مجال مثالي

في الجبر ، الحقل${\displaystyle K}$يكون مثالياً إذا تحقق أي من الشروط المتكافئة التالية:

• كل متعددة حدود غير قابلة للاختزال على${\displaystyle K}$لا يحتوي على جذور متعددة في أي امتداد حقل${\displaystyle L/K}$.
• كل متعددة حدود غير قابلة للاختزال على${\displaystyle K}$له مشتق رسمي غير صفري .
• كل متعددة حدود غير قابلة للاختزال على${\displaystyle K}$قابل للفصل .
• كل امتداد محدود لـ${\displaystyle K}$قابل للفصل .
• كل امتداد جبري لـ${\displaystyle K}$قابل للفصل.
• أيضاً${\displaystyle K}$له خاصية 0، أو عندما${\displaystyle K}$له خصائص${\displaystyle p>0}$كل عنصر من${\displaystyle K}$هو${\displaystyle p}$القوة -th .
• أيضاً${\displaystyle K}$له خاصية 0، أو عندما${\displaystyle K}$له خصائص${\displaystyle p>0}$، تحويل فروبينيوس الداخلي${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$هو تماثل ذاتي .
• الإغلاق المنفصل لـ${\displaystyle K}$مغلق جبرياً .
• كل تبادلي مختزل${\displaystyle K}$- الجبر${\displaystyle A}$هو جبر قابل للفصل ؛ أي${\displaystyle A\otimes _{k}L}$يتم تخفيضها لكل امتداد حقل${\displaystyle L/K}$.

خلاف ذلك،${\displaystyle K}$يُطلق عليه اسم غير كامل .

على وجه الخصوص، جميع الحقول ذات الخاصية الصفرية وجميع الحقول المنتهية مثالية.

تُعد الحقول المثالية مهمة لأن نظرية غالوا على هذه الحقول تصبح أبسط، حيث يتم استيفاء افتراض غالوا العام بأن امتدادات الحقول قابلة للفصل تلقائيًا على هذه الحقول (انظر الشرط الثالث أعلاه).

ومن الخصائص المهمة الأخرى للحقول المثالية أنها تقبل متجهات ويت .

وبشكل أعم، حلقة ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$(${\displaystyle p}$يُطلق على العدد الأولي اسم العدد المثالي إذا كان تحويل فروبينيوس الداخلي تحويلاً ذاتياً . ^{[ 1 ]} عند تقييده بالمجالات التكاملية ، يكون هذا مكافئًا للشرط أعلاه "كل عنصر من${\displaystyle K}$هو${\displaystyle p}$القوة -th.

أمثلة على الحقول المثالية هي:

• كل حقل ذي خاصية صفرية، لذلك${\displaystyle \mathbb {Q} }$وامتداداتها المحدودة، وكذلك${\displaystyle \mathbb {R} }$و${\displaystyle \mathbb {C} }$; ^{[ 2 ]}
• كل حقل منتهٍ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$; ^{[ 3 ]}
• كل حقل مغلق جبرياً ؛
• اتحاد مجموعة من الحقول المثالية المرتبة كلياً بالامتداد؛
• الحقول الجبرية فوق حقل مثالي.

معظم المجالات التي نصادفها في الممارسة العملية مثالية. أما الحالة غير المثالية فتظهر بشكل رئيسي في الهندسة الجبرية في الخصائص${\displaystyle p>0}$كل حقل غير كامل يكون بالضرورة متعالياً على حقله الفرعي الأولي (الحقل الفرعي الأدنى)، لأن الأخير كامل.

من أمثلة الحقول غير الكاملة الحقل${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}$كثيرات الحدود النسبية في المجهول${\displaystyle t}$ويمكن ملاحظة ذلك من حقيقة أن تحويل فروبينيوس الداخلي يرسل${\displaystyle x\mapsto x^{p}}$وبالتالي فهي ليست شاملة. وبالمثل، يمكن إثبات أن متعددة الحدود${\displaystyle f(x)=x^{p}-t}$، وهو عنصر من${\displaystyle (\mathbb {F} _{p}(t))[x]}$، لا يمكن اختزاله ولكنه لا ينفصل.

تُسبب الحقول غير الكاملة صعوبات تقنية لأن كثيرات الحدود غير القابلة للاختزال يُمكن أن تُصبح قابلة للاختزال في الإغلاق الجبري للحقل الأساسي. على سبيل المثال، انظر ^{[ 4 ]}${\displaystyle f(x,y)=x^{p}+ay^{p}\in k[x,y]}$ل${\displaystyle k}$مجال غير كامل من الخصائص${\displaystyle p}$و${\displaystyle a}$ليس${\displaystyle p}$القوة -th في${\displaystyle k}$ثم في إغلاقها الجبري${\displaystyle k^{\operatorname {alg} }[x,y]}$، يتحقق التساوي التالي:

${\displaystyle f(x,y)=(x+by)^{p},}$

أين${\displaystyle b^{p}=a}$ومثل هذا${\displaystyle b}$موجود في هذا الإغلاق الجبري. هندسياً، هذا يعني أن${\displaystyle f}$لا يُعرّف منحنىً مستويًا أفينيًا في${\displaystyle k[x,y]}$.

أي امتداد حقل مُولّد بشكل نهائي${\displaystyle K}$على أرض مثالية${\displaystyle k}$يتم توليدها بشكل منفصل، أي أنها تقبل قاعدة تجاوزية فاصلة ، أي قاعدة تجاوزية${\displaystyle \Gamma }$بحيث${\displaystyle K}$قابلة للفصل جبريًا على${\displaystyle k(\Gamma )}$[ ^{5 ]​}

يمكن تضمين كل مجال في مجال مثالي: في الخصائص${\displaystyle p}$حقل${\displaystyle k}$ملحق بكل${\displaystyle p^{r}}$الجذور النونية (${\displaystyle r\geq 1}$) مثالي؛ ويُطلق عليه الإغلاق المثالي لـ${\displaystyle k}$ويرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle k^{p^{-\infty }}}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(t)}$يدمج في${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(t,t^{1/p},t^{1/p^{2}},\ldots )}$.

يمكن استخدام الإغلاق التام في اختبار قابلية الفصل. وبشكل أدق، التبادلية${\displaystyle k}$-الجبر${\displaystyle A}$تكون قابلة للفصل إذا وفقط إذا${\displaystyle A\otimes _{k}k^{p^{-\infty }}}$يتم تقليله. ^{[ 6 ]}

يمكن تعريف الإغلاق التام بخاصية شاملة : الإغلاق التام للحلقة${\displaystyle A}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$إنه خاتم مثالي${\displaystyle A_{p}}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$بالإضافة إلى تشاكل حلقي${\displaystyle u:A\to A_{p}}$بحيث يكون لأي خاتم مثالي آخر${\displaystyle B}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$مع التماثل${\displaystyle v:A\to B}$يوجد تماثل فريد${\displaystyle f:A_{p}\to B}$بحيث${\displaystyle v}$العوامل من خلال${\displaystyle u}$(أي${\displaystyle v=fu}$يوجد الإغلاق التام دائمًا؛ ويتضمن البرهان "التجاور".${\displaystyle p}$الجذور النونية لعناصر${\displaystyle A}$"، على غرار حالة الحقول. ^{[ 7 ]}

كمال الخاتم​${\displaystyle A}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$هو المفهوم المزدوج (على الرغم من أن هذا المصطلح يُستخدم أحيانًا للدلالة على الإغلاق التام). بعبارة أخرى، الكمال${\displaystyle R(A)}$ل${\displaystyle A}$خاتم مثالي ذو خصائص مميزة${\displaystyle p}$بالإضافة إلى خريطة${\displaystyle \theta :R(A)\to A}$بحيث يكون لأي خاتم مثالي${\displaystyle B}$ذات خصائص مميزة${\displaystyle p}$مزود بخريطة${\displaystyle \phi :B\to A}$توجد خريطة فريدة${\displaystyle f:B\to R(A)}$بحيث${\displaystyle \phi }$العوامل من خلال${\displaystyle \theta }$(أي${\displaystyle \phi =\theta f}$كمال${\displaystyle A}$يمكن بناؤها على النحو التالي. لنفترض النظام الإسقاطي

${\displaystyle \cdots \rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow \cdots }$

حيث تمثل خرائط الانتقال تحويل فروبينيوس الداخلي. الحد العكسي لهذا النظام هو${\displaystyle R(A)}$ويتكون من تسلسلات${\displaystyle (x_{0},x_{1},\dots )}$من عناصر${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle x_{i+1}^{p}=x_{i}}$للجميع${\displaystyle i}$الخريطة${\displaystyle \theta :R(A)\to A}$يرسل${\displaystyle (x_{i})}$ل${\displaystyle x_{0}}$[ ^{8 ]​}

• خاتم مثالي
• حقل شبه منتهي

• "الحقل المثالي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]