علاقة التكافؤ

العلاقات الثنائية المتعدية  v ت هـ
متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل توتال، سيميكونكس مضاد للانعكاس علاقة التكافؤ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب مسبق (طلب شبه رسمي) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ طلب جزئي ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلبات المسبقة ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ إجمالي الطلب ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ الطلب المسبق ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب شبه جيد ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ ترتيب جيد ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ شعرية ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ الانضمام إلى شبه الشبكة ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ شبكة اللقاءات ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ ترتيب جزئي صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y ترتيب ضعيف صارم ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y إجمالي الطلب الصارم ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y متماثل مضاد للتناظر متصل مؤسس بشكل جيد لديه روابط لديه لقاءات انعكاسي غير انعكاسي غير متماثل التعريفات، للجميع${\displaystyle a,b}$و${\displaystyle S\neq \varnothing$ :} ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ و }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{يوجد}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
يشير الرمز Y إلى أن خاصية العمود صحيحة دائمًا بالنسبة لعنصر الصف (في أقصى اليسار)، بينما يشير الرمز ✗ إلى أن الخاصية غير مضمونة بشكل عام (قد تكون صحيحة أو خاطئة). على سبيل المثال، يُشار إلى أن كل علاقة تكافؤ متناظرة، ولكن ليس بالضرورة مضادة للتناظر، بالرمز Y في عمود "متناظر" والرمز ✗ في عمود "مضاد للتناظر". تتطلب جميع التعريفات ضمنيًا العلاقة المتجانسة${\displaystyle R}$يكون متعدياً : للجميع${\displaystyle a,b,c,}$لو${\displaystyle aRb}$و${\displaystyle bRc}$ثم${\displaystyle aRc.}$ قد يتطلب تعريف المصطلح خصائص إضافية غير مدرجة في هذا الجدول.

في الرياضيات ، علاقة التكافؤ هي علاقة ثنائية انعكاسية ، متناظرة ، ومتعدية . تُعد علاقة التكافؤ بين القطع المستقيمة في الهندسة مثالًا شائعًا على علاقة التكافؤ. ومن الأمثلة الأبسط المساواة العددية. أي عدد${\displaystyle a}$يساوي نفسه (انعكاسي). إذا${\displaystyle a=b}$، ثم${\displaystyle b=a}$(متناظر). إذا${\displaystyle a=b}$و${\displaystyle b=c}$، ثم${\displaystyle a=c}$(فعل متعدٍ).

تُقدّم كل علاقة تكافؤ تقسيمًا للمجموعة الأساسية إلى فئات تكافؤ منفصلة . يكون عنصران من المجموعة المعطاة متكافئين إذا وفقط إذا كانا ينتميان إلى فئة التكافؤ نفسها.

تُستخدم رموز مختلفة في الأدبيات للدلالة على أن عنصرين${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تكون عناصر المجموعة متكافئة فيما يتعلق بعلاقة التكافؤ${\displaystyle R;}$الأكثر شيوعاً هي "${\displaystyle a\sim b}$" و "${\displaystyle a\equiv b}$"، والتي تستخدم عندما${\displaystyle R}$هو ضمني، وتنوعات "${\displaystyle a\sim _{R}b}$", "${\displaystyle a\equiv _{R}b}$"، أو "${\displaystyle {a\mathop {R} b}}$"لتحديد"${\displaystyle R}$بشكل صريح. يمكن كتابة عدم التكافؤ على النحو التالي:${\displaystyle a\not \sim b}$" أو "${\displaystyle a\not \equiv b}$".

علاقة ثنائية${\displaystyle \,\sim \,}$على مجموعة${\displaystyle X}$يُقال إن العلاقة علاقة تكافؤ إذا كانت انعكاسية ومتناظرة ومتعدية. أي أنه بالنسبة لجميع${\displaystyle a,b,}$و${\displaystyle c}$في${\displaystyle X:}$

• ${\displaystyle a\sim a}$( الانعكاسية ).
• ${\displaystyle a\sim b}$إذا وفقط إذا${\displaystyle b\sim a}$( التناظر ).
• لو${\displaystyle a\sim b}$و${\displaystyle b\sim c}$ثم${\displaystyle a\sim c}$( خاصية التعدي ).

${\displaystyle X}$بالإضافة إلى العلاقة${\displaystyle \,\sim \,}$يُطلق عليه اسم مجموعة جزئية . فئة التكافؤ لـ${\displaystyle a}$تحت${\displaystyle \,\sim ,}$يُشار إليه${\displaystyle [a],}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle [a]=\{x\in X:x\sim a\}.}$^{[ 1 ] [ 2 ]}

• الترتيب الجزئي هو علاقة انعكاسية، وغير متناظرة ، ومتعدية.
• المساواة علاقة تكافؤ وترتيب جزئي في آنٍ واحد. وهي أيضاً العلاقة الوحيدة على مجموعة التي تتسم بالانعكاسية والتناظر والتضاد. في التعبيرات الجبرية ، يمكن استبدال المتغيرات المتساوية ببعضها، وهي ميزة غير متاحة للمتغيرات المرتبطة بالتكافؤ. يمكن استبدال فئات التكافؤ في علاقة التكافؤ ببعضها، ولكن لا يمكن استبدال الأفراد داخل الفئة الواحدة.
• الترتيب الجزئي الصارم غير انعكاسي، ومتعدٍ، وغير متماثل .
• تكون علاقة التكافؤ الجزئية متعدية ومتناظرة. وتكون هذه العلاقة انعكاسية إذا وفقط إذا كانت كلية ، أي إذا كان لكل${\displaystyle a,}$يوجد بعض${\displaystyle b{\text{ بحيث }}a\sim b.}$^{[ البرهان 1 ]} لذلك، يمكن تعريف علاقة التكافؤ بشكل بديل على أنها علاقة متناظرة ومتعدية وكاملة.
• العلاقة التكافؤية الثلاثية هي نظير ثلاثي للعلاقة التكافؤية (الثنائية) المعتادة.
• العلاقة الانعكاسية والمتماثلة هي علاقة تبعية (إذا كانت محدودة)، وعلاقة تسامح إذا كانت غير محدودة.
• الطلب المسبق هو فعل انعكاسي ومتعدي.
• علاقة التطابق هي علاقة تكافؤ مجالها${\displaystyle X}$هي أيضًا المجموعة الأساسية لبنية جبرية ، والتي تحترم البنية الإضافية. بشكل عام، تلعب علاقات التطابق دور نواة التشاكلات، ويمكن تكوين خارج قسمة بنية ما على علاقة تطابق. في العديد من الحالات المهمة، يكون لعلاقات التطابق تمثيل بديل كبنى فرعية للبنية التي تُعرَّف عليها (على سبيل المثال، علاقات التطابق على المجموعات تُقابل المجموعات الفرعية الطبيعية ).
• أي علاقة تكافؤ هي نفي لعلاقة الانفصال ، على الرغم من أن العبارة العكسية لا تنطبق إلا في الرياضيات الكلاسيكية (على عكس الرياضيات البنائية )، لأنها تعادل قانون الوسط المرفوع .
• كل علاقة انعكاسية وإقليدية يسارية (أو يمينية) هي أيضاً علاقة تكافؤ.

لو${\displaystyle \,\sim \,}$هي علاقة تكافؤ على${\displaystyle X,}$و${\displaystyle P(x)}$هي خاصية من خصائص عناصر${\displaystyle X,}$بحيث كلما${\displaystyle x\sim y,}$${\displaystyle P(x)}$صحيح إذا${\displaystyle P(y)}$إذا كان هذا صحيحًا، فإن الخاصية${\displaystyle P}$يُقال إنها محددة جيدًا أو ثابتة في الفئة بموجب العلاقة${\displaystyle \,\sim .}$

تحدث حالة خاصة متكررة عندما${\displaystyle f}$هي دالة من${\displaystyle X}$إلى مجموعة أخرى${\displaystyle Y;}$لو${\displaystyle x_{1}\sim x_{2}}$يشير إلى${\displaystyle f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)}$ثم${\displaystyle f}$يقال إنها تشاكل لـ${\displaystyle \,\sim ,}$ثابت فئة تحت${\displaystyle \,\sim ,}$أو ببساطة غير متغير تحت${\displaystyle \,\sim .}$يحدث هذا، على سبيل المثال، في نظرية الخصائص للمجموعات المنتهية. الحالة الأخيرة مع الدالة${\displaystyle f}$يمكن التعبير عنها بمثلث تبديلي. انظر أيضًا الثابت . يستخدم بعض المؤلفين عبارة "متوافق مع${\displaystyle \,\sim }$أو ببساطة "يحترم"${\displaystyle \,\sim }$" بدلاً من "ثابت تحت${\displaystyle \,\sim }$".

وبشكل أعم، قد تقوم الدالة بتعيين وسائط متكافئة (بموجب علاقة تكافؤ).${\displaystyle \,\sim _{A}}$) إلى قيم مكافئة (في إطار علاقة التكافؤ)${\displaystyle \,\sim _{B}}$تُعرف هذه الدالة باسم التشكل من${\displaystyle \,\sim _{A}}$ل${\displaystyle \,\sim _{B}.}$

يترك${\displaystyle a,b\in X}$، و${\displaystyle \sim }$تكون علاقة تكافؤ. فيما يلي بعض التعريفات والمصطلحات الرئيسية:

تربط إحدى النتائج الرئيسية بين علاقات التكافؤ والتقسيمات: ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

• العلاقة التكافؤية ~ على مجموعة X تقسم X.
• وعلى العكس من ذلك، بالنسبة لأي تقسيم لـ X ، توجد علاقة تكافؤ ~ على X.

في كلتا الحالتين، تمثل خلايا تقسيم X فئات التكافؤ لـ X بواسطة ~. وبما أن كل عنصر من X ينتمي إلى خلية فريدة في أي تقسيم لـ X ، وبما أن كل خلية من خلايا التقسيم مطابقة لفئة تكافؤ لـ X بواسطة ~، فإن كل عنصر من X ينتمي إلى فئة تكافؤ فريدة لـ X بواسطة ~. وبالتالي ، يوجد تقابل طبيعي بين مجموعة جميع علاقات التكافؤ على X ومجموعة جميع تقسيمات X.

لو${\displaystyle \sim }$و${\displaystyle \approx }$هما علاقتان متكافئتان على نفس المجموعة${\displaystyle S}$، و${\displaystyle a\sim b}$يشير إلى${\displaystyle a\approx b}$للجميع${\displaystyle a,b\in S,}$ثم${\displaystyle \approx }$يقال إنها علاقة أكثر خشونة من${\displaystyle \sim }$، و${\displaystyle \sim }$هي علاقة أفضل من${\displaystyle \approx }$أو بعبارة أخرى،

• ${\displaystyle \sim }$أدق من${\displaystyle \approx }$إذا كانت كل فئة تكافؤ من${\displaystyle \sim }$هي مجموعة فرعية من فئة تكافؤ من${\displaystyle \approx }$وبالتالي كل فئة تكافؤ من${\displaystyle \approx }$هو اتحاد فئات التكافؤ لـ${\displaystyle \sim }$.
• ${\displaystyle \sim }$أدق من${\displaystyle \approx }$إذا تم إنشاء القسم بواسطة${\displaystyle \sim }$هو تحسين للتقسيم الذي تم إنشاؤه بواسطة${\displaystyle \approx }$.

إن علاقة التكافؤ المتساوية هي أدق علاقة تكافؤ على أي مجموعة، بينما العلاقة الشاملة، التي تربط جميع أزواج العناصر، هي الأبسط.

العلاقة "${\displaystyle \sim }$أدق من${\displaystyle \approx }$"إن مجموعة جميع علاقات التكافؤ على مجموعة ثابتة هي في حد ذاتها علاقة ترتيب جزئي، مما يجعل المجموعة شبكة هندسية . ^{[ 9 ]}

• بالنظر إلى أي مجموعة${\displaystyle X,}$علاقة تكافؤ على المجموعة${\displaystyle [X\to X]}$من بين جميع الوظائف${\displaystyle X\to X}$يمكن الحصول على ذلك على النحو التالي. تعتبر دالتان متكافئتين عندما يكون لمجموعتي النقاط الثابتة الخاصة بهما نفس العدد .
• علاقة التكافؤ${\displaystyle \,\sim \,}$على${\displaystyle X}$هي نواة التكافؤ لإسقاطها الشامل${\displaystyle \pi :X\to X/\sim .}$^{[ 10 ]} على العكس من ذلك، فإن أيتطبيق شاملبين المجموعات يحدد تجزئة على مجاله، وهي مجموعةالصور العكسيةللعناصرالمفردةفيالمجال المقابل. وبالتالي، توجد علاقة تكافؤ على${\displaystyle X,}$قسم من${\displaystyle X,}$وإسقاط مجاله هو${\displaystyle X,}$هناك ثلاث طرق متكافئة لتحديد الشيء نفسه.
• تقاطع أي مجموعة من علاقات التكافؤ على X (العلاقات الثنائية التي تُعتبر مجموعة فرعية من${\displaystyle X\times X}$تُعدّ هذه العلاقة أيضًا علاقة تكافؤ. وهذا يُتيح طريقةً مُلائمةً لإنشاء علاقة تكافؤ: فبمُجرّد وجود أي علاقة ثنائية R على X ، فإن علاقة التكافؤ المُولّدة بواسطة R هي تقاطع جميع علاقات التكافؤ التي تحتوي على R (المعروفة أيضًا باسم أصغر علاقة تكافؤ تحتوي على R ). وبشكلٍ مُحدد، تُولّد R علاقة التكافؤ.

${\displaystyle a\sim b}$إذا كان هناك عدد طبيعي${\displaystyle n}$والعناصر${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}\in X}$بحيث${\displaystyle a=x_{0}}$،${\displaystyle b=x_{n}}$، و${\displaystyle x_{i-1}\mathrel {R} x_{i}}$أو${\displaystyle x_{i}\mathrel {R} x_{i-1}}$، ل${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$

قد تكون علاقة التكافؤ الناتجة بهذه الطريقة تافهة. على سبيل المثال، علاقة التكافؤ الناتجة عن أي ترتيب كلي على X لها فئة تكافؤ واحدة فقط، وهي X نفسها.

• يمكن لعلاقات التكافؤ أن تُنشئ فضاءات جديدة عن طريق "ربط الأشياء معًا". ليكن X هو المربع الديكارتي الوحدوي${\displaystyle [0,1]\times [0,1],}$ولتكن ~ علاقة التكافؤ على X المعرفة بـ${\displaystyle (a,0)\sim (a,1)}$للجميع${\displaystyle a\in [0,1]}$و${\displaystyle (0,b)\sim (1,b)}$للجميع${\displaystyle b\in [0,1],}$ثم فضاء القسمة${\displaystyle X/\sim }$يمكن التعرف عليها بشكل طبيعي ( التماثل ) مع الطارة : خذ قطعة مربعة من الورق، وقم بثنيها ولصق الحافة العلوية والسفلية معًا لتشكيل أسطوانة، ثم قم بثني الأسطوانة الناتجة بحيث يتم لصق طرفيها المفتوحين معًا، مما ينتج عنه طارة.

يرتكز جزء كبير من الرياضيات على دراسة التكافؤات وعلاقات الترتيب . وتُجسّد نظرية الشبكات البنية الرياضية لعلاقات الترتيب. ورغم أن علاقات التكافؤ شائعة في الرياضيات كعلاقات الترتيب، فإن البنية الجبرية للتكافؤات ليست معروفة جيدًا كبنية الترتيب. وتعتمد البنية الأولى بشكل أساسي على نظرية الزمر ، وبدرجة أقل على نظرية الشبكات والفئات والزمر الجزئية .

تُعدّ علاقات التكافؤ مصدراً جاهزاً للأمثلة أو الأمثلة المضادة. فعلى سبيل المثال، تُعتبر علاقة التكافؤ التي تحتوي على فئتين تكافؤ لانهائيتين مثالاً بسيطاً على نظرية ω- فئوية ، ولكنها ليست فئوية لأي عدد أصلي أكبر .

من نتائج نظرية النماذج أنه يمكن إثبات استقلال الخصائص التي تُعرّف علاقة ما عن بعضها البعض (وبالتالي عن الأجزاء الضرورية للتعريف) إذا وفقط إذا أمكن، لكل خاصية، إيجاد أمثلة لعلاقات لا تُحقق الخاصية المُعطاة مع أنها تُحقق جميع الخصائص الأخرى. ومن ثم، يمكن إثبات استقلال الخصائص الثلاث المُعرّفة لعلاقات التكافؤ عن بعضها البعض من خلال الأمثلة الثلاثة التالية:

• الانعكاسية والمتعدية : العلاقة ≤ على N. أو أي ترتيب جزئي ؛
• متناظرة ومتعدية : العلاقة R على N ، المعرفة على أنها aRb ↔ ab ≠ 0. أو أي علاقة تكافؤ جزئية ؛
• انعكاسي ومتماثل : العلاقة R على Z ، المعرفة على النحو التالي: aRb ↔ " a − b يقبل القسمة على الأقل على 2 أو 3." أو أي علاقة تبعية .

تشمل الخصائص التي يمكن تعريفها في منطق الرتبة الأولى والتي قد تمتلكها أو لا تمتلكها علاقة التكافؤ ما يلي:

• عدد فئات التكافؤ محدود أو غير محدود؛
• عدد فئات التكافؤ يساوي العدد الطبيعي (المحدود) n ؛
• جميع فئات التكافؤ لها عدد لا نهائي من العناصر ؛
• عدد العناصر في كل فئة تكافؤ هو العدد الطبيعي n .

• علاقة بوريل المكافئة
• الرسم البياني العنقودي – رسم بياني مُكوَّن من اتحاد منفصل لرسوم بيانية كاملة 
• فئة الترافق – في نظرية الزمر، فئة التكافؤ في علاقة الترافق 
• التساوي في الطول (الهندسة) - خاصية القطع المستقيمة التي لها نفس الطول ونفس الاتجاه 
• علاقة التكافؤ فائقة التحديد
• القسمة بواسطة علاقة تكافؤ – تعميم فئات التكافؤ لنظرية المخططات 
• الاقتران الطوبولوجي – مفهوم في الطوبولوجيا 
• حتى – بيان رياضي للتفرد، باستثناء بنية مكافئة 

• براون، رونالد، 2006. الطوبولوجيا والمجموعات الجزئية. دار نشر بوكسيرج ذ.م.م. رقم ISBN 1-4196-2722-8.
• كاستيلاني، إي.، 2003، "التناظر والتكافؤ" في برادينج، كاثرين ، وإي. كاستيلاني، محرران، التناظرات في الفيزياء: تأملات فلسفية . مطبعة جامعة كامبريدج: 422-433.
• روبرت ديلورث وبيتر كرولي، 1973. النظرية الجبرية للشبكات . برنتيس هول. يناقش الفصل 12 كيفية نشوء علاقات التكافؤ في نظرية الشبكات .
• هيغينز، بي جيه، 1971. التصنيفات والمجموعات الجزئية. فان نوستراند. متاح للتنزيل منذ عام 2005 كطبعة معاد طباعتها من TAC.
• جون راندولف لوكاس ، 1973. رسالة في الزمان والمكان . لندن: ميثوين. القسم 31.
• روزن، جوزيف (2008) قواعد التناظر: كيف يقوم العلم والطبيعة على التناظر . دار نشر سبرينغر. معظمها فصول. 9، 10.
• ريموند وايلدر (1965) مقدمة في أسس الرياضيات الطبعة الثانية، الفصل 2-8: البديهيات التي تحدد التكافؤ، الصفحات 48-50 ، جون وايلي وأولاده .

• "علاقة التكافؤ" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• بوغومولني، أ. ، " علاقة التكافؤ " ، قطع العقدة . تاريخ الوصول: 1 سبتمبر 2009
• علاقة التكافؤ في بلانيت ماث
• تسلسل OEIS A231428 (مصفوفات ثنائية تمثل علاقات التكافؤ)