التشكل السلس

يترك${\displaystyle f}$ليكن تشاكل المخططات

${\displaystyle \operatorname {Spec} _{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to \operatorname {Spec} (\mathbb {C} )}$

إنها سلسة بسبب شرط جاكوبي: مصفوفة جاكوبي

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

يختفي عند النقاط${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$والتي لها تقاطع فارغ مع متعددة الحدود، لأن

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

وكلاهما غير صفري.

بافتراض وجود مخطط سلس${\displaystyle Y}$مورفولوجيا الإسقاط

${\displaystyle Y\times X\to X}$

سلس.

كل حزمة متجهة${\displaystyle E\to X}$يُعدّ التشكل فوق المخطط تشاكلاً أملسًا. على سبيل المثال، يمكن إثبات أن حزمة المتجهات المرتبطة بـ${\displaystyle {\mathcal {O}}(ك)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$هو الفضاء الإسقاطي الموزون ناقص نقطة

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

إرسال

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

لاحظ أن حزم المجموع المباشر${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$يمكن تصنيعها باستخدام منتج الألياف

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

تذكر أن امتداد الحقل${\displaystyle K\to L}$يُطلق عليه اسم قابل للفصل إذا تم تقديمه بشكل منفصل

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

لدينا ذلك${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$يمكننا إعادة تفسير هذا التعريف بدلالة تفاضلات كاهلر على النحو التالي: يكون امتداد الحقل قابلاً للفصل إذا وفقط إذا

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0.}$

لاحظ أن هذا يشمل كل حقل مثالي : الحقول المنتهية والحقول ذات الخاصية 0.

إذا نظرنا${\displaystyle \operatorname {Spec} }$من الجبر الأساسي${\displaystyle R}$لنوع إسقاطي${\displaystyle X}$، والتي تسمى المخروط الأفيني لـ${\displaystyle X}$إذا كان ، فإن النقطة عند الأصل تكون دائمًا نقطة شاذة. على سبيل المثال، لنأخذ المخروط الأفيني لمعادلة من الدرجة الخامسة${\displaystyle 3}$يُعطى بالطية بواسطة

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

ثم تُعطى مصفوفة جاكوبي بالصيغة التالية

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

والتي تتلاشى عند نقطة الأصل، وبالتالي فإن المخروط شاذ. تحظى الأسطح الفائقة الأفينية من هذا النوع بشعبية في نظرية الشذوذ نظرًا لبساطة جبرها نسبيًا وبنيتها الأساسية الغنية.

مثال آخر على التنوع المفرد هو المخروط الإسقاطي للتنوع الأملس: بالنظر إلى تنوع إسقاطي أملس${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$مخروطها الإسقاطي هو اتحاد جميع الخطوط في${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$متقاطعة${\displaystyle X}$على سبيل المثال، المخروط الإسقاطي للنقاط

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

هو المخطط

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

إذا نظرنا في${\displaystyle z\neq 0}$هذا هو المخطط

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

ثم قم بإسقاطها لأسفل على الخط الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$هذه مجموعة من أربع نقاط تتلاشى عند نقطة الأصل. ويمكن التحقق من عدم تفرد هذا المخطط باستخدام شرط جاكوبي.

ضع في اعتبارك العائلة المسطحة

${\displaystyle \operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

تكون جميع الألياف ملساء باستثناء النقطة عند نقطة الأصل. وبما أن النعومة ثابتة عند تغيير الأساس، فإن هذه المجموعة ليست ملساء.

على سبيل المثال، الحقل${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$غير قابل للفصل، وبالتالي فإن التشكل المرتبط بالمخططات ليس أملسًا. إذا نظرنا إلى الحد الأدنى لكثير الحدود لتمديد الحقل،

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

ثم${\displaystyle df=0}$وبالتالي، ستكون تفاضلات كاهلر غير صفرية.