الكائن الفرعي

في نظرية الفئات ، وهي فرع من الرياضيات ، يُعرَّف الكائن الفرعي ، بشكل عام، بأنه كائن يقع داخل كائن آخر ينتمي إلى نفس الفئة . يُعد هذا المفهوم تعميمًا لمفاهيم مثل المجموعات الجزئية من نظرية المجموعات ، والزمر الجزئية من نظرية الزمر ، ^{[ 1 ]} والفضاءات الجزئية من علم الطوبولوجيا . ولأن البنية التفصيلية للكائنات غير مهمة في نظرية الفئات، فإن تعريف الكائن الفرعي يعتمد على تشاكل يصف كيفية وجود كائن داخل آخر، بدلاً من الاعتماد على استخدام العناصر.

المفهوم المزدوج للكائن الفرعي هوكائن القسمة . وهذا يعمم مفاهيم مثلمجموعات القسمة،ومجموعات القسمة،وفضاءات القسمة،ورسوم بيانية القسمة، وما إلى ذلك.

قد يختلف التعريف التصنيفي المناسب لـ "الموضوع الفرعي" باختلاف السياق، وذلك تبعاً للهدف. أحد التعريفات الشائعة هو كما يلي.

بالتفصيل، دعنا${\displaystyle A}$ليكن كائنًا من فئة ما. بالنظر إلى شكلين أحاديين

${\displaystyle u:S\to A\ {\text{and}}\ v:T\to A}$

مع نطاق مشترك${\displaystyle A}$نُعرّف علاقة التكافؤ من خلال${\displaystyle u\equiv v}$ إذا وُجد تماثل${\displaystyle \phi :S\to T}$مع${\displaystyle u=v\circ \phi }$.

وبعبارة أخرى، نكتب${\displaystyle u\leq v}$لو${\displaystyle u}$العوامل من خلال${\displaystyle v}$—أي إذا كان هناك${\displaystyle \phi :S\to T}$بحيث${\displaystyle u=v\circ \phi }$العلاقة الثنائية${\displaystyle \equiv }$محدد بواسطة

${\displaystyle u\equiv v\iff u\leq v\ {\text{and}}\ v\leq u}$

هي علاقة تكافؤ على أحاديات الشكل ذات المجال المقابل${\displaystyle A}$، وفئات التكافؤ المقابلة لهذه الأشكال الأحادية هي الكائنات الفرعية لـ${\displaystyle A}$.

تُنشئ العلاقة ≤ ترتيبًا جزئيًا على مجموعة العناصر الفرعية لـ${\displaystyle A}$.

قد تكون مجموعة العناصر الفرعية لكائن ما فئةً حقيقية ؛ وهذا يعني أن النقاش المطروح فضفاضٌ بعض الشيء. إذا كانت مجموعة العناصر الفرعية لكل كائن مجموعةً ، تُسمى الفئة "قوية" أو، نادرًا، " صغيرة محليًا " (يتعارض هذا مع استخدام آخر لمصطلح " صغيرة محليًا "، وهو وجود مجموعة من التشكلات بين أي كائنين).

للحصول على المفهوم الثنائي للكائن الخارج ، استبدل "التشكل الأحادي" بـ " التشكل الفوقي " أعلاه واعكس اتجاه الأسهم. عندئذٍ، يكون الكائن الخارج من A فئة تكافؤ للتشكلات الفوقية ذات المجال A.

مع ذلك، في بعض السياقات، تكون هذه التعريفات غير كافية لأنها لا تتوافق مع المفاهيم الراسخة للكائنات الفرعية أو كائنات القسمة. في فئة الفضاءات الطوبولوجية، تُعدّ الدوال الأحادية الشكلية تحديدًا هي الدوال المستمرة الحقنية؛ ولكن ليست كل الدوال المستمرة الحقنية هي تضمينات للفضاءات الفرعية. في فئة الحلقات، التضمين${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Q} }$هو تحويل شامل ولكنه ليس خارج قسمة${\displaystyle \mathbb {Z} }$من خلال مثال ثنائي الجوانب. للحصول على دوال تتصرف فعلاً كعناصر فرعية أو كدوال خارج القسمة، بدلاً من كونها دوال حقنية عشوائية أو دوال ذات صورة كثيفة، يجب الاقتصار على الدوال الأحادية والدوال الشاملة التي تحقق فرضيات إضافية. لذلك، يمكن تعريف "العنصر الفرعي" بأنه فئة تكافؤ لما يسمى "الدوال الأحادية المنتظمة" (الدوال الأحادية التي يمكن التعبير عنها كمعادل لاثنين من التشكلات)، و"عنصر القسمة" بأنه أي فئة تكافؤ من "الدوال الشاملة المنتظمة" (التشكلات التي يمكن التعبير عنها كمعادل مشترك لاثنين من التشكلات).

يتوافق هذا التعريف مع الفهم الشائع للكائن الفرعي خارج نظرية الفئات. عندما تكون كائنات الفئة مجموعات (ربما ذات بنية إضافية، مثل بنية الزمرة) وتكون التشكلات دوال مجموعات (تحافظ على البنية الإضافية)، يُنظر إلى التشكل الأحادي من حيث صورته. تُحدد فئة تكافؤ التشكلات الأحادية بصورة كل تشكل أحادي في الفئة؛ أي أن تشكلين أحاديين f و g إلى كائن T يكونان متكافئين إذا وفقط إذا كانت صورهما هي نفس المجموعة الجزئية (وبالتالي، نفس الكائن الفرعي) من T. في هذه الحالة، يوجد التشاكل.${\displaystyle g^{-1}\circ f}$من مجالاتها التي يتم فيها تعيين العناصر المقابلة للمجالات بواسطة f و g ، على التوالي ، إلى نفس العنصر من T ؛ وهذا يفسر تعريف التكافؤ.

في فئة المجموعات (Set) ، يُقابل كل عنصر فرعي من المجموعة A مجموعة جزئية B من A ، أو بالأحرى مجموعة جميع الدوال من المجموعات المتساوية في القوة مع B والتي صورتها هي B تمامًا . الترتيب الجزئي للعناصر الفرعية لمجموعة في Set هو ببساطة شبكة مجموعاتها الجزئية .

في Grp ، فئة المجموعات ، تتوافق العناصر الفرعية لـ A مع المجموعات الفرعية لـ A.

بفرض وجود فئة مرتبة جزئيًا P = ( P , ≤)، يمكننا تكوين فئة يكون فيها عناصر P كائنات، وسهم واحد من p إلى q إذا وفقط إذا كان p ≤ q . إذا كان لـ P عنصر أعظم، فإن الترتيب الجزئي للكائنات الفرعية لهذا العنصر الأعظم سيكون P نفسه. ويعود ذلك جزئيًا إلى أن جميع الأسهم في هذه الفئة ستكون أحادية الشكل.

يُطلق على الكائن الفرعي للكائن النهائي اسم الكائن الفرعي النهائي .

• مصنف الكائنات الفرعية
• النسبة الفرعية

• ماك لين، سوندرز (1998)، تصنيفات للرياضيين العاملين ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  5 (الطبعة الثانية  )، نيويورك، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 0-387-98403-8Zbl 0906.18001​ 
• بيديكيو، ماريا كريستينا ؛ ثولين، والتر، محرران. (2004). الأسس الفئوية. موضوعات خاصة في الترتيب، والطوبولوجيا، والجبر، ونظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  97. كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .