الوظيفة الجراحية

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الدالة الشاملة (وتُعرف أيضًا بالدالة الشاملة ) هي دالة f بحيث أنه لكل عنصر y في المجال المقابل للدالة ، يوجد على الأقل عنصر واحد x في مجال الدالة بحيث يكون f(x) = y . بعبارة أخرى ، بالنسبة للدالة f : X → Y ، فإن المجال المقابل Y هو صورة مجال الدالة X. [ 1 ] [ 2 ] ليس من الضروري أن يكون x وحيدًا ؛ فقد تُسقط الدالة f عنصرًا واحدًا أو أكثر من X على نفس العنصر من Y. 

تم تقديم مصطلح "الشامل" والمصطلحات ذات الصلة "الحقن " و "التقابل" بواسطة نيكولاس بورباكي ، [ 3 ] [ 4 ] وهي مجموعة من علماء الرياضيات الفرنسيين في القرن العشرين الذين كتبوا، تحت هذا الاسم المستعار، سلسلة من الكتب التي تقدم عرضًا للرياضيات المتقدمة الحديثة، بدءًا من عام 1935. الكلمة الفرنسية "sur" تعني فوق أو أعلى ، وتتعلق بحقيقة أن صورة مجال الدالة الشاملة تغطي تمامًا المجال المقابل للدالة.

أي دالة تُنشئ دالة شاملة بتقييد مجالها المقابل بصورة مجالها. لكل دالة شاملة معكوس يميني بافتراض بديهية الاختيار ، وكل دالة لها معكوس يميني هي بالضرورة دالة شاملة. تركيب الدوال الشاملة يكون دائمًا شاملًا. يمكن تحليل أي دالة إلى دالة شاملة ودالة أحادية.

تعريف

الدالة الشاملة هي دالة صورتها تساوي مجالها المقابل . أو بعبارة أخرى، دالةو{\displaystyle f}مع النطاقX{\displaystyle X}والمجال المشتركY{\displaystyle Y}تكون شاملة إذا كان لكلy{\displaystyle y}فيY{\displaystyle Y}يوجد واحد على الأقلx{\displaystyle x}فيX{\displaystyle X}معو(x)=y{\displaystyle f(x)=y}[ 1 ] يُشار أحيانًا إلى عمليات الإسقاط الشاملة بسهم ذي رأسين متجه لليمين ( U+ 21A0 ↠ سهم ذو رأسين متجه لليمين ) ، [ 5 ] كما فيو:X↠Y{\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}.

رمزياً،

لوو:X→Y{\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}، ثمو{\displaystyle f}يُقال إنها شاملة إذا
∀y∈Y،∃x∈X،و(x)=y{\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y}[ 2 ] [ 6 ]​

أمثلة

دالة غير شاملة من المجال X إلى المجال المقابل Y. الشكل البيضاوي الأصفر الأصغر داخل Y هو صورة (أو مدى ) الدالة f . هذه الدالة غير شاملة، لأن صورتها لا تملأ المجال المقابل بالكامل. بعبارة أخرى، يتم تلوين Y على مرحلتين: أولاً، لكل x في X ، تُلوّن النقطة f ( x ) باللون الأصفر؛ ثانياً، تُلوّن جميع النقاط المتبقية في Y ، غير الصفراء، باللون الأزرق. ستكون الدالة f شاملة فقط إذا لم تكن هناك أي نقاط زرقاء.
  • لأي مجموعة X ، فإن دالة التطابق id X على X هي دالة شاملة.
  • الدالة f  : Z → {0, 1} المعرفة بواسطة f ( n ) = n mod 2 (أي أن الأعداد الزوجية يتم تعيينها إلى 0 والأعداد الفردية إلى 1) هي دالة شاملة.
  • الدالة f  : R → R المعرفة بواسطة f ( x ) = 2 x + 1 هي دالة شاملة (وحتى تقابلية )، لأنه لكل عدد حقيقي y ، لدينا x بحيث f ( x ) = y : مثل هذا x المناسب هو ( y − 1)/2.
  • الدالة f  : R → R المعرفة بالعلاقة f ( x ) = x³ - 3x هي دالة شاملة، لأن الصورة العكسية لأي عدد حقيقي y هي مجموعة حلول المعادلة التكعيبية x³ - 3x - y = 0، وكل معادلة تكعيبية ذات معاملات حقيقية لها جذر حقيقي واحد على الأقل. مع ذلك، هذه الدالة ليست أحادية (وبالتالي ليست تقابلية )، لأن الصورة العكسية لـ y = 2، على سبيل المثال، هي { x = -1, x = 2}. (في الواقع، الصورة العكسية لهذه الدالة لكل y ، −2 ≤ y ≤ 2 تحتوي على أكثر من عنصر واحد).
  • الدالة g  : R → R المعرفة بالعلاقة g ( x ) = x² ليست شاملة ، إذ لا يوجد عدد حقيقي x بحيث x² = -1 . مع ذلك، فإن الدالة g  : R → R ≥ 0 المعرفة بالعلاقة g ( x ) = x² (مع المجال المقابل المحدود) شاملة ، لأنه لكل y في المجال المقابل الحقيقي غير السالب Y ، يوجد على الأقل x واحد في المجال الحقيقي X بحيث x² = y .
  • دالة اللوغاريتم الطبيعي ln  : (0, +∞) → R هي دالة شاملة، بل وتقابلية (أي أنها تربط مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة بمجموعة الأعداد الحقيقية). أما معكوسها، الدالة الأسية ، إذا عُرّفت بحيث تكون مجموعة الأعداد الحقيقية هي مجالها ومجالها المقابل، فهي ليست شاملة (لأن مداها هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة).
  • الدالة الأسية للمصفوفة ليست شاملة عند النظر إليها كدالة من فضاء جميع المصفوفات من الرتبة n × n إلى نفسها. ومع ذلك، تُعرَّف عادةً كدالة من فضاء جميع المصفوفات من الرتبة n × n إلى المجموعة الخطية العامة من الدرجة n (أي مجموعة جميع المصفوفات القابلة للعكس من الرتبة n × n ). وفقًا لهذا التعريف، تكون الدالة الأسية للمصفوفة شاملة للمصفوفات المركبة، ولكنها لا تزال غير شاملة للمصفوفات الحقيقية.
  • يكون الإسقاط من حاصل الضرب الديكارتي A × B إلى أحد عوامله شاملاً، إلا إذا كان العامل الآخر فارغًا.
  • في لعبة فيديو ثلاثية الأبعاد، يتم إسقاط المتجهات على شاشة مسطحة ثنائية الأبعاد عن طريق دالة شاملة.

ملكيات

تكون الدالة تقابلية إذا وفقط إذا كانت شاملة وحقنية في نفس الوقت . [ 7 ]

إذا تم تعريف دالة ما (كما هو شائع) برسمها البياني ، فإن خاصية الشمولية لا تُعدّ خاصية للدالة نفسها، بل خاصية للتطبيق . [ 8 ] أي الدالة مع مجالها المقابل. وعلى عكس خاصية التباين، لا يمكن استنتاج خاصية الشمولية من الرسم البياني للدالة وحده.

الدوال الشاملة كدوال قابلة للعكس من اليمين

يُقال إن الدالة g  : Y → X هي معكوس يميني للدالة f  : X → Y إذا كان f ( g ( y )) = y لكل y في Y (أي أن f يمكن أن تعكس g ). بعبارة أخرى، تكون g معكوسًا يمينيًا لـ f إذا كان تركيب g و f بهذا الترتيب هو دالة التطابق على المجال Y لـ g . لا يشترط أن تكون الدالة g معكوسًا تامًا لـ f لأن التركيب بالترتيب الآخر، g o f ، قد لا يكون دالة التطابق على المجال X لـ f . بعبارة أخرى، يمكن لـ f أن تعكس g ، ولكن لا يمكن بالضرورة عكسها بـ g . على سبيل المثال،و:R2→R،(x،y)↦x{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,(x,y)\mapsto x}له معكوس يمينيز:z↦(z،0)؛{\displaystyle g:z\mapsto (z,0);}التركيب بالترتيب الآخر يعطي ⁠ز(و((x،y)))=(x،0){\displaystyle g(f((x,y)))=(x,0)}، وهو ما يساوي(x،y){\displaystyle (x,y)}فقط إذا​y=0{\displaystyle y=0}⁠ .

كل دالة لها معكوس يميني هي بالضرورة دالة شاملة. إن القول بأن كل دالة شاملة لها معكوس يميني يكافئ بديهية الاختيار .

إذا كانت الدالة f  : X → Y شاملة، وكانت B مجموعة جزئية من Y ، فإن f ( f −1 ( B )) = B. وبالتالي، يمكن استعادة B من صورتها العكسية f −1 ( B ) .

على سبيل المثال، في الرسم التوضيحي الأول في المعرض ، توجد دالة g بحيث g ( C ) = 4. وتوجد أيضًا دالة f بحيث f (4) = C. لا يهم أن g ليست وحيدة (إذ يمكن تطبيق ذلك حتى لو كانت g ( C ) تساوي 3)؛ المهم فقط أن f "تعكس" g .

الإسقاطات الشاملة كتشوهات فوقية

تكون الدالة f  : X → Y شاملة إذا وفقط إذا كانت قابلة للاختزال من اليمين : [ 9 ] [ 10 ] لأي دالتين g و h  : Y → Z ، عندما يكون g ∘ f = h ∘ f ، فإن g = h . تُصاغ هذه الخاصية بدلالة الدوال وتركيبها، ويمكن تعميمها على المفهوم الأعم لتشكلات الفئة وتركيبها . تُسمى التشكلات القابلة للاختزال من اليمين بالتشكلات العليا . تحديدًا، الدوال الشاملة هي التشكلات العليا في فئة المجموعات . يُشتق المقطع epi من حرف الجر اليوناني ἐπί الذي يعني فوق أو أعلى أو على .

أي تشاكل له معكوس يميني هو تشاكل فوقي، لكن العكس ليس صحيحًا بشكل عام. يُسمى المعكوس اليميني g للتشاكل f مقطعًا من f . ويُسمى التشاكل الذي له معكوس يميني تشاكلًا فوقيًا منقسمًا .

الإسقاطات كعلاقات ثنائية

يمكن اعتبار أي دالة مجالها X ومجالها المقابل Y علاقة ثنائية شاملة من اليسار وفريدة من اليمين بين X و Y من خلال تحديدها برسمها البياني . أما الدالة الشاملة ذات المجال X والمجال المقابل Y فهي علاقة ثنائية بين X و Y فريدة من اليمين وشاملة من اليسار واليمين .

عدد عناصر مجال تطبيق شامل

عدد عناصر مجال الدالة الشاملة أكبر من أو يساوي عدد عناصر مجالها المقابل: إذا كانت f  : X → Y دالة شاملة، فإن X تحتوي على عدد عناصر يساوي على الأقل عدد عناصر Y ، بمعنى الأعداد الأصلية . (يستند البرهان إلى بديهية الاختيار لإثبات وجود دالة g :  Y → X تحقق f ( g ( y ) ) = y لكل y في Y. من السهل إثبات أن g دالة أحادية، وبالتالي يتحقق التعريف الرسمي لـ | Y | ≤ | X |).

على وجه التحديد، إذا كانت كل من X و Y منتهية ولها نفس عدد العناصر، فإن f  : X → Y تكون شاملة إذا وفقط إذا كانت f أحادية .

التركيب والتحلل

تركيب الدوال الشاملة يكون دائمًا شاملًا: إذا كانت كل من f و g شاملة، وكان المجال المقابل لـ g مساويًا لمجال f ، فإن f o g شاملة. والعكس صحيح، إذا كانت f o g شاملة، فإن f شاملة (لكن g ، الدالة المطبقة أولًا، قد لا تكون كذلك). تُعمم هذه الخصائص من الدوال الشاملة في فئة المجموعات إلى أي تشاكلات شاملة في أي فئة .

يمكن تحليل أي دالة إلى دالة شاملة ودالة أحادية : لأي دالة h  : X → Z ، توجد دالة شاملة f  : X → Y ودالة أحادية g  : Y → Z بحيث h = g o f . ولإثبات ذلك، نُعرّف Y على أنها مجموعة الصور العكسية h −1 ( z ) حيث z ينتمي إلى h ( X ) . هذه الصور العكسية منفصلة وتُقسّم X. عندئذٍ ، تنقل f كل x إلى العنصر الموجود في Y الذي يحتويه، وتنقل g كل عنصر من Y إلى النقطة في Z التي تُرسل إليها h نقاطها. بالتالي، f دالة شاملة لأنها دالة إسقاط، و g دالة أحادية بحكم التعريف.

الإسقاط المستحث والتقابل المستحث

أي دالة تُنشئ دالة شاملة بتقييد مجالها المقابل بمدىها. أي دالة شاملة تُنشئ دالة تقابلية مُعرَّفة على خارج نطاق مجالها بدمج جميع الوسائط التي تُسقط على صورة ثابتة مُعطاة. بتعبير أدق، يمكن تحليل كل دالة شاملة f  : A → B إلى إسقاط متبوع بدالة تقابلية كما يلي: لتكن A و Σ فئات التكافؤ للمجموعة A تحت علاقة التكافؤ التالية : x ∈ y إذا وفقط إذا كان f ( x ) = f ( y ). وبصورة مكافئة، A و Σ هي مجموعة جميع الصور العكسية تحت f . لتكن P (Σ)  : A → A و Σ دالة الإسقاط التي تُرسل كل x في A إلى فئة التكافؤ الخاصة به [ x ] Σ ، ولتكن f( P)  : A و Σ → B الدالة المُعرَّفة جيدًا f( P ([ x ] Σ ) = f ( x ). عندئذٍ f = f( P) ∘ P (Σ).

مجموعة الشموليات

بفرض وجود مجموعتين محدودتين ثابتتين A و B ، يمكن تكوين مجموعة التطبيقات الشاملة A ↠ B. عدد عناصر هذه المجموعة هو أحد الجوانب الاثني عشر لطريقة روتا ذات الاثني عشر جانبًا ، ويُعطى بالعلاقة التالية:|ب|!{|أ||ب|}{\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}، أين{|أ||ب|}{\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}يشير إلى عدد ستيرلينغ من النوع الثاني .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 "الدوال الانتقائية، والشمولية، والتقابلية" . www.mathsisfun.com . تاريخ الاسترجاع: 7 ديسمبر 2019 .
  2. 1 2 "التقابل، والحقن، والشمول | موسوعة الرياضيات والعلوم الرائعة" . brilliant.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 ديسمبر 2019 .
  3. ↑ ميلر، جيف، "الحقن، والشمول، والتقابل"، أقدم استخدامات بعض مصطلحات الرياضيات ، ترايبود.
  4. ↑ مشعل، موريس (2006). بورباكي . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 106. ISBN  978-0-8218-3967-6.
  5. ↑ "الأسهم - يونيكود" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 11-05-2013 .
  6. ↑ فارلو، إس جيه "الحقن، والشمول، والتقابل" (ملف PDF) . math.umaine.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2019-12-06 .
  7. ↑ "الدالة تقابلية إذا وفقط إذا كان لها دالة عكسية" (ملف PDF) . جامعة كولورادو بولدر . 30 نوفمبر 2015. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 16 مارس 2022. تم الاطلاع عليه في 22 يونيو 2026. نقول إن f تقابلية إذا كانت أحادية وشاملة في آن واحد .
  8. ↑ TM Apostol (1981). التحليل الرياضي . Addison-Wesley. ص 35. 
  9. ↑ غولدبلات، روبرت (2006) [1984]. الطوبولوجيا، التحليل الفئوي للمنطق ( طبعة منقحة). منشورات دوفر . ISBN  978-0-486-45026-1تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-11-2009 .
  10. ↑ "الشمولية إذا وفقط إذا كان الإلغاء من اليمين" . ProofWiki . تم الاسترجاع في 30-06-2025 .

للمزيد من القراءة