الإسقاط (الرياضيات)

في الرياضيات ، الإسقاط هو تطبيق من مجموعة إلى نفسها - أو تشاكل داخلي لبنية رياضية - وهو متطابق ، أي يساوي تركيبه مع نفسه. صورة نقطة أو مجموعة جزئية${\displaystyle S}$يُطلق على ما يحدث تحت الإسقاط اسم إسقاط ⁠${\displaystyle S}$⁠ .

من الأمثلة الشائعة للإسقاط إسقاط الظلال على سطح مستوٍ (ورقة): إسقاط نقطة ما هو ظلها على الورقة، وإسقاط (ظل) نقطة ما على الورقة هو تلك النقطة نفسها (خاصية التطابق). ظل الكرة ثلاثية الأبعاد هو قرص. في الأصل، استُخدم مفهوم الإسقاط في الهندسة الإقليدية للدلالة على إسقاط الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد على مستوى فيه، كما في مثال الظل. أهم نوعين من الإسقاطات من هذا النوع هما:

• الإسقاط من نقطة على مستوى أو الإسقاط المركزي : إذا كانت C نقطة، تُسمى مركز الإسقاط ، فإن إسقاط نقطة P مختلفة عن C على مستوى لا يحتوي على C هو تقاطع الخط CP مع المستوى. النقاط P التي يكون الخط CP موازيًا لها للمستوى لا تُسقط صورتها، ولكن يُقال غالبًا إنها تُسقط على نقطة في اللانهاية من المستوى (انظر الهندسة الإسقاطية للاطلاع على صياغة رسمية لهذا المصطلح). إسقاط النقطة C نفسها غير مُعرَّف.
• الإسقاط الموازي لاتجاه D على مستوى أو الإسقاط الموازي : صورة النقطة P هي تقاطع المستوى مع الخط الموازي لـ D المار بالنقطة P. انظر الفضاء الأفيني §  الإسقاط للحصول على تعريف دقيق، معمّم لأي بُعد.

يُعدّ مفهوم الإسقاط في الرياضيات مفهومًا قديمًا جدًا، ويُرجّح أن جذوره تعود إلى ظاهرة الظلال التي تُلقيها الأجسام الواقعية على الأرض. وقد جرى صقل هذه الفكرة الأولية وتجريدها، أولًا في سياق هندسي ، ثم لاحقًا في فروع أخرى من الرياضيات. ومع مرور الوقت، ظهرت نسخ مختلفة من هذا المفهوم، ولكن اليوم، وفي إطار تجريدي كافٍ، يُمكننا توحيد هذه الاختلافات.

في علم الخرائط ، يُعرَّف إسقاط الخريطة بأنه إسقاط جزء من سطح الأرض على مستوى ثنائي الأبعاد، وهو ما يُمثل في بعض الحالات، وليس دائمًا، تقييدًا للإسقاط بالمعنى المذكور أعلاه. كما تُشكل الإسقاطات ثلاثية الأبعاد أساس نظرية المنظور .

إن الحاجة إلى توحيد نوعي الإسقاطات وتحديد الصورة من خلال إسقاط مركزي لأي نقطة مختلفة عن مركز الإسقاط هي أصل الهندسة الإسقاطية .

بشكل عام، يُطلق على التطبيق الذي يكون فيه المجال والمجال المقابل نفس المجموعة (أو البنية الرياضية ) اسم الإسقاط إذا كان التطبيق متطابقًا ، أي أن الإسقاط يساوي تركيبه مع نفسه. قد يُشير الإسقاط أيضًا إلى تطبيق له معكوس يميني . يرتبط المفهومان ارتباطًا وثيقًا كما يلي: ليكن p تطبيقًا متطابقًا من المجموعة A إلى نفسها (وبالتالي p ∘ p = p )، ولتكن B = p ( A ) صورة p . إذا رمزنا بـ π للتطبيق p باعتباره تطبيقًا من A إلى B ، ورمزنا بـ i لحقن B في A ( بحيث p = i ∘ π ) ، فإننا نحصل على π ∘ i = IdB ₍ وبالتالي فإن π له معكوس يميني). وعلى العكس من ذلك، إذا كان لـ π معكوس يميني i ، فإن π ∘ i = Id _B يستلزم أن i ∘ π ∘ i ∘ π = i ∘ Id _B ∘ π = i ∘ π ؛ أي أن p = i ∘ π هو عنصر متطابق.

تم توسيع المفهوم الأصلي للإسقاط أو تعميمه ليشمل مواقف رياضية مختلفة، غالباً، ولكن ليس دائماً، تتعلق بالهندسة، على سبيل المثال:

• في نظرية المجموعات :
  • عمليةٌ يُمثلها إسقاطٌ من ^الرتبة j ، يُكتب proj j _، تأخذ عنصرًا x = ( x₁ _, ..., _xₖ , _... , xₙ ₎ من حاصل الضرب الديكارتي X₁ _× ... × Xₖ × _... × Xₙ إلى القيمة proj _j ( x ) = xₖ _. ^{[ 1 ]} هذا الإسقاط شاملٌ دائمًا ، وعندما يكون لكل فضاء ^Xₖ طوبولوجيا ، _يكون هذا الإسقاط متصلًا ومفتوحًا أيضًا . ^{[ 2} ]
  • يُعرف التعيين الذي ينقل عنصرًا إلى فئة التكافؤ الخاصة به في ظل علاقة تكافؤ معينة باسم الإسقاط الكنسي . ^{[ 3 ]}
  • تُرسل خريطة التقييم الدالة f إلى القيمة f ( x ) لقيمة x ثابتة . ويمكن تحديد فضاء الدوال Y( ^X) باستخدام الضرب الديكارتي.${\textstyle \prod _{i\in X}Y}$وخريطة التقييم هي خريطة إسقاط من المنتج الديكارتي.
• بالنسبة لقواعد البيانات العلائقية ولغات الاستعلام ، فإن الإسقاط هو عملية أحادية تُكتب على النحو التالي:${\displaystyle \Pi _{a_{1},\ldots ,a_{n}}(R)}$أين${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$هي مجموعة من أسماء السمات. تُعرَّف نتيجة هذا الإسقاط بأنها المجموعة التي يتم الحصول عليها عندما يتم تقييد جميع الصفوف في R إلى المجموعة.${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$[ ^{4 ] [ 5 ] [ 6 ] R} عبارة عن علاقة قاعدة بيانات .
• في الهندسة الكروية ، استخدم بطليموس (حوالي 150) إسقاط الكرة على مستوى في كتابه "بلانيسفيريوم" . ^{[ 7 ]} تُسمى هذه الطريقة بالإسقاط المجسم ، وتعتمد على مستوى مماس للكرة وقطب C يقع قطريًا مقابل نقطة التماس. أي نقطة P على الكرة، عدا C، تُحدد خطًا CP يتقاطع مع المستوى عند النقطة المُسقطة لـ P. [ ^{8 ] يجعل} هذا التطابق الكرة تكثيفًا أحادي النقطة للمستوى عند إضافة نقطة في اللانهاية لتتوافق مع C ، والتي لا يوجد لها إسقاط على المستوى في الحالة العادية. ومن الأمثلة الشائعة المستوى المركب حيث يتوافق التكثيف مع كرة ريمان . بدلاً من ذلك، غالبًا ما يُسقط نصف الكرة على مستوى باستخدام الإسقاط الزنوموني .
• في الجبر الخطي ، يُعرف التحويل الخطي الذي يبقى دون تغيير عند تطبيقه مرتين بأنه: p ( u ) = p ( p ( u )) . بعبارة أخرى، هو مؤثر متساوي القوة . على سبيل المثال، يُعدّ التطبيق الذي ينقل النقطة ( x , y , z ) في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى النقطة ( x , y , 0) إسقاطًا. يُعمّم هذا النوع من الإسقاط بشكل طبيعي إلى أي عدد من الأبعاد n للمجال و k ≤ n للمجال المقابل للتطبيق. انظر: الإسقاط المتعامد ، الإسقاط (الجبر الخطي) . في حالة الإسقاطات المتعامدة، يقبل الفضاء تحليلًا كحاصل ضرب، ويكون مؤثر الإسقاط إسقاطًا بهذا المعنى أيضًا. ^{[ 9 ] [ 10 ]}
• في التحليل الوظيفي وميكانيكا الكم ، يُستخدم نوعٌ خاص من الإسقاط في بناء المقاييس ذات القيم الإسقاطية . وبمعناها، يُعد الإسقاط مؤثراً خطياً مترافقاً ذاتياً ومتساوي القوة.
• في الطوبولوجيا التفاضلية ، تتضمن أي حزمة ألياف خريطة إسقاط كجزء من تعريفها. محليًا على الأقل، تبدو هذه الخريطة كخريطة إسقاط بمعنى طوبولوجيا الضرب ، وبالتالي فهي مفتوحة وشاملة.
• في علم الطوبولوجيا ، يُعرف الانكماش بأنه تطبيق متصل r : X → X يقتصر على تطبيق التطابق على صورته. ^{[ 11 ]} يحقق هذا شرطًا مشابهًا للتطابق r² = r ^، ويمكن اعتباره تعميمًا لتطبيق الإسقاط. تُسمى صورة الانكماش انكماشًا للفضاء الأصلي. يُعرف الانكماش المتماثل مع تطبيق التطابق بانكماش التشوه . يُستخدم هذا المصطلح أيضًا في نظرية الفئات للإشارة إلى أي تشاكل فوقي منقسم.
• الإسقاط القياسي (أو الحل) لمتجه على آخر.
• في نظرية الفئات ، يمكن تعميم مفهوم الضرب الديكارتي للمجموعات المذكور أعلاه ليشمل أي فئة . يحتوي ضرب بعض العناصر على تشاكل إسقاطي معياري لكل عامل. تشمل الحالات الخاصة الإسقاط من الضرب الديكارتي للمجموعات ، وطوبولوجيا ضرب الفضاءات الطوبولوجية ( وهي دائمًا شاملة ومفتوحة ) ، أو من الضرب المباشر للمجموعات ، وما إلى ذلك . على الرغم من أن هذه التشاكلات غالبًا ما تكون تشاكلات فوقية ، بل وشاملة، إلا أنها ليست بالضرورة كذلك. ^{[ 12 ]}

• كريج، توماس (1882) رسالة في الإسقاطات من مجموعة الرياضيات التاريخية بجامعة ميشيغان .
• هنريسي، أولاوس ماغنوس فريدريش (1911). "الإسقاط"  . الموسوعة البريطانية . المجلد.  22 (  الطبعة الحادية عشرة). ص 427 – 434.