سوبرينغ

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 7 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الحلقة الجزئية من الحلقة R هي مجموعة جزئية من R تكون هي نفسها حلقة عندما تقتصر العمليات الثنائية للجمع والضرب على R على المجموعة الجزئية، وتشترك في نفس العنصر المحايد الضربي مع R. [ أ ]

تعريف

الحلقة الجزئية من الحلقة ( R , +, *, 0, 1) هي مجموعة جزئية S من R تحافظ على بنية الحلقة، أي حلقة ( S , +, *, 0, 1) حيث S ⊆ R. وبصورة مكافئة، هي زمرة جزئية من ( R , +, 0) وجزء أحادي من ( R , *, 1) .

بصورة مكافئة، تكون S حلقة جزئية إذا وفقط إذا كانت تحتوي على العنصر المحايد الضربي لـ R ، ومغلقة تحت عمليتي الضرب والطرح. يُعرف هذا أحيانًا باسم اختبار الحلقة الجزئية . [ 1 ]

الاختلافات

يُعرّف بعض علماء الرياضيات الحلقات دون اشتراط وجود عنصر محايد ضربي (انظر الحلقة (الرياضيات) §  التاريخ ). في هذه الحالة، تُعرَّف الحلقة الجزئية من R بأنها مجموعة جزئية من R تُشكّل حلقة لعمليات R (وهذا يعني أنها تحتوي على العنصر المحايد الجمعي لـ R ). يُقدّم هذا التعريف البديل شرطًا أضعف، حتى بالنسبة للحلقات التي تحتوي على عنصر محايد ضربي، حيث تُصبح جميع المُثُل حلقات جزئية، وقد يكون لها عنصر محايد ضربي يختلف عن عنصر R. أما مع التعريف الذي يشترط وجود عنصر محايد ضربي، وهو المُستخدم في بقية هذه المقالة، فإن المُثُل الوحيد في R الذي يُشكّل حلقة جزئية من R هو R نفسها.

أمثلة

  • Z{\displaystyle \mathbb {Z} }ونواتج قسمتهاZ/نZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }لا تحتوي على حلقات فرعية (ذات عنصر محايد ضربي) بخلاف الحلقة الكاملة. [ 1 ]
  • لكل حلقة أصغر حلقة فريدة، متماثلة مع حلقة ماZ/نZ{\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }حيث n عدد صحيح غير سالب (انظر الخاصية ). الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }يتوافق ذلك مع n = 0 في هذه العبارة، لأنZ{\displaystyle \mathbb {Z} }متماثل معZ/0Z{\displaystyle \mathbb {Z} /0\mathbb {Z} }[ 2 ]​

حلقة فرعية تم إنشاؤها بواسطة مجموعة

يُعدّ نوعٌ خاصٌ من الحلقات الجزئية للحلقة R هو الحلقة الجزئية المولدة بواسطة مجموعة جزئية X ، والتي تُعرَّف بأنها تقاطع جميع الحلقات الجزئية من R التي تحتوي على X. [ 3 ] كما أن الحلقة الجزئية المولدة بواسطة X هي مجموعة جميع التراكيب الخطية ذات المعاملات الصحيحة لحاصل ضرب عناصر X ، بما في ذلك العنصر المحايد الجمعي ("التراكيب الفارغة") والعنصر المحايد الضربي ("الحاصل الفارغ"). [ 4 ]

أي تقاطع بين حلقات جزئية من R هو نفسه حلقة جزئية من R ؛ لذلك، فإن الحلقة الجزئية المولدة بواسطة X (المشار إليها هنا بـ S ) هي بالفعل حلقة جزئية من R. هذه الحلقة الجزئية S هي أصغر حلقة جزئية من R تحتوي على X ؛ أي، إذا كانت T أي حلقة جزئية أخرى من R تحتوي على X ، فإن S ⊆ T.

بما أن R نفسها هي حلقة فرعية من R ، فإذا تم توليد R بواسطة X ، يقال إن الحلقة R مولدة بواسطة X.

امتداد الهاتف

تعمم الحلقات الجزئية بعض جوانب امتدادات الحقول . إذا كانت S حلقة جزئية من حلقة R ، فإنه يُقال بشكل مكافئ أن R هي امتداد حلقي [ b ] لـ S.

مجاور

إذا كانت A حلقةً و T حلقةً جزئيةً من A مولدةً بواسطة R ∪ S ، حيث R حلقة جزئية، فإن T تُعتبر امتدادًا حلقيًا ويُقال إنها S مُلحقة بـ R ، ويُرمز لها بـ R [ S ] . كما يمكن إلحاق عناصر فردية بحلقة جزئية، ويُرمز لها بـ R [ a1 , a2 , ... , an ] . [ 5 ] [ 3 ]

على سبيل المثال، حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسيةZ[أنا]{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}هي حلقة فرعية منج{\displaystyle \mathbb {C} }تم إنشاؤه بواسطةZ∪{أنا}{\displaystyle \mathbb {Z} \cup \{i\}}وبالتالي فإن إضافة الوحدة التخيلية i إلىZ{\displaystyle \mathbb {Z} }[ 3 ]​

برايم سابرينج

إن تقاطع جميع الحلقات الفرعية لحلقة R هو حلقة فرعية يمكن تسميتها الحلقة الفرعية الأولية لـ R قياسًا على الحقول الأولية .

الحلقة الجزئية الأولية للحلقة R هي حلقة جزئية من مركز R ، وهي متماثلة إما مع الحلقةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }من الأعداد الصحيحة أو إلى حلقة الأعداد الصحيحة modulo n ، حيث n هو أصغر عدد صحيح موجب بحيث يكون مجموع n نسخ من 1 يساوي 0 .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ بشكل عام، ليست كل المجموعات الجزئية من الحلقة R حلقات.
  2. ↑ لا ينبغي الخلط بينه وبين النظير النظري الحلقي لامتداد المجموعة .

مراجع

  1. 1 2 3 دوميت، ديفيد ستيفن؛ فوت، ريتشارد مارتن (2004). الجبر المجرد (  الطبعة الثالثة). هوبوكين، نيوجيرسي: جون وايلي وأولاده. ص  228. ISBN 0-471-43334-9.
  2. ↑ لانغ، سيرج (2002). الجبر ( الطبعة الثالثة). نيويورك. الصفحات 89-90 . ISBN   978-0387953854.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  3. 1 2 3 لوفيت، ستيفن (2015). "الحلقات". الجبر المجرد: الهياكل والتطبيقات . بوكا راتون: مطبعة سي آر سي. ص 216-217 . ISBN  9781482248913.
  4. ↑ روبنسون، ديريك جيه إس (2022). الجبر المجرد: مقدمة مع تطبيقات ( الطبعة الثالثة). والتر دي جرويتر جي إم بي إتش وشركاه كي جي. ص 109. ISBN   9783110691160.
  5. ↑ غوفيا، فرناندو كيو. (2012). "الحلقات والوحدات". دليل للمجموعات والحلقات والحقول . واشنطن العاصمة: الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 145. ISBN  9780883853559.

مراجع عامة