وحدة D

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 11 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف النموذج D بأنه نموذج فوق حلقة D من المؤثرات التفاضلية . تكمن الأهمية الرئيسية لهذه النماذج D في كونها مدخلاً لنظرية المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية . منذ حوالي عام 1970، تطورت نظرية النماذج D ، بشكل أساسي كرد فعل على أفكار ميكيو ساتو في التحليل الجبري ، وتوسعاً في أعمال ساتو وجوزيف بيرنشتاين حول متعددة حدود بيرنشتاين-ساتو .

كانت من أوائل النتائج المهمة نظرية كاشيوارا للبناء ونظرية كاشيوارا للمؤشر لماساكي كاشيوارا . لطالما استُمدت أساليب نظرية الوحدات النمطية D من نظرية الحزم وتقنيات أخرى مستوحاة من أعمال ألكسندر غروتينديك في الهندسة الجبرية . يتميز هذا النهج بطابعه الشامل، ويختلف عن تقنيات التحليل الوظيفي المستخدمة تقليديًا لدراسة المؤثرات التفاضلية. تُحقق أقوى النتائج للأنظمة المُفرطة التحديد ( الأنظمة الهولونومية )، وعلى التنوع المميز المقطوع بالرموز ، والذي يكون في الحالة المثالية متعدد شعب لاغرانجي لحزمة الظل المشترك ذات البعد الأقصى ( الأنظمة الانعكاسية ). وقد تبنى زغمان مبخوت هذه التقنيات من مدرسة غروتينديك ، حيث حصل على نسخة عامة مشتقة من فئة ريمان-هيلبرت في جميع الأبعاد.

الوحدات فوق جبر ويل

تتمثل الحالة الأولى من الوحدات الجبرية D في الوحدات فوق جبر فايل A n ( K ) فوق حقل K ذي خاصية صفرية. وهو الجبر الذي يتكون من كثيرات الحدود في المتغيرات التالية

x 1 , ..., x n , ∂ 1 , ..., ∂ n .

حيث يتبادل المتغيران xᵢ و ∂ⱼ بشكل منفصل، ويتبادلان أيضًا عندما i ≠ j ، لكن المبدل يحقق العلاقة

[∂ i , x i ] = ∂ i x i − x i ∂ i = 1.

بالنسبة لأي متعددة حدود f ( x 1 , ..., x n )، فإن هذا يستلزم العلاقة

[∂ i , f ] = ∂ f / ∂ x i ,

وبذلك يتم ربط جبر ويل بالمعادلات التفاضلية.

الوحدة النمطية الجبرية D هي، بحسب التعريف، وحدة نمطية يسارية على الحلقة An ( K ). تشمل أمثلة الوحدات النمطية D جبر فايل نفسه (الذي يؤثر على نفسه بالضرب من اليسار)، وحلقة كثيرات الحدود ( التبديلية) K [ x1 , ..., xn ]، حيث يؤثر xi بالضرب و∂ j بالتفاضل الجزئي بالنسبة إلى xj ، وعلى نحو مماثل، الحلقةيا(جن){\displaystyle {\mathcal {O}}(\mathbf {C} ^{n})}من الدوال الهولومورفية على C n (دوال لـ n متغيرات معقدة).

بفرض وجود مؤثر تفاضلي P = a n ( x ) ∂ n + ... + a 1 ( x ) ∂ 1 + a 0 ( x )، حيث x متغير مركب، و a i ( x ) كثيرات حدود، فإن وحدة القسمة M = A 1 ( C )/ A 1 ( C ) P ترتبط ارتباطًا وثيقًا بفضاء حلول المعادلة التفاضلية

P f = 0,

حيث f دالة تحليلية في C ، على سبيل المثال. يُعطى الفضاء المتجهي الذي يتكون من حلول تلك المعادلة بواسطة فضاء تشاكلات الوحدات النمطية D.حoم(م،يا(ج)){\displaystyle \mathrm {Hom} (M,{\mathcal {O}}(\mathbf {C} ))}.

وحدات D على الأصناف الجبرية

تُطوَّر النظرية العامة للوحدات النمطية D على تنوع جبري أملس X مُعرَّف على حقل مغلق جبريًا K ذي خاصية صفرية، مثل K = C. تُعرَّف حزمة المؤثرات التفاضلية D X بأنها جبر O X المُوَلَّد بواسطة الحقول المتجهة على X ، والمُفسَّرة على أنها اشتقاقات . الوحدة النمطية M (اليسرى) D X هي وحدة نمطية O X ذات تأثير يساري من D X عليها. إعطاء مثل هذا التأثير يُكافئ تحديد خريطة خطية K.

∇:دX→نهايةك⁡(م)،v↦∇v{\displaystyle \nabla :D_{X}\rightarrow \operatorname {End} _{K}(M),v\mapsto \nabla _{v}}

مُرضٍ

∇وv(م)=و∇v(م){\displaystyle \nabla _{fv}(m)=f\,\nabla _{v}(m)}
∇v(وم)=v(و)م+و∇v(م){\displaystyle \nabla _{v}(fm)=v(f)m+f\,\nabla _{v}(m)}( قاعدة لايبنتز )
∇[v،w](م)=[∇v،∇w](م){\displaystyle \nabla _{[v,w]}(m)=[\nabla _{v},\nabla _{w}](m)}

هنا f دالة منتظمة على X ، و v و w حقول متجهة.م∈م{\displaystyle m\in M}و[ − , − ] يرمز إلى المبدل . لذلك، إذا كانت M بالإضافة إلى ذلك وحدة نمطية محلية حرة من النوع OX ، فإن إعطاء M بنية وحدة نمطية من النوع D ليس إلا تزويد حزمة المتجهات المرتبطة بـ M بوصلة مسطحة (أو قابلة للتكامل) . [ 1 ]

بما أن الحلقة D- X غير تبادلية، يجب التمييز بين الوحدات النمطية اليسرى واليمنى في D- . مع ذلك، يمكن تبادل المفهومين، لوجود تكافؤ في الفئات بين كلا النوعين من الوحدات النمطية، وذلك عن طريق ربط وحدة نمطية يسارية M بالناتج الموتري M ⊗ ΩX ، حيث ΩX هي حزمة الخطوط المعطاة بأعلى قوة خارجية للأشكال التفاضلية من الرتبة 1 على X. لهذه الحزمة فعل يميني طبيعي محدد بواسطة

ω ⋅ v  := − Lie v ( ω ),

حيث v هو مؤثر تفاضلي من الرتبة الأولى، أي حقل متجه، وω شكل تفاضلي من الرتبة n ( حيث n = dim X )، وLie يرمز إلى مشتقة لي . [ 2 ]

محليًا، بعد اختيار نظام إحداثيات x1 ، ...، xn ( حيث n = بُعد X ) على X ، والذي يحدد أساسًا ∂1 ، ...، ∂n للفضاء المماسي لـ X ، يمكن تمثيل مقاطع DX بشكل فريد كتعبيرات .

∑وأنا1،...،أنان∂1أنا1⋯∂نأنان{\displaystyle \sum f_{i_{1},\dots ,i_{n}}\partial _{1}^{i_{1}}\cdots \partial _{n}^{i_{n}}}، حيثوأنا1،...،أنان{\displaystyle f_{i_{1},\dots ,i_{n}}}هي دوال منتظمة على X.

على وجه الخصوص، عندما يكون X هو الفضاء الأفيني ذو الأبعاد n ، فإن D X هو جبر ويل في n متغيرات.

تتسم العديد من الخصائص الأساسية لوحدات D بأنها محلية، وتوازي حالة الحزم المتماسكة . ويستند هذا إلى حقيقة أن DX عبارة عن حزمة حرة محليًا من وحدات OX ، وإن كانت ذات رتبة لانهائية، كما يتضح من أساس OX المذكور آنفًا . ويمكن إثبات أن وحدة DX المتماسكة كوحدة OX هي بالضرورة حرة محليًا (ذات رتبة محدودة) .

الوظيفة

ترتبط الوحدات النمطية D على مختلف الأصناف الجبرية بواسطة دوال السحب والدفع الأمامي المشابهة لتلك الخاصة بالحزم المتماسكة. بالنسبة للدالة f : X → Y على الأصناف الملساء، تكون التعريفات كالتالي:

D X → Y  := O X ⊗ f − 1 ( O Y ) f − 1 ( D Y )

هذا مزود بحركة يسارية D X بطريقة تحاكي قاعدة السلسلة ، وبحركة يمينية طبيعية f − 1 ( D Y ). يُعرَّف السحب للخلف على النحو التالي:

f ∗ ( M )  := D X → Y ⊗ f − 1 ( D Y ) f − 1 ( M ).

هنا، M عبارة عن وحدة نمطية يسارية D Y ، بينما يكون سحبها العكسي وحدة نمطية يسارية على X. هذا المؤثر تام من اليمين ، ويُرمز إلى مؤثره المشتق من اليسار بـ L f ∗ . على العكس من ذلك، بالنسبة لوحدة نمطية يمينية D X، N ،

f ∗ ( N )  := f ∗ ( N ⊗ D X D X → Y )

هو وحدة نمطية يمينية D Y. ولأن هذا يمزج بين الضرب الموتري الأيمن الدقيق والدفع الأمامي الأيسر الدقيق، فمن الشائع تعيينه بدلاً من ذلك.

f ∗ ( N )  := R f ∗ ( N ⊗ L D X D X → Y ).

ولهذا السبب، يتم تطوير جزء كبير من نظرية الوحدات النمطية D باستخدام القوة الكاملة للجبر المتجانس ، وخاصة الفئات المشتقة .

وحدات هولونومية

الوحدات الهولونومية على جبر ويل

يمكن إثبات أن جبر فايل هو حلقة نوثرية (يسارية ويمينية) . علاوة على ذلك، فهو بسيط ، أي أن مثالياته الثنائية الوحيدة هي المثالي الصفري والحلقة بأكملها. هذه الخصائص تجعل دراسة وحدات D- قابلة للإدارة. والجدير بالذكر أن المفاهيم القياسية من الجبر التبادلي ، مثل متعددة حدود هيلبرت ، وتعدد الوحدات، وطولها ، تنتقل إلى وحدات D- . بتعبير أدق، فإن D X مزود بترشيح برنشتاين ، أي الترشيح الذي يجعل F p A n ( K ) يتكون من K من التراكيب الخطية للمؤثرات التفاضلية x α ∂ β حيث | α |  +  | β |  ≤ p (باستخدام ترميز المؤشرات المتعددة ). يُلاحظ أن الحلقة المتدرجة المرتبطة متماثلة مع حلقة متعددات الحدود في 2 n من المتغيرات. وهي على وجه الخصوص تبادلية. 

تُزوَّد الوحدات النمطية D المولدة نهائيًا M بما يُسمى بالترشيحات "الجيدة" F ∗ M ، وهي ترشيحات متوافقة مع F ∗ An ( K )، وهو ما يُشابه إلى حد كبير حالة مبرهنة آرتين-ريس . تُعرَّف متعددة حدود هيلبرت بأنها متعددة الحدود العددية التي تتوافق مع الدالة

n ↦ dim K F n M

بالنسبة لقيم n الكبيرة ، يُعرَّف بُعد d ( M ) لوحدة M من النوع An ( K ) بأنه درجة متعددة حدود هيلبرت. وهو محدود بمتباينة برنشتاين.

n ≤ d ( M ) ≤ 2 n .

يُطلق على الوحدة النمطية التي يصل بُعدها إلى أقل قيمة ممكنة، n ، اسم الوحدة النمطية الشاملة .

إن الوحدة النمطية A 1 ( K ) -M = A 1 ( K )/ A 1 ( K ) P (انظر أعلاه) هي هولونومية لأي مؤثر تفاضلي غير صفري P ، ولكن الادعاء المماثل لجبر ويل ذي الأبعاد الأعلى لا ينطبق.

التعريف العام

كما ذُكر سابقًا، تتوافق الوحدات النمطية على جبر فايل مع الوحدات النمطية D على الفضاء الأفيني. ولأن ترشيح برنشتاين غير متاح على D X للأصناف العامة X ، يُعمم التعريف ليشمل الأصناف الأفينية الملساء X باستخدام ترشيح الرتبة على D X ، المُعرَّف برتبة المؤثرات التفاضلية . وتُعطى الحلقة المتدرجة المرتبطة gr D X بواسطة دوال منتظمة على حزمة الظل المرافق T ∗ X.

يُعرَّف التنوع المميز بأنه التنوع الفرعي لحزمة الظل التمام المقطوعة بواسطة جذر مُبيد gr M ، حيث M مزود بترشيح مناسب (بالنسبة لترشيح الرتبة على D X ). وكما هو معتاد، فإن البناء الأفيني يلتصق بعد ذلك بالتنوعات العشوائية.

تظل متباينة برنشتاين صحيحة لأي صنف (أملس) X. في حين أن الحد الأعلى هو نتيجة مباشرة للتفسير المذكور أعلاه لـ gr D X من حيث حزمة الظل التمام، فإن الحد الأدنى أكثر دقة.

الخصائص والخصائص

تميل الوحدات الهولونومية إلى التصرف كفضاءات متجهة ذات أبعاد محدودة. على سبيل المثال، طولها محدود. كذلك، تكون M هولونومية إذا وفقط إذا كانت جميع زمر التماثل للمركب Li ∗ ( M ) فضاءات متجهة K ذات أبعاد محدودة ، حيث i هو الغمر المغلق لأي نقطة من X.

لأي وحدة نمطية D-، M ، يتم تعريف الوحدة النمطية الثنائية بواسطة

د(م):=Rهوم⁡(م،دX)⊗ΩX-1[خافت⁡X].{\displaystyle \mathrm {D} (M):={\mathcal {R}}\operatorname {Hom} (M,D_{X})\otimes \Omega _{X}^{-1}[\dim X].}

يمكن أيضًا وصف الوحدات الهولونومية بشرط هومولوجي : تكون M هولونومية إذا وفقط إذا كانت D( M ) مُركّزة (تُعتبر كائنًا في الفئة المشتقة من وحدات D ) في الدرجة 0. تُعدّ هذه الحقيقة لمحة أولى عن ازدواجية فيردييه وتطابق ريمان-هيلبرت . وقد تم إثبات ذلك بتوسيع الدراسة الهومولوجي للحلقات المنتظمة ( وخاصةً ما يتعلق بالبعد الهومولوجي الكلي ) إلى الحلقة المُصفّاة DX .

من بين طرق توصيف الوحدات الهولونومية الأخرى الهندسة التبسيطية . تُعتبر المجموعة المميزة Ch( M ) لأي وحدة D -module M ، باعتبارها مجموعة فرعية من حزمة الظل المرافق T * X لـ X ، مجموعةً انعكاسية . تكون الوحدة هولونومية إذا وفقط إذا كانت Ch( M ) لاغرانجية .

التطبيقات

كان أحد التطبيقات المبكرة لوحدات D الهولونومية هو متعدد الحدود برنشتاين-ساتو .

تخمين كازدان-لوزتيج

تم إثبات حدسية كازدان -لوزتيج باستخدام وحدات D.

مراسلات ريمان-هيلبرت

تُرسّخ علاقة ريمان -هيلبرت صلةً بين بعض وحدات D والحزم القابلة للإنشاء. وعلى هذا النحو، فقد شكّلت دافعاً لإدخال الحزم المنحرفة .

نظرية التمثيل الهندسي

تُستخدم وحدات D أيضًا في نظرية التمثيل الهندسي. ومن أهم النتائج في هذا المجال توطين بيلينسون-بيرنشتاين ، الذي يربط وحدات D على أصناف الأعلام G / B بتمثيلات جبر لي.ز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}تُعد وحدات D أيضًا بالغة الأهمية في صياغة برنامج لانجلاندز الهندسي لمجموعة اختزالية G.

ملحوظات

فهرس