خاتم مثالي

تم العثور على التعريفات المكافئة التالية للحلقة اليسارية الكاملة R في أندرسون وفولر: ^{[ 2 ]}

• كل وحدة R اليسرى لها غطاء إسقاطي.
• R /J( R ) شبه بسيط و J( R ) هو T-nilpotent اليساري (أي أنه لكل سلسلة لانهائية من عناصر J( R ) يوجد n بحيث يكون حاصل ضرب أول n حدًا صفرًا)، حيث J( R ) هو جذر جاكوبسون لـ R.
• ( نظرية باس P ) تحقق الحلقة R شرط السلسلة التنازلية على المُثُل الرئيسية اليمنى . (لا يوجد خطأ؛ هذا الشرط على المُثُل الرئيسية اليمنى يُكافئ كون الحلقة مثالية من اليسار .)
• كل وحدة نمطية R يسارية مسطحة هي إسقاطية .
• R /J( R ) شبه بسيط وكل وحدة R اليسرى غير الصفرية تحتوي على وحدة فرعية قصوى .
• لا تحتوي R على مجموعة متعامدة لانهائية من العناصر المتطابقة ، وكل وحدة نمطية يمينية غير صفرية في R تحتوي على وحدة نمطية دنيا .

• من المعروف أن حلقات أرتينيان اليمنى أو اليسرى ، والحلقات شبه الأولية ، مثالية يمينًا ويسارًا.
• فيما يلي مثال (منسوب إلى باس) لحلقة محلية مثالية من اليمين ولكنها ليست مثالية من اليسار. ليكن F حقلاً ، ولنعتبر حلقة معينة من المصفوفات اللانهائية فوق F.

خذ مجموعة المصفوفات اللانهائية ذات المدخلات المفهرسة بواسطة${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$والتي تحتوي على عدد محدود فقط من العناصر غير الصفرية، وكلها فوق القطر، ونرمز لهذه المجموعة بـ${\displaystyle J}$خذ المصفوفة أيضًا${\displaystyle I\,}$مع وجود جميع الأرقام 1 على القطر، وتشكيل المجموعة

${\displaystyle R=\{f\cdot I+j\mid f\in F,j\in J\}\,}$

يمكن إثبات أن R حلقة ذات عنصر محايد، وجذر جاكوبسون الخاص بها هو J. علاوة على ذلك، فإن R / J حقل، وبالتالي فإن R محلية، و R مثالية من اليمين ولكنها ليست مثالية من اليسار. ^{[ 3 ]}

للحصول على خاتم مثالي لليد R :

• انطلاقاً من المكافئات المذكورة أعلاه، فإن كل وحدة R يسارية لها وحدة فرعية قصوى وغطاء إسقاطي، وتتطابق وحدات R اليسارية المسطحة مع الوحدات اليسارية الإسقاطية.
• ينطبق نظير لمعيار باير على الوحدات الإسقاطية.

لتكن R حلقة. عندئذٍ تكون R شبه كاملة إذا تحققت أي من الشروط المتكافئة التالية:

• R /J( R ) شبه بسيط و idempotents رفع modulo J( R )، حيث J( R ) هو جذر جاكوبسون لـ R .
• R لها مجموعة متعامدة كاملة e ₁ , ..., e _n من العناصر المتساوية القوة مع كل e _i Re _i حلقة محلية .
• كل وحدة نمطية بسيطة من اليسار (اليمين) R لها غطاء إسقاطي .
• كل وحدة نمطية R يسارية (يمينية) مولدة بشكل نهائي لها غطاء إسقاطي.
• فئة الإسقاطات المولدة بشكل نهائي${\displaystyle R}$-modules هو Krull-Schmidt .

من أمثلة الحلقات شبه الكاملة ما يلي:

• حلقات مثالية لليسار (اليمين).
• حلقات محلية.
• حلقات أرتينيان اليسرى (اليمنى) .
• الجبر ذو الأبعاد المحدودة من النوع k .

بما أن الحلقة R تكون شبه مثالية إذا وفقط إذا كان لكل وحدة نمطية يسارية بسيطة R غطاء إسقاطي، فإن كل حلقة موريتا مكافئة لحلقة شبه مثالية تكون أيضًا شبه مثالية.

بالنسبة لحلقة شبه مثالية ثابتة R ، يوجد (حتى تماثل الحلقات) ممثل قانوني لفئة الحلقات المكافئة لموريتا لـ R ، ويسمى حلقة أساسية لـ R. الحلقة شبه المثالية أساسية إذا وفقط إذا كان R /J( R ) ناتج ضرب مباشر لحلقات القسمة.

بفرض وجود مجموعة متعامدة كاملة e₁ _, ..., eᵢ من العناصر المتساوية القوة المحلية، يمكننا افتراض ترتيب هذه المجموعة بحيث تُشكّل الوحدات النمطية اليمنى e₁R, ..., eᵢR، لبعض _i ≤ n ، مجموعة _{كاملة من} الوحدات _{النمطية} اليمنى الإسقاطية المولدة نهائيًا. يُطلق على العنصر المتساوي القوة e = e₁ + _... + eᵢ اسم العنصر المتساوي القوة الأساسي _، وتُسمى حلقة الزاوية B := eᵢR المتماثلة مع EndR ( _e₁R + ... + eᵢR ₎ الحلقة الأساسية لـ R.

يُعرّف التطبيق I → IR تضمين شبكة المُثُل اليمنى لـ B في شبكة المُثُل اليمنى لـ R. ويُعرّف التطبيق I → RIR تماثلاً بين شبكة المُثُل لـ B وشبكة المُثُل لـ R. ويحترم هذا التماثل ضرب المُثُل. ^{[ 4 ]}