التوطين (الجبر التبادلي)

يتم عادةً تحديد الموقع بالنسبة لمجموعة مغلقة ضربيًا S (تسمى أيضًا مجموعة ضربية أو نظام ضربي ) من عناصر الحلقة R ، أي مجموعة جزئية من R مغلقة تحت الضرب، وتحتوي على 1 .

يُعدّ اشتراط أن تكون المجموعة S مجموعة ضربية شرطًا طبيعيًا، إذ يعني ذلك أن جميع المقامات التي يُعرّفها التحديد المكاني تنتمي إلى S. ويمكن أيضًا تعريف التحديد المكاني بواسطة مجموعة U غير مغلقة ضربيًا، وذلك بأخذ جميع نواتج عناصر U كمقامات محتملة . مع ذلك، يُمكن الحصول على التحديد المكاني نفسه باستخدام المجموعة S المغلقة ضربيًا، والتي تضم جميع نواتج عناصر U. ولأن هذا غالبًا ما يُبسّط الاستدلال والترميز، فمن الممارسات الشائعة الاقتصار على دراسة التحديدات المكانية بواسطة المجموعات الضربية.

فعلى سبيل المثال، يؤدي التحديد الموضعي بواسطة عنصر واحد s إلى إدخال كسور من الشكل${\displaystyle {\tfrac {a}{s}},}$بل وأيضًا نواتج هذه الكسور، مثل ${\displaystyle {\tfrac {ab}{s^{2}}}.}$إذن، ستنتمي المقامات إلى المجموعة الضربية${\displaystyle \{1,s,s^{2},s^{3},\ldots \}}$من قوى s . لذلك، يتحدث المرء عمومًا عن "التحديد بواسطة قوى عنصر" بدلاً من "التحديد بواسطة عنصر".

يُشار عمومًا إلى تحديد موضع الحلقة R بواسطة مجموعة ضربية S بـ${\displaystyle S^{-1}R,}$لكن تُستخدم رموز أخرى بشكل شائع في بعض الحالات الخاصة: إذا${\displaystyle S=\{1,t,t^{2},\ldots \}}$يتكون من قوى عنصر واحد،${\displaystyle S^{-1}R}$يُشار إليه غالبًا بـ${\displaystyle R_{t};}$لو${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$هو مكمل للمثال الأول${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$، ثم${\displaystyle S^{-1}R}$يُشار إليه بـ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}.}$

فيما تبقى من هذه المقالة، سيتم النظر فقط في التوطينات بواسطة مجموعة ضربية.

عندما تكون الحلقة R مجالًا تكامليًا ولا تحتوي S على 0 ، فإن الحلقة${\displaystyle S^{-1}R}$هي حلقة فرعية من حقل كسور R. وعلى هذا النحو، فإن تحديد موقع مجال ما هو مجال.

وبشكل أدق، إنها الحلقة الفرعية لحقل كسور R ، والتي تتكون من الكسور.${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}}$بحيث${\displaystyle s\in S.}$هذه حلقة فرعية لأن المجموع${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}+{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {at+bs}{st}},}$والمنتج${\displaystyle {\tfrac {a}{s}}\,{\tfrac {b}{t}}={\tfrac {ab}{st}}}$من عنصرين من${\displaystyle S^{-1}R}$في${\displaystyle S^{-1}R.}$ينتج هذا عن الخاصية المميزة للمجموعة الضربية، مما يعني أيضاً أن${\displaystyle 1={\tfrac {1}{1}}\in S^{-1}R.}$في هذه الحالة، R هي حلقة فرعية من${\displaystyle S^{-1}R.}$يتبين أدناه أن هذا لم يعد صحيحًا بشكل عام، عادةً عندما تحتوي S على قواسم الصفر .

على سبيل المثال، تمثل الكسور العشرية موضع حلقة الأعداد الصحيحة بواسطة المجموعة الضربية لقوى العدد عشرة. في هذه الحالة،${\displaystyle S^{-1}R}$تتكون من الأعداد النسبية التي يمكن كتابتها على النحو التالي${\displaystyle {\tfrac {n}{10^{k}}},}$حيث n عدد صحيح، و k عدد صحيح غير سالب.

في الحالة العامة، تنشأ مشكلة مع القواسم الصفرية . ليكن S مجموعة ضربية في حلقة تبديلية R. لنفترض أن${\displaystyle s\in S,}$و${\displaystyle 0\neq a\in R}$هو قاسم للصفر مع${\displaystyle as=0.}$ثم${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}}$هل الصورة في${\displaystyle S^{-1}R}$ل${\displaystyle a\in R,}$ولدى المرء${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {as}{s}}={\tfrac {0}{s}}={\tfrac {0}{1}}.}$وبالتالي، يجب أن تكون بعض العناصر غير الصفرية في R صفرًا في${\displaystyle S^{-1}R.}$تم تصميم البناء التالي مع مراعاة هذا الأمر.

بالنظر إلى R و S كما هو موضح أعلاه، يتم النظر في علاقة التكافؤ على${\displaystyle R\times S}$ذلك محدد بواسطة${\displaystyle (r_{1},s_{1})\sim (r_{2},s_{2})}$إذا كان هناك${\displaystyle t\in S}$بحيث${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$

التوطين${\displaystyle S^{-1}R}$تُعرَّف بأنها مجموعة فئات التكافؤ لهذه العلاقة. ويُرمز إلى فئة ( r , s ) بـ${\displaystyle {\frac {r}{s}},}$${\displaystyle r/s,}$أو${\displaystyle s^{-1}r.}$إذن، لدى المرء${\displaystyle {\tfrac {r_{1}}{s_{1}}}={\tfrac {r_{2}}{s_{2}}}}$إذا وفقط إذا كان هناك${\displaystyle t\in S}$بحيث${\displaystyle t(s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1})=0.}$السبب في ذلك${\displaystyle t}$يتمثل الهدف في التعامل مع حالات مثل ما سبق ذكره${\displaystyle {\tfrac {a}{1}}={\tfrac {0}{1}},}$أين${\displaystyle s_{1}r_{2}-s_{2}r_{1}}$لا يساوي الصفر على الرغم من أنه ينبغي اعتبار الكسور متساوية.

التوطين${\displaystyle S^{-1}R}$هي حلقة تبديلية مع الجمع

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}+{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1}}{s_{1}s_{2}}},}$

الضرب

${\displaystyle {\frac {r_{1}}{s_{1}}}\,{\frac {r_{2}}{s_{2}}}={\frac {r_{1}r_{2}}{s_{1}s_{2}}},}$

هوية إضافية${\displaystyle {\tfrac {0}{1}},}$والهوية المضاعفة${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}.}$

الوظيفة​

${\displaystyle j:r\mapsto {\frac {r}{1}},}$

تُعرف باسم خريطة التوطين المتعارف عليها ، وتُعرّف تماثلًا حلقيًا من${\displaystyle R}$داخل${\displaystyle S^{-1}R,}$والتي تكون أحادية إذا وفقط إذا لم تحتوي المجموعة S على أي قواسم صفرية.

لو${\displaystyle 0\in S,}$ثم${\displaystyle S^{-1}R}$هي الحلقة الصفرية التي تحتوي على عنصر فريد واحد فقط وهو 0 .

إذا كانت S هي مجموعة جميع العناصر المنتظمة في R (أي العناصر التي لا تقسم على الصفر)،${\displaystyle S^{-1}R}$يُطلق عليها اسم الحلقة الكلية لكسور R.

التماثل الحلقي (المُعرَّف أعلاه)${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$يُحقق خاصية عامة موصوفة أدناه. وهذا ما يُميز${\displaystyle S^{-1}R}$حتى التماثل . لذا، يمكن استنتاج جميع خصائص التموضع من الخاصية الشاملة، بغض النظر عن طريقة بنائها. علاوة على ذلك، يمكن استنتاج العديد من الخصائص المهمة للتموضع بسهولة من الخصائص العامة للخصائص الشاملة، في حين أن إثباتها المباشر قد يكون أكثر تعقيدًا من الناحية التقنية.

الخاصية العامة التي تحققها${\displaystyle j\colon R\to S^{-1}R}$وهو كالتالي:

لو ${\displaystyle f\colon R\to T}$إذا كان تماثلًا حلقيًا يُسقط كل عنصر من S على عنصر محايد (عنصر قابل للعكس) في T ، فإنه يوجد تماثل حلقي وحيد.${\displaystyle g\colon S^{-1}R\to T}$بحيث${\displaystyle f=g\circ j.}$

باستخدام نظرية الفئات ، يمكن التعبير عن ذلك بالقول إن التوطين هو دالة مترافقة يسارية لدالة نسيان . بتعبير أدق، ليكن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$و${\displaystyle {\mathcal {D}}}$لتكن الفئات التي تكون عناصرها أزواجًا من حلقة تبديلية وشبه أحادي من شبه أحادي الضرب أو زمرة الوحدات في الحلقة، على التوالي. وتكون تشاكلات هذه الفئات هي تشاكلات الحلقة التي تُسقط شبه أحادي العنصر الأول على شبه أحادي العنصر الثاني. وأخيرًا، ليكن${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}}$كن الدالة النسيانية التي تنسى أن عناصر العنصر الثاني من الزوج قابلة للعكس.

ثم التحليل إلى عوامل${\displaystyle f=g\circ j}$تحدد الخاصية الشاملة تقابلًا

${\displaystyle \hom _{\mathcal {C}}((R,S),{\mathcal {F}}(T,U))\to \hom _{\mathcal {D}}((S^{-1}R,j(S)),(T,U)).}$

قد تبدو هذه طريقة صعبة إلى حد ما للتعبير عن الخاصية الشاملة، لكنها مفيدة لإظهار العديد من الخصائص بسهولة، باستخدام حقيقة أن تركيب دالتين مترافقتين يساريتين هو دالة مترافقة يسارية.

• لو${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$هي حلقة الأعداد الصحيحة ، و${\displaystyle S=\mathbb {Z} \setminus \{0\},}$ثم${\displaystyle S^{-1}R}$هو المجال${\displaystyle \mathbb {Q} }$من الأعداد النسبية .
• إذا كانت R مجالًا تكامليًا ، و${\displaystyle S=R\setminus \{0\},}$ثم${\displaystyle S^{-1}R}$هو حقل كسور R. المثال السابق هو حالة خاصة من هذا المثال .
• إذا كانت R حلقة تبديلية ، وإذا كانت S هي المجموعة الجزئية من عناصرها التي ليست قواسم للصفر ، فإن${\displaystyle S^{-1}R}$هي الحلقة الكاملة للكسور من R. في هذه الحالة، S هي أكبر مجموعة ضربية بحيث يكون التشاكل${\displaystyle R\to S^{-1}R}$هي دالة حقنية. المثال السابق هو حالة خاصة من هذا المثال.
• لو${\displaystyle x}$هو عنصر من حلقة تبديلية R و${\displaystyle S=\{1,x,x^{2},\ldots \},}$ثم${\displaystyle S^{-1}R}$يمكن تحديدها ( متماثلة بشكل أساسي مع)${\displaystyle R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).}$(يتمثل البرهان في إثبات أن هذه الحلقة تحقق الخاصية العامة المذكورة أعلاه.) الحلقة${\displaystyle S^{-1}R}$يُشار إليه عمومًا بـ${\displaystyle R_{x}}$. ^{[ 1 ]} يلعب هذا النوع من التوطين دورًا أساسيًا في تعريف المخطط الأفيني .
• لو${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو مثالي أولي في حلقة تبديلية R ، وهو مكمل المجموعة${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$في R، هي مجموعة ضربية (بحسب تعريف المثالي الأولي). الحلقة${\displaystyle S^{-1}R}$هي حلقة محلية يُشار إليها عمومًا بـ${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$وأطلق عليها اسم الحلقة المحلية لـ R في${\displaystyle {\mathfrak {p}}.}$يُعدّ هذا النوع من التوطين أساسيًا في الجبر التبادلي ، لأنّ العديد من خصائص الحلقة التبادلية يُمكن استنتاجها من حلقاتها المحلية. تُسمى هذه الخاصية غالبًا بالخاصية المحلية . على سبيل المثال، تكون الحلقة منتظمة إذا وفقط إذا كانت جميع حلقاتها المحلية منتظمة.

التوطين بنية غنية ذات خصائص مفيدة عديدة. في هذا القسم، نقتصر على دراسة الخصائص المتعلقة بالحلقات والتوطين الفردي. أما الخصائص المتعلقة بالمثاليّات ، أو الوحدات ، أو المجموعات الضربية المتعددة، فتُناقش في أقسام أخرى.

• ${\displaystyle S^{-1}R=0}$إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$يتضمن${\displaystyle 0}$.
• تماثل الحلقة${\displaystyle R\to S^{-1}R}$تكون دالة حقنية إذا وفقط إذا${\displaystyle S}$لا يحتوي على أي قواسم صفرية .
• تماثل الحلقة${\displaystyle R\to S^{-1}R}$هو شكل شامل في فئة الحلقات ، وهو ليس شاملاً بشكل عام.
• الخاتم${\displaystyle S^{-1}R}$هو وحدة R مسطحة (انظر §  تحديد موقع الوحدة لمزيد من التفاصيل).
• مُثُل${\displaystyle S^{-1}R}$هي امتداد لمُثُل${\displaystyle R}$بواسطة${\displaystyle j:R\to S^{-1}R}$،${\displaystyle r\mapsto r/1}$أي، من أجل الوضع المثالي${\displaystyle I}$ل${\displaystyle R}$، ${\displaystyle j(I)(S^{-1}R)=\{r/s\in S^{-1}R:r\in I\}}$هو مثال لـ${\displaystyle S^{-1}R}$وغالباً ما يُشار إليه بـ${\displaystyle I(S^{-1}R)}$أو${\displaystyle S^{-1}I}$(يأتي هذا الترميز من اعتبار هذا المثال بمثابة توطين لـ${\displaystyle I}$كـ${\displaystyle R}$- وحدة بواسطة${\displaystyle S}$انظر أدناه )؛ يكون المثال مثالاً صحيحاً إذا وفقط إذا${\displaystyle I\cap S=\emptyset }$.
• لو${\displaystyle S=R\setminus {\mathfrak {p}}}$هو مكمل للمثال الأول${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ل${\displaystyle R}$، ثم${\displaystyle S^{-1}R,}$يُشار إليه${\displaystyle R_{\mathfrak {p}},}$هي حلقة محلية ؛ أي أنها تحتوي على مثالي أعظمي واحد فقط .${\displaystyle {\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$(أي، امتداد${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$بواسطة${\displaystyle j:R\to S^{-1}R\ (=R_{\mathfrak {p}})}$كما هو موضح أعلاه، ويشار إليه أحيانًا بـ${\displaystyle {\mathfrak {p}} _ {\mathfrak {p}}}$)، و${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}})=R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}}$هو حقل البقايا لـ R عند${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$.
• يتبادل التوطين مع تشكيلات المجاميع المحدودة، والمنتجات، والتقاطعات، والجذور؛ ^{[ 2 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle {\sqrt {I}}}$يرمز إلى جذر مثالي${\displaystyle I}$في${\displaystyle R}$، ثم

${\displaystyle {\sqrt {I}}\cdot S^{-1}R={\sqrt {I\cdot S^{-1}R}}\,.}$

بخاصة،${\displaystyle R}$يتم اختزالها إذا وفقط إذا تم اختزال حلقة الكسور الكلية الخاصة بها. ^{[ 3 ]}

• يتبادل التوطين مع أخذ القسمة؛ أي إذا كان I مثاليًا في R ، فإن${\displaystyle S^{-1}R/S^{-1}I\cong {\overline {S}}^{-1}(R/I)}$، أين${\displaystyle {\overline {S}}}$هي صورة${\displaystyle S}$في${\displaystyle R/I}$.
• يترك${\displaystyle R}$ليكن مجالًا تكامليًا مع حقل الكسور${\displaystyle K}$ثم توطينها${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}}$في ذروة مثالية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يمكن اعتبارها حلقة فرعية من${\displaystyle K}$. علاوة على ذلك،

${\displaystyle R=\bigcap _{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=\bigcap _{\mathfrak {m}}R_{\mathfrak {m}}}$

حيث يكون التقاطع الأول على جميع المُثُل الأولية والثاني على المُثُل القصوى. ^{[ 4 ]}

• يوجد تقابل ثنائي بين مجموعة المُثُل الأولية لـ${\displaystyle S^{-1}R}$ومجموعة المُثُل العليا لـ${\displaystyle R}$التي هي منفصلة عن${\displaystyle S}$هذا التناظر ناتج عن التشاكل المعطى${\displaystyle R\to S^{-1}R}$.

يترك${\displaystyle S\subseteq R}$لتكن مجموعة ضربية. التشبع${\displaystyle {\hat {S}}}$ل${\displaystyle S}$هي المجموعة

${\displaystyle {\hat {S}}=\{r\in R\colon \exists s\in R,rs\in S\}.}$

تكون المجموعة الضربية S مشبعة إذا كانت تساوي تشبعها، أي إذا${\displaystyle {\hat {S}}=S}$أو ما يعادل ذلك، إذا ${\displaystyle rs\in S}$وهذا يعني أن r و s موجودان في S.

إذا لم تكن S مشبعة، و${\displaystyle rs\in S,}$ثم${\displaystyle {\frac {s}{rs}}}$هو معكوس ضربي لصورة r في${\displaystyle S^{-1}R.}$لذا، فإن صور عناصر${\displaystyle {\hat {S}}}$جميعها قابلة للعكس في${\displaystyle S^{-1}R,}$والخاصية الشاملة تعني أن${\displaystyle S^{-1}R}$و${\displaystyle {\hat {S}}{}^{-1}R}$هي متماثلة بشكل قانوني ، أي أن هناك تماثلًا فريدًا بينهما يحدد صور عناصر R.

إذا كانت S و T مجموعتين ضربيتين، فإن${\displaystyle S^{-1}R}$و${\displaystyle T^{-1}R}$تكون المجموعات متماثلة إذا وفقط إذا كان لها نفس التشبع، أو بصورة مكافئة، إذا كانت s تنتمي إلى إحدى المجموعات الضربية، فإنه يوجد${\displaystyle t\in R}$بحيث ينتمي st إلى الآخر.

لا تُستخدم المجموعات الضربية المشبعة على نطاق واسع بشكل صريح، لأنه للتحقق من أن المجموعة مشبعة، يجب على المرء أن يعرف جميع وحدات الحلقة.

إذا كانت M وحدة فرعية من وحدة R - N ، و S مجموعة ضربية في R ، فإن المرء لديه${\displaystyle S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.}$وهذا يعني أنه إذا${\displaystyle f\colon M\to N}$إذا كان تماثلًا معياريًا أحاديًا ، فإن

${\displaystyle S^{-1}R\otimes _{R}f:\quad S^{-1}R\otimes _{R}M\to S^{-1}R\otimes _{R}N}$

وهو أيضاً تماثل أحادي.

بما أن حاصل الضرب الموتري هو دالة تامة يمنى ، فإن هذا يعني أن التوطين بواسطة S يرسم متواليات تامة من وحدات R إلى متواليات تامة من${\displaystyle S^{-1}R}$-وحدات. بعبارة أخرى، التوطين هو دالة دقيقة ، و${\displaystyle S^{-1}R}$هو وحدة R مسطحة .

إن هذه الخاصية المسطحة، بالإضافة إلى حقيقة أن التوطين يحل خاصية شاملة ، تجعل التوطين يحافظ على العديد من خصائص الوحدات والحلقات، ويتوافق مع حلول الخصائص الشاملة الأخرى. على سبيل المثال، الخريطة الطبيعية

${\displaystyle S^{-1}(M\otimes _{R}N)\to S^{-1}M\otimes _{S^{-1}R}S^{-1}N}$

هو تماثل. إذا${\displaystyle M}$هي وحدة عرض محدودة ، الخريطة الطبيعية

${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Hom} _{R}(M,N)\to \operatorname {Hom} _{S^{-1}R}(S^{-1}M,S^{-1}N)}$

وهو أيضًا تماثل. ^{[ 5 ]}

إذا كان الموديول M مولدًا نهائيًا على R ، فإن المرء يكون

${\displaystyle S^{-1}(\operatorname {Ann} _{R}(M))=\operatorname {Ann} _{S^{-1}R}(S^{-1}M),}$

أين${\displaystyle \operatorname {Ann} }$يرمز إلى المُبيد ، أي المثالي لعناصر الحلقة التي تُسقط جميع عناصر الوحدة على الصفر. ^{[ 6 ]} على وجه الخصوص،

${\displaystyle S^{-1}M=0\quad \iff \quad S\cap \operatorname {Ann} _{R}(M)\neq \emptyset ,}$

أي إذا${\displaystyle tM=0}$بالنسبة للبعض${\displaystyle t\in S.}$^{[ 7 ]}

تُعتبر الخاصية P لوحدة R -module M خاصية محلية إذا كانت الشروط التالية متكافئة:

• ينطبق الشرط P على M.
• ينطبق P على الجميع${\displaystyle M_{\mathfrak {p}},}$أين${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو مثال رئيسي لـ R.
• ينطبق P على الجميع${\displaystyle M_{\mathfrak {m}},}$أين${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$هو مثال مثالي أقصى لـ R.

الخصائص المحلية هي كالتالي:

• قيمة M تساوي صفرًا.
• M خالية من الالتواء (في حالة كون R مجالًا تبادليًا ).
• M عبارة عن وحدة مسطحة .
• M هو وحدة قابلة للعكس (في الحالة التي يكون فيها R مجالًا تبادليًا، و M هو وحدة فرعية من حقل كسور R ) .
• ${\displaystyle f\colon M\to N}$هي حقنية (على التوالي شاملة)، حيث N هي وحدة نمطية أخرى من R.

من ناحية أخرى، بعض الخصائص ليست خصائص محلية. على سبيل المثال، حاصل الضرب المباشر اللانهائي للحقول ليس مجالًا تكامليًا ولا حلقة نوثرية ، بينما جميع حلقاته المحلية هي حقول، وبالتالي مجالات تكاملية نوثرية.