مجموعة مثالية

في علم الطوبولوجيا العامة ، تكون المجموعة الجزئية من الفضاء الطوبولوجي مثالية إذا كانت مغلقة ولا تحتوي على نقاط معزولة . أو بصورة مكافئة: المجموعة${\displaystyle S}$مثالي إذا ${\displaystyle S=S'}$، أين${\displaystyle S'}$تشير إلى مجموعة جميع نقاط النهاية لـ${\displaystyle S}$، والمعروفة أيضًا باسم المجموعة المشتقة من${\displaystyle S}$(لا يعتبر بعض المؤلفين المجموعة الفارغة مثالية. ^{[ 1 ]} )

في مجموعة مثالية، يمكن تقريب كل نقطة بشكل جيد للغاية بواسطة نقاط أخرى من المجموعة: بالنظر إلى أي نقطة من${\displaystyle S}$وفي أي جوار للنقطة، توجد نقطة أخرى من${\displaystyle S}$التي تقع داخل الحي. علاوة على ذلك، أي نقطة في الفضاء يمكن تقريبها بنقاط من${\displaystyle S}$ينتمي إلى${\displaystyle S}$.

تجدر الإشارة إلى أن مصطلح " الفضاء المثالي" يُستخدم أيضاً، بشكل غير متوافق، للإشارة إلى خصائص أخرى للفضاء الطوبولوجي، مثل كونه فضاءً من نوع G _δ . ومن مصادر الالتباس الأخرى المحتملة، تجدر الإشارة أيضاً إلى أن امتلاك خاصية المجموعة المثالية لا يعني بالضرورة أن يكون الشيء مجموعة مثالية.

أمثلة على المجموعات الجزئية الكاملة لخط الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$هي المجموعة الفارغة ، وجميع الفترات المغلقة ، وخط الأعداد الحقيقية نفسه، ومجموعة كانتور . وتتميز الأخيرة بأنها منفصلة تمامًا .

يعتمد كون المجموعة مثالية أم لا (وما إذا كانت مغلقة أم لا) على المساحة المحيطة بها. على سبيل المثال، المجموعة${\displaystyle S=[0,1]\cap \mathbb {Q} }$يُعد مثالياً كجزء من المساحة${\displaystyle \mathbb {Q} }$لكنها ليست مثالية كجزء من المساحة${\displaystyle \mathbb {R} }$، لأنه يفشل في الإغلاق في الحالة الأخيرة.

يمكن كتابة كل فضاء طوبولوجي بطريقة فريدة كاتحاد منفصل لمجموعة مثالية ومجموعة مبعثرة . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

أثبت كانتور أن كل مجموعة جزئية مغلقة من خط الأعداد الحقيقية يمكن كتابتها بشكل فريد كاتحاد منفصل لمجموعة كاملة ومجموعة قابلة للعد . وينطبق هذا أيضًا بشكل أعم على جميع المجموعات الجزئية المغلقة من الفضاءات البولندية ، وفي هذه الحالة تُعرف النظرية باسم نظرية كانتور-بنديكسون .

كما أثبت كانتور أن كل مجموعة جزئية كاملة غير فارغة من خط الأعداد الحقيقية لها عدد أصلي${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$، عدد عناصر المتصل . وقد تم توسيع هذه النتائج في نظرية المجموعات الوصفية على النحو التالي:

• إذا كان X فضاءً متريًا كاملًا بدون نقاط معزولة، فإنه يمكن تضمين فضاء كانتور 2ω بشكل متصل في X. وبالتالي، ^فإن X له عدد عناصر لا يقل عن${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$إذا كان X فضاءً متريًا قابلاً للفصل وكاملاً بدون نقاط معزولة، فإن عدد عناصر X يساوي بالضبط${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.
• إذا كان X فضاء هاوسدورف متراصًا محليًا بدون نقاط معزولة، فهناك دالة أحادية (ليست بالضرورة متصلة) من فضاء كانتور إلى X ، وبالتالي فإن X له عدد عناصر على الأقل${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

• كثيف في حد ذاته
• خاصية التقاطع المحدود
• طوبولوجيا الفضاء الفرعي

• إنجلكينج، ريزارد (1989). الطوبولوجيا العامة . برلين: دار هيلديرمان. رقم ISBN 3-88538-006-4.
• كيكريس، أ.س. (1995)، نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 3540943749
• ليفي، أ. (1979)، نظرية المجموعات الأساسية ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ
• بيرل، إليوت، محرر (2007)، مسائل مفتوحة في الطوبولوجيا. الجزء الثاني ، إلسيفير ، رقم ISBN 978-0-444-52208-5MR 2367385​