات (والبنى) على غرار بورباكي.

نُصنّف الفضاءات على ثلاثة مستويات. وبما أن كل نظرية رياضية تصف موضوعاتها ببعض خصائصها، فإن السؤال الأول الذي يطرح نفسه هو: ما هي هذه الخصائص؟ وهذا يقودنا إلى مستوى التصنيف الأول (الأعلى). في المستوى الثاني، نأخذ بعين الاعتبار إجابات الأسئلة ذات الأهمية الخاصة (من بين الأسئلة التي تتوافق مع المستوى الأول). أما في المستوى الثالث، فنأخذ بعين الاعتبار إجابات جميع الأسئلة الممكنة.

على سبيل المثال، يُميّز التصنيف الأعلى بين الفضاءات الإقليدية والإسقاطية ، لأن المسافة بين نقطتين مُعرّفة في الفضاءات الإقليدية، بينما هي غير مُعرّفة في الفضاءات الإسقاطية. مثال آخر: السؤال "ما هو مجموع زوايا المثلث؟" يكون منطقيًا في الفضاء الإقليدي، ولكنه غير منطقي في الفضاء الإسقاطي. في الفضاء غير الإقليدي، يكون السؤال منطقيًا، ولكن الإجابة عليه مختلفة، وهذا ليس تمييزًا من المستوى الأعلى.

كذلك، فإن التمييز بين المستوى الإقليدي والفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ليس تمييزًا على مستوى أعلى؛ فالسؤال "ما هو البعد؟" منطقي في كلتا الحالتين.

يُفرّق التصنيف من المستوى الثاني ، على سبيل المثال، بين الفضاءات الإقليدية وغير الإقليدية؛ وبين الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة والفضاءات ذات الأبعاد غير المحدودة؛ وبين الفضاءات المتراصة وغير المتراصة، وما إلى ذلك. وبتعبير بورباكي، ^{[ 2 ]} يُعدّ التصنيف من المستوى الثاني تصنيفًا حسب "الأنواع". وعلى عكس التصنيف البيولوجي، قد ينتمي الفضاء إلى عدة أنواع.

يُفرّق التصنيف من المستوى الثالث ، على سبيل المثال، بين الفضاءات ذات الأبعاد المختلفة، ولكنه لا يُفرّق بين مستوى الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد، الذي يُعامل كفضاء إقليدي ثنائي الأبعاد، ومجموعة جميع أزواج الأعداد الحقيقية، التي تُعامل أيضًا كفضاء إقليدي ثنائي الأبعاد. وبالمثل، لا يُفرّق بين النماذج الإقليدية المختلفة لنفس الفضاء غير الإقليدي. وبشكل أكثر دقة، يُصنّف المستوى الثالث الفضاءات حتى التشاكل . يُعرَّف التشاكل بين فضاءين بأنه تطابق تام بين نقاط الفضاء الأول ونقاط الفضاء الثاني، مع الحفاظ على جميع العلاقات المنصوص عليها وفقًا للمستوى الأول. تُعتبر الفضاءات المتشاكلة نسخًا من فضاء واحد. إذا كان أحدها ينتمي إلى نوع معين، فإن جميعها تنتمي إليه.

يُلقي مفهوم التشاكل الضوء على تصنيف المستويات العليا. فإذا وُجد تطابقٌ أحادي بين فضاءين من نفس الفئة العليا، يُمكن التساؤل عما إذا كانا تشاكلاً أم لا. لكن هذا التساؤل لا معنى له بالنسبة لفضاءين من فئتين مختلفتين.

يُطلق على التشاكل الذاتي اسم التشاكل الذاتي. التشاكلات الذاتية في الفضاء الإقليدي هي الإزاحات، والدورانات، والانعكاسات، وتركيبات هذه التشاكلات. الفضاء الإقليدي متجانس بمعنى أنه يمكن تحويل أي نقطة فيه إلى أي نقطة أخرى بواسطة أحد التشاكلات الذاتية.

لا تترك بديهيات إقليدس ^{[ ب ]} مجالًا للحرية؛ فهي تحدد بشكل فريد جميع الخصائص الهندسية للفضاء. بتعبير أدق: جميع الفضاءات الإقليدية ثلاثية الأبعاد متماثلة فيما بينها. وبهذا المعنى، لدينا الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد "المثالي". وفقًا لمصطلحات بورباكي، فإن النظرية المقابلة أحادية القيمة . في المقابل، تكون الفضاءات الطوبولوجية عمومًا غير متماثلة؛ فنظريتها متعددة القيم . ثمة فكرة مشابهة في المنطق الرياضي : تُسمى النظرية فئوية إذا كانت جميع نماذجها من نفس العدد متماثلة فيما بينها. ووفقًا لبورباكي ^{[ 8 ]،} فإن دراسة النظريات متعددة القيم هي السمة الأبرز التي تميز الرياضيات الحديثة عن الرياضيات الكلاسيكية.

تُعرَّف المفاهيم الطوبولوجية (الاستمرارية، والتقارب، والمجموعات المفتوحة، والمجموعات المغلقة، إلخ) بشكل طبيعي في كل فضاء إقليدي. بعبارة أخرى، كل فضاء إقليدي هو أيضًا فضاء طوبولوجي. كل تماثل بين فضاءين إقليديين هو أيضًا تماثل بين الفضاءين الطوبولوجيين المناظرين (يُسمى " التماثل الموضعي ")، لكن العكس غير صحيح: فقد يُشوِّه التماثل الموضعي المسافات. وفقًا لمصطلحات بورباكي، ^{[ 2 ]} يُعد "الفضاء الطوبولوجي" بنية أساسية لبنية "الفضاء الإقليدي". تظهر أفكار مماثلة في نظرية الفئات : فئة الفضاءات الإقليدية هي فئة ملموسة فوق فئة الفضاءات الطوبولوجية؛ حيث يقوم المؤثر النسياني (أو "التجريدي") بتحويل الفئة الأولى إلى الفئة الثانية.

الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هو حالة خاصة من الفضاء الإقليدي. وبحسب بورباكي، ^{[ 2 ]} فإن أنواع الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد أغنى من أنواع الفضاء الإقليدي. وبالمثل، فإن أنواع الفضاء الطوبولوجي المتراص أغنى من أنواع الفضاء الطوبولوجي.

يمكن تمثيل هذه العلاقات بين أنواع الفضاءات تخطيطيًا كما هو موضح في الشكل 3. يشير السهم من A إلى B إلى أن كل فضاء A هو أيضًا فضاء B، أو يمكن اعتباره فضاء B، أو يُنشئ فضاء B، وهكذا. عند اعتبار A وB فئتين من الفضاءات، يمكن تفسير السهم على أنه انتقال من A إلى B. (بحسب بورباكي ^{[ 9 ]،} "إجراء استنتاج" لفضاء B من فضاء A. لا يُعدّ هذا دالة تمامًا إلا إذا كانت الفئتان A وB مجموعتين؛ وهذا الفارق لا يُبطل ما يلي). السهمان في الشكل 3 غير قابلين للعكس، ولكن لأسباب مختلفة.

إن الانتقال من "الإقليدي" إلى "الطوبولوجي" هو انتقالٌ مُغفل. فالطوبولوجيا تُميّز بين المتصل وغير المتصل، لكنها لا تُميّز بين المستقيم والمنحنى. ويُخبرنا الحدس أنه لا يُمكن استعادة البنية الإقليدية من الطوبولوجيا. يستخدم البرهانُ تماثلاً ذاتياً للفضاء الطوبولوجي (أي التماثل الذاتي ) ليس تماثلاً ذاتياً للفضاء الإقليدي (أي ليس تركيباً من الإزاحات والدورانات والانعكاسات). يُحوّل هذا التحويل البنية الإقليدية المُعطاة إلى بنية إقليدية (متماثلة، لكنها) مختلفة؛ وتُقابل كلتا البنيتين الإقليديتين بنيةً طوبولوجيةً واحدة.

على النقيض من ذلك، فإن الانتقال من "الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد" إلى "الفضاء الإقليدي" ليس انتقالًا عابرًا؛ فالفضاء الإقليدي ليس بالضرورة ثلاثي الأبعاد، ولكن إذا كان كذلك، فإنه يكون كاملًا، دون فقدان أي بنية. بعبارة أخرى، الانتقال الأخير أحادي (واحد إلى واحد)، بينما الانتقال الأول غير أحادي (متعدد إلى واحد). نرمز للانتقالات الأحادية بسهم ذي ذيل مدبب، "↣" بدلًا من "→".

كلا الانتقالين ليسا شاملين ، أي أن ليس كل فضاء B ينتج عن فضاء A. أولًا، الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد هو حالة خاصة (وليست عامة) من الفضاء الإقليدي. ثانيًا، طوبولوجيا الفضاء الإقليدي هي حالة خاصة من الطوبولوجيا (على سبيل المثال، يجب أن تكون غير متراصة ومتصلة، إلخ). نرمز للانتقالات الشاملة بسهم ذي رأسين، "↠" بدلًا من "→". انظر على سبيل المثال الشكل 4؛ حيث يكون السهم من "طوبولوجيا خطية حقيقية" إلى "خطية حقيقية" ذا رأسين، لأن كل فضاء خطي حقيقي يقبل طوبولوجيا (واحدة على الأقل) متوافقة مع بنيته الخطية.

هذا النوع من الطوبولوجيا غير فريد عمومًا، ولكنه فريد عندما يكون الفضاء الخطي الحقيقي محدود الأبعاد. في هذه الفضاءات، يكون الانتقال تقابليًا وحقنيًا في آنٍ واحد ؛ انظر السهم من "طوبولوجيا خطية حقيقية محدودة الأبعاد" إلى "خطية حقيقية محدودة الأبعاد" في الشكل 4. يوجد انتقال عكسي (ويمكن توضيحه بسهم ثانٍ معكوس). وبالتالي، فإن نوعي البنية متكافئان. عمليًا، لا يُفرَّق بين أنواع البنى المتكافئة. ^{[ 10 ]} يمكن التعامل مع البنى المتكافئة كبنية واحدة، كما هو موضح بالمربع الكبير في الشكل 4.

تخضع الانتقالات المشار إليها بالأسهم لخاصية التشاكل. أي أن فضاءين متماثلين من النوع A يؤديان إلى فضاءين متماثلين من النوع B.

الرسم البياني في الشكل 4 تبادلي . أي أن جميع المسارات الموجهة في الرسم البياني التي لها نفس نقطة البداية والنهاية تؤدي إلى نفس النتيجة. الرسوم البيانية الأخرى أدناه تبادلية أيضًا، باستثناء الأسهم المتقطعة في الشكل 9. السهم من "طوبولوجي" إلى "قابل للقياس" متقطع للسبب الموضح هناك: "لتحويل فضاء طوبولوجي إلى فضاء قابل للقياس، يتم تزويده بجبر سيجما. جبر سيجما لمجموعات بوريل هو الأكثر شيوعًا، ولكنه ليس الخيار الوحيد." يشير السهم المتصل إلى انتقال شائع، يُسمى "الانتقال الكنسي"، والذي يتبادر إلى الذهن بشكل طبيعي ويُستخدم على نطاق واسع، غالبًا ضمنيًا، بشكل افتراضي. على سبيل المثال، عند الحديث عن دالة متصلة على فضاء إقليدي، لا يلزم تحديد طوبولوجيتها بشكل صريح. في الواقع، توجد طوبولوجيات بديلة ويتم استخدامها أحيانًا، على سبيل المثال، الطوبولوجيا الدقيقة . لكن هذه تُحدد دائمًا بشكل صريح، لأنها أقل أهمية بكثير من البنية السائدة. يشير السهم المتقطع إلى استخدام عدة انتقالات، ولا يوجد انتقال سائد تمامًا.

هناك نوعان أساسيان من الفضاءات هما الفضاءات الخطية (وتسمى أيضًا الفضاءات المتجهة) والفضاءات الطوبولوجية .

الفضاءات الخطية ذات طبيعة جبرية ؛ فهناك فضاءات خطية حقيقية (على حقل الأعداد الحقيقية )، وفضاءات خطية مركبة (على حقل الأعداد المركبة )، وبشكل أعم، فضاءات خطية على أي حقل. كل فضاء خطي مركب هو أيضًا فضاء خطي حقيقي (فهذا الأخير هو أساس الأول)، إذ يمكن تحديد كل عدد مركب بعددين حقيقيين. على سبيل المثال، يمكن تحويل المستوى المركب، الذي يُعامل كفضاء خطي مركب أحادي البعد، إلى فضاء خطي حقيقي ثنائي البعد. في المقابل، يمكن التعامل مع خط الأعداد الحقيقية كفضاء خطي حقيقي أحادي البعد، ولكنه ليس فضاءً خطيًا مركبًا. انظر أيضًا امتدادات الحقول . وبشكل أعم، فإن الفضاء المتجهي على حقل ما له أيضًا بنية الفضاء المتجهي على حقل جزئي من ذلك الحقل. تؤدي العمليات الخطية، المعطاة في الفضاء الخطي بحكم تعريفها، إلى مفاهيم مثل الخطوط المستقيمة (والمستويات، والفضاءات الجزئية الخطية الأخرى)؛ والخطوط المتوازية؛ والقطع الناقص (والقطع الناقص المجسم). مع ذلك، يستحيل تعريف الخطوط المتعامدة، أو تمييز الدوائر بين القطوع الناقصة، لأنه في الفضاء الخطي لا توجد بنية كالحاصل القياسي يمكن استخدامها لقياس الزوايا. يُعرَّف بُعد الفضاء الخطي بأنه أكبر عدد من المتجهات المستقلة خطيًا، أو بصورة مكافئة، بأنه أقل عدد من المتجهات التي تُولِّد الفضاء؛ وقد يكون هذا البُعد محدودًا أو غير محدود. يكون الفضاءان الخطيان على الحقل نفسه متماثلين إذا وفقط إذا كان لهما البُعد نفسه. الفضاء الخطي المركب ذو البُعد n هو أيضًا فضاء خطي حقيقي ذو البُعد 2n .

الفضاءات الطوبولوجية ذات طبيعة تحليلية . تؤدي المجموعات المفتوحة ، المعطاة في فضاء طوبولوجي بحكم تعريفها، إلى مفاهيم مثل الدوال المتصلة ، والمسارات، والخرائط؛ والمتتابعات المتقاربة، والنهايات ؛ والداخل، والحدود، والخارج. مع ذلك، تبقى مفاهيم مثل الاتصال المنتظم ، والمجموعات المحدودة ، ومتتابعات كوشي ، والدوال القابلة للتفاضل (المسارات، والخرائط) غير مُعرَّفة. تُسمى التشاكلات بين الفضاءات الطوبولوجية تقليديًا بالتشاكلات الموضعية؛ وهي عبارة عن تناظرات أحادية متصلة في كلا الاتجاهين. الفترة المفتوحة (0,1) متماثلة موضعيًا مع خط الأعداد الحقيقية بأكمله (−∞,∞)، ولكنها ليست متماثلة موضعيًا مع الفترة المغلقة [0,1]، ولا مع الدائرة. سطح المكعب متماثل موضعيًا مع الكرة (سطح الكرة)، ولكنه ليس متماثلًا موضعيًا مع الطارة. الفضاءات الإقليدية ذات الأبعاد المختلفة ليست متماثلة موضعيًا، وهو أمر يبدو بديهيًا، ولكنه ليس من السهل إثباته. من الصعب تعريف بُعد الفضاء الطوبولوجي. يمكن استخدام البُعد الاستقرائي (المبني على ملاحظة أن بُعد حدود الشكل الهندسي عادةً ما يكون أقل بواحد من بُعد الشكل نفسه) وبُعد تغطية ليبيغ . في حالة الفضاء الإقليدي ذي البُعد n ، يكون كلا البُعدين الطوبولوجيين مساويًا لـ n .

كل مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي هي فضاء طوبولوجي بحد ذاتها (على عكس المجموعات الخطية فقط من الفضاء الخطي التي تُعتبر فضاءات خطية). تتسم الفضاءات الطوبولوجية، التي تُدرس في الطوبولوجيا العامة (وتُسمى أيضًا طوبولوجيا المجموعات النقطية)، بتنوعها الكبير الذي يحول دون تصنيفها تصنيفًا كاملًا حتى التشاكل التام. تُعد الفضاءات الطوبولوجية المتراصة فئة مهمة من الفضاءات الطوبولوجية ("نوع" من هذا "النمط"). كل دالة متصلة تكون محدودة على هذا النوع من الفضاءات. الفترة المغلقة [0,1] والخط الحقيقي الممتد [−∞,∞] متراصتان؛ أما الفترة المفتوحة (0,1) والخط (−∞,∞) فليسا متراصتين. تدرس الطوبولوجيا الهندسية المتشعبات (نوع آخر من هذا "النمط")؛ وهي فضاءات طوبولوجية متماثلة محليًا مع الفضاءات الإقليدية (وتُحقق بعض الشروط الإضافية). يتم تصنيف المتشعبات منخفضة الأبعاد تصنيفًا كاملًا حتى التشاكل التام.

تُشكّل البنية الخطية والطوبولوجية أساسًا للفضاء الطوبولوجي الخطي (أو ما يُعرف بالفضاء المتجهي الطوبولوجي). فالفضاء الطوبولوجي الخطي هو فضاء خطي حقيقي أو مركب، وفي الوقت نفسه فضاء طوبولوجي، بحيث تكون العمليات الخطية فيه متصلة. لذا، فإن الفضاء الخطي الذي يكون طوبولوجيًا في الوقت نفسه ليس بالضرورة فضاءً طوبولوجيًا خطيًا.

كل فضاء خطي حقيقي أو مركب ذو أبعاد منتهية هو فضاء طوبولوجي خطي، بمعنى أنه يحمل طوبولوجيا واحدة فقط تجعله فضاءً طوبولوجيًا خطيًا. وبالتالي، فإن البنيتين، "الفضاء الخطي الحقيقي أو المركب ذو الأبعاد المنتهية" و"الفضاء الطوبولوجي الخطي ذو الأبعاد المنتهية"، متكافئتان، أي أنهما متلازمتان. وعليه، فإن كل تحويل خطي قابل للعكس لفضاء طوبولوجي خطي ذي أبعاد منتهية هو تماثل طوبولوجي. تتفق مفاهيم الأبعاد الثلاثة (أحدها جبري واثنان طوبولوجيان) بالنسبة للفضاءات الخطية الحقيقية ذات الأبعاد المنتهية. أما في الفضاءات ذات الأبعاد اللانهائية، فقد تتوافق طوبولوجيات مختلفة مع بنية خطية معينة، وعادةً لا تكون التحويلات الخطية القابلة للعكس تماثلات طوبولوجية.

من الملائم تعريف الفضاءات الأفينية والإسقاطية باستخدام الفضاءات الخطية، كما يلي: الفضاء الخطي الجزئي ذو البعد n من فضاء خطي ذي البعد ( n +1) ، وهو نفسه فضاء خطي ذو البعد n ، ليس متجانسًا؛ إذ يحتوي على نقطة خاصة، هي نقطة الأصل. وبإزاحتها بمتجه خارجي عنها، نحصل على فضاء أفيني جزئي ذي البعد n . وهو متجانس. لا يشترط أن يكون الفضاء الأفيني جزءًا من فضاء خطي، ولكنه متماثل مع الفضاء الأفيني الجزئي من فضاء خطي. جميع الفضاءات الأفينية ذات البعد n على حقل معين متماثلة فيما بينها. وكما قال جون بايز : "الفضاء الأفيني هو فضاء متجهي نسي نقطة أصله". وعلى وجه الخصوص، كل فضاء خطي هو أيضًا فضاء أفيني.

بفرض وجود فضاء جزئي أفيني ذي بُعد n، A، في فضاء خطي ذي بُعد ( n +1)، L ، يُمكن تعريف الخط المستقيم في A بأنه تقاطع A مع فضاء جزئي خطي ثنائي الأبعاد من L يتقاطع مع A ؛ أي بعبارة أخرى، مع مستوى يمر بنقطة الأصل ولا يوازي A. وبشكل أعم، فإن الفضاء الجزئي الأفيني ذي البُعد k من A هو تقاطع A مع فضاء جزئي خطي ذي بُعد ( k +1) من L يتقاطع مع A.

كل نقطة في الفضاء الجزئي الأفيني A هي تقاطع A مع فضاء جزئي خطي أحادي البعد من L. مع ذلك، فإن بعض الفضاءات الجزئية أحادية البعد من L موازية لـ A ؛ بمعنى ما، تتقاطع مع A عند اللانهاية. مجموعة جميع الفضاءات الجزئية الخطية أحادية البعد لفضاء خطي ذي ( n +1) بُعد هي، بحكم التعريف، فضاء إسقاطي ذو n بُعد . ويُضمّن الفضاء الجزئي الأفيني A في الفضاء الإسقاطي كمجموعة جزئية فعلية. مع ذلك، فإن الفضاء الإسقاطي نفسه متجانس. يُقابل الخط المستقيم في الفضاء الإسقاطي فضاءً جزئيًا خطيًا ثنائي البعد من الفضاء الخطي ذي ( n +1) بُعد. وبشكل أعم، يُقابل الفضاء الجزئي الإسقاطي ذو k بُعد من الفضاء الإسقاطي فضاءً جزئيًا خطيًا ذا ( k +1) بُعد من الفضاء الخطي ذي ( n +1) بُعد، وهو متماثل مع الفضاء الإسقاطي ذي k بُعد .

وبهذا التعريف، فإن الفضاءات الأفينية والإسقاطية ذات طبيعة جبرية؛ ويمكن أن تكون حقيقية ومعقدة، وبشكل أعم، على أي حقل.

كل فضاء حقيقي أو مركب، سواء كان أفينيًا أو إسقاطيًا، هو أيضًا فضاء طوبولوجي. الفضاء الأفيني هو متعدد شعب غير متراص، بينما الفضاء الإسقاطي هو متعدد شعب متراص. في الفضاء الإسقاطي الحقيقي، يكون الخط المستقيم متماثلًا شكليًا مع الدائرة، وبالتالي متراصًا، على عكس الخط المستقيم في الفضاء الخطي أو الأفيني.

تُعرَّف المسافات بين النقاط في الفضاء المتري . وتُسمى التشاكلات بين الفضاءات المترية بالتماثلات. كل فضاء متري هو أيضًا فضاء طوبولوجي. يُسمى الفضاء الطوبولوجي قابلًا للقياس إذا كان أساسًا لفضاء متري. جميع المتشعبات قابلة للقياس.

في الفضاء المتري، يمكننا تعريف المجموعات المحدودة ومتتابعات كوشي. يُسمى الفضاء المتري كاملاً إذا كانت جميع متتابعات كوشي متقاربة فيه. كل فضاء غير كامل مُضمّن بشكل متساوي القياس، كمجموعة جزئية كثيفة، في فضاء كامل (الإكمال). كل فضاء متري متراص هو فضاء كامل؛ خط الأعداد الحقيقية غير متراص ولكنه كامل؛ الفترة المفتوحة (0،1) هي فترة غير كاملة.

كل فضاء إقليدي هو أيضاً فضاء متري كامل. علاوة على ذلك، يمكن وصف جميع المفاهيم الهندسية المتأصلة في الفضاء الإقليدي بدلالة متريته. على سبيل المثال، تتكون القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين معطيتين A و C من جميع النقاط B التي تكون المسافة بين A و C مساوية لمجموع مسافتين، إحداهما بين A و B والأخرى بين B و C.

يُطبَّق بُعد هاوسدورف (المتعلق بعدد الكرات الصغيرة التي تُغطي المجموعة المُعطاة) على الفضاءات المترية، وقد يكون عددًا غير صحيح (خاصةً بالنسبة للكسور الهندسية ). بالنسبة للفضاء الإقليدي ذي البُعد n ، يكون بُعد هاوسدورف مساويًا لـ n .

لا تُدخل الفضاءات المنتظمة المسافات، لكنها تسمح باستخدام الاستمرارية المنتظمة، ومتتاليات كوشي (أو المرشحات أو الشبكات )، والكمال، والاكتمال. كل فضاء منتظم هو أيضًا فضاء طوبولوجي. كل فضاء طوبولوجي خطي (قابل للقياس أو غير قابل) هو أيضًا فضاء منتظم، وهو كامل في الأبعاد المحدودة ولكنه غير كامل عمومًا في الأبعاد غير المحدودة. وبشكل أعم، كل زمرة طوبولوجية تبديلية هي أيضًا فضاء منتظم. أما الزمرة الطوبولوجية غير التبديلية، فتحمل بنيتين منتظمتين، إحداهما ثابتة من اليسار والأخرى ثابتة من اليمين.

تشكل المتجهات في الفضاء الإقليدي فضاءً خطيًا، ولكن كل متجه${\displaystyle x}$وله أيضاً طول، أو بعبارة أخرى، معيار.${\displaystyle \lVert x\rVert }$الفضاء الخطي الحقيقي أو المركب المزود بمعيار يُسمى فضاءً معياريًا . كل فضاء معياري هو فضاء طوبولوجي خطي وفضاء متري في آن واحد. فضاء باناخ هو فضاء معياري كامل. العديد من فضاءات المتتاليات أو الدوال هي فضاءات باناخ لا نهائية الأبعاد.

تُسمى مجموعة جميع المتجهات ذات المعيار الأقل من واحد كرة الوحدة في الفضاء المعياري. وهي مجموعة محدبة ومتناظرة مركزياً، وعادةً ما لا تكون قطعاً ناقصاً؛ فعلى سبيل المثال، قد تكون مضلعاً (في المستوى) أو، بشكل أعم، متعدد السطوح (في أي بُعد محدود). قانون متوازي الأضلاع (ويُسمى أيضاً متطابقة متوازي الأضلاع).

${\displaystyle \lVert xy\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}=2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}\ ,}$

يفشل هذا الأمر عمومًا في الفضاءات المعيارية، ولكنه ينطبق على المتجهات في الفضاءات الإقليدية، وهو ما يترتب على حقيقة أن مربع المعيار الإقليدي للمتجه هو حاصل ضربه الداخلي مع نفسه.${\displaystyle \lVert x\rVert ^{2}=(x,x)}$.

الفضاء الناتج الداخلي هو فضاء خطي حقيقي أو مركب، مزود بصيغة ثنائية الخطية أو ثنائية الخطية على التوالي، يحقق شروطًا معينة ويُسمى ناتجًا داخليًا. كل فضاء ناتج داخلي هو أيضًا فضاء معياري. الفضاء المعياري هو أساس فضاء الناتج الداخلي إذا وفقط إذا حقق قانون متوازي الأضلاع، أو بصورة مكافئة، إذا كانت كرة الوحدة فيه قطعًا ناقصًا. تُعرَّف الزوايا بين المتجهات في فضاءات الناتج الداخلي. يُعرَّف فضاء هيلبرت بأنه فضاء ناتج داخلي كامل. (يصر بعض المؤلفين على أنه يجب أن يكون مركبًا، بينما يقبل آخرون فضاءات هيلبرت الحقيقية أيضًا). العديد من فضاءات المتتاليات أو الدوال هي فضاءات هيلبرت لا نهائية الأبعاد. فضاءات هيلبرت مهمة جدًا لنظرية الكم . ^{[ 11 ]}

جميع فضاءات الضرب الداخلي الحقيقية ذات البعد n متماثلة فيما بينها. يمكن القول إن الفضاء الإقليدي ذو البعد n هو فضاء الضرب الداخلي الحقيقي ذو البعد n الذي نسي أصله.

لا تُسمى المتشعبات الملساء "فضاءات"، ولكن يمكن تسميتها كذلك. كل متشعب أملس هو متشعب طوبولوجي، ويمكن تضمينه في فضاء خطي محدود الأبعاد. الأسطح الملساء في فضاء خطي محدود الأبعاد هي متشعبات ملساء: على سبيل المثال، سطح القطع الناقص هو متشعب أملس، بينما متعدد السطوح ليس كذلك. الفضاءات الخطية، والخطية الأفينية، والإسقاطية الحقيقية أو المركبة محدودة الأبعاد هي أيضًا متشعبات ملساء.

عند كل نقطة من نقاطه، يمتلك المسار الأملس في مشعب أملس متجهًا مماسًا ينتمي إلى فضاء المماس للمشعب عند تلك النقطة. فضاءات المماس لمشعب أملس ذي بُعد n هي فضاءات خطية ذات بُعد n . يوفر تفاضل دالة ملساء على مشعب أملس دالة خطية على فضاء المماس عند كل نقطة.

الفضاء الريماني ، أو فضاء ريمان، هو فضاء أملس تتميز فضاءاته المماسية بوجود جداءات داخلية تحقق شروطًا معينة. الفضاءات الإقليدية هي أيضًا فضاءات ريمان. الأسطح الملساء في الفضاءات الإقليدية هي فضاءات ريمان. الفضاء الزائدي غير الإقليدي هو أيضًا فضاء ريمان. لكل منحنى في فضاء ريمان طول، وطول أقصر منحنى بين نقطتين يحدد المسافة، مما يجعل فضاء ريمان فضاءً متريًا. الزاوية بين منحنيين متقاطعين في نقطة ما هي الزاوية بين خطيهما المماسيين.

وبإهمال إيجابية الضرب الداخلي على الفضاءات المماسية، نحصل على فضاءات ريمان الزائفة ، بما في ذلك فضاءات لورنتز التي تعتبر مهمة للغاية بالنسبة للنسبية العامة .

بإهمال المسافات والزوايا مع الإبقاء على الأحجام (للأجسام الهندسية)، نصل إلى نظرية القياس . فإلى جانب الحجم، يعمم القياس مفاهيم المساحة والطول وتوزيع الكتلة (أو الشحنة)، وكذلك توزيع الاحتمالات، وفقًا لمنهج أندريه كولموغوروف في نظرية الاحتمالات .

يُعدّ "الجسم الهندسي" في الرياضيات الكلاسيكية أكثر انتظامًا بكثير من مجرد مجموعة من النقاط. فحدود هذا الجسم ذات حجم صفري. وبالتالي، فإن حجم الجسم هو حجم داخله، ويمكن استنفاد هذا الداخل بسلسلة لانهائية من المكعبات. في المقابل، قد تكون حدود أي مجموعة من النقاط ذات حجم غير صفري (مثال: مجموعة جميع النقاط النسبية داخل مكعب معين). وقد نجحت نظرية القياس في توسيع مفهوم الحجم ليشمل فئة واسعة من المجموعات، تُعرف بالمجموعات القابلة للقياس . في الواقع، نادرًا ما تظهر المجموعات غير القابلة للقياس في التطبيقات العملية.

تؤدي المجموعات القابلة للقياس، المعطاة في فضاء قابل للقياس بحكم تعريفها، إلى دوال وتطبيقات قابلة للقياس. ولتحويل فضاء طوبولوجي إلى فضاء قابل للقياس، يُزوَّد بجبر سيجما. يُعد جبر سيجما لمجموعات بوريل الأكثر شيوعًا، ولكنه ليس الخيار الوحيد. ( تُستخدم أحيانًا مجموعات باير ، والمجموعات القابلة للقياس عالميًا ، وما إلى ذلك). لا تُحدد الطوبولوجيا بشكل فريد بواسطة جبر سيجما لبوريل؛ على سبيل المثال، تؤدي طوبولوجيا المعيار والطوبولوجيا الضعيفة على فضاء هيلبرت قابل للفصل إلى نفس جبر سيجما لبوريل . ليس كل جبر سيجما هو جبر سيجما لبوريل لطوبولوجيا معينة. ^{[ ج ]} في الواقع، يمكن توليد جبر سيجما بواسطة مجموعة معينة من المجموعات (أو الدوال) بغض النظر عن أي طوبولوجيا. كل مجموعة جزئية من فضاء قابل للقياس هي نفسها فضاء قابل للقياس.

تُعدّ الفضاءات القياسية القابلة للقياس (وتُسمى أيضًا فضاءات بوريل القياسية ) مفيدةً للغاية نظرًا لتشابهها مع الفضاءات المتراصة (انظر EoM ). كل تطبيق تقابلي قابل للقياس بين الفضاءات القياسية القابلة للقياس هو تماثل؛ أي أن التطبيق العكسي قابل للقياس أيضًا. ويكون التطبيق بين هذه الفضاءات قابلًا للقياس إذا وفقط إذا كان رسمه البياني قابلًا للقياس في فضاء الضرب. وبالمثل، كل تطبيق تقابلي متصل بين الفضاءات المترية المتراصة هو تماثل شكلي؛ أي أن التطبيق العكسي متصل أيضًا. ويكون التطبيق بين هذه الفضاءات متصلًا إذا وفقط إذا كان رسمه البياني مغلقًا في فضاء الضرب.

كل مجموعة بوريل في فضاء إقليدي (وبشكل أعم، في فضاء متري قابل للفصل كامل)، مزودة بجبر بوريل سيجما، هي فضاء قياسي قابل للقياس. جميع الفضاءات القياسية القابلة للقياس غير المعدودة متماثلة فيما بينها.

الفضاء القياسي هو فضاء قابل للقياس مزود بقياس. الفضاء الإقليدي المزود بقياس لوبيغ هو فضاء قياسي. تُعرّف نظرية التكامل قابلية التكامل وتكاملات الدوال القابلة للقياس على الفضاء القياسي.

تُعتبر المجموعات ذات القياس 0، والتي تُسمى المجموعات الفارغة، مهملة. وبناءً على ذلك،  يُعرَّف "التشاكل modulo 0" بأنه تشاكل بين مجموعات جزئية ذات قياس كامل (أي ذات مكمل مهمل).

الفضاء الاحتمالي هو فضاء قياس بحيث يكون قياس الفضاء بأكمله مساويًا لـ 1. ويُعدّ حاصل ضرب أي مجموعة (منتهية أو غير منتهية) من الفضاءات الاحتمالية فضاءً احتماليًا. في المقابل، بالنسبة للفضاءات القياسية عمومًا، لا يُعرَّف إلا حاصل ضرب عدد منتهٍ من الفضاءات. وبناءً على ذلك، توجد العديد من مقاييس الاحتمال اللانهائية الأبعاد (وخاصةً المقاييس الغاوسية )، ولكن لا توجد مقاييس ليبيغ لانهائية الأبعاد.

تُعدّ فضاءات الاحتمال القياسية مفيدة للغاية . في فضاء احتمال قياسي، يُمكن اعتبار التوقع الشرطي بمثابة التكامل على المقياس الشرطي ( الاحتمالات الشرطية المنتظمة ، انظر أيضًا تفكك المقياس ). عند وجود فضاءي احتمال قياسيين، يُستحث كل تشاكل بين جبري القياس الخاصين بهما بواسطة دالة تحافظ على المقياس. كل مقياس احتمال على فضاء قياسي قابل للقياس يؤدي إلى فضاء احتمال قياسي آخر. حاصل ضرب متتالية (منتهية أو غير منتهية) من فضاءات الاحتمال القياسية هو فضاء احتمال قياسي. جميع فضاءات الاحتمال القياسية غير الذرية متماثلة فيما بينها بتردد  صفر؛ إحداها هي الفترة (0،1) ذات مقياس ليبيغ.

هذه الفضاءات أقل هندسية. وعلى وجه الخصوص، فإن فكرة البعد، التي تنطبق (بشكل أو بآخر) على جميع الفضاءات الأخرى، لا تنطبق على الفضاءات القابلة للقياس، وفضاءات القياس، وفضاءات الاحتمالية.

أدى البحث النظري في حساب التفاضل والتكامل، المعروف بالتحليل الرياضي ، في أوائل القرن العشرين إلى دراسة الفضاءات الخطية للدوال الحقيقية أو المركبة. وكانت فضاءات الدوال من أوائل الأمثلة على ذلك ، حيث تم تكييف كل منها مع فئة معينة من المسائل. وتشاركت هذه الأمثلة في العديد من الخصائص، وسرعان ما تم تجريد هذه الخصائص إلى فضاءات هيلبرت، وفضاءات باناخ، وفضاءات المتجهات الطوبولوجية الأكثر عمومية. وقد شكلت هذه الفضاءات أدوات فعالة لحل طيف واسع من المسائل الرياضية.

كانت المعلومات الأكثر تفصيلاً تُحمل بواسطة فئة من الفضاءات تُسمى جبر باناخ . وهي عبارة عن فضاءات باناخ مُقترنة بعملية ضرب متصلة. ومن الأمثلة المبكرة الهامة جبر باناخ للدوال القابلة للقياس والمحدودة أساسًا على فضاء قياس X. تُشكل هذه المجموعة من الدوال فضاء باناخ تحت عملية الجمع النقطي والضرب القياسي. وبإجراء عملية الضرب النقطي، تُصبح نوعًا خاصًا من فضاء باناخ، يُسمى الآن جبر فون نيومان التبادلي . يُحدد الضرب النقطي تمثيلًا لهذا الجبر على فضاء هيلبرت للدوال القابلة للتكامل التربيعي على X. ومن الملاحظات المبكرة لجون فون نيومان أن هذا التناظر يعمل أيضًا في الاتجاه المعاكس: فبافتراض بعض الفرضيات التقنية البسيطة، يُحدد جبر فون نيومان التبادلي مع تمثيل على فضاء هيلبرت فضاء قياس، وهذان التركيبان (جبر فون نيومان بالإضافة إلى تمثيل، وفضاء قياس) معكوسان لبعضهما البعض.

ثم اقترح فون نيومان أن يكون لجبر فون نيومان غير التبادلي معنى هندسي، تمامًا كما هو الحال مع جبر فون نيومان التبادلي. وبالتعاون مع فرانسيس موراي ، وضع تصنيفًا لجبر فون نيومان. يُبين البناء التكاملي المباشر كيفية تقسيم أي جبر فون نيومان إلى مجموعة من الجبر الأبسط تُسمى العوامل . صنف فون نيومان وموراي العوامل إلى ثلاثة أنواع. كان النوع الأول مطابقًا تقريبًا للحالة التبادلية. أما النوعان الثاني والثالث فقد أظهرا ظواهر جديدة. يُحدد جبر فون نيومان من النوع الثاني هندسةً ذات خاصية مميزة، وهي أن بُعدها يمكن أن يكون أي عدد حقيقي غير سالب، وليس عددًا صحيحًا فقط. أما جبر النوع الثالث فهو الذي لم يكن من النوع الأول ولا الثاني، وبعد عقود من الجهد، ثبت أنه وثيق الصلة بعوامل النوع الثاني.

طُوِّرَ نهجٌ مختلفٌ قليلاً لهندسة فضاءات الدوال بالتزامن مع عمل فون نيومان وموراي على تصنيف العوامل. هذا النهج هو نظرية جبر C* . والمثال المُحفِّز هنا هو جبر C*.${\displaystyle C_{0}(X)}$حيث X فضاء طوبولوجي هاوسدورف متراص محليًا. بحسب التعريف، هذا هو جبر الدوال المركبة المتصلة على X التي تتلاشى عند اللانهاية (مما يعني بشكل عام أنه كلما ابتعدنا عن نقطة مختارة، اقتربت الدالة من الصفر) مع عمليتي الجمع والضرب النقطيتين. تشير نظرية جيلفاند-نايمارك إلى وجود تطابق بين جبر C* التبادلي والأشكال الهندسية: كل جبر C* تبادلي يكون على الصورة${\displaystyle C_{0}(X)}$بالنسبة لبعض فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا X. وبالتالي، من الممكن دراسة فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا باستخدام جبر C* التبادلي فقط. يستلهم علم الهندسة غير التبادلي هذا لدراسة جبر C* غير التبادلي: إذا كان هناك ما يُسمى "فضاء غير تبادلي X "، فإن${\displaystyle C_{0}(X)}$سيكون جبرًا غير تبادلي من نوع C* ؛ وإذا طُبقت نظرية جيلفاند-نايمارك على هذه الكائنات غير الموجودة، فإن الفضاءات (سواء كانت تبادلية أم لا) ستكون مماثلة لجبر C*؛ لذا، ولعدم وجود تعريف مباشر للفضاء غير التبادلي، يُعرَّف الفضاء غير التبادلي بأنه جبر C* غير تبادلي. يمكن إعادة صياغة العديد من الأدوات الهندسية القياسية باستخدام جبر C*، وهذا يوفر تقنيات مستوحاة من الهندسة لدراسة جبر C* غير التبادلي .

يُعدّ هذان المثالان الآن من ضمن مجال يُسمى الهندسة غير التبادلية . وتُعرف الأمثلة المحددة لجبر فون نيومان وجبر C* بنظرية القياس غير التبادلية والطوبولوجيا غير التبادلية، على التوالي. لا تُمثل الهندسة غير التبادلية مجرد سعيٍ نحو التعميم لذاته، وليست مجرد ظاهرة غريبة. تنشأ الفضاءات غير التبادلية بشكل طبيعي، بل وحتمي، من بعض الإنشاءات. على سبيل المثال، لننظر إلى تبليطات بنروز غير الدورية للمستوى باستخدام الطائرات الورقية والسهام. تنصّ إحدى النظريات على أنه في مثل هذا التبليط، يظهر كل جزء محدود من الطائرات الورقية والسهام عددًا لا نهائيًا من المرات. ونتيجةً لذلك، لا توجد طريقة لتمييز تبليطين من تبليطات بنروز بالنظر إلى جزء محدود منهما. وهذا ما يجعل من المستحيل إسناد طوبولوجيا بالمعنى التقليدي لمجموعة جميع التبليطات. على الرغم من ذلك، تُحدد تبليطات بنروز جبرًا غير تبادلي من نوع C*، وبالتالي يمكن دراستها باستخدام تقنيات الهندسة غير التبادلية. مثال آخر، ذو أهمية بالغة في الهندسة التفاضلية ، يأتي من توريقات المتشعبات. هذه طرق لتقسيم المتشعب إلى متشعبات فرعية أصغر أبعادًا تُسمى أوراقًا ، كل منها موازٍ محليًا للأوراق المجاورة. يمكن تحويل مجموعة جميع الأوراق إلى فضاء طوبولوجي. مع ذلك، يُظهر مثال الدوران غير النسبي أن هذا الفضاء الطوبولوجي قد يكون غير قابل للوصول إليه باستخدام تقنيات نظرية القياس الكلاسيكية. ومع ذلك، يوجد جبر فون نيومان غير تبادلي مرتبط بفضاء أوراق التوريق، وهذا بدوره يُضفي على فضاء غير مفهوم بنية هندسية جيدة.

يدرس علم الهندسة الجبرية الخصائص الهندسية لمعادلات كثيرات الحدود . وكثيرات الحدود هي نوع من الدوال المعرفة من العمليات الحسابية الأساسية: الجمع والضرب. ولذلك، فهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالجبر. يوفر علم الهندسة الجبرية طريقة لتطبيق التقنيات الهندسية على مسائل الجبر البحت، والعكس صحيح.

قبل أربعينيات القرن العشرين، اقتصرت الهندسة الجبرية على الأعداد المركبة، وكان الفضاء الإسقاطي هو النوع الأساسي. ترتبط هندسة الفضاء الإسقاطي ارتباطًا وثيقًا بنظرية المنظور ، ويُوصَف جبره بواسطة كثيرات الحدود المتجانسة . عُرِّفت جميع الأنواع الأخرى كمجموعات جزئية من الفضاء الإسقاطي. كانت الأنواع الإسقاطية عبارة عن مجموعات جزئية مُعرَّفة بمجموعة من كثيرات الحدود المتجانسة. عند كل نقطة من نقاط النوع الإسقاطي، كان يُشترط أن تساوي جميع كثيرات الحدود في المجموعة صفرًا. مُتمِّمة مجموعة أصفار كثيرة الحدود الخطية هي فضاء أفيني، والنوع الأفيني هو تقاطع نوع إسقاطي مع فضاء أفيني.

لاحظ أندريه ويل إمكانية تطبيق الاستدلال الهندسي أحيانًا في مسائل نظرية الأعداد، حيث قد تكون الفضاءات المعنية منفصلة أو حتى منتهية. وسعيًا وراء هذه الفكرة، أعاد ويل صياغة أسس الهندسة الجبرية، محررًا إياها من اعتمادها على الأعداد المركبة، ومُدخلًا أصنافًا جبرية مجردة غير مضمنة في الفضاء الإسقاطي. وتُعرف هذه الأصناف الآن ببساطة باسم " الأصناف" .

يُعدّ نوع الفضاء الذي يقوم عليه معظم الهندسة الجبرية الحديثة أكثر عموميةً من أصناف ويل الجبرية المجردة. وقد قدّمه ألكسندر غروتينديك ويُطلق عليه اسم " المخطط" . أحد دوافع نظرية المخططات هو أن كثيرات الحدود ذات بنية غير اعتيادية بين الدوال، وبالتالي فإن الأصناف الجبرية جامدة. يُشكّل هذا الأمر إشكاليات عند محاولة دراسة الحالات المنحلة. على سبيل المثال، يُحدّد أي زوج من النقاط على دائرة خطًا فريدًا يُسمى خط القاطع، ومع تحرّك النقطتين حول الدائرة، يتغيّر خط القاطع باستمرار. مع ذلك، عندما تتقاطع النقطتان، يتحوّل خط القاطع إلى خط مماس. خط المماس فريد، لكن هندسة هذا التكوين - نقطة واحدة على دائرة - ليست كافية للتعبير عن خط فريد. تتطلّب دراسة حالات كهذه نظرية قادرة على إسناد بيانات إضافية إلى الحالات المنحلة.

يُعدّ الفضاء الطوبولوجي أحد العناصر الأساسية لأي مخطط. تحتوي الفضاءات الطوبولوجية على دوال متصلة، إلا أن هذه الدوال عامة جدًا بحيث لا تعكس البنية الجبرية الأساسية محل الاهتمام. ولذلك، فإن العنصر الآخر في المخطط هو حزمة على الفضاء الطوبولوجي، تُسمى "حزمة البنية". على كل مجموعة فرعية مفتوحة من الفضاء الطوبولوجي، تُحدد هذه الحزمة مجموعة من الدوال، تُسمى "الدوال المنتظمة". يجب أن يستوفي كل من الفضاء الطوبولوجي وحزمة البنية معًا شروطًا تُشير إلى أن هذه الدوال ناتجة عن عمليات جبرية.

مثل المتشعبات، تُعرَّف المخططات بأنها فضاءات تُنمذج محليًا على فضاء مألوف. في حالة المتشعبات، يكون الفضاء المألوف هو الفضاء الإقليدي. أما بالنسبة للمخطط، فتُسمى النماذج المحلية مخططات أفينية . توفر المخططات الأفينية رابطًا مباشرًا بين الهندسة الجبرية والجبر التبادلي . تُعد الحلقات التبادلية من العناصر الأساسية للدراسة في الجبر التبادلي .${\displaystyle R}$إذا كانت حلقة تبديلية، فإنه يوجد مخطط أفيني مطابق${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$والذي يترجم البنية الجبرية لـ${\displaystyle R}$في الهندسة. وعلى العكس، يُحدد كل مخطط أفيني حلقة تبديلية، وهي حلقة المقاطع العامة لحزمة بنيته. هاتان العمليتان عكسيتان، لذا تُوفر المخططات الأفينية لغة جديدة لدراسة مسائل الجبر التبديلي. بحسب التعريف، لكل نقطة في المخطط جوار مفتوح يُمثل مخططًا أفينيًا.

توجد العديد من المخططات غير الأفينية. على وجه الخصوص، تحقق الفضاءات الإسقاطية شرطًا يُسمى " الخاصية" وهو مشابه لشرط "التراص". لا يمكن أن تكون المخططات الأفينية خاصة (إلا في حالات بسيطة مثل عندما يحتوي المخطط على نقطة واحدة فقط)، وبالتالي لا يوجد فضاء إسقاطي مخطط أفيني (باستثناء الفضاءات الإسقاطية ذات البعد الصفري). تُعد المخططات الإسقاطية، أي تلك التي تنشأ كمخططات فرعية مغلقة من فضاء إسقاطي، أهم فئة من المخططات. ^{[ 12 ]}

تم تقديم العديد من التعميمات للمخططات. عرّف مايكل أرتين الفضاء الجبري بأنه خارج قسمة مخطط ما على علاقات التكافؤ التي تُعرّف التشكلات الإيتالية . تحتفظ الفضاءات الجبرية بالعديد من الخصائص المفيدة للمخططات، مع كونها في الوقت نفسه أكثر مرونة. على سبيل المثال، يمكن استخدام نظرية كيل-موري لإثبات أن العديد من فضاءات المعاملات هي فضاءات جبرية.

يُعدّ رزمة ديلين-مامفورد أكثر عمومية من الفضاء الجبري . تشبه رزم ديلين-مامفورد المخططات، لكنها تسمح بوجود نقاط شاذة لا يمكن وصفها باستخدام كثيرات الحدود فقط. وتؤدي هذه الرزم الدور نفسه الذي تؤديه المدارات بالنسبة للمتشعبات . على سبيل المثال، ينتج عن قسمة المستوى الأفيني على مجموعة منتهية من الدورانات حول نقطة الأصل رزمة ديلين-مامفورد لا تُصنّف كمخطط ولا كفضاء جبري. بعيدًا عن نقطة الأصل، تُحدّد القسمة بفعل المجموعة مجموعات منتهية من النقاط المتساوية التباعد على دائرة. أما عند نقطة الأصل، فتتكون الدائرة من نقطة واحدة فقط، وهي نقطة الأصل نفسها، ويُثبّت فعل المجموعة هذه النقطة. في رزمة ديلين-مامفورد للقسمة، تأتي هذه النقطة مصحوبة ببيانات إضافية لكونها قسمة. يُعدّ هذا النوع من البنية المُحسّنة مفيدًا في نظرية فضاءات المعاملات، وفي الواقع، طُرح في الأصل لوصف معاملات المنحنيات الجبرية .

ومن التعميمات الأخرى الحزم الجبرية ، والتي تُسمى أيضًا حزم آرتين. تقتصر حزم DM على عمليات القسمة بفعل المجموعات المنتهية. ورغم أن هذا يكفي للعديد من مسائل نظرية المعاملات، إلا أنه مقيد للغاية بالنسبة لمسائل أخرى، وتسمح حزم آرتين بعمليات قسمة أكثر عمومية.

في أعمال غروتينديك حول حدسيات ويل ، قدّم نوعًا جديدًا من الطوبولوجيا يُعرف الآن باسم طوبولوجيا غروتينديك . يُرسي الفضاء الطوبولوجي (بالمعنى المعتاد) مفهوم "التقارب"، حيث تكون نقطتان متقاربتين إذا وفقط إذا كانتا تقعان في العديد من المجموعات المفتوحة نفسها. في المقابل، تُرسي طوبولوجيا غروتينديك مفهوم "التغطية". تغطية الفضاء هي مجموعة من الفضاءات الجزئية التي تحتوي مجتمعةً على جميع معلومات الفضاء المحيط. وبما أن الحزم تُعرَّف بدلالة التغطيات، فيمكن أيضًا اعتبار طوبولوجيا غروتينديك بمثابة ترسيخ لنظرية الحزم.

قاد عمل غروتينديك على الطوبولوجيا إلى نظرية التوبويات . في مذكراته "Récoltes et Semailles" ، وصفها بأنها "أوسع تصوراته". ^{[ 13 ]} تُستخدم الحزمة (سواء على فضاء طوبولوجي أو بالنسبة لطوبولوجيا غروتينديك) للتعبير عن البيانات المحلية. تشمل فئة جميع الحزم جميع الطرق الممكنة للتعبير عن البيانات المحلية. بما أن الفضاءات الطوبولوجية تُبنى من نقاط، وهي بحد ذاتها نوع من البيانات المحلية، فإنه يمكن استخدام فئة الحزم كبديل للفضاء الأصلي. بناءً على ذلك، عرّف غروتينديك التوبو بأنه فئة من الحزم، ودرس التوبويات ككائنات ذات أهمية في حد ذاتها. تُعرف هذه التوبويات الآن باسم توبوييات غروتينديك .

كل فضاء طوبولوجي يُحدد طوبولوجيا، والعكس صحيح. توجد فضاءات طوبولوجية يفقد فيها أخذ الطوبولوجيا المرتبطة بها معلومات، لكنها تُعتبر عمومًا حالات شاذة. (الشرط الضروري والكافي هو أن يكون الفضاء الطوبولوجي فضاءً سليمًا ). في المقابل، توجد طوبولوجيات لا تُجسد فضاءاتها الطوبولوجية المرتبطة بها الطوبولوجيا الأصلية. لكن هذه الطوبولوجيات، بعيدًا عن كونها شاذة، قد تكون ذات أهمية رياضية كبيرة. على سبيل المثال، يمكن صياغة نظرية غروتينديك في علم التماثل الإيتالي (التي أدت في النهاية إلى إثبات حدسيات ويل) على أنها علم تماثل في الطوبولوجيا الإيتالية لمخطط، وهذه الطوبولوجيا لا تنشأ من فضاء طوبولوجي.

تؤدي الفضاءات الطوبولوجية في الواقع إلى طوبولوجيات خاصة جدًا تُسمى المواضع . تحدد مجموعة المجموعات الفرعية المفتوحة في الفضاء الطوبولوجي شبكةً . وتؤدي بديهيات الفضاء الطوبولوجي إلى أن تكون هذه الشبكات جبر هيتينغ كاملًا . تنطلق نظرية المواضع من هذا المبدأ. يُعرَّف الموضع بأنه جبر هيتينغ كامل، وتُعاد صياغة الخصائص الأساسية للفضاءات الطوبولوجية وإثباتها في هذا السياق. يتضح أن مفهوم الموضع أكثر عمومية من مفهوم الفضاء الطوبولوجي، إذ يُحدد كل فضاء طوبولوجي سليم موضعًا فريدًا، لكن العديد من المواضع المهمة لا تنشأ من الفضاءات الطوبولوجية. ولأن المواضع لا يشترط أن تحتوي على نقاط، يُطلق على دراسة المواضع، من باب الدعابة، اسم " الطوبولوجيا عديمة النقاط ".

تُظهر الطوبولوجيا أيضًا روابط عميقة بالمنطق الرياضي. لكل طوبولوجيا غروتينديك حزمة خاصة تُسمى مُصنِّف الكائنات الفرعية. يعمل مُصنِّف الكائنات الفرعية هذا كمجموعة جميع قيم الصواب الممكنة. في طوبولوجيا المجموعات، يكون مُصنِّف الكائنات الفرعية هو المجموعة${\displaystyle \{0,1\}}$، وهو ما يُقابل "خطأ" و"صواب". ولكن في أنواع أخرى من الطوبولوجيا، قد يكون مُصنِّف الكائنات الفرعية أكثر تعقيدًا. أدرك لوفير وتيرني أن وضع مُصنِّف الكائنات الفرعية في بديهيات يُنتج نوعًا أكثر عمومية من الطوبولوجيا، يُعرف الآن بالطوبولوجيا الأولية ، وأن الطوبولوجيا الأولية هي نماذج للمنطق الحدسي . إضافةً إلى توفير طريقة فعّالة لتطبيق أدوات المنطق على الهندسة، فقد أتاح ذلك استخدام الأساليب الهندسية في المنطق.