تمديد ألكساندروف

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 54 صور
الموسوعة الحرة

في مجال الطوبولوجيا الرياضية ، يُعدّ امتداد ألكساندروف طريقةً لتوسيع فضاء طوبولوجي غير متراص بإضافة نقطة واحدة إليه، بحيث يصبح الفضاء الناتج متراصًا . سُمّي هذا الامتداد نسبةً إلى عالم الرياضيات الروسي بافيل ألكساندروف . بتعبير أدق، ليكن X فضاءً طوبولوجيًا. عندئذٍ، يكون امتداد ألكساندروف لـ X هو فضاء متراص X * مع تضمين مفتوح c : X → X * بحيث يكون مكمل X في X * عبارة عن نقطة واحدة، يُرمز لها عادةً بـ ∞. يكون التطبيق c تكثيفًا هاوسدورف إذا وفقط إذا كان X فضاء هاوسدورف غير متراص ومتراص محليًا . بالنسبة لهذه الفضاءات، يُسمى امتداد ألكساندروف بالتكثيف أحادي النقطة أو تكثيف ألكساندروف . تكمن مزايا تكثيف ألكساندروف في بنيته البسيطة، والتي غالبًا ما تكون ذات دلالة هندسية، وفي كونه، بمعنى دقيق، أصغر التكثيفات على الإطلاق. يكمن العيب في حقيقة أنه لا يعطي سوى تكثيف هاوسدورف على فئة فضاءات هاوسدورف المدمجة محليًا وغير المدمجة، على عكس تكثيف ستون-تشيك الموجود لأي فضاء طوبولوجي (ولكنه يوفر تضمينًا بالضبط لفضاءات تيكونوف ).    

مثال: الإسقاط المجسم العكسي

يُعدّ الإسقاط المجسم العكسي مثالًا جذابًا هندسيًا على التراص بنقطة واحدة . تذكر أن الإسقاط المجسم S يُعطي تماثلًا واضحًا من كرة الوحدة مطروحًا منها القطب الشمالي (0,0,1) إلى المستوى الإقليدي.S-1:R2↪S2{\displaystyle S^{-1}:\mathbb {R} ^{2}\hookrightarrow S^{2}}هو تضمين مفتوح وكثيف في فضاء هاوسدورف مضغوط يتم الحصول عليه عن طريق ضم النقطة الإضافية∞=(0،0،1){\displaystyle \infty =(0,0,1)}. تحت الإسقاط المجسم، دوائر خطوط العرضz=ج{\displaystyle z=c}يتم رسمها على دوائر مستويةر=(1+ج)/(1-ج){\textstyle r={\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}ويترتب على ذلك أن أساس الجوار المحذوف لـ(0،0،1){\displaystyle (0,0,1)}تم الحصول عليها من خلال الأغطية الكروية المثقوبةج≤z<1{\displaystyle c\leq z<1}يتوافق مع مكملات الأقراص المستوية المغلقةر≥(1+ج)/(1-ج){\textstyle r\geq {\sqrt {(1+c)/(1-c)}}}. وبشكل أكثر نوعية، على أساس الحي في∞{\displaystyle \infty }يتم توفيرها بواسطة المجموعاتS-1(R2∖ك)∪{∞}{\displaystyle S^{-1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus K)\cup \{\infty \}}بينما تتراوح قيمة K عبر المجموعات الفرعية المدمجة منR2{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}يحتوي هذا المثال بالفعل على المفاهيم الأساسية للحالة العامة.

تحفيز

يتركج:X↪Y{\displaystyle c:X\hookrightarrow Y}ليكن تمثيلاً من فضاء طوبولوجي X إلى فضاء طوبولوجي هاوسدورف مضغوط Y ، بصورة كثيفة وباقي نقطة واحدة{∞}=Y∖ج(X){\displaystyle \{\infty \}=Y\setminus c(X)}إذن، c ( X ) مفتوحة في فضاء هاوسدورف متراص، وبالتالي فهي فضاء هاوسدورف متراص محليًا، ومن ثم فإن صورتها العكسية المتماثلة X هي أيضًا فضاء هاوسدورف متراص محليًا. علاوة على ذلك، إذا كان X متراصًا، فإن c ( X ) ستكون مغلقة في Y ، وبالتالي لن تكون كثيفة. لذا، لا يمكن للفضاء أن يقبل تكثيفًا أحادي النقطة من نوع هاوسدورف إلا إذا كان متراصًا محليًا، وغير متراص، وهاوسدورف. علاوة على ذلك، في مثل هذا التكثيف أحادي النقطة، تعطي صورة أساس الجوار لـ x في X أساس جوار لـ c ( x ) في c ( X )، ولأن المجموعة الجزئية من فضاء هاوسدورف متراص تكون متراصة إذا وفقط إذا كانت مغلقة، فإن الجوارات المفتوحة لـ∞{\displaystyle \infty }يجب أن تكون جميع المجموعات التي تم الحصول عليها عن طريق الضم∞{\displaystyle \infty }إلى الصورة تحت c لمجموعة جزئية من X ذات مكمل مضغوط.

امتداد ألكساندروف

يتركX{\displaystyle X}ليكن فضاءً طوبولوجيًا. ضعX*=X∪{∞}،{\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \},}وتكوين الطوبولوجياX*{\displaystyle X^{*}}بأخذ جميع المجموعات المفتوحة في X بالإضافة إلى جميع المجموعات من الشكل كمجموعات مفتوحةV=(X∖ج)∪{∞}{\displaystyle V=(X\setminus C)\cup \{\infty \}}حيث C مجموعة مغلقة ومتراصة في X. هنا،X∖ج{\displaystyle X\setminus C}يشير إلى مكمل لـج{\displaystyle C}فيX.{\displaystyle X.} لاحظ أنV{\displaystyle V}هو حي مفتوح∞،{\displaystyle \infty ,}وبالتالي أي غطاء مفتوح لـ {∞}{\displaystyle \{\infty \}}سيحتوي على كل شيء باستثناء مجموعة فرعية مضغوطةج{\displaystyle C}لX*،{\displaystyle X^{*},}مما يعني أنX*{\displaystyle X^{*}}مضغوط ( كيلي 1975 ، ص 150) . 

المساحةX*{\displaystyle X^{*}}يُطلق عليه اسم امتداد ألكساندروف لـ X (ويلارد، 19A). أحيانًا يُستخدم الاسم نفسه لخريطة التضمين.ج:X→X*.{\displaystyle c:X\to X^{*}.}

الخصائص التالية تنبع من المناقشة السابقة:

  • الخريطة c متصلة ومفتوحة: فهي تُضمّن X كمجموعة فرعية مفتوحة منX*{\displaystyle X^{*}}.
  • المساحةX*{\displaystyle X^{*}}صغير الحجم.
  • الصورة c ( X ) كثيفة فيX*{\displaystyle X^{*}}، إذا كان X غير مضغوط.
  • المساحةX*{\displaystyle X^{*}}تكون المجموعة X هاوسدورف إذا وفقط إذا كانت المجموعة X هاوسدورف ومتراصة محليًا .
  • المساحةX*{\displaystyle X^{*}}تكون T 1 إذا وفقط إذا كانت X هي T 1 .

التكثيف بنقطة واحدة

وعلى وجه الخصوص، امتداد ألكساندروفج:X→X*{\displaystyle c:X\rightarrow X^{*}}تُعتبر عملية تكثيف هاوسدورف للمجموعة X إذا وفقط إذا كانت X مجموعة هاوسدورف، وغير متراصة، ومتراصة محليًا. في هذه الحالة ، تُسمى عملية التكثيف هذه تكثيف النقطة الواحدة أو تكثيف ألكساندروف للمجموعة X.

تذكر من المناقشة السابقة أن أي تكثيف هاوسدورف بباقي نقطة واحدة هو بالضرورة (متماثل مع) تكثيف ألكساندروف. على وجه الخصوص، إذاX{\displaystyle X}مساحة هاوسدورف صغيرة الحجم وص{\displaystyle p}هي نقطة حدية لـX{\displaystyle X}(أي ليس نقطة معزولة منX{\displaystyle X})X{\displaystyle X}هو تكثيف ألكساندروف لـX∖{ص}{\displaystyle X\setminus \{p\}}.

ليكن X أي فضاء تيكونوف غير متراص . في ظل الترتيب الجزئي الطبيعي على المجموعةج(X){\displaystyle {\mathcal {C}}(X)}في فئات التكافؤ للتراص، يكون أي عنصر أدنى مكافئًا لتمديد ألكساندروف (إنجلكينج، النظرية 3.5.12). ويترتب على ذلك أن فضاء تيكونوف غير المتراص يقبل تراصًا أدنى إذا وفقط إذا كان متراصًا محليًا.

عمليات التكثيف أحادية النقطة غير الهاوسدورفية

يترك(X،τ){\displaystyle (X,\tau )}ليكن فضاءً طوبولوجيًا غير متراص عشوائيًا. قد يرغب المرء في تحديد جميع التراصات (ليس بالضرورة هاوسدورف) لـX{\displaystyle X}يتم الحصول عليها بإضافة نقطة واحدة، والتي يمكن تسميتها أيضًا بالتكثيفات أحادية النقطة في هذا السياق. لذلك، يرغب المرء في تحديد جميع الطرق الممكنة لإعطاءX*=X∪{∞}{\displaystyle X^{*}=X\cup \{\infty \}}بنية طوبولوجية مضغوطة بحيثX{\displaystyle X}كثيفة فيه وطوبولوجيا الفضاء الفرعي علىX{\displaystyle X}ناتج عنX*{\displaystyle X^{*}}هي نفسها البنية الأصلية. ويشير شرط التوافق الأخير على البنية تلقائيًا إلى ذلك.X{\displaystyle X}كثيف فيX*{\displaystyle X^{*}}، لأنX{\displaystyle X}ليست متراصة، لذا لا يمكن إغلاقها في حيز متراص. كما أن خريطة التضمين حقيقة واقعة.ج:X→X*{\displaystyle c:X\to X^{*}}هو بالضرورة تضمين مفتوح ، أيX{\displaystyle X}يجب أن يكون مفتوحًا فيX*{\displaystyle X^{*}}والطوبولوجيا علىX*{\displaystyle X^{*}}يجب أن يضم كل عضو منτ{\displaystyle \tau }[ 1 ] إذن ، الطوبولوجيا علىX*{\displaystyle X^{*}}يتحدد ذلك من خلال أحياء∞{\displaystyle \infty }أي حي من∞{\displaystyle \infty }هو بالضرورة المكمل فيX*{\displaystyle X^{*}}من مجموعة فرعية مغلقة ومضغوطة منX{\displaystyle X}، كما سبق مناقشته.

الطوبولوجيات علىX*{\displaystyle X^{*}}مما يجعلها تكثيفًا لـX{\displaystyle X}وهي كالتالي:

  • امتداد ألكساندروف لـX{\displaystyle X}كما هو موضح أعلاه. هنا نأخذ مكملات جميع المجموعات الفرعية المغلقة والمتراصة منX{\displaystyle X}كأحياء∞{\displaystyle \infty }هذه هي أكبر بنية طوبولوجية تُشكّلX*{\displaystyle X^{*}}ضغط نقطة واحدة لـX{\displaystyle X}.
  • طوبولوجيا الامتداد المفتوح . هنا نضيف جوارًا واحدًا لـ∞{\displaystyle \infty }أي الفضاء بأكملهX*{\displaystyle X^{*}}هذه هي أصغر بنية طوبولوجية تجعلX*{\displaystyle X^{*}}ضغط نقطة واحدة لـX{\displaystyle X}.
  • أي بنية طوبولوجية متوسطة بين البنيتين الطوبولوجيتين المذكورتين أعلاه. بالنسبة لجوارات∞{\displaystyle \infty }يجب اختيار مجموعة فرعية مناسبة من مكملات جميع المجموعات الفرعية المغلقة والمتراصة منX{\displaystyle X}على سبيل المثال، مكملات جميع المجموعات الفرعية المغلقة المدمجة المحدودة، أو مكملات جميع المجموعات الفرعية المغلقة المدمجة القابلة للعد.

أمثلة أخرى

تكثيف المساحات المنفصلة

  • إن التكثيف أحادي النقطة لمجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة متماثل مع الفضاء المكون من K = {0} U {1/ n | n عدد صحيح موجب} مع طوبولوجيا الترتيب.
  • تسلسل{أن}{\displaystyle \{a_{n}\}}في فضاء طوبولوجيX{\displaystyle X}يتقارب إلى نقطةأ{\displaystyle a}فيX{\displaystyle X}، إذا وفقط إذا كانت الخريطةو:شمال*→X{\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{*}\to X}مقدم منو(ن)=أن{\displaystyle f(n)=a_{n}}لن{\displaystyle n}فيشمال{\displaystyle \mathbb {N} }وو(∞)=أ{\displaystyle f(\infty )=a}متصل. هناشمال{\displaystyle \mathbb {N} }له بنية منفصلة .
  • تُعرَّف الفضاءات متعددة الحدود بأنها فضاءات طوبولوجية تمثل الصورة المستمرة لقوة التكثيف أحادي النقطة لفضاء هاوسدورف منفصل ومضغوط محليًا.

تكثيف المساحات المتصلة

  • إنّ التكثيف أحادي النقطة للفضاء الإقليدي ذي البعد n ، R n، متماثل طوبولوجياً مع الكرة ذات البعد n، S n . وكما سبق، يمكن إعطاء الخريطة بشكل صريح كإسقاط ستيريوغرافي عكسي ذي بعد n .
  • ضغط نقطة واحدة لناتجκ{\displaystyle \kappa }نسخ من الفترة نصف المغلقة [0,1)، أي من[0،1)κ{\displaystyle [0,1)^{\kappa }}، متماثل الشكل مع[0،1]κ{\displaystyle [0,1]^{\kappa }}.
  • بما أن إغلاق مجموعة جزئية متصلة يكون متصلاً، فإن امتداد ألكساندروف لفضاء متصل غير متراص يكون متصلاً. مع ذلك، قد يؤدي التراص بنقطة واحدة إلى "توصيل" فضاء غير متصل: على سبيل المثال، التراص بنقطة واحدة للاتحاد المنفصل لعدد محدودن{\displaystyle n}عدد نسخ الفترة (0،1) هو إسفين منن{\displaystyle n}دوائر .
  • إنّ التكثيف أحادي النقطة للاتحاد المنفصل لعدد قابل للعد من نسخ الفترة (0،1) هو ما يُعرف بحلقة هاواي . وهذا يختلف عن إسفين عدد قابل للعد من الدوائر، وهو ليس تكثيفًا.
  • منحX{\displaystyle X}هاوسدورف المدمجة وج{\displaystyle C}أي مجموعة فرعية مغلقة منX{\displaystyle X}، عملية التكثيف بنقطة واحدة لـX∖ج{\displaystyle X\setminus C}يكونX/ج{\displaystyle X/C}حيث تشير الشرطة المائلة إلى فضاء القسمة . [ 2 ]
  • لوX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}إذا كانت هاوسدورف متراصة محليًا، فإن(X×Y)*=X*∧Y*{\displaystyle (X\times Y)^{*}=X^{*}\wedge Y^{*}}أين∧{\displaystyle \wedge }هو المنتج الضارب . تذكر أن تعريف المنتج الضارب هو:أ∧ب=(أ×ب)/(أ∨ب){\displaystyle A\wedge B=(A\times B)/(A\vee B)}أينأ∨ب{\displaystyle A\vee B}هو مجموع الإسفين ، ومرة ​​أخرى، / يرمز إلى فضاء القسمة. [ 2 ]

كدالة

يمكن اعتبار امتداد ألكساندروف بمثابة دالة من فئة الفضاءات الطوبولوجية التي تحتوي على خرائط متصلة مناسبة كتشاكلات إلى الفئة التي تكون كائناتها عبارة عن خرائط متصلة.ج:X→Y{\displaystyle c\colon X\rightarrow Y}والتي من أجلها التشكلات منج1:X1→Y1{\displaystyle c_{1}\colon X_{1}\rightarrow Y_{1}}لج2:X2→Y2{\displaystyle c_{2}\colon X_{2}\rightarrow Y_{2}}هي أزواج من الخرائط المتصلةوX:X1→X2، وY:Y1→Y2{\displaystyle f_{X}\colon X_{1}\rightarrow X_{2},\ f_{Y}\colon Y_{1}\rightarrow Y_{2}}بحيثوY∘ج1=ج2∘وX{\displaystyle f_{Y}\circ c_{1}=c_{2}\circ f_{X}}على وجه الخصوص، تمتلك الفضاءات المتماثلة امتدادات ألكساندروف متماثلة. وهذه الأخيرة هي فئة الأسهم للفضاءات الطوبولوجية، والتي غالبًا ما تُبنى كفئة من الدوال من فئة الفترات.ترتيب⁡(تيoص)=دالة⁡(أنا،تيoص){\textstyle \operatorname {Arr} (\mathrm {Top} )=\operatorname {Func} (\mathrm {I} ,\mathrm {Top} )}، حيث أن فئة الفاصل الزمني هي الفئة التي تحتوي على عنصرين متصلين بسهم واحد.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "الطوبولوجيا العامة - عمليات التكثيف أحادية النقطة غير هاوسدورف" .
  2. 1 2 جوزيف ج. روتمان ، مقدمة في الطوبولوجيا الجبرية (1988) سبرينغر-فيرلاغ ISBN 0-387-96678-1(انظر الفصل 11 للاطلاع على الدليل.)

مراجع