الجبر التبادلي
الجبر التبادلي ، المعروف سابقًا بنظرية المُثُل ، هو فرع من فروع الجبر يدرس الحلقات التبادلية ، ومُثُلها ، والوحدات النمطية فوق هذه الحلقات. يعتمد كل من الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد الجبرية على الجبر التبادلي. من الأمثلة البارزة على الحلقات التبادلية حلقات كثيرات الحدود ؛ وحلقات الأعداد الصحيحة الجبرية ، بما في ذلك الأعداد الصحيحة العادية.والأعداد الصحيحة p -adic . [ 1 ]
الجبر التبادلي هو الأداة التقنية الرئيسية للهندسة الجبرية ، والعديد من نتائج ومفاهيم الجبر التبادلي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالمفاهيم الهندسية.
يُعرف علم دراسة الحلقات التي ليست بالضرورة تبديلية باسم الجبر غير التبديلي ؛ وهو يشمل نظرية الحلقة ، ونظرية التمثيل ، ونظرية جبر باناخ .
ملخص
الجبر التبادلي هو في الأساس دراسة الحلقات التي تظهر في نظرية الأعداد الجبرية والهندسة الجبرية .
تم تطوير العديد من مفاهيم الجبر التبادلي فيما يتعلق بنظرية الأعداد الجبرية، مثل حلقات ديديكيند (الفئة الرئيسية من الحلقات التبادلية التي تظهر في نظرية الأعداد الجبرية)، والامتدادات التكاملية ، وحلقات التقييم .
تُعدّ حلقات كثيرات الحدود في عدة متغيرات على حقل ما أمثلة على الحلقات التبديلية. ولأن الهندسة الجبرية هي في جوهرها دراسة الأصفار المشتركة لهذه الحلقات، فإن العديد من نتائج ومفاهيم الهندسة الجبرية لها نظائر في الجبر التبديلي، وغالبًا ما تُشير أسماؤها إلى أصلها الهندسي؛ على سبيل المثال " بعد كرول "، و" تحديد موضع الحلقة "، و" الحلقة المحلية "، و" الحلقة المنتظمة ".
تُقابل المتنوعات الجبرية الأفينية مثاليًا أوليًا في حلقة متعددة الحدود، وتُقابل نقاط هذه المتنوعات الأفينية المُثُلَ القصوى التي تحتوي على هذا المثالي الأولي. وقد تم توسيع طوبولوجيا زاريسكي ، التي عُرِّفت في الأصل على المتنوعات الجبرية، لتشمل مجموعات المُثُل الأولية لأي حلقة تبديلية؛ وفي هذه الطوبولوجيا، تكون المجموعات المغلقة هي مجموعات المُثُل الأولية التي تحتوي على مثالي مُعطى.
طيف الحلقة هو فضاء حلقي يتكون من المُثُل الأولية المُجهزة بطوبولوجيا زاريسكي، ومواضع الحلقة عند المجموعات المفتوحة لأساس هذه الطوبولوجيا. هذه هي نقطة انطلاق نظرية المخططات ، وهي تعميم للهندسة الجبرية قدمه غروتينديك ، وتعتمد بقوة على الجبر التبادلي، وقد أدت بدورها إلى العديد من التطورات في الجبر التبادلي.
تاريخ
بدأ هذا الموضوع، الذي عُرف في البداية بنظرية المُثُل ، مع أعمال ريتشارد ديديكيند حول المُثُل ، والتي استندت بدورها إلى أعمال إرنست كومر وليوبولد كرونكر . لاحقًا، قدّم ديفيد هيلبرت حلقة الحدود لتعميم حلقة أعداد الحدود السابقة . وقدّم هيلبرت منهجًا أكثر تجريدًا ليحل محل الأساليب الأكثر واقعية وتوجهًا نحو الحساب، والتي كانت تستند إلى مفاهيم مثل التحليل المركب ونظرية الثوابت الكلاسيكية . بدوره، أثّر هيلبرت تأثيرًا كبيرًا على إيمي نوثر ، التي أعادت صياغة العديد من النتائج السابقة في إطار شرط السلسلة الصاعدة ، المعروف الآن بشرط نوثر. ومن المعالم المهمة الأخرى عمل إيمانويل لاسكر ، تلميذ هيلبرت ، الذي قدّم المُثُل الأولية وأثبت النسخة الأولى من نظرية لاسكر-نوثر .
كان فولفغانغ كرول الشخصية الرئيسية المسؤولة عن نشأة الجبر التبادلي كعلم متكامل ، حيث قدم المفاهيم الأساسية لتحديد موضع الحلقة وإكمالها ، بالإضافة إلى مفهوم الحلقات المحلية المنتظمة . وقد أسس مفهوم بُعد كرول للحلقة، بدايةً للحلقات النويثرية قبل أن يوسع نظريته لتشمل حلقات التقييم العامة وحلقات كرول . وحتى يومنا هذا، تُعتبر نظرية كرول للمثالي الرئيسي على نطاق واسع أهم نظرية تأسيسية في الجبر التبادلي. وقد مهدت هذه النتائج الطريق لإدخال الجبر التبادلي في الهندسة الجبرية، وهي فكرة أحدثت ثورة في هذا العلم الأخير.
يركز جزء كبير من التطور الحديث للجبر التبادلي على الوحدات النمطية . فكل من مثاليات الحلقة R وجبر R هما حالتان خاصتان من وحدات R النمطية، لذا تشمل نظرية الوحدات النمطية كلاً من نظرية المثاليات ونظرية امتدادات الحلقات . ورغم أن هذا النهج كان قد بدأ بالفعل في أعمال كرونكر ، إلا أن الفضل في النهج الحديث للجبر التبادلي باستخدام نظرية الوحدات النمطية يُنسب عادةً إلى كرول ونوثر .
الأدوات والنتائج الرئيسية
حلقات نوثيرية
الحلقة النويثرية ، التي سميت على اسم إيمي نوثر ، هي حلقة يتم فيها توليد كل مثالي بشكل نهائي ؛ أي أن جميع عناصر أي مثالي يمكن كتابتها على شكل مجموعات خطية من مجموعة محدودة من العناصر، بمعاملات في الحلقة.
تُعتبر العديد من الحلقات التبديلية الشائعة حلقات نوثرية، ولا سيما كل حقل ، والأعداد الصحيحة، وكل حلقة متعددة الحدود تحتوي على متغير واحد أو أكثر فوقها. وتُعرف حقيقة أن حلقات متعددة الحدود فوق حقل ما هي حلقات نوثرية بنظرية أساس هيلبرت .
علاوة على ذلك، تحافظ العديد من بنى الحلقات على خاصية نوثرية. على وجه الخصوص، إذا كانت الحلقة التبديلية R نوثرية، فإن الأمر نفسه ينطبق على كل حلقة متعددة الحدود فوقها، وعلى كل حلقة خارج القسمة ، أو موضع ، أو إكمال للحلقة.
تكمن أهمية خاصية Noetherian في انتشارها وفي حقيقة أن العديد من النظريات المهمة في الجبر التبادلي تتطلب أن تكون الحلقات المعنية Noetherian، وهذا هو الحال، على وجه الخصوص، بالنسبة لنظرية Lasker–Noether ، ونظرية Krull للتقاطع ، ونظرية Nakayama's lemma .
علاوة على ذلك، إذا كانت الحلقة نوثرية، فإنها تحقق شرط السلسلة التنازلية على المثاليات الأولية ، مما يعني أن كل حلقة محلية نوثرية لها بُعد كرول محدود .
التحلل الأولي
يُقال عن المثالي Q في حلقة ما بأنه مثالي أولي إذا كان Q مثاليًا حقيقيًا ، وكلما كان xy ∈ Q ، فإن x ∈ Q أو yn ∈ Q لعدد صحيح موجب n . في Z ، المثاليات الأولية هي تحديدًا المثاليات التي تأخذ الشكل ( pe ) حيث p عدد أولي و e عدد صحيح موجب. بالتالي، فإن التفكيك الأولي لـ ( n ) يُقابل تمثيل ( n ) كتقاطع عدد محدود من المثاليات الأولية.
يمكن اعتبار نظرية لاسكر -نوثر ، الواردة هنا، بمثابة تعميم معين للنظرية الأساسية في الحساب:
نظرية لاسكر-نوثر — ليكن R حلقة نوثرية تبديلية، وليكن I مثالياً في R. عندئذٍ، يمكن كتابة I على شكل تقاطع عدد محدود من المثاليات الأولية ذات الجذور المتميزة ؛ أي:
مع كون Q i موجبة لجميع قيم i، و Rad( Q i ) ≠ Rad( Q j ) عندما i ≠ j . علاوة على ذلك، إذا:
هو تفكيك لـ I مع Rad( P i ) ≠ Rad( P j ) لـ i ≠ j ، وكلا التفكيكين لـ I غير زائدين (بمعنى أنه لا توجد مجموعة جزئية مناسبة من { Q 1 ، ...، Q t } أو { P 1 ، ...، P k } تعطي تقاطعًا يساوي I )، t = k و (بعد إعادة ترقيم Q i ربما ) Rad( Q i ) = Rad( P i ) لجميع i .
بالنسبة لأي تحليل أولي للحلقة I ، تظل مجموعة جميع الجذور، أي المجموعة {Rad( Q1 ), ..., Rad( Qt )} ، ثابتةً وفقًا لنظرية لاسكر- نوثر . في الواقع، يتضح (بالنسبة لحلقة نوثرية) أن هذه المجموعة هي تحديدًا مجموعة العناصر المُبيدة للوحدة R / I ؛ أي مجموعة جميع العناصر المُبيدة لـ R / I (عند اعتبارها وحدةً على R ) التي تكون أعدادًا أولية.
التوطين
التوطين هو طريقة رسمية لإدخال "المقامات" في حلقة أو وحدة معينة. أي أنه يُدخل حلقة/وحدة جديدة من حلقة/وحدة موجودة بحيث تتكون من كسور .
- .
حيث تتراوح المقامات s في مجموعة جزئية معينة S من R. المثال النموذجي هو بناء الحلقة Q للأعداد النسبية من الحلقة Z للأعداد الصحيحة.
انتهاء
الإكمال هو أي من الدوال المترابطة على الحلقات والوحدات التي تُنتج حلقات ووحدات طوبولوجية كاملة . يُشبه الإكمال التموضع ، وهما معًا من أهم الأدوات الأساسية في تحليل الحلقات التبادلية . تتميز الحلقات التبادلية الكاملة ببنية أبسط من الحلقات العامة، وينطبق عليها مبدأ هينسل .
طوبولوجيا زاريسكي على المُثُل الأولية
تُعرّف طوبولوجيا زاريسكي طوبولوجيا على طيف حلقة (مجموعة المُثُل الأولية). [ 2 ] في هذه الصياغة، تُعتبر المجموعات المغلقة زاريسكي هي المجموعات
حيث A حلقة تبديلية ثابتة و I مثالي. يُعرَّف هذا قياسًا على طوبولوجيا زاريسكي الكلاسيكية، حيث تُعرَّف المجموعات المغلقة في الفضاء الأفيني بأنها تلك المعرفة بمعادلات متعددة الحدود. ولرؤية الصلة بالصورة الكلاسيكية، لاحظ أنه لأي مجموعة S من متعددات الحدود (على حقل مغلق جبريًا)، يتبع من نظرية هيلبرت للأصفار أن نقاط V ( S ) (بالمعنى القديم) هي بالضبط الأزواج المرتبة ( a₁ , ... , an ) التي يحتوي المثالي ( x₁ - a₁ , ... , xₙ - an ) على S ؛ علاوة على ذلك ، هذه مثاليات عظمى ، وبحسب نظرية الأصفار "الضعيفة"، يكون المثالي لأي حلقة إحداثيات أفينية عظمى إذا وفقط إذا كان من هذا الشكل. وبالتالي، فإن V( S ) هو "نفس" المثاليات العظمى التي تحتوي على S. كان ابتكار غروتينديك في تعريف Spec هو استبدال المثاليات العظمى بجميع المثاليات الأولية. في هذه الصيغة، من الطبيعي تعميم هذه الملاحظة ببساطة إلى تعريف مجموعة مغلقة في طيف حلقة.
الروابط مع الهندسة الجبرية
لطالما شكّل الجبر التبادلي (في صورة حلقات كثيرات الحدود ونواتج قسمتها، المستخدمة في تعريف الأصناف الجبرية ) جزءًا من الهندسة الجبرية . مع ذلك، في أواخر خمسينيات القرن العشرين، أُدرجت الأصناف الجبرية ضمن مفهوم ألكسندر غروتينديك للمخطط . كائناتها المحلية هي المخططات الأفينية أو الأطياف الأولية، وهي فضاءات حلقية محلية، تُشكّل فئةً مكافئةً (مزدوجة) لفئة الحلقات الوحدوية التبادلية، مُوسّعةً بذلك الازدواجية بين فئة الأصناف الجبرية الأفينية على حقل k ، وفئة الجبر المختزل k المُوَلَّد نهائيًا . يتم الربط وفقًا لطوبولوجيا زاريسكي؛ إذ يُمكن الربط ضمن فئة الفضاءات الحلقية المحلية، وكذلك، باستخدام تضمين يونيدا، ضمن الفئة الأكثر تجريدًا للحزم المسبقة للمجموعات على فئة المخططات الأفينية. يُستبدل مفهوم زاريسكي الطوبولوجي، بمعناه النظري في نظرية المجموعات، بمفهوم زاريسكي الطوبولوجي، بمعناه الطوبولوجي لغروتينديك . وقد قدّم غروتينديك مفاهيم الطوبولوجيا لغروتينديك، آخذاً في الاعتبار أمثلةً أكثر تعقيداً، ولكنها أدقّ هندسياً وأكثر حساسية من مفهوم زاريسكي البسيط، وهي الطوبولوجيا الإيتالية ، ومفهوما غروتينديك المسطحان: fppf و fpqc. وقد برزت في الوقت الحاضر أمثلة أخرى، منها طوبولوجيا نيسنيفيتش . ويمكن تعميم الحزم لتشمل المكدسات، بمعناها لغروتينديك، عادةً مع بعض شروط التمثيل الإضافية، مما يؤدي إلى مكدسات آرتين، ومكدسات ديلين-مامفورد ، وهي أدقّ منها ، وكلاهما يُطلق عليهما غالباً اسم المكدسات الجبرية.
انظر أيضاً
ملحوظات
- ↑ عطية وماكدونالد، 1969، الفصل 1
- ↑ دوميت، د.س.؛ فوت، ر. (2004). الجبر المجرد ( الطبعة الثالثة). وايلي. ص 71-72 . ISBN 9780471433347.
مراجع
- عطية، مايكل ؛ ماكدونالد، إيان ج. (2018) [1969]. مقدمة في الجبر التبادلي . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-0-429-96218-9.
- بورباكي، نيكولاس (1998) [1989]. "الفصول 1-7". الجبر التبادلي . عناصر الرياضيات. سبرينغر. ISBN 3-540-64239-0.
- بورباكي، نيكولاس (2006) [1983]. "الفصول 8 و 9". الجبر الإبدالي . عناصر الرياضيات. سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-33942-7.
- أيزنبد، ديفيد (1995). الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 150. نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . xvi+785. ISBN 0-387-94268-8MR 1322960 .
- جوبلوت ، ريمي (2001). الجبر التبادلي والدورات والتمارين المصححة ( الطبعة الثانية). دونود. رقم ISBN 2-10-005779-0.
- كونز، إرنست (1985). مقدمة في الجبر التبادلي والهندسة الجبرية . بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3065-1.
- ماتسومورا، هيديوكي (1980). الجبر التبادلي . سلسلة محاضرات محاضرات الرياضيات. المجلد. 56 ( الطبعة الثانية). بنيامين / كامينغز. رقم ISBN 0-8053-7026-9.
- ماتسومورا، هيديوكي (1989). نظرية الحلقات التبادلية . دراسات كامبريدج في الرياضيات المتقدمة ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-36764-6.
- ناغاتا، ماسايوشي (1975) [1962]. الحلقات المحلية . سلسلة إنترساينس في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 13. إنترساينس. ISBN 978-0-88275-228-0. OCLC 1137934 .
- ريد، مايلز (1996). الجبر التبادلي لطلاب المرحلة الجامعية . نصوص طلابية من الجمعية الرياضية بلندن. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-45889-4.
- سير، جان بيير (2000). الجبر المحلي . سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات. ترجمة تشين، تشي واي. سبرينغر. ISBN 3-540-66641-9.
- شارب، ر. ي. (2000). خطوات في الجبر التبادلي . نصوص طلابية لجمعية لندن الرياضية. المجلد 51 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ص. 2000. ISBN 0-521-64623-5.
- زاريسكي، أوسكار ؛ صموئيل، بيير (1975). الجبر التبادلي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 28. سبرينغر. ISBN 978-0-387-90171-8.زاريسكي، أوسكار؛ صموئيل، بيير (1975). المجلد الثاني . المجلد 29. سبرينغر. ISBN 978-0-387-90089-6.
- الجبر التبادلي