نواة الكوك

النواة المشتركة لتطبيق خطي بين فضاءات متجهة f  : X → Y هي فضاء القسمة Y / im( f ) للمجال المقابل لـ f على صورة f . ويُسمى بُعد النواة المشتركة بالرتبة المشتركة لـ f .

النوى المشتركة هي ثنائية لنوى نظرية الفئات ، ومن هنا جاء الاسم: النواة هي كائن فرعي من المجال (إنها ترتبط بالمجال)، بينما النواة المشتركة هي كائن خارج القسمة من المجال المقابل (إنها ترتبط من المجال المقابل).

بشكل بديهي، عند إعطاء معادلة f ( x ) = y المراد حلها، فإن الدالة المساعدة (cokernel) تقيس القيود التي يجب أن يستوفيها y لكي يكون لهذه المعادلة حل - أي العوائق التي تحول دون إيجاد حل - بينما تقيس الدالة الأساسية (kernel) درجات الحرية في الحل، إن وُجد. سيتم توضيح ذلك بالتفصيل في قسم "البديهة" أدناه.

بشكلٍ أعم، النواة المشتركة لتشكل f :  X → Y في فئة ما ( مثل التشكل بين الزمر أو المؤثر الخطي المحدود بين فضاءات هيلبرت ) هي كائن Q وتشكل q  : Y → Q بحيث يكون التركيب qf هو التشكل الصفري للفئة، وعلاوة على ذلك، فإن q شامل بالنسبة لهذه الخاصية. غالبًا ما يُفهم التطبيق q ضمنيًا، ويُطلق على Q نفسه اسم النواة المشتركة لـ f .

في العديد من الحالات في الجبر المجرد ، مثل الزمر الأبيلية ، والفضاءات المتجهة ، والوحدات النمطية، تكون النواة المشتركة للتشاكل f : X → Y هي خارج قسمة Y على صورة f . في  السياقات الطوبولوجية ، مثل المؤثرات الخطية المحدودة بين فضاءات هيلبرت ، عادةً ما يتعين حساب إغلاق الصورة قبل الانتقال إلى خارج القسمة.

يمكن تعريف النواة المشتركة في الإطار العام لنظرية الفئات . ولكي يكون التعريف منطقيًا، يجب أن تحتوي الفئة المعنية على تشاكلات صفرية . تُعرَّف النواة المشتركة للتشاكل f : X → Y بأنها المُساوي المشترك بين f والتشاكل الصفري 0 _XY : X → Y.  

بمعنى أدق، هذا يعني ما يلي: النواة المشتركة للدالة f  : X → Y هي كائن Q مع تشاكل q  : Y → Q بحيث يكون المخطط

يتبادل . علاوة على ذلك، يجب أن يكون التشكل q عامًا لهذا المخطط، أي يمكن الحصول على أي تشكل آخر من هذا القبيل q ′  : Y → Q ′ عن طريق تركيب q مع تشكل فريد u  : Q → Q ′ :

كما هو الحال مع جميع البنى الشاملة، فإن النواة المشتركة، إن وجدت، تكون فريدة حتى تماثل فريد ، أو بتعبير أدق: إذا كانت q  : Y → Q و q ′  : Y → Q ′ نواتين مشتركتين لـ f  : X → Y ، فإنه يوجد تماثل فريد u  : Q → Q ′ مع q' = u q .

كجميع المُعادلات المُشتركة، فإن النواة المُشتركة q  : Y → Q هي بالضرورة تشاكل شامل . وعلى العكس، يُسمى التشاكل الشامل طبيعيًا (أو مُشتركًا طبيعيًا ) إذا كان النواة المُشتركة لتشاكل ما. وتُسمى الفئة مُشتركة طبيعية إذا كان كل تشاكل شامل طبيعيًا (مثلًا، فئة الزمر مُشتركة طبيعية).

يمكن اعتبار النواة المشتركة بمثابة فضاء القيود التي يجب أن تستوفيها المعادلة، باعتبارها فضاء العوائق ، تمامًا كما أن النواة هي فضاء الحلول.

بصورة رسمية، يمكن ربط نواة ونواة التطبيق T : V → W بالمتتالية التامة

${\displaystyle 0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }}W\to \operatorname {coker} T\to 0.}$

يمكن تفسير ذلك على النحو التالي: إذا كان لدينا معادلة خطية T ( v ) = w لحلها،

• النواة هي فضاء الحلول للمعادلة المتجانسة T ( v ) = 0 ، وبُعدها هو عدد درجات الحرية في حلول T ( v ) = w ، إن وجدت؛
• النواة المشتركة هي فضاء القيود المفروضة على w والتي يجب استيفاؤها إذا كان للمعادلة حل، وبُعدها هو عدد القيود المستقلة التي يجب استيفاؤها حتى يكون للمعادلة حل.

إن بُعد النواة المشتركة بالإضافة إلى بُعد الصورة (الرتبة) يصل إلى بُعد الفضاء المستهدف، حيث أن بُعد فضاء القسمة W / T ( V ) هو ببساطة بُعد الفضاء مطروحًا منه بُعد الصورة.

كمثال بسيط، لنفترض الدالة T : R² → ^{R² ،} المعطاة بالعلاقة T ( x , y ) = (0, y ) . لكي يكون للمعادلة T ( x , y ) = ( a , b ) حل، يجب أن يكون a = 0 (قيد واحد)، وفي هذه الحالة يكون فضاء الحل هو ( x , b ) ، أو بصورة مكافئة، (0, b ) + ( x , 0) (درجة حرية واحدة). يمكن التعبير عن النواة كفضاء جزئي ( x , 0) ⊆ V : قيمة x هي درجة الحرية في الحل. يمكن التعبير عن النواة المساعدة عبر الدالة الحقيقية W : ( a , b ) → ( a ) : عند إعطاء متجه ( a , b ) ، فإن قيمة a هي العائق أمام وجود حل.

بالإضافة إلى ذلك، يمكن اعتبار النواة المشتركة بمثابة شيء "يكشف" عن التطبيقات الشاملة بنفس الطريقة التي "تكشف" بها النواة عن التطبيقات الحقنية . يكون التطبيق حقنيًا إذا وفقط إذا كانت نواته تافهة، ويكون التطبيق شاملًا إذا وفقط إذا كانت نواته المشتركة تافهة، أو بعبارة أخرى، إذا كان W = im( T ) .