التشكل الصفري

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

في نظرية الفئات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، يعتبر التشكل الصفري نوعًا خاصًا من التشكلات التي تُظهر خصائص مثل التشكلات من وإلى كائن صفري .

التعريفات

لنفترض أن C فئة ، وأن f : X → Y تشاكل في C. يُسمى التشاكل f تشاكلًا ثابتًا (أو أحيانًا تشاكلًا صفريًا يساريًا ) إذا كان لكل عنصر W في C ولكل g ، h : W → X ، يكون fg = fh . وبالمثل، يُسمى f تشاكلًا ثابتًا مشتركًا (أو أحيانًا تشاكلًا صفريًا يمينيًا ) إذا كان لكل عنصر Z في C ولكل g ، h : Y → Z ، يكون gf = hf . التشاكل الصفري هو تشاكل ثابت وتشاكل ثابت مشترك في آن واحد.   

الفئة التي تحتوي على صفر من التشكلات هي فئة يكون فيها، لكل كائنين A و B في C ، تشكل ثابت 0 AB  : A → B ، وتكون مجموعة التشكلات هذه بحيث يكون المخطط التالي تبادليًا لجميع الكائنات X و Y و Z في C وجميع التشكلات f  : Y → Z و g  : X → Y :

إن التشكلات 0 XY هي بالضرورة تشكلات صفرية وتشكل نظامًا متوافقًا من التشكلات الصفرية.

إذا كانت C فئة ذات تماثلات صفرية، فإن مجموعة 0 XY تكون فريدة. [ 1 ]

إن هذه الطريقة في تعريف "التشكل الصفري" وعبارة "فئة ذات تشكلات صفرية" بشكل منفصل أمر مؤسف، ولكن إذا كان لكل مجموعة hom-set تشكل صفري فريد، فإن الفئة "تحتوي على تشكلات صفرية".

أمثلة

  • في فئة الزمر (أو الوحدات )، يُعرف التشاكل الصفري بأنه تشاكل f  : G → H يُسقط جميع عناصر G على العنصر المحايد في H. والكائن الصفري في فئة الزمر هو الزمرة التافهة 1 = {1}، وهي زمرة فريدة حتى التشاكل . ويمكن تحليل كل تشاكل صفري إلى عوامله الأولية حتى 1 ، أي f  : G → 1 → H.
  • بشكل أعم، لنفترض أن C هي أي فئة تحتوي على عنصر صفري 0. عندئذٍ، لكل عنصرين X و Y، يوجد تسلسل فريد من التشكلات.
    0 XY  : X → 0 → Y
    إن عائلة جميع التشكلات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة تمنح C بنية فئة ذات تشكلات صفرية.
  • إذا كانت C فئة ما قبل الجمع ، فإن كل مجموعة تماثلية Hom( X , Y ) هي زمرة تبديلية ، وبالتالي تحتوي على عنصر صفري. تشكل هذه العناصر الصفرية عائلة متوافقة من التشكلات الصفرية لـ C، مما يجعلها فئة تحتوي على تشكلات صفرية.
  • لا تحتوي فئة المجموعات على عنصر صفري، ولكنها تحتوي على عنصر ابتدائي ، وهو المجموعة الفارغة ∅. التشاكلات الصفرية اليمنى الوحيدة في فئة المجموعات هي الدوال ∅ → X لمجموعة X.

إذا كانت الفئة تحتوي على صفر من التشكلات، فيمكن للمرء أن يحدد مفاهيم النواة والنواة المشتركة لأي تشكل في تلك الفئة.

مراجع

  • القسم 1.7 من كتاب باريجيس، بودو (1970)، الفئات والدوال ، الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد  39، دار النشر الأكاديمية ، رقم ISBN 978-0-12-545150-5
  • هيرليخ، هورست؛ ستريكر، جورج إي. (2007)، نظرية الفئة ، دار هيلديرمان.

ملحوظات

  1. ↑ "فئة ذات تماثلات صفرية - تبادل أسئلة الرياضيات" . Math.stackexchange.com . 17-01-2015 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 30-03-2016 .