جبر ويل

جبر ويل${\displaystyle A_{n}}$يمكن بناؤها بشكل ملموس كتمثيل .

في تمثيل المؤثر التفاضلي، على غرار التكميم الكنسي لشرودنغر، دع${\displaystyle q_{j}}$يمكن تمثيلها بالضرب من اليسار بواسطة${\displaystyle x_{j}}$ودع${\displaystyle p_{j}}$يمكن تمثيلها بالتفاضل على اليسار بواسطة${\displaystyle \partial _{x_{j}}}$.

في تمثيل المصفوفة، على غرار ميكانيكا المصفوفة ،${\displaystyle A_{1}}$يتم تمثيلها بواسطة ^{[ 2 ]}$${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&1&0&0&\cdots \\0&0&2&0&\cdots \\0&0&0&3&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}},\quad Q={\begin{bmatrix}0&0&0&0&\ldots \\1&0&0&0&\cdots \\0&1&0&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}}$$ الطاعة${\displaystyle [P,Q]=1.}$

${\displaystyle A_{n}}$يمكن بناؤها كحاصل قسمة لجبر حر بدلالة المولدات والعلاقات. يبدأ أحد هذه الإنشاءات بفضاء متجهي مجرد${\displaystyle V}$(من الأبعاد)${\displaystyle 2n}$) مزود بشكل سيمبليكتيكي${\displaystyle \omega }$عرّف جبر ويل${\displaystyle W(V)}$يكون

${\displaystyle W(V):=T(V)/(\!(v\otimes u-u\otimes v-\omega (v,u),{\text{ for }}v,u\in V)\!),}$

أين${\displaystyle T(V)}$هل الجبر الموتري على${\displaystyle V}$، والترميز${\displaystyle (\!()\!)}$ويعني " المثال الذي تم إنشاؤه بواسطة".

بعبارة أخرى،${\displaystyle W(V)}$الجبر الناتج عن${\displaystyle V}$يخضع ذلك فقط للعلاقة${\displaystyle vu-uv=\omega (v,u)}$. ثم،${\displaystyle W(V)}$متماثل مع${\displaystyle A_{n}}$عن طريق اختيار قاعدة داربو لـ${\displaystyle \omega }$.

${\displaystyle A_{n}}$وهو أيضًا ناتج قسمة الجبر الشامل لجبر هايزنبرغ ، وجبر لي لمجموعة هايزنبرغ ، وذلك بتحديد العنصر المركزي لجبر هايزنبرغ (أي${\displaystyle [q,p]}$) يساوي وحدة الجبر الشامل الشامل (المسمى 1 أعلاه).

الجبر${\displaystyle W(V)}$هو تكميم للجبر المتناظر${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$. لو${\displaystyle V}$إذا كان ذلك على حقل ذي خاصية صفرية، فإن${\displaystyle W(V)}$متماثل بشكل طبيعي مع فضاء المتجهات الأساسي للجبر المتناظر${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$مزود بضرب مشوه - يسمى ضرب غرونيفولد- مويال (مع اعتبار الجبر المتناظر دوال متعددة الحدود على${\displaystyle V^{*}}$، حيث تمتد المتغيرات على فضاء المتجهات${\displaystyle V}$واستبدالها${\displaystyle i\hbar }$في تركيبة منتج مويال مع${\displaystyle 1}$.)

يُعطى التشاكل بواسطة خريطة التناظر من${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$ل${\displaystyle W(V)}$

${\displaystyle a_{1}\cdots a_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}a_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes a_{\sigma (n)}~.}$

إذا كان المرء يفضل الحصول على${\displaystyle i\hbar }$وبالعمل على الأعداد المركبة، كان من الممكن بدلاً من ذلك تعريف جبر ويل أعلاه على أنه مُوَلَّد بواسطة${\displaystyle q_{i}}$و${\displaystyle i\hbar \partial _{q_{i}}}$(وفقًا لاستخدام ميكانيكا الكم ).

وبالتالي، فإن جبر ويل هو تكميم للجبر المتناظر، وهو في الأساس نفس تكميم مويال (إذا اقتصر الأخير على الدوال متعددة الحدود)، ولكن الأول يتم من حيث المولدات والعلاقات (التي تعتبر عوامل تفاضلية) والأخير يتم من حيث الضرب المشوه.

وبعبارة أخرى، لنرمز إلى منتج مويال النجمي بـ${\displaystyle f\star g}$إذن، فإن جبر ويل متماثل مع${\displaystyle (\mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}],\star )}$[ ^{3 ]​}

يمر نفس التركيب عندما${\displaystyle \mathrm {Sym} (V)}$يتم استبدالها بـ${\displaystyle \mathrm {Alt} (V),}$الجبر المتناوب أو الخارجي ؛ وفي هذه الحالة، تكون النتيجة جبر كليفورد . وبالمثل، فإن البناء كفضاء خارج قسمة لجبر الموتر modulo مثالي له نفس الشكل؛ والفرق هو أن المثالي يُولّد بواسطة شكل ثنائي خطي متناظر بدلاً من الشكل التبسيطي. ^{[ 4 ] [ 5 ]} ولإبراز تشابه البناء، يُطلق على جبر فايل غالبًا اسم جبر كليفورد التبسيطي ، ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 4 ]} بينما يُطلق اسم جبر كليفورد المتعامد على ذلك المُولّد بواسطة الشكل المتناظر؛ ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} وتأتي تسمية "التعامد" من علاقة جبر كليفورد بالدوران. على الرغم من تشابه البناء، إلا أنه عادةً ما يُعاملان بشكل منفصل، لأنهما يختلفان اختلافًا كبيرًا من وجهة نظر نظرية التمثيل . إن تمثيلات جبر كليفورد (المتعامد) ذات أبعاد محدودة، بينما لا يحتوي جبر ويل على أي تمثيلات ذات أبعاد محدودة؛ تمثيله ذو أبعاد لا نهائية وفريد.

يمكن بناء جبر ويل كوحدة نمطية D. ^{[ 9 ]} على وجه التحديد، جبر ويل المقابل لحلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$إن بنيتها التفاضلية الجزئية المعتادة تساوي تمامًا حلقة غروتينديك للعمليات التفاضلية${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{R}^{n}/R}}$[ ^{9 ]​}

وبشكل أعم، دع${\displaystyle X}$كن مخططًا سلسًا على حلقة${\displaystyle R}$محلياً،${\displaystyle X\to R}$عوامل كغطاء إيتال فوق بعض${\displaystyle \mathbb {A} _{R}^{n}}$مُجهَّز بالإسقاط القياسي. ^{[ 10 ]} ولأن كلمة " étale " تعني "(مسطح و) يمتلك حزمة ظل تمام صفرية"، ^{[ 11 ]} فهذا يعني أنه يمكن اعتبار كل وحدة D على مثل هذا المخطط محليًا وحدة على${\displaystyle n^{\text{th}}}$جبر ويل.

يترك${\displaystyle R}$ليكن جبرًا تبديليًا على حلقة فرعية${\displaystyle S}$حلقة المؤثرات التفاضلية${\displaystyle D_{R/S}}$(مُدوَّن)${\displaystyle D_{R}}$متى${\displaystyle S}$(يتضح من السياق) يُعرَّف استقرائيًا على أنه جبر فرعي متدرج من${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$:

• ${\displaystyle D_{R}^{0}=R}$
• ${\displaystyle D_{R}^{k}=\left\{d\in \operatorname {End} _{S}(R):[d,a]\in D_{R}^{k-1}{\text{ for all }}a\in R\right\}.}$

يترك${\displaystyle D_{R}}$ليكن اتحاد الجميع${\displaystyle D_{R}^{k}}$ل${\displaystyle k\geq 0}$هذا جبر فرعي من${\displaystyle \operatorname {End} _{S}(R)}$.

في هذه الحالة${\displaystyle R=S[x_{1},...,x_{n}]}$، حلقة المؤثرات التفاضلية من الرتبة${\displaystyle \leq n}$يُعرض بشكل مشابه للحالة الخاصة${\displaystyle S=\mathbb {C} }$باستثناء الاعتبار الإضافي لـ "مؤثرات القدرة المقسمة"؛ وهي مؤثرات مماثلة لتلك الموجودة في الحالة المركبة والتي تعمل على تحقيق الاستقرار${\displaystyle \mathbb {Z} [x_{1},...,x_{n}]}$، ولكن لا يمكن كتابتها كتركيبات متكاملة من عوامل التشغيل ذات الرتبة الأعلى، أي أنها لا تسكن${\displaystyle D_{\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}/\mathbb {Z} }}$أحد الأمثلة على ذلك هو العامل${\displaystyle \partial _{x_{1}}^{[p]}:x_{1}^{N}\mapsto {N \choose p}x_{1}^{N-p}}$.

بشكل صريح، يتم تقديم العرض بواسطة

${\displaystyle D_{S[x_{1},\dots ,x_{\ell }]/S}^{n}=S\langle x_{1},\dots ,x_{\ell },\{\partial _{x_{i}},\partial _{x_{i}}^{[2]},\dots ,\partial _{x_{i}}^{[n]}\}_{1\leq i\leq \ell }\rangle }$

مع العلاقات

${\displaystyle [x_{i},x_{j}]=[\partial _{x_{i}}^{[k]},\partial _{x_{j}}^{[m]}]=0}$

${\displaystyle [\partial _{x_{i}}^{[k]},x_{j}]=\left\{{\begin{matrix}\partial _{x_{i}}^{[k-1]}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[k]}\partial _{x_{i}}^{[m]}={k+m \choose k}\partial _{x_{i}}^{[k+m]}~~~~~{\text{when }}k+m\leq n}$

أين${\displaystyle \partial _{x_{i}}^{[0]}=1}$بحسب الاصطلاح، يتكون جبر فايل من نهاية هذه الجبرات كما يلي:${\displaystyle n\to \infty }$[ ^{12 ] : الفصل الرابع ، 16، الجزء الثاني}

متى${\displaystyle S}$إذا كان حقلاً ذا خاصية صفر، فإن${\displaystyle D_{R}^{1}}$يتم توليدها، كـ${\displaystyle R}$-وحدة، بمقدار 1 و${\displaystyle S}$- اشتقاقات​${\displaystyle R}$. علاوة على ذلك،${\displaystyle D_{R}}$يتم توليدها على شكل حلقة بواسطة${\displaystyle R}$-الجبر الفرعي${\displaystyle D_{R}^{1}}$وخاصة إذا${\displaystyle S=\mathbb {C} }$و${\displaystyle R=\mathbb {C} [x_{1},...,x_{n}]}$، ثم${\displaystyle D_{R}^{1}=R+\sum _{i}R\partial _{x_{i}}}$كما ذكرنا،${\displaystyle A_{n}=D_{R}}$[ ^{13 ]​}

بخاصة،${\textstyle [q,q^{m}p^{n}]=-nq^{m}p^{n-1}}$و${\textstyle [p,q^{m}p^{n}]=mq^{m-1}p^{n}}$.

وهذا يسمح${\displaystyle A_{1}}$أن تكون جبرًا متدرجًا ، حيث درجة${\displaystyle \sum _{m,n}c_{m,n}q^{m}p^{n}}$يكون${\displaystyle \max(m+n)}$من بين أحادياتها غير الصفرية. ويتم تعريف الدرجة بشكل مماثل لـ${\displaystyle A_{n}}$.

أي أنه لا يحتوي على مثاليات غير تافهة ذات جانبين ولا يحتوي على قواسم صفرية .

أي اشتقاق${\textstyle D}$يساوي${\textstyle [\cdot ,f]}$بالنسبة للبعض${\textstyle f\in A_{n}}$؛ أي${\textstyle f\in A_{n}}$ينتج عنه اشتقاق${\textstyle [\cdot ,f]}$؛ لو${\textstyle f,f'\in A_{n}}$يرضي${\textstyle [\cdot ,f]=[\cdot ,f']}$، ثم${\textstyle f-f'\in F}$.

يشبه البرهان حساب دالة الجهد لحقل متجه متعدد الحدود محافظ على المستوى. ^{[ 18 ]}

في حالة كون الحقل الأساسي F ذا خاصية صفرية، فإن جبر فايل من الرتبة n هو مجال نوثري بسيط . ^{[ 19 ]} وله بُعد عالمي n ، على عكس الحلقة التي يشوهها، Sym( V )، والتي لها بُعد عالمي 2n .

ليس لها تمثيلات ذات أبعاد محدودة. على الرغم من أن هذا يتبع من البساطة، إلا أنه يمكن إثباته بشكل مباشر أكثر عن طريق أخذ أثر σ ( q ) و σ ( Y ) لبعض التمثيل ذي الأبعاد المحدودة σ (حيث [ q , p ] = 1 ).

${\displaystyle \mathrm {tr} ([\sigma (q),\sigma (Y)])=\mathrm {tr} (1)~.}$

بما أن أثر المبدل يساوي صفرًا، وأثر العنصر المحايد هو بُعد التمثيل، فإن التمثيل يجب أن يكون ذا بُعد صفري.

في الواقع، توجد عبارات أقوى من مجرد غياب التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة. فلكل وحدة نمطية من الرتبة _n مولدة توليدًا محدودًا M ، يوجد تنوع فرعي مناظر Char( M ) من V × V ^* يُسمى "التنوع المميز"، ويتناسب حجمه تقريبًا مع حجم M ( إذ أن الوحدة النمطية ذات الأبعاد المحدودة يكون لها تنوع مميز صفري الأبعاد). ومن ثم، تنص متباينة برنشتاين على أنه بالنسبة لـ M غير الصفرية،

${\displaystyle \dim(\operatorname {char} (M))\geq n}$

أما البيان الأقوى فهو نظرية غابر ، التي تنص على أن Char( M ) هو صنف فرعي متماثل الخواص من V × V ^* للشكل التبسيطي الطبيعي.

يختلف الوضع بشكل كبير في حالة جبر ويل على حقل ذي خاصية p > 0 .

في هذه الحالة، بالنسبة لأي عنصر D في جبر فايل، يكون العنصر D ^p مركزيًا، وبالتالي فإن لجبر فايل مركزًا كبيرًا جدًا. في الواقع، هو وحدة مولدة نهائيًا فوق مركزه؛ بل وأكثر من ذلك، هو جبر أزوميا فوق مركزه. ونتيجة لذلك، توجد العديد من التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة، والتي تُبنى جميعها من تمثيلات بسيطة ذات بُعد p .

تُعمم جبر ويل أيضًا في حالة الأصناف الجبرية . لنفترض حلقة متعددة الحدود

${\displaystyle R={\frac {\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}{I}}.}$

ثم يُعرَّف المؤثر التفاضلي بأنه تركيب لـ${\displaystyle \mathbb {C} }$-الاشتقاقات الخطية لـ${\displaystyle R}$ويمكن وصف ذلك صراحةً بأنه حلقة القسمة

${\displaystyle {\text{Diff}}(R)={\frac {\{D\in A_{n}\colon D(I)\subseteq I\}}{I\cdot A_{n}}}.}$