امتداد الخام

في الرياضيات ، وخاصة في مجال الجبر المعروف بنظرية الحلقات ، يُعدّ امتداد أور ، نسبةً إلى أويستين أور ، نوعًا خاصًا من امتدادات الحلقات، وخصائصه مفهومة نسبيًا. تُسمى عناصر امتداد أور كثيرات حدود أور .

تظهر امتدادات الخام في العديد من السياقات الطبيعية، بما في ذلك حلقات كثيرات الحدود المائلة والتفاضلية ، وجبر المجموعات متعددة الحلقات ، وجبر الغلاف الشامل لجبر لي القابل للحل ، وحلقات الإحداثيات للمجموعات الكمومية .

لنفترض أن R هي حلقة (ليست بالضرورة تبديلية ) ،${\displaystyle \sigma \colon R\to R}$هو تشاكل حلقي ، و${\displaystyle \delta \colon R\to R}$هي مشتقة من النوع σ لـ R ، مما يعني أن${\displaystyle \delta }$هو تشاكل بين مجموعات أبيلية يحقق

${\displaystyle \delta (r_{1}r_{2})=\sigma (r_{1})\delta (r_{2})+\delta (r_{1})r_{2}}$.

ثم امتداد الخام${\displaystyle R[x;\sigma ,\delta ]}$تُعرف أيضًا باسم حلقة كثيرات الحدود المائلة ، وهي الحلقة غير التبادلية التي يتم الحصول عليها من خلال إعطاء حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[x]}$عملية ضرب جديدة، تخضع للعنصر المحايد

${\displaystyle xr=\sigma (r)x+\delta (r)}$.

إذا كانت δ = 0 (أي، هي الدالة الصفرية)، فإن امتداد أور يُرمز له بـ R [ x ; σ ]. أما إذا كانت σ = 1 (أي، دالة التطابق )، فإن امتداد أور يُرمز له بـ R [ x , δ ] ويُسمى حلقة كثيرات الحدود التفاضلية .

تُعدّ جبريات ويل امتدادات أور، حيث R أي حلقة متعددة الحدود تبديلية ، وσ تشاكل حلقة التطابق ، و δ مشتقة متعددة الحدود . تُشكّل جبريات أور فئة من امتدادات أور المتكررة في ظل قيود مناسبة تسمح بتطوير امتداد غير تبديلي لنظرية قواعد غروبنر .

• يُعد امتداد الخام لنطاق ما نطاقًا.
• امتداد أور لحقل منحرف هو مجال مثالي رئيسي غير تبادلي .
• إذا كان σ هو تشاكل ذاتي و R حلقة نوثرية يسارية فإن امتداد Ore R [ λ ; σ , δ ] هو أيضًا حلقة نوثرية يسارية.

يُطلق على العنصر f من حلقة خام R اسم

• ثنائي الجانب ^{[ 1 ]} (أو ثابت ^{[ 2 ]} )، إذا كان R·f = f·R ، و
• مركزي ، إذا كان g · f = f·g لجميع g في R.

• جوديرل، كيه آر؛ وارفيلد، آر بي جونيور (2004)، مقدمة في الحلقات النويثرية غير التبادلية، الطبعة الثانية ، نصوص طلاب الجمعية الرياضية بلندن، المجلد  61، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-54537-4MR 2080008​ 
• ماكونيل، جيه سي؛ روبسون، جيه سي (2001)، حلقات نوثرية غير تبادلية ، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد  30، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، ISBN 978-0-8218-2169-5MR 1811901​ 
• عز الدين واريت (1992) Extensions de ore d'anneaux noetheriens á ip, Comm. الجبر، 20 رقم 6،1819-1837. https://zbmath.org/?q=an:0754.16014
• عز الدين واريط (1994) ملاحظة حول خاصية جاكوبسون لامتدادات خام PI. (Une remarque sur la propriété de Jacobson des Extensions de Ore a IP) (الفرنسية) Zbl 0819.16024. قوس. الرياضيات. 63، رقم 2، 136-139 (1994). https://zbmath.org/?q=an:00687054
• روان، لويس هـ. (1988)، نظرية الحلقات، المجلد الأول والثاني ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  127، 128، بوسطن، ماساتشوستس: دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 0-12-599841-4، MR 0940245