نقطة معزولة

تُعتبر الفضاءات الطوبولوجية في الأمثلة الثلاثة التالية فضاءات فرعية من الخط الحقيقي مع الطوبولوجيا القياسية.

• بالنسبة للمجموعة${\displaystyle S=\{0\}\cup [1,2],}$النقطة 0 هي نقطة معزولة.
• بالنسبة للمجموعة${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},\dots \},}$كل نقطة من النقاط${\displaystyle {\tfrac {1}{k}}}$⁠ هي نقطة معزولة، لكن 0 ليست نقطة معزولة لأن هناك نقاط أخرى في S قريبة من 0 كما هو مطلوب.
• المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$مجموعة الأعداد الطبيعية هي مجموعة منفصلة.

في الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X=\{a,b\}}$مع الطوبولوجيا${\displaystyle \tau =\{\emptyset ,\{a\},X\},}$العنصر a هو نقطة معزولة، على الرغم من${\displaystyle b}$ينتمي إلى إغلاق${\displaystyle \{a\}}$(وبالتالي، بمعنى ما، "قريب" من ) . مثل هذا الوضع غير ممكن في فضاء هاوسدورف .

تنص نظرية مورس على أن النقاط الحرجة غير المنحلة لبعض الدوال تكون معزولة.

لنفترض المجموعة F من النقاط x في الفترة الحقيقية (0,1) بحيث يحقق كل رقم x _i من تمثيلها الثنائي الشروط التالية:

• أيضاً${\displaystyle x_{i}=0}$أو${\displaystyle x_{i}=1.}$
• ${\displaystyle x_{i}=1}$فقط لعدد محدود من المؤشرات i .
• إذا كان m يمثل أكبر دليل بحيث${\displaystyle x_{m}=1,}$ثم${\displaystyle x_{m-1}=0.}$
• لو${\displaystyle x_{i}=1}$و${\displaystyle i<m,}$عندئذٍ يتحقق أحد الشرطين التاليين فقط:${\displaystyle x_{i-1}=1}$أو${\displaystyle x_{i+1}=1.}$

بصورة غير رسمية، تعني هذه الشروط أن كل رقم من أرقام التمثيل الثنائي لـ${\displaystyle x}$الذي يساوي 1 ينتمي إلى زوج ...0110...، باستثناء ...010... في النهاية.

الآن، F هي مجموعة صريحة تتكون بالكامل من نقاط معزولة، ولكنها تتمتع بخاصية غير بديهية تتمثل في أن إغلاقها عبارة عن مجموعة غير قابلة للعد . ^{[ 1 ]}

يمكن الحصول على مجموعة أخرى F بنفس الخصائص كما يلي. ليكن C مجموعة كانتور المكونة من الثلث الأوسط ، و${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3},\ldots ,I_{k},\ldots }$لتكن الفترات المكونة لـ${\displaystyle [0,1]-C}$ولتكن F مجموعة تتكون من نقطة واحدة من كل مجموعة I_{_k} . بما أن كل مجموعة I_{_k} تحتوي على نقطة واحدة فقط من F ، فإن كل نقطة في F هي نقطة معزولة. مع ذلك، إذا كانت p أي نقطة في مجموعة كانتور، فإن كل جوار لـ p يحتوي على الأقل على مجموعة I_{_k} واحدة ، وبالتالي على الأقل على نقطة واحدة من F. ويترتب على ذلك أن كل نقطة من مجموعة كانتور تقع في إغلاق F ، ولذلك فإن F لها إغلاق غير قابل للعد.