وحدة حقنية

وبشكل بديهي، الوحدة الصفرية${\displaystyle \{0\}}$هو حقني.

بالنظر إلى حقل${\displaystyle k}$، كل${\displaystyle k}$- فضاء متجهي${\displaystyle Q}$هو حقنة${\displaystyle k}$-الوحدة. السبب: إذا${\displaystyle Q}$هو فضاء جزئي من${\displaystyle V}$، يمكننا إيجاد أساس لـ${\displaystyle Q}$وتوسيع نطاقها لتشمل أساسًا لـ${\displaystyle V}$تمتد متجهات الأساس الجديدة الممتدة على فضاء جزئي${\displaystyle K}$ل${\displaystyle V}$و${\displaystyle V}$هو المجموع المباشر الداخلي لـ${\displaystyle Q}$و${\displaystyle K}$لاحظ أن المكمل المباشر${\displaystyle K}$ل${\displaystyle Q}$لا يتم تحديدها بشكل فريد بواسطة${\displaystyle Q}$وكذلك الخريطة الممتدة${\displaystyle h}$التعريف المذكور أعلاه ليس فريدًا عادةً.

العقلانيات${\displaystyle \mathbb {Q} }$(بالإضافة) تشكل زمرة أبيلية أحادية (أي زمرة أحادية)${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة). مجموعة العوامل${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$كما أن مجموعة الدائرة هي أيضًا مجموعة أحادية${\displaystyle \mathbb {Z} }$-الوحدات. مجموعة العوامل${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ل${\displaystyle n>1}$هو حقني كـ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$-وحدة نمطية، ولكن ليس حقنية كمجموعة أبيلية.

بشكلٍ أعم، لأي مجال تكاملي R ذي حقل كسور K ، فإنّ وحدة R-المودول K هي وحدة R- مودولة أحادية ، بل هي أصغر وحدة R- مودولة أحادية تحتوي على R. بالنسبة لأي مجال ديديكيند ، فإنّ وحدة القسمة K / R أحادية أيضًا، ومجموعاتها غير القابلة للتحليل هي التموضعات.${\displaystyle R_{\mathfrak {p}}/R}$بالنسبة للمثاليات الأولية غير الصفرية${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$المثالي الصفري هو أيضاً مثالي أولي ويتوافق مع الوحدة K الحقنية . وبهذه الطريقة، يوجد تناظر واحد لواحد بين المثاليات الأولية والوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل.

تتوفر نظرية غنية بشكل خاص للحلقات التبادلية النويثرية بفضل إيبن ماتليس ( لام 1999 ، §3I) . كل وحدة حقنية هي مجموع مباشر فريد لوحدات حقنية غير قابلة للتحليل، وتُعرَّف الوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل بشكل فريد على أنها الأغلفة الحقنية لحواصل القسمة R / P حيث تتغير P على طيف الأعداد الأولية للحلقة. الغلاف الحقني لـ R / P كوحدة R هو وحدة RP بشكل قانوني ، وهو الغلاف _الحقني RP لـ R / P . بعبارة أخرى، يكفي النظر في الحلقات المحلية . حلقة التشكل الداخلي للغلاف الحقني لـ R / P هي الإكمال _.${\displaystyle {\hat {R}}_{P}}$من R عند P. ^{[ 1 ]}​

من الأمثلة على ذلك الغلاف الحقني لوحدة Z / p Z ( مجموعة بروفر )، والغلاف الحقني لوحدة k [ x ] ( حلقة كثيرات الحدود العكسية). يمكن وصف الأخيرة بسهولة على أنها k [ x , x ⁻¹ ]/ xk [ x ]. تتكون قاعدة هذه الوحدة من "أحاديات الحدود العكسية"، أي x ^{− n} حيث n = 0، 1، 2، ... . يكون الضرب بالأعداد القياسية كما هو متوقع، ويتصرف الضرب بـ x بشكل طبيعي باستثناء أن x · 1 = 0. حلقة التشكلات الداخلية هي ببساطة حلقة متسلسلات القوى الشكلية .

إذا كانت G زمرة منتهية و k حقلاً ذا خاصية صفرية، فإنه يُبين في نظرية تمثيلات الزمر أن أي تمثيل جزئي لتمثيل معين هو بالفعل مجموع مباشر لذلك التمثيل. وبترجمة ذلك إلى لغة الوحدات، فإن جميع الوحدات على جبر الزمرة kG هي وحدات أحادية. وإذا لم تكن خاصية k صفرية، فقد يُفيد المثال التالي.

إذا كانت A جبرًا ترابطيًا أحاديًا على الحقل k ذي بُعد منتهٍ على k ، فإن Hom _k (−, k ) هي ثنائية بين وحدات A اليسارية المولدة توليدًا منتهيًا ووحدات A اليمينية المولدة توليدًا منتهيًا. بالتالي، فإن وحدات A اليسارية الحقنية المولدة توليدًا منتهيًا هي تحديدًا الوحدات من الشكل Hom _k ( P , k ) حيث P وحدة A يمينية إسقاطية مولدة توليدًا منتهيًا . بالنسبة للجبر المتناظر ، تكون الثنائية منتظمة للغاية، وتتطابق الوحدات الإسقاطية مع الوحدات الحقنية.

في أي حلقة أرتينية ، كما هو الحال في الحلقات التبادلية ، يوجد تناظر أحادي بين المُثُل الأولية والوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل. وربما يكون التناظر في هذه الحالة أبسط: فالمُثُل الأولية هي مُفنية لوحدة بسيطة فريدة، والوحدة الحقنية غير القابلة للتحليل المقابلة لها هي غلافها الحقني . بالنسبة للجبر ذي الأبعاد المحدودة على الحقول، فإن هذه الأغلفة الحقنية هي وحدات مولدة توليدًا محدودًا ( لام 1999 ، §3G، §3J) .

لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$فوق حقل${\displaystyle k}$من الخاصية 0، فئة الوحدات${\displaystyle {\mathcal {M}}({\mathfrak {g}})}$يحتوي على وصف مباشر نسبيًا لوحداته الحقنية. ^{[ 4 ]} باستخدام الجبر الشامل، أي وحدة حقنية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكن إنشاء الوحدة من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-وحدة

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle k}$فضاء المتجهات${\displaystyle V}$لاحظ أن هذا الفضاء المتجهي يحتوي على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$- بنية الوحدة من الحقن

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\hookrightarrow U({\mathfrak {g}})}$

في الواقع، كل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$- تحتوي الوحدة على حقن في بعض${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$وكل حقنة${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-الوحدة هي مجموع مباشر لبعض${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(U({\mathfrak {g}}),V)}$.

فوق حلقة نوثرية تبادلية${\displaystyle R}$كل وحدة حقنية هي مجموع مباشر لوحدات حقنية غير قابلة للتحليل، وكل وحدة حقنية غير قابلة للتحليل هي الغلاف الحقني لحقل البقايا عند عدد أولي.${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$أي بالنسبة للحقنة${\displaystyle I\in {\text{Mod}}(R)}$، هناك تماثل

${\displaystyle I\cong \bigoplus _{i}E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$

أين${\displaystyle E(R/{\mathfrak {p}}_{i})}$هي الهياكل الحقنية للوحدات${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{i}}$^{[ 5 ]} بالإضافة إلى ذلك ، إذا${\displaystyle I}$هو الغلاف الحقني لوحدة ما${\displaystyle M}$ثم${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$هي الأعداد الأولية المرتبطة بـ${\displaystyle M}$[ ^{2 ]​}

أي حاصل ضرب لوحدات أحادية (حتى لو كان عددها لانهائيًا) يكون أحاديًا؛ وعلى العكس، إذا كان حاصل الضرب المباشر للوحدات أحاديًا، فإن كل وحدة تكون أحادية ( لام، 1999 ، ص 61) . كل مجموع مباشر لعدد محدود من الوحدات الأحادية يكون أحاديًا. بشكل عام، لا يشترط أن تكون الوحدات الفرعية، أو وحدات العوامل، أو المجاميع المباشرة اللانهائية للوحدات الأحادية أحادية. كل وحدة فرعية من كل وحدة أحادية تكون أحادية إذا وفقط إذا كانت الحلقة شبه بسيطة أرتينية ( جولان وهيد ، 1991 ، ص 152) ؛ كل وحدة عوامل من كل وحدة أحادية تكون أحادية إذا وفقط إذا كانت الحلقة وراثية ( لام، 1999 ، نظرية 3.22) .  

تنص نظرية باس-باب على أن كل مجموع مباشر لانهائي من الوحدات النمطية الحقنية اليمنى (اليسرى) يكون حقنيًا إذا وفقط إذا كانت الحلقة نوثرية يمنى (يسرى) ، ( لام 1999 ، ص 80-81، Th 3.46) . ^{[ 6 ]} 

في ورقة باير الأصلية، أثبت نتيجة مفيدة، تُعرف عادةً باسم معيار باير، للتحقق مما إذا كانت الوحدة النمطية حقنية: الوحدة النمطية اليسرى R Q تكون حقنية إذا وفقط إذا كان أي تشاكل g  : I → Q معرف على مثالي يساري I من R يمكن تمديده إلى كل R.

باستخدام هذا المعيار، يمكن إثبات أن Q زمرة أبيلية أحادية (أي وحدة أحادية على Z ). وبشكل أعم، تكون الزمرة الأبيلية أحادية إذا وفقط إذا كانت قابلة للقسمة . وبشكل أعم أيضًا: تكون الوحدة على مجال مثالي رئيسي أحادية إذا وفقط إذا كانت قابلة للقسمة (تُعد حالة الفضاءات المتجهة مثالًا على هذه النظرية، حيث أن كل حقل هو مجال مثالي رئيسي وكل فضاء متجه قابل للقسمة). وعلى مجال تكاملي عام، لا يزال لدينا استلزام واحد: كل وحدة أحادية على مجال تكاملي قابلة للقسمة.

تم تحسين معيار باير بطرق عديدة ( جولان وهيد ، 1991 ، ص 119) ، بما في ذلك نتيجة ( سميث، 1981 ) و ( فاموس، 1983 ) التي تنص على أنه بالنسبة لحلقة نوثرية تبديلية، يكفي النظر فقط في المُثُل الأولية I. إن ثنائية معيار باير، التي من شأنها أن تُعطي اختبارًا للإسقاطية، خاطئة بشكل عام. على سبيل المثال، يُحقق الموديول Q على Z ثنائية معيار باير ولكنه ليس إسقاطيًا. 

لعلّ أهمّ وحدةٍ حقنية هي المجموعة الأبيلية Q / Z . فهي مولدٌ مشتركٌ حقنيٌّ في فئة المجموعات الأبيلية ، ما يعني أنها حقنية، وأنّ أيّ وحدةٍ أخرى محتواةٌ في حاصل ضربٍ كبيرٍ مناسبٍ من نسخ Q / Z . لذا، على وجه الخصوص، كلّ مجموعةٍ أبيليةٍ هي مجموعةٌ جزئيةٌ من مجموعةٍ حقنية. ومن المهمّ جدًّا أنّ هذا ينطبق أيضًا على أيّ حلقة: فكلّ وحدةٍ هي وحدةٌ جزئيةٌ من وحدةٍ حقنية، أو "فئة الوحدات اليسارية R تحتوي على عددٍ كافٍ من الوحدات الحقنية". ولإثبات ذلك، تُستخدم الخصائص الفريدة للمجموعة الأبيلية Q / Z لإنشاء مولدٍ مشتركٍ حقنيٍّ في فئة الوحدات اليسارية R.

بالنسبة لوحدة نمطية يسارية M على R ، فإن ما يُسمى بـ"وحدة النمط المميزة" M⁺ ⁼ Hom _Z ( M , Q / Z ) هي وحدة نمطية يمينية على R تُظهر ازدواجية مثيرة للاهتمام، ليس بين الوحدات النمطية الحقنية والوحدات النمطية الإسقاطية ، بل بين الوحدات النمطية الحقنية والوحدات النمطية المسطحة ( إينوكس وجيندا 2000 ، ص 78-80) . لأي حلقة R ، تكون الوحدة النمطية اليسارية مسطحة إذا وفقط إذا كانت وحدة النمط المميزة الخاصة بها حقنية. إذا كانت R نوثرية يسارية، فإن الوحدة النمطية اليسارية تكون حقنية إذا وفقط إذا كانت وحدة النمط المميزة الخاصة بها مسطحة. 

الغلاف الحقني للوحدة النمطية هو أصغر وحدة نمطية حقنية تحتوي على الوحدة النمطية المعطاة وتم وصفه في ( Eckmann & Schopf 1953 ) .

يمكن استخدام الأغلفة الحقنية لتحديد حل حقني أدنى (انظر أدناه). إذا كان كل حد من حدود الحل الحقني هو الغلاف الحقني للنواة المشتركة للخريطة السابقة، فإن الحل الحقني يكون له طول أدنى.

كل وحدة نمطية M لها أيضًا حل أحادي : تسلسل دقيق من الشكل

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

حيث تمثل I ^j وحدات حقنية. ويمكن استخدام التحليلات الحقنية لتعريف الدوال المشتقة مثل دالة Ext .

طول التحليل الحقني المحدود هو أول دليل n بحيث يكون I n  غير صفري و I  i = 0 لكل i أكبر من n . إذا كان النموذج M يقبل تحليلًا حقنيًا محدودًا، يُسمى أقصر طول بين جميع التحليلات الحقنية المحدودة لـ M بُعده الحقني ويُرمز له بـ id( M ). إذا لم يكن M يقبل تحليلًا حقنيًا محدودًا، يُقال اصطلاحًا أن البُعد الحقني غير محدود. ( لام 1999 ، §5C) على سبيل المثال، لنفترض نموذجًا M بحيث يكون id( M ) = 0. في هذه الحالة، تشير دقة المتتالية 0 → M → I 0 → 0 إلى أن السهم في المنتصف هو تماثل، وبالتالي فإن M نفسه حقني. [ 7 ]    

وبالمثل، فإن البعد الحقني لـ M هو أصغر عدد صحيح (إن وجد، وإلا ∞) n بحيث يكون Ext ^N _A (–, M ) = 0 لجميع N > n .

كل وحدة فرعية حقنية من وحدة حقنية هي مجموع مباشر، لذلك من المهم فهم الوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل ، ( لام 1999 ، §3F) .

كل وحدة نمطية حقنية غير قابلة للتحليل لها حلقة تشاكل محلية . تُسمى الوحدة النمطية وحدة نمطية منتظمة إذا كان لكل وحدتين نمطيتين فرعيتين غير صفريتين تقاطع غير صفري. بالنسبة للوحدة النمطية الحقنية M، فإن ما يلي متكافئ:

• M غير قابل للتحلل
• M غير صفري وهو الغلاف الحقني لكل وحدة فرعية غير صفرية
• M منتظم
• M هو الغلاف الحقني لوحدة نمطية منتظمة
• M هو الغلاف الحقني لوحدة دورية منتظمة
• يحتوي M على حلقة تشاكل داخلي محلية

في حلقة نوثرية، كل وحدة حقنية هي مجموع مباشر لوحدات حقنية غير قابلة للتحليل (محددة بشكل فريد). في حلقة نوثرية تبديلية، يُتيح هذا فهمًا دقيقًا لجميع الوحدات الحقنية، كما هو موضح في ( ماتليس 1958 ) . الوحدات الحقنية غير القابلة للتحليل هي الأغلفة الحقنية للوحدات R / p ، حيث p مثالي أولي في الحلقة R. علاوة على ذلك، فإن الغلاف الحقني M لـ R / p له ترشيح متزايد بواسطة الوحدات M n المعطاة بواسطة مُبيدات المثالي p n ، و M n +1 / M  n متماثل كفضاء متجهي محدود الأبعاد على حقل القسمة k ( p ) لـ R / p إلى Hom R / p ( p n  / p n +1 , k ( p )).

من المهم القدرة على دراسة الوحدات النمطية على الحلقات الجزئية أو حلقات القسمة ، وخاصة على سبيل المثال حلقات كثيرات الحدود . عموماً، هذا أمر صعب، ولكن هناك عدد من النتائج المعروفة ( لام 1999 ، ص 62) . 

ليكن S و R حلقتين، وليكن P ثنائيًا من اليسار إلى R ومن اليمين إلى S ، وهو مسطح كوحدة نمطية من اليسار إلى R. لأي وحدة نمطية أحادية من اليمين إلى S، M ، فإن مجموعة تشاكلات الوحدات النمطية Hom _S ( P , M ) هي وحدة نمطية أحادية من اليمين إلى R. وينطبق الأمر نفسه بالطبع بعد تبديل سمات اليسار واليمين.

على سبيل المثال، إذا كانت R حلقة جزئية من S بحيث تكون S وحدة نمطية مسطحة على R ، فإن كل وحدة نمطية أحادية على S هي وحدة نمطية أحادية على R. وبالتحديد، إذا كانت R مجالًا تكامليًا و S حقل كسوره ، فإن كل فضاء متجهي على S هو وحدة نمطية أحادية على R. وبالمثل، فإن كل وحدة نمطية أحادية على R [ x ] هي وحدة نمطية أحادية على R.

في الاتجاه المعاكس، تماثل حلقي${\displaystyle f:S\to R}$يجعل R وحدة نمطية ثنائية من اليسار- R واليمين- S ، عن طريق الضرب من اليسار واليمين. ولأن R حرة على نفسها، فهي مسطحة أيضًا كوحدة نمطية من اليسار- R. بتخصيص العبارة السابقة لـ P = R ، فإنها تقول إنه عندما تكون M وحدة نمطية أحادية من اليمين- S، فإن الوحدة النمطية المستحثة المرافقة${\displaystyle f_{*}M=\mathrm {Hom} _{S}(R,M)}$هي وحدة نمطية يمينية أحادية على R. وبالتالي، ينتج عن الاستقراء المشترك على f وحدات نمطية أحادية على R من وحدات نمطية أحادية على S.

بالنسبة لحلقات القسمة R / I ، يكون تغيير الحلقات واضحًا جدًا. يكون الموديول R موديولًا R / I تحديدًا عندما يُفنى بواسطة I. الموديول الفرعي ann _I ( M ) = { m ∈ M  : im = 0 لكل i ∈ I } هو موديول فرعي يساري للموديول R الأيسر M ، وهو أكبر موديول فرعي من M يكون موديولًا R / I . إذا كان M موديولًا R يساريًا أحاديًا ، فإن ann _I ( M ) يكون موديولًا R / I يساريًا أحاديًا . بتطبيق هذا على R = Z و I = nZ و M = Q / Z ، نحصل على الحقيقة المعروفة بأن Z / nZ أحادي كموديول على نفسه . على الرغم من سهولة تحويل وحدات R الحقنية إلى وحدات R / I الحقنية ، إلا أن هذه العملية لا تحول حلول R الحقنية إلى حلول R / I الحقنية، وتعتبر تماثل المركب الناتج أحد المجالات المبكرة والأساسية لدراسة الجبر التماثلي النسبي.

يحتوي الكتاب المدرسي ( روتمان 1979 ، ص 103) على برهان خاطئ مفاده أن التوطين يحافظ على الحقن، ولكن تم تقديم مثال مضاد في ( ديد 1981 ) . 

كل حلقة ذات عنصر محايد هي وحدة حرة ، وبالتالي فهي إسقاطية كوحدة على نفسها، ولكن من النادر أن تكون الحلقة حقنية كوحدة على نفسها ( لام، ١٩٩٩ ، §٣ب) . إذا كانت الحلقة حقنية على نفسها كوحدة يمنى، فإنها تُسمى حلقة حقنية ذاتية يمنى. كل جبر فروبينيوس هو حقني ذاتي، ولكن لا يوجد مجال تكاملي ليس حقلاً يكون حقنيًا ذاتيًا. كل خارج قسمة مناسب لمجال ديديكيند هو حقني ذاتي. ^{[ ٨ ]}

تُسمى الحلقة النويثرية اليمنى ، ذاتية الحقن اليمنى ، حلقة شبه فروبينيوس ، وهي أرتينية ثنائية الجانب وحقنية ثنائية الجانب ( لام 1999 ، نظرية 15.1) . ومن الخصائص المهمة لنظرية الوحدات في حلقات شبه فروبينيوس أن الوحدات الإسقاطية هي نفسها الوحدات الحقنية.

يتناول هذا البحث أيضًا _{الكائنات} الحقنية في فئات أعم من فئات الوحدات، على سبيل المثال في فئات الدوال أو في فئات حزم الوحدات OX على فضاء حلقي ( X , OX ₎ . ويُستخدم التعريف العام التالي: الكائن Q من الفئة C يكون حقنيًا إذا كان لكل أحادي الشكل f : X → Y في C ولكل شكل g : X → Q يوجد شكل h : Y → Q بحيث يكون hf = g .   

تمت دراسة مفهوم الكائن الحقني في فئة الزمر الأبيلية بشكل مستقل إلى حد ما عن الوحدات الحقنية تحت مصطلح الزمرة القابلة للقسمة . هنا، تكون الوحدة Z -module M حقنية إذا وفقط إذا كان n ⋅ M = M لكل عدد صحيح غير صفري n . تكون العلاقات بين الوحدات المسطحة والوحدات الفرعية البحتة والوحدات الحقنية أكثر وضوحًا، حيث تشير ببساطة إلى خصائص معينة لقابلية قسمة عناصر الوحدة على الأعداد الصحيحة.

في الجبر التماثلي النسبي، قد تكون خاصية التمديد للتشاكلات مطلوبة فقط لبعض الوحدات الفرعية، وليس لجميعها. على سبيل المثال، الوحدة الحقنية البحتة هي وحدة يمكن فيها تمديد تشاكل من وحدة فرعية بحتة إلى الوحدة بأكملها.

• أندرسون، فرانك وايلي؛ فولر، كينت ر (1992)، الحلقات وفئات الوحدات ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-97845-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 30 يوليو 2016
• اينوكس، إدغار E.؛ Jenda، Overtoun MG (2000)، الجبر المتماثل النسبي ، معارض دي جرويتر في الرياضيات، المجلد.  30، برلين: والتر دي جرويتر وشركاه، دوى : 10.1515/9783110803662 ، ISBN 978-3-11-016633-0MR 1753146​ 
• جولان، جوناثان س.؛ هيد، توم (1991)، الوحدات وبنية الحلقات ، سلسلة دراسات وكتب في الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  147، مارسيل ديكر، ISBN 978-0-8247-8555-0MR 1201818​ 
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات رقم 189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، doi : 10.1007/978-1-4612-0525-8 ، ISBN 978-0-387-98428-5MR 1653294​ 
• روتمان، جوزيف ج. (1979)، مقدمة في الجبر التماثلي ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  85، بوسطن، ماساتشوستس: دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 978-0-12-599250-3، MR 0538169 

• باير، راينهولد (1940)، "المجموعات الأبيلية التي هي مجموع مباشر لكل مجموعة أبيلية حاوية"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 46 (10): 800-807 ، doi : 10.1090/S0002-9904-1940-07306-9 ، MR 0002886 ، Zbl 0024.14902  
• تشيس، ستيفن يو. (1960)، "الضرب المباشر للوحدات"، معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 97 (3)، الجمعية الرياضية الأمريكية، المجلد 97، العدد 3: 457-473 ، doi : 10.2307/1993382 ، JSTOR 1993382 ، MR 0120260  
• ديد، إيفريت سي. (1981)، "تحديد مواقع الوحدات النمطية الحقنية"، مجلة الجبر ، 69 (2): 416-425 ، doi : 10.1016/0021-8693(81)90213-1 ، MR 0617087 
• إيكمان، ب . Schopf، A. (1953)، “Über injektive Moduln”، أرشيف الرياضيات ، 4 (2): 75–78 ، دوى : 10.1007 / BF01899665 ، السيد 0055978 
• لامبيك، يواكيم (1963)، "حول حلقة أوتومي للكسور" ، المجلة الكندية للرياضيات ، 15 : 363-370 ، doi : 10.4153/CJM-1963-041-4 ، ISSN 0008-414X ، MR 0147509  
• ماتليس، إيبن (1958)، "الوحدات الحقنية على الحلقات النويثرية"، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات ، 8 : 511-528 ، doi : 10.2140/pjm.1958.8.511 ، ISSN 0030-8730 ، MR 0099360  
• أوسوفسكي، ب. ل. (1964)، "حول خصائص الحلقات للأغلفة الحقنية"، النشرة الرياضية الكندية ، 7 : 405-413 ، doi : 10.4153/CMB-1964-039-3 ، ISSN 0008-4395 ، MR 0166227  
• باب، زولتان (1959)، "حول الوحدات المغلقة جبريًا"، منشورات الرياضيات ديبريسين ، 6 : 311-327 ، ISSN 0033-3883 ، MR 0121390  
• سميث، بي إف (1981)، "الوحدات الحقنية والمثاليات الأولية"، الاتصالات في الجبر ، 9 (9): 989-999 ، doi : 10.1080/00927878108822627 ، MR 0614468 
• أوتومي، يوزو (1956)، "حول حلقات القسمة"، مجلة أوساكا للرياضيات ، 8 : 1-18 ، ISSN 0030-6126 ، MR 0078966  
• فاموس، ب. (1983)، "المثاليات والوحدات لاختبار الحقنية"، الاتصالات في الجبر ، 11 (22): 2495-2505 ، doi : 10.1080/00927878308822975 ، MR 0733337