العنصر الصفري

في الرياضيات ، يُعدّ العنصر الصفري أحد التعميمات العديدة للعدد صفر في بنى جبرية أخرى . وقد تُختزل هذه المعاني البديلة إلى الشيء نفسه أو لا، وذلك بحسب السياق.

العنصر المحايد الجمعي هو العنصر المحايد في زمرة أو شبه زمرة جمعية . وهو يقابل العنصر${\displaystyle 0}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle x}$في المجموعة،${\displaystyle 0+x=x+0=x}$تتضمن بعض الأمثلة على العنصر المحايد الجمعي ما يلي:

• المتجه الصفري في عملية جمع المتجهات : هو المتجه الذي تكون جميع مكوناته صفرية${\displaystyle 0}$في فضاء متجهي معياري ، يكون معياره (طوله) أيضًا${\displaystyle 0}$يُشار إليه غالبًا باسم${\displaystyle \mathbf {0} }$أو${\displaystyle {\vec {0}}}$[ ^{1 ]​}
• الدالة الصفرية أو الخريطة الصفرية المعرفة بواسطة${\displaystyle z(x)=0}$، في ظل الجمع النقطي${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$
• المجموعة الفارغة تحت اتحاد المجموعات
• مجموع فارغ أو ناتج مشترك فارغ
• كائن أولي في فئة (ناتج مشترك فارغ، وبالتالي عنصر محايد في ظل النواتج المشتركة )

يُعمم العنصر الممتص في شبه المجموعة الضربية أو شبه الحلقة الخاصية${\displaystyle 0\cdot x=0}$ومن الأمثلة على ذلك:

• المجموعة الفارغة ، وهي عنصر امتصاصي تحت الضرب الديكارتي للمجموعات، لأن${\displaystyle \varnothing \times S=\varnothing }$
• الدالة الصفرية أو الخريطة الصفرية المعرفة بواسطة${\displaystyle z(x)=0}$في عملية الضرب النقطي${\displaystyle (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)}$

العديد من العناصر الممتصة هي أيضًا عناصر محايدة جمعية، بما في ذلك المجموعة الفارغة والدالة الصفرية. ومن الأمثلة المهمة الأخرى العنصر المميز.${\displaystyle 0}$في حقل أو حلقة ، وهو كل من العنصر المحايد الجمعي والعنصر الممتص الضربي، ويكون مثالي الرئيسي هو أصغر مثالي.

الكائن الصفري في فئة ما هو كائن ابتدائي ونهائي في آنٍ واحد (وبالتالي هو كائن محايد في كلٍّ من الضرب المشترك والضرب ). على سبيل المثال، البنية التافهة (التي تحتوي على الكائن المحايد فقط) هي كائن صفري في الفئات التي يجب أن تربط فيها التشكلات الكائنات المحايدة ببعضها. ومن الأمثلة المحددة ما يلي:

• المجموعة التافهة ، التي تحتوي فقط على العنصر المحايد (عنصر صفري في فئة المجموعات ).
• الوحدة الصفرية ، التي تحتوي فقط على العنصر المحايد (كائن صفري في فئة الوحدات فوق حلقة)

التشاكل الصفري في فئة ما هو عنصر امتصاص معمّم تحت تركيب الدوال : أي تشاكل مُركّب مع تشاكل صفري يُعطي تشاكلاً صفرياً. تحديداً، إذا${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$هو التشكل الصفري بين التشكلات من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$، و${\displaystyle f:A\to X}$و${\displaystyle g:Y\to B}$إذا كانت تشاكلات عشوائية،${\displaystyle g\circ 0_{XY}=0_{XB}}$و${\displaystyle 0_{XY}\circ f=0_{AY}}$.

إذا كانت الفئة تحتوي على عنصر صفري${\displaystyle 0}$ثم هناك التشكلات القانونية${\displaystyle X\to 0}$و${\displaystyle 0\to Y}$، وتركيبها يعطي تشاكلاً صفرياً${\displaystyle 0_{XY}:X\to Y}$في فئة المجموعات ، على سبيل المثال، تُعدّ التشكلات الصفرية تشكلات تُعيد دائمًا عناصر المجموعة المحايد، وبالتالي تُعمّم الدالة${\displaystyle z(x)=0}$.

قد يُطلق على أصغر عنصر في مجموعة أو شبكة مرتبة جزئيًا اسم العنصر الصفري، ويُكتب إما على النحو التالي:${\displaystyle 0}$أو${\displaystyle \bot }$.

في الرياضيات ، يُعرف الموديول الصفري بأنه الموديول الذي يتكون فقط من العنصر المحايد الجمعي لدالة الجمع الخاصة به . في الأعداد الصحيحة ، هذا العنصر المحايد هو الصفر ، ومن هنا جاءت تسمية الموديول الصفري . من السهل إثبات أن الموديول الصفري هو موديول بالفعل؛ فهو مغلق تحت عمليتي الجمع والضرب بشكل بديهي.

في الرياضيات ، المثالي الصفري في الحلقة${\displaystyle R}$هو الوضع الأمثل${\displaystyle 0}$يتكون فقط من العنصر المحايد الجمعي (أو العنصر الصفري ). وكونه مثالياً ينبع مباشرة من التعريف.

في الرياضيات ، وخاصة في الجبر الخطي ، المصفوفة الصفرية هي مصفوفة جميع عناصرها تساوي صفرًا . ويُرمز لها أيضًا بالرمز √(1/2).${\displaystyle O}$[ ^{2 ] بعض الأمثلة على} المصفوفات الصفرية هي

${\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }$

تشكل مجموعة المصفوفات من الرتبة m × n ذات المدخلات في حلقة K وحدة نمطية${\displaystyle K_{m,n}}$المصفوفة الصفرية${\displaystyle 0_{K_{m,n}}}$في${\displaystyle K_{m,n}}$هي المصفوفة التي جميع عناصرها تساوي${\displaystyle 0_{K}}$، أين${\displaystyle 0_{K}}$هي العنصر المحايد الجمعي في K.

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}}$

المصفوفة الصفرية هي مصفوفة الوحدة الجمعية في${\displaystyle K_{m,n}}$أي للجميع${\displaystyle A\in K_{m,n}}$:

${\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A}$

يوجد مصفوفة صفرية واحدة فقط من أي حجم معين${\displaystyle m\times n}$(مع عناصر من حلقة معينة)، لذلك عندما يكون السياق واضحًا، يُشار غالبًا إلى المصفوفة الصفرية. في حلقة المصفوفات ، تؤدي المصفوفة الصفرية دور كل من العنصر المحايد الجمعي والعنصر الممتص. بشكل عام، يكون العنصر الصفري في الحلقة فريدًا، ويُرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle 0}$بدون أي رمز سفلي للإشارة إلى الحلقة الأصلية. لذا، فإن الأمثلة أعلاه تمثل مصفوفات صفرية على أي حلقة.

تمثل المصفوفة الصفرية أيضًا التحويل الخطي الذي يرسل جميع المتجهات إلى المتجه الصفري.

في الرياضيات ، الموتر الصفري هو موتر ، من أي رتبة، جميع مكوناته تساوي صفرًا . الموتر الصفري من الرتبة${\displaystyle 1}$يُعرف أحيانًا باسم المتجه الصفري.

ينتج عن ضرب أي موتر بأي موتر صفري موتر صفري آخر. وبين الموترات من نوع معين، يعمل الموتر الصفري من ذلك النوع كعنصر محايد جمعي بين تلك الموترات.

• شبه المجموعة الصفرية
• قاسم الصفر
• كائن صفري
• صفر دالة
• الصفر - استخدامات غير رياضية