تقابل

في الرياضيات ، الدالة التقابلية ، أو الدالة التقابلية ، أو التناظر الأحادي ، هي دالة بين مجموعتين بحيث يكون كل عنصر من المجموعة الثانية ( المجال المقابل ) صورة لعنصر واحد فقط من المجموعة الأولى ( المجال ). بالنظر إلى دالة${\displaystyle f:A\to B}$صورة عنصر${\displaystyle a\in A}$هو العنصر${\displaystyle f(a)\in B}$في المجال المقابل. الصورة العكسية لعنصر ما${\displaystyle b\in B}$أي عنصر${\displaystyle a\in A}$في المجال بحيث${\displaystyle f(a)=b}$. وبالمثل، فإن التقابل هو علاقة بين مجموعتين بحيث يقترن كل عنصر من أي من المجموعتين بعنصر واحد فقط من المجموعة الأخرى.

تكون الدالة تقابلية إذا وفقط إذا كانت قابلة للعكس ؛ أي دالة${\displaystyle f:X\to Y}$تكون الدالة تقابلية إذا وفقط إذا كانت هناك دالة${\displaystyle g:Y\to X,}$معكوس الدالة f ، بحيث ينتج عن كل من الطريقتين لتركيب الدالتين دالة هوية :${\displaystyle g(f(x))=x}$لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle X}$و${\displaystyle f(g(y))=y}$لكل${\displaystyle y}$في${\displaystyle Y.}$

على سبيل المثال، يحدد الضرب في اثنين تقابلًا من الأعداد الصحيحة إلى الأعداد الزوجية ، والذي يكون القسمة على اثنين بمثابة دالته العكسية.

تكون الدالة تقابلية إذا وفقط إذا كانت أحادية (أو أحادية ) - أي أن كل عنصر في المجال المقابل يُقابله عنصر واحد على الأكثر من المجال - وشاملة (أو شاملة ) - أي أن كل عنصر في المجال المقابل يُقابله عنصر واحد على الأقل من المجال. يجب عدم الخلط بين مصطلح التناظر الأحادي والدالة الأحادية ، التي تعني أحادية ولكنها ليست بالضرورة شاملة.

تُنشئ عملية العد الأساسية تقابلاً من مجموعة منتهية إلى الأعداد الطبيعية الأولى (1، 2، 3، ...) ، حتى عدد عناصر المجموعة المعدودة. ويترتب على ذلك أن مجموعتين منتهيتين لهما نفس عدد العناصر إذا وفقط إذا وُجد بينهما تقابل. وبشكل أعم، يُقال إن مجموعتين لهما نفس العدد الأصلي إذا وُجد بينهما تقابل.

وتسمى الدالة التقابلية من مجموعة إلى نفسها أيضًا بالتبديل ، ^{[ 1 ]} ومجموعة جميع التبديلات لمجموعة ما تشكل مجموعتها المتناظرة .

بعض التقابلات ذات الخصائص الإضافية حظيت بأسماء محددة، تشمل التشاكلات الذاتية ، والتشاكلات ، والتشاكلات الموضعية ، والتشاكلات التفاضلية ، والتباديل ، ومعظم التحويلات الهندسية . أما تناظرات غالوا فهي تقابلات بين مجموعات من الكائنات الرياضية ذات طبيعة مختلفة ظاهريًا.

لكي تكون العلاقة الثنائية التي تربط عناصر المجموعة X بعناصر المجموعة Y علاقة تقابل، يجب أن تتحقق أربع خصائص:

1. يجب أن يقترن كل عنصر من عناصر المجموعة X بعنصر واحد على الأقل من عناصر المجموعة Y.
2. لا يجوز إقران أي عنصر من المجموعة X بأكثر من عنصر واحد من المجموعة Y.
3. يجب أن يقترن كل عنصر من عناصر Y بعنصر واحد على الأقل من عناصر X ، و
4. لا يجوز إقران أي عنصر من عناصر Y بأكثر من عنصر واحد من عناصر X.

يعني تحقيق الخاصيتين (1) و(2) أن الاقتران دالة مجالها X. ويُكتب هذان الخاصيتان عادةً كعبارة واحدة: كل عنصر من X يقترن بعنصر واحد فقط من Y. تُسمى الدوال التي تحقق الخاصية (3) "شاملة " على Y ، وتُسمى دوالًا شاملة (أو دوالًا شاملة ). أما الدوال التي تحقق الخاصية (4) فتُسمى " دوالًا أحادية " وتُسمى دوالًا حقنية (أو دوالًا حقنية ). ^{[ 2 ]} وبناءً على هذا المصطلح، فإن التقابل هو دالة شاملة وحقنية في آنٍ واحد، أو بعبارة أخرى، هو دالة أحادية وشاملة. ^{[ 3 ]}

كل دالة من المجموعة الفارغة إلى نفسها هي دالة تقابل.

• لأي مجموعة X ، فإن دالة التطابق 1 _X : X → X ، 1 _X ( x ) = x هي دالة تقابلية.
• تعطي الدالة العكسية الضربية تقابلًا بين الفترة (0، 1) والفترة شبه اللانهائية (1، +∞).
• الدالة f : R → R ، f ( x ) = 2 x + 1 تقابلية، لأنه لكل قيمة y يوجد عدد حقيقي وحيد x = ( y − 1)/2 بحيث f ( x ) = y . وبشكل أعم، أي دالة خطية على الأعداد الحقيقية، f : R → R ، f ( x ) = ax + b (حيث a عدد غير صفري) هي تقابلية. كل عدد حقيقي y يُستنتج من (أو يُقرن بـ) العدد الحقيقي x = ( y − b )/ a .
• الدالة f : R → (−π/2, π/2)، المعطاة بالعلاقة f ( x ) = arctan( x )، هي دالة تقابلية، حيث يقترن كل عدد حقيقي x بزاوية واحدة فقط y في الفترة (−π/2,  π/2) بحيث يكون tan( y ) = x (أي y = arctan( x )). إذا تم توسيع المجال المقابل (−π/2,  π/2) ليشمل مضاعفًا صحيحًا لـ π/2، فإن هذه الدالة لن تكون شاملة (غير قابلة للتكامل)، لأنه لا يوجد عدد حقيقي يمكن أن تقترن به دالة arctan هذه مع مضاعف π/2.
• الدالة الأسية g : R → R ، g ( x ) = e^ x ^، ليست تقابلية: على سبيل المثال، لا يوجد x في R بحيث g ( x ) = -1، مما يدل على أن g ليست شاملة (غير قابلة للشمول). ومع ذلك، إذا اقتصر المجال المقابل على الأعداد الحقيقية الموجبة${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\equiv \left(0,\infty \right)}$، عندئذٍ ستكون g تقابلية؛ وعكسها (انظر أدناه) هو دالة اللوغاريتم الطبيعي ln.
• الدالة h : R → R ⁺ ، h ( x ) = x ² ليست تقابلية: على سبيل المثال، h (−1) = h (1) = 1، مما يدل على أن h ليست أحادية (متباينة). ومع ذلك، إذا اقتصر المجال على${\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}\equiv \left[0,\infty \right)}$، عندئذٍ ستكون الدالة h تقابلية؛ وعكسها هو دالة الجذر التربيعي الموجب.
• بحسب نظرية شرودر-بيرنشتاين ، إذا أعطيت أي مجموعتين X و Y ، ودالتين حقنيتين f : X → Y و g : Y → X ، فإن هناك دالة تقابلية h : X → Y.

الدالة التقابلية f ذات المجال X (المشار إليها بـ f : X → Y في الترميز الوظيفي ) تُعرّف أيضًا علاقة عكسية تبدأ من Y وتنتهي في X (عن طريق عكس اتجاه السهمين). عملية "عكس اتجاه السهمين" لأي دالة لا تُنتج، بشكل عام ، دالة جديدة، ولكن الخاصيتين (3) و(4) للدالة التقابلية تُشيران إلى أن هذه العلاقة العكسية هي دالة ذات مجال Y. علاوة على ذلك، تُشير الخاصيتان (1) و(2) إلى أن هذه الدالة العكسية هي دالة شاملة ودالة تقابلية، أي أن الدالة العكسية موجودة وهي أيضًا دالة تقابلية. تُسمى الدوال التي لها دوال عكسية بالدوال القابلة للعكس . تكون الدالة قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت دالة تقابلية.

بصيغة رياضية مختصرة، تكون الدالة f : X → Y تقابلية إذا وفقط إذا حققت الشرط التالي:

لكل y في Y يوجد x فريد في X بحيث y = f ( x ).

استكمالاً لمثال ترتيب الضرب في لعبة البيسبول، تأخذ الدالة المُعرَّفة اسم أحد اللاعبين كمدخل، وتُخرج مركز ذلك اللاعب في ترتيب الضرب. ولأن هذه الدالة تقابلية، فلها دالة عكسية تأخذ مركزًا في ترتيب الضرب كمدخل، وتُخرج اسم اللاعب الذي سيضرب في ذلك المركز.

التركيب​${\displaystyle g\,\circ \,f}$تقابلين${\displaystyle f:X\to Y}$و${\displaystyle g:Y\to Z}$هي دالة تقابل، ومعكوسها معطى بواسطة${\displaystyle g\,\circ \,f}$يكون${\displaystyle (g\,\circ \,f)^{-1}\;=\;(f^{-1})\,\circ \,(g^{-1})}$.

وعلى العكس من ذلك، إذا كان التركيب${\displaystyle g\,\circ \,f}$إذا كانت الدالتان متقابلتين، فإن f تكون أحادية و g تكون شاملة .

إذا كانت X و Y مجموعتين منتهيتين ، فإنه يوجد تقابل بينهما إذا وفقط إذا كان عدد عناصرهما متساوياً. في الواقع، في نظرية المجموعات البديهية ، يُعتبر هذا تعريفاً لـ "تساوي عدد العناصر" ( التساوي العددي )، وتعميم هذا التعريف على المجموعات غير المنتهية يؤدي إلى مفهوم العدد الأصلي ، وهو طريقة لتمييز أحجام المجموعات غير المنتهية المختلفة.

أي مجموعة غير منتهية لها تقابل مع الأعداد الطبيعية تُسمى مجموعة غير منتهية قابلة للعد. وبالمثل، أي مجموعة غير منتهية لها تقابل مع الأعداد الصحيحة أو الأعداد النسبية تُسمى أيضًا مجموعة غير منتهية قابلة للعد، لأنها أيضًا لها تقابل مع الأعداد الطبيعية. هذا المفهوم أساسي لتحديد ما إذا كانت بعض الدوال قابلة للعد.

على سبيل المثال، مجموعة جميع الأعداد الزوجية f(n)=2n هي مجموعة لا نهائية قابلة للعد لأن هناك تقابل بين الأعداد الزوجية والأعداد الطبيعية.

• تكون الدالة f : R → R تقابلية إذا وفقط إذا كان رسمها البياني يتقاطع مع كل خط أفقي ورأسي مرة واحدة بالضبط.
• إذا كانت X مجموعة، فإن الدوال التقابلية من X إلى نفسها، بالإضافة إلى عملية التركيب الوظيفي (${\displaystyle \circ }$), تشكل مجموعة ، وهي المجموعة المتناظرة لـ X ، والتي يرمز إليها بشكل مختلف بـ S( X )، S _X ، أو X ! ( عامل X ).
• تحافظ التقابلات على عدد عناصر المجموعات: بالنسبة لمجموعة جزئية A من المجال بعدد عناصر | A | ومجموعة جزئية B من المجال المقابل بعدد عناصر | B |، يكون لدينا المتساويات التالية:

  | f ( A )| = | A | و | f ⁻¹ ( B )| = | B |.

• إذا كانت X و Y مجموعتين منتهيتين لهما نفس العدد من العناصر، و f : X → Y ، فإن ما يلي متكافئ:
  1. الدالة f هي دالة تقابل.
  2. f دالة شاملة .
  3. f عبارة عن حقنة .
• بالنسبة لمجموعة منتهية S ، يوجد تقابل بين مجموعة الترتيبات الكلية الممكنة للعناصر ومجموعة التقابلات من S إلى S. أي أن عدد تباديل عناصر S هو نفسه عدد الترتيبات الكلية لتلك المجموعة، وهو n !.

تُعرَّف التقابلات بأنها التشاكلات في فئة المجموعات ودوال المجموعات . مع ذلك، لا تكون التقابلات دائمًا تشاكلات في الفئات الأكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، في فئة الزمر ، يجب أن تكون التشكلات متماثلة لأنها يجب أن تحافظ على بنية الزمرة، وبالتالي فإن التشاكلات هي تشاكلات زمر، وهي تشاكلات تقابلية.

يُعمَّم مفهوم التناظر الأحادي ليشمل الدوال الجزئية ، حيث تُسمى هذه الدوال بالتقابلات الجزئية ، مع أن شرط التقابلات الجزئية هو أن تكون حقنية فقط. ويعود سبب هذا التيسير إلى أن الدالة الجزئية (الحقيقية) تكون غير مُعرَّفة بالفعل لجزء من مجالها؛ لذا لا يوجد سبب مُقنع لتقييد معكوسها ليكون دالة كلية ، أي مُعرَّفة في كل مكان على مجالها. تُسمى مجموعة جميع التقابلات الجزئية على مجموعة أساسية مُعطاة بشبه المجموعة العكسية المتناظرة . ^{[ 4 ]}

وهناك طريقة أخرى لتعريف نفس المفهوم وهي القول بأن التقابل الجزئي من A إلى B هو أي علاقة R (والتي تبين أنها دالة جزئية) بحيث تكون ^R هي الرسم البياني للتقابل f : A ′ → B ′ ، حيث A ′ هي مجموعة جزئية من A و B ′ هي مجموعة جزئية من B. ^{[ 5} ]

عندما يكون التقابل الجزئي على نفس المجموعة، يُطلق عليه أحيانًا اسم التحويل الجزئي الأحادي . ^{[ 6 ]} ومن الأمثلة على ذلك تحويل موبيوس المعرّف ببساطة على المستوى المركب، بدلاً من إكماله إلى المستوى المركب الممتد. ^{[ 7 ]}

• نظرية أكس-غروتينديك
• التقابل، والحقن، والتجاوز
• الترقيم التقابلي
• برهان تقابلي
• نظرية الفئات
• دالة متعددة القيم

يُعدّ هذا الموضوع مفهومًا أساسيًا في نظرية المجموعات، ويمكن إيجاده في أي كتاب يتضمن مقدمةً لهذه النظرية. تحتوي معظم الكتب التي تتناول كتابة البراهين على قسمٍ خاص بنظرية المجموعات، لذا يُمكن إيجاد هذا الموضوع في أيٍّ منها.

• هول، مارشال الابن (1959). نظرية المجموعات . ماكميلان.
• وولف (1998). البرهان والمنطق والتخمين: أدوات عالم الرياضيات . فريمان.
• سوندستروم (2003). الاستدلال الرياضي: الكتابة والبرهان . برنتيس هول.
• سميث؛ إيجن؛ سانت أندريه (2006). الانتقال إلى الرياضيات المتقدمة (الطبعة السادسة) . طومسون (بروكس/كول).
• شوماخر (1996). الفصل صفر: المفاهيم الأساسية للرياضيات المجردة . أديسون-ويسلي.
• أوليري (2003). بنية البرهان: مع المنطق ونظرية المجموعات . برنتيس هول.
• موراش. جسر إلى الرياضيات المجردة . دار راندوم هاوس.
• مادوكس (2002). التفكير والكتابة الرياضية . هاركورت/ أكاديميك برس.
• لاي (2001). التحليل مع مقدمة عن البرهان . برنتيس هول.
• جيلبرت؛ فانستون (2005). مقدمة في التفكير الرياضي . بيرسون برنتيس هول.
• فليتشر؛ باتي. أسس الرياضيات العليا . PWS-Kent.
• إيغليفيتش؛ ستويل. مقدمة في الاستدلال الرياضي . ماكميلان.
• ديفلين، كيث (2004). المجموعات، والدوال، والمنطق: مقدمة في الرياضيات المجردة . تشابمان آند هول/ سي آر سي برس.
• دانجيلو؛ ويست (2000). التفكير الرياضي: حل المشكلات والبراهين . برنتيس هول.
• كوبيلاري (1989). أساسيات البراهين . وادزوورث. ISBN 9780534103200.
• بوند. مقدمة في الرياضيات المجردة . بروكس/كول.
• بارنييه؛ فيلدمان (2000). مقدمة في الرياضيات المتقدمة . برنتيس هول.
• آش. مدخل إلى الرياضيات المجردة . جمعية الرياضيات الأمريكية.
• لاي، ستيفن ر. التحليل مع مقدمة في البرهان . الطبعة الخامسة، بيرسون، 2014.
• تاو، تيرينس. التحليل الأول . الطبعة الثالثة، وكالة هندوستان للكتاب، 2016.

• "التقابل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وايسشتاين، إريك دبليو. "التقابل" . عالم الرياضيات .
• أقدم استخدامات بعض مصطلحات الرياضيات: يحتوي المدخل الخاص بالحقن والشمول والتقابل على تاريخ الحقن والمصطلحات ذات الصلة.