مجموعة قابلة للعد

في الرياضيات ، تكون المجموعة قابلة للعد إذا كانت منتهية أو إذا كان من الممكن جعلها تتوافق واحدًا لواحد مع مجموعة الأعداد الطبيعية . ^[أ] على نحو مكافئ، تكون المجموعة قابلة للعد إذا كانت هناك دالة حقن منها في الأعداد الطبيعية؛ وهذا يعني أن كل عنصر في المجموعة قد يكون مرتبطًا بعدد طبيعي فريد، أو أنه يمكن عد عناصر المجموعة واحدًا تلو الآخر، على الرغم من أن العد قد لا ينتهي أبدًا بسبب وجود عدد لا نهائي من العناصر.

بمصطلحات أكثر تقنية، بافتراض بديهية الاختيار القابل للعد ، تكون المجموعة قابلة للعد إذا لم يكن عدد عناصرها (عدد عناصر المجموعة) أكبر من عدد الأعداد الطبيعية. يُقال عن المجموعة القابلة للعد التي ليست منتهية أنها غير محدودة بشكل قابل للعد .

يعود هذا المفهوم إلى جورج كانتور ، الذي أثبت وجود مجموعات غير قابلة للعد ، أي مجموعات غير قابلة للعد؛ على سبيل المثال مجموعة الأعداد الحقيقية .

ملاحظة حول المصطلحات

على الرغم من أن المصطلحين "قابل للعد" و"لانهائي قابل للعد" كما تم تعريفهما هنا شائعان جدًا، إلا أن المصطلحين ليسا عالميين. ^[1] يستخدم أسلوب بديل قابل للعد ليعني ما يسمى هنا لانهائي قابل للعد، وفي أقصى تقدير قابل للعد ليعني ما يسمى هنا قابل للعد. ^[2]^[3]

يمكن أيضًا استخدام المصطلحين القابل للعد ^[4] والقابل للعد ^[5]^{[6] ، على سبيل المثال للإشارة إلى القابل للعد والقابل للعد اللانهائي على التوالي،}^[7] تختلف التعريفات ويجب توخي الحذر فيما يتعلق بالاختلاف مع القابل للعد بشكل متكرر . ^[8]

تعريف

تكون المجموعة قابلة للعد إذا كانت: $S$

عدد عناصرها أقل من أو يساوي ( ألف-صفر )، عدد عناصر مجموعة الأعداد الطبيعية . ^[9] $|S|$ $\aleph _{0}$ $\mathbb {N}$
توجد دالة حقن من إلى . ^[10]^[11] $S$ $\mathbb {N}$
$S$ فارغة أو توجد دالة شاملة من إلى . ^[11] $\mathbb {N}$ $S$
يوجد تعيين ثنائي بين ومجموعة فرعية من . ^[12] $S$ $\mathbb {N}$
$S$ إما أن يكون منتهيًا ( ) أو لا نهائيًا قابلًا للعد. ^[5] $|S|<\aleph _{0}$

كل هذه التعريفات متكافئة.

تكون المجموعة غير محدودة عدديًا إذا كانت: $S$

عددها هو بالضبط . ^[9] $|S|$ $\aleph _{0}$
هناك تعيين حقني وتعيين شامل (وبالتالي تعيين ثنائي ) بين و . $S$ $\mathbb {N}$
$S$ لديه تطابق واحد لواحد مع . ^[13] $\mathbb {N}$
يمكن ترتيب عناصر في تسلسل لا نهائي ، حيث يختلف عن بالنسبة ويتم سرد كل عنصر من عناصر . ^[14]^[15] $S$ $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{i}$ $a_{j}$ $i\neq j$ $S$

تكون المجموعة غير قابلة للعد إذا لم تكن قابلة للعد، أي أن عدد عناصرها أكبر من . ^[9] $\aleph _{0}$

تاريخ

في عام 1874، أثبت كانتور في مقالته الأولى في نظرية المجموعات أن مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد، وبالتالي أظهر أن المجموعات اللانهائية ليست كلها قابلة للعد. ^[16] في عام 1878، استخدم التطابقات الفردية لتحديد ومقارنة الأعداد الأساسية. ^[17] في عام 1883، وسّع الأعداد الطبيعية باستخدام ترتيباته اللانهائية ، واستخدم مجموعات من الأعداد الترتيبية لإنتاج ما لا نهاية له من المجموعات ذات الأعداد الأساسية اللانهائية المختلفة. ^[18]

مقدمة

المجموعة هي مجموعة من العناصر ، ويمكن وصفها بعدة طرق. إحدى الطرق هي ببساطة سرد جميع عناصرها؛ على سبيل المثال، يمكن الإشارة إلى المجموعة المكونة من الأعداد الصحيحة 3 و4 و5 ، والتي تسمى شكل القائمة. ^[19] ومع ذلك، فإن هذا فعال فقط للمجموعات الصغيرة؛ أما بالنسبة للمجموعات الأكبر، فسيكون هذا مستهلكًا للوقت وعرضة للخطأ. بدلاً من سرد كل عنصر على حدة، يتم أحيانًا استخدام علامة الحذف ("...") لتمثيل العديد من العناصر بين العنصر المبدئي والعنصر النهائي في المجموعة، إذا كان الكاتب يعتقد أن القارئ يمكنه بسهولة تخمين ما يمثله ...؛ على سبيل المثال، من المفترض أن يشير إلى مجموعة الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100. ومع ذلك، حتى في هذه الحالة، لا يزال من الممكن سرد جميع العناصر، لأن عدد العناصر في المجموعة محدود. إذا قمنا بترقيم عناصر المجموعة 1 و2 وما إلى ذلك، حتى ، فهذا يعطينا التعريف المعتاد لـ "مجموعات الحجم ". $\{3,4,5\}$ $\{1,2,3,\dots ,100\}$ $n$ $n$

بعض المجموعات لا نهائية ؛ تحتوي هذه المجموعات على أكثر من عنصر حيث هو أي عدد صحيح يمكن تحديده. (بغض النظر عن مدى كبر العدد الصحيح المحدد ، مثل ، تحتوي المجموعات اللانهائية على أكثر من عنصر.) على سبيل المثال، تحتوي مجموعة الأعداد الطبيعية، التي يمكن الإشارة إليها بواسطة ، ^[a] على عدد لا نهائي من العناصر، ولا يمكننا استخدام أي عدد طبيعي لتحديد حجمها. قد يبدو من الطبيعي تقسيم المجموعات إلى فئات مختلفة: ضع جميع المجموعات التي تحتوي على عنصر واحد معًا؛ كل المجموعات التي تحتوي على عنصرين معًا؛ ...؛ أخيرًا، ضع جميع المجموعات اللانهائية معًا واعتبارها بنفس الحجم. تعمل هذه النظرة بشكل جيد للمجموعات اللانهائية القابلة للعد وكانت الافتراض السائد قبل عمل جورج كانتور. على سبيل المثال، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الفردية، وعدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة الزوجية، وأيضًا عدد لا نهائي من الأعداد الصحيحة بشكل عام. يمكننا اعتبار كل هذه المجموعات لها نفس "الحجم" لأننا نستطيع ترتيب الأشياء بحيث يوجد لكل عدد صحيح عدد صحيح زوجي مميز: أو، بشكل عام، (انظر الصورة). ما فعلناه هنا هو ترتيب الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة الزوجية في تطابق واحد لواحد (أو تطابق )، وهي دالة تربط بين مجموعتين بحيث يتوافق كل عنصر من كل مجموعة مع عنصر واحد في المجموعة الأخرى. هذا المفهوم الرياضي لـ "الحجم"، أو الكاردينالية، هو أن المجموعتين تكونان بنفس الحجم إذا وفقط إذا كان هناك تطابق بينهما. نطلق على جميع المجموعات التي تتوافق واحد لواحد مع الأعداد الصحيحة أنها لا نهائية قابلة للعد ونقول إنها لها كاردينالية . $n$ $n$ $n$ $n=10^{1000}$ $n$ $\{0,1,2,3,4,5,\dots \}$ $\ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots$ $n\rightarrow 2n$ $\aleph _{0}$

أثبت جورج كانتور أن المجموعات اللانهائية ليست كلها مجموعات لا نهائية قابلة للعد. على سبيل المثال، لا يمكن وضع الأعداد الحقيقية في تطابق واحد لواحد مع الأعداد الطبيعية (الأعداد الصحيحة غير السالبة). مجموعة الأعداد الحقيقية لها عدد أكبر من مجموعة الأعداد الطبيعية ويقال إنها غير قابلة للعد.

نظرة عامة رسمية

بحكم التعريف، تكون المجموعة قابلة للعد إذا كان هناك تطابق بين و مجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية . على سبيل المثال، قم بتحديد التطابق بما أن كل عنصر من مقترن بعنصر واحد على وجه التحديد من ، والعكس صحيح، فإن هذا يحدد التطابق، ويُظهر أن قابلة للعد. وبالمثل يمكننا إظهار أن جميع المجموعات المنتهية قابلة للعد. $S$ $S$ $\mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}$ $a\leftrightarrow 1,\b\leftrightarrow 2,\c\leftrightarrow 3$ $S=\{a,b,c\}$ $\{1,2,3\}$ $S$

أما بالنسبة لحالة المجموعات اللانهائية، فإن المجموعة تكون لا نهائية قابلة للعد إذا كان هناك تطابق بين و جميع . على سبيل المثال، ضع في اعتبارك المجموعات ، مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ، و ، مجموعة الأعداد الصحيحة الزوجية. يمكننا إظهار أن هذه المجموعات لا نهائية قابلة للعد من خلال إظهار تطابق مع الأعداد الطبيعية. يمكن تحقيق ذلك باستخدام التعيينات و ، بحيث تكون كل مجموعة لا نهائية قابلة للعد قابلة للعد، وكل مجموعة لا نهائية قابلة للعد تكون لا نهائية قابلة للعد. علاوة على ذلك، فإن أي مجموعة فرعية من الأعداد الطبيعية قابلة للعد، وبشكل عام: $S$ $S$ $\mathbb {N}$ $A=\{1,2,3,\dots \}$ $B=\{0,2,4,6,\dots \}$ $n\leftrightarrow n+1$ $n\leftrightarrow 2n$ ${\begin{matrix}0\leftrightarrow 1,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 3,&3\leftrightarrow 4,&4\leftrightarrow 5,&\ldots \\[6pt]0\leftrightarrow 0,&1\leftrightarrow 2,&2\leftrightarrow 4,&3\leftrightarrow 6,&4\leftrightarrow 8,&\ldots \end{matrix}}$

النظرية - المجموعة الجزئية من المجموعة القابلة للعد تكون قابلة للعد. ^[20]

مجموعة جميع الأزواج المرتبة من الأعداد الطبيعية ( الحاصل الديكارتي لمجموعتين من الأعداد الطبيعية، هي مجموعة لا نهائية قابلة للعد، كما يمكن رؤيته باتباع مسار مثل المسار الموجود في الصورة: $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$

تتم عملية رسم الخرائط الناتجة على النحو التالي:

$0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots$ تغطي هذه الخريطة جميع الأزواج المرتبة.

هذا الشكل من التعيين المثلثي يعمم بشكل متكرر إلى مجموعات من الأعداد الطبيعية، أي حيث و هي أعداد طبيعية، عن طريق تعيين أول عنصرين من مجموعة إلى عدد طبيعي بشكل متكرر. على سبيل المثال، يمكن كتابتها على النحو التالي . ثم يتم تعيينها إلى 5 وبالتالي يتم تعيينها إلى ، ثم يتم تعيينها إلى 39. نظرًا لأن مجموعة مكونة من 2 أرقام مختلفة، أي زوج مثل ، يتم تعيينها إلى عدد طبيعي مختلف، فإن الفرق بين مجموعتين مكونتين من n بواسطة عنصر واحد يكفي لضمان تعيين n من الأرقام إلى أعداد طبيعية مختلفة. لذا، يتم إثبات الحقن من مجموعة - الأرقام إلى مجموعة الأعداد الطبيعية . بالنسبة لمجموعة - الأرقام المكونة من حاصل ضرب ديكارت لعدد محدود من المجموعات المختلفة، فإن كل عنصر في كل مجموعة له تطابق مع عدد طبيعي، لذلك يمكن كتابة كل مجموعة بأعداد طبيعية ثم يتم تطبيق نفس المنطق لإثبات النظرية. $n$ $(a_{1},a_{2},a_{3},\dots ,a_{n})$ $a_{i}$ $n$ $n$ $(0,2,3)$ $((0,2),3)$ $(0,2)$ $((0,2),3)$ $(5,3)$ $(5,3)$ $(a,b)$ $n$ $\mathbb {N}$ $n$

النظرية - حاصل الضرب الديكارتي لعدد محدود من المجموعات القابلة للعد هو قابل للعد. ^[21]^[ب]

قد تبدو مجموعة جميع الأعداد الصحيحة ومجموعة جميع الأعداد النسبية أكبر بكثير من . لكن المظاهر قد تكون خادعة. إذا تم التعامل مع الزوج باعتباره البسط والمقام لكسر مبتذل (كسر في شكل حيث و هما عددان صحيحان)، فبالنسبة لكل كسر موجب، يمكننا التوصل إلى عدد طبيعي مميز يتوافق معه. يتضمن هذا التمثيل أيضًا الأعداد الطبيعية، لأن كل عدد طبيعي هو أيضًا كسر . لذا يمكننا أن نستنتج أن هناك عددًا من الأعداد النسبية الموجبة يساوي تمامًا عدد الأعداد الصحيحة الموجبة. وهذا ينطبق أيضًا على جميع الأعداد النسبية، كما يمكن رؤيته أدناه. $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {N}$ $a/b$ $a$ $b\neq 0$ $n$ $n/1$

النظرية - (مجموعة كل الأعداد الصحيحة) و (مجموعة كل الأعداد النسبية) قابلة للعد. ^[ج] $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

وبنفس الطريقة، فإن مجموعة الأعداد الجبرية قابلة للعد. ^[23]^[د]

في بعض الأحيان يكون من المفيد إجراء أكثر من تعيين: المجموعة التي سيتم إظهارها على أنها قابلة للعد يتم تعيينها واحدًا لواحد (حقن) لمجموعة أخرى ، ثم يتم إثبات أنها قابلة للعد إذا تم تعيينها واحدًا لواحد لمجموعة الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، يمكن بسهولة تعيين مجموعة الأعداد النسبية الموجبة واحدًا لواحد لمجموعة أزواج الأعداد الطبيعية (ثنائية التكافؤ) لأنها تعيين إلى . نظرًا لأن مجموعة أزواج الأعداد الطبيعية يتم تعيينها واحدًا لواحد (في الواقع تطابق واحد لواحد أو تطابق) لمجموعة الأعداد الطبيعية كما هو موضح أعلاه، يتم إثبات مجموعة الأعداد النسبية الموجبة على أنها قابلة للعد. $A$ $B$ $A$ $B$ $p/q$ $(p,q)$

مبرهنة - أي اتحاد منتهٍ للمجموعات القابلة للعد هو قابل للعد. ^[24]^[25]^[هـ]

مع العلم بوجود مجموعات لا يمكن إحصاؤها، يمكننا أن نتساءل عما إذا كان من الممكن دفع هذه النتيجة الأخيرة إلى أبعد من ذلك أم لا. والإجابة هي "نعم" و"لا"، ويمكننا توسيعها، ولكننا بحاجة إلى افتراض بديهية جديدة للقيام بذلك.

مبرهنة — (بافتراض بديهية الاختيار القابل للعد ) اتحاد مجموعات قابلة للعد ذات عدد قابل للعد هو قابل للعد. ^[f]

عد عدد قابل للعد من المجموعات القابلة للعد

على سبيل المثال، بالنظر إلى المجموعات القابلة للعد ، نقوم أولاً بتعيين كل عنصر من كل مجموعة إلى عنصر ثنائي، ثم نقوم بتعيين كل عنصر إلى مؤشر باستخدام أحد متغيرات الترقيم المثلثي الذي رأيناه أعلاه: ${\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots$ ${\begin{array}{c|c|c }{\text{Index}}&{\text{Tuple}}&{\text{Element}}\\\hline 0&(0,0)&{\textbf {a}}_{0}\\1&(0,1)&{\textbf {a}}_{1}\\2&(1,0)&{\textbf {b}}_{0}\\3&(0,2)&{\textbf {a}}_{2}\\4&(1,1)&{\textbf {b}}_{1}\\5&(2,0)&{\textbf {c}}_{0}\\6&(0,3)&{\textbf {a}}_{3}\\7&(1,2)&{\textbf {b}}_{2}\\8&(2,1)&{\textbf {c}}_{1}\\9&(3,0)&{\textbf {d}}_{0}\\10&(0,4)&{\textbf {a}}_{4}\\\vdots &&\end{array}}$

نحن بحاجة إلى بديهية الاختيار القابل للعد لفهرسة جميع المجموعات في وقت واحد. ${\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},\dots$

مبرهنة - مجموعة جميع المتتاليات ذات الطول المحدود من الأعداد الطبيعية قابلة للعد.

هذه المجموعة هي اتحاد متواليات الطول 1، ومتواليات الطول 2، ومتواليات الطول 3، وكل منها عبارة عن مجموعة قابلة للعد (حاصل ضرب ديكارتي منتهٍ). لذا فإننا نتحدث عن اتحاد قابل للعد للمجموعات القابلة للعد، والتي تكون قابلة للعد وفقًا للنظرية السابقة.

مبرهنة - مجموعة كل المجموعات الجزئية المحدودة للأعداد الطبيعية قابلة للعد.

يمكن ترتيب عناصر أي مجموعة فرعية محدودة في تسلسل محدود. لا يوجد سوى عدد قابل للعد من التسلسلات المحدودة، وبالتالي لا يوجد سوى عدد قابل للعد من المجموعات الفرعية المحدودة.

نظرية - ليكن مجموعتين و . $S$ $T$

إذا كانت الدالة حقنية وقابلة للعد، فإنها تكون قابلة للعد. $f:S\to T$ $T$ $S$
إذا كانت الدالة شاملة وقابلة للعد، فإنها قابلة للعد. $g:S\to T$ $S$ $T$

تتبع هذه التعريفات تعريفات المجموعة القابلة للعد كوظائف حقنية / شاملة. ^[g]

تؤكد نظرية كانتور أنه إذاكانت مجموعة وهي مجموعة قوتها ، أي مجموعة كل المجموعات الجزئية لـ، فلا توجد دالة شمولية منإلى. تم تقديم دليل في مقال نظرية كانتور . وكنتيجة مباشرة لهذا والنظرية الأساسية أعلاه لدينا: $A$ ${\mathcal {P}}(A)$ $A$ $A$ ${\mathcal {P}}(A)$

الاقتراح - المجموعة غير قابلة للعد؛ أي أنها غير قابلة للعد . ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$

لتوضيح هذه النتيجة، انظر حجة كانتور القطرية .

مجموعة الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد، ^[h] وكذلك مجموعة كل المتتاليات اللانهائية للأعداد الطبيعية.

النموذج الأدنى لنظرية المجموعات هو قابل للعد

إذا كانت هناك مجموعة تمثل نموذجًا قياسيًا (انظر النموذج الداخلي ) لنظرية مجموعة ZFC، فسيكون هناك نموذج قياسي أدنى (انظر الكون القابل للإنشاء ). يمكن استخدام نظرية لوينهايم-سكوليم لإظهار أن هذا النموذج الأدنى قابل للعد. إن حقيقة أن مفهوم "عدم القدرة على العد" منطقي حتى في هذا النموذج، وخاصة أن هذا النموذج M يحتوي على عناصر هي:

مجموعات فرعية من M ، وبالتالي قابلة للعد،
ولكن لا يمكن إحصاؤها من وجهة نظر م ،

كان يُنظر إليها على أنها متناقضة في الأيام الأولى لنظرية المجموعات؛ راجع مفارقة سكوليم للمزيد.

يتضمن النموذج القياسي الأدنى جميع الأرقام الجبرية وجميع الأرقام المتعالية القابلة للحساب بشكل فعال ، بالإضافة إلى العديد من أنواع الأرقام الأخرى.

مجموع الطلبات

يمكن ترتيب المجموعات القابلة للعد بشكل كامل بعدة طرق، على سبيل المثال:

ترتيبات الآبار (انظر أيضًا الرقم الترتيبي ):
- الترتيب المعتاد للأعداد الطبيعية (0، 1، 2، 3، 4، 5، ...)
- الأعداد الصحيحة بالترتيب (0، 1، 2، 3، ...؛ −1، −2، −3، ...)
أخرى ( الطلبات غير الجيدة):
- الترتيب المعتاد للأعداد الصحيحة (...، −3، −2، −1، 0، 1، 2، 3، ...)
- الترتيب المعتاد للأعداد النسبية (لا يمكن كتابته صراحةً كقائمة مرتبة!)

في كلا المثالين لترتيبات الآبار هنا، تحتوي أي مجموعة فرعية على عنصر أدنى ؛ وفي كلا المثالين لترتيبات غير الآبار، لا تحتوي بعض المجموعات الفرعية على عنصر أدنى . هذا هو التعريف الأساسي الذي يحدد ما إذا كان الترتيب الإجمالي هو أيضًا ترتيب جيد.

انظر أيضا

ملحوظات

^ ab نظرًا لوجود تطابق واضح بين و ، فلا يوجد فرق بين اعتبار 0 عددًا طبيعيًا أم لا. على أي حال، تتبع هذه المقالة ISO 31-11 والاتفاقية القياسية في المنطق الرياضي ، والتي تأخذ 0 كعدد طبيعي. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}$
^ الدليل: لاحظ أن قابلة للعد كنتيجة للتعريف لأن الدالة المعطاة بواسطة قابلة للحقن. ^[22] ومن ثم يتبع ذلك أن حاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعتين قابلتين للعد قابل للعد، لأنه إذا كانت و مجموعتين قابلتين للعد فهناك تداخل و . وكذلك الحال بالنسبة لتداخل من المجموعة القابلة للعد إلى المجموعة والنتيجة المترتبة تعني أنها قابلة للعد. تعمم هذه النتيجة على حاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعة منتهية من المجموعات القابلة للعد ويتبع الدليل الاستدلال على عدد المجموعات في المجموعة. $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ $f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}$ $A$ $B$ $f:\mathbb {N} \to A$ $g:\mathbb {N} \to B$ $f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B$ $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ $A\times B$ $A\times B$
^ الدليل: الأعداد الصحيحة قابلة للعد لأن الدالة المعطاة بواسطة if غير سالبة وإذا كانت سالبة فهي دالة حقن. الأعداد النسبية قابلة للعد لأن الدالة المعطاة بواسطة هي دالة تداخلية من المجموعة القابلة للعد إلى الأعداد النسبية . $\mathbb {Z}$ $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ $f(n)=2^{n}$ $n$ $f(n)=3^{-n}$ $n$ $\mathbb {Q}$ $g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ $g(m,n)=m/(n+1)$ $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ $\mathbb {Q}$
^ الدليل: حسب التعريف، كل عدد جبري (بما في ذلك الأعداد المركبة) هو جذر لحدودية ذات معاملات صحيحة. إذا كان لدينا عدد جبري ، فليكن حدودية ذات معاملات صحيحة بحيث يكون الجذر السالب لحدودية، حيث يتم فرز الجذور حسب القيمة المطلقة من الصغير إلى الكبير، ثم يتم فرزها حسب الوسيطة من الصغير إلى الكبير. يمكننا تعريف دالة حقن (أي واحد لواحد) معطاة بواسطة ، حيث يكون العدد الأولي السالب . $\alpha$ $a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ $\alpha$ $k$ $f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q}$ $f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}$ $p_{n}$ $n$
^ الدليل: إذا كانت مجموعة قابلة للعد لكل منها في ، إذن لكل منها توجد دالة شاملة وبالتالي فإن الدالة المعطاة بواسطة هي دالة شاملة. بما أن قابلة للعد، فإن الاتحاد قابل للعد. $A_{i}$ $i$ $I=\{1,\dots ,n\}$ $i$ $g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}$ $G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},$ $G(i,m)=g_{i}(m)$ $I\times \mathbb {N}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$
^ الدليل : كما في الحالة المحدودة، ولكن و نستخدم بديهية الاختيار القابل للعد لاختيار كل منها في الإسقاط من المجموعة غير الفارغة للإسقاط من إلى . ^[26] لاحظ أنه نظرًا لأننا نفكر في الإسقاط ، وليس الحقن، فلا يوجد متطلب بأن تكون المجموعات منفصلة. $I=\mathbb {N}$ $i$ $\mathbb {N}$ $g_{i}$ $\mathbb {N}$ $A_{i}$ $G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}$
^ الدليل : بالنسبة لـ (1) لاحظ أنه إذا كانت قابلة للعد، فهناك دالة حقن . ثم إذا كانت حقنية، فإن التركيب حقني، وبالتالي فهو قابل للعد. بالنسبة لـ (2) لاحظ أنه إذا كانت قابلة للعد، فإما أن تكون فارغة أو توجد دالة شاملة . ثم إذا كانت شاملة، فإما و كلاهما فارغان، أو التركيب شامل. في كلتا الحالتين قابل للعد. $T$ $h:T\to \mathbb {N}$ $f:S\to T$ $h\circ f:S\to \mathbb {N}$ $S$ $S$ $S$ $h:\mathbb {N} \to S$ $g:S\to T$ $S$ $T$ $g\circ h:\mathbb {N} \to T$ $T$
^ انظر أول دليل لعدم إمكانية العد لكانتور ، وأيضًا خاصية التقاطع المحدود#تطبيقات لإثبات طوبولوجي.

الاستشهادات

^ مانيتي ، ماركو (19 يونيو 2015). طوبولوجيا. سبرينغر. ص. 26. رقم ISBN 978-3-319-16958-3.
^ رودين 1976، الفصل الثاني
^ تاو 2016، ص 181
^ كامكي 1950، ص 2
^ ab Lang 1993، الفقرة 2 من الفصل الأول
^ الرسول 1969، ص 23، الفصل 1.14
^ تييري، فيالار (4 أبريل 2017). دليل الرياضيات. BoD - كتب حسب الطلب. ص 24. ISBN 978-2-9551990-1-5.
^ موخيرجي، سوبير كومار (2009). الدورة الأولى في التحليل الحقيقي. الناشرون الأكاديميون. ص 22. ISBN 978-81-89781-90-3.
^ abc يعقوب، علاء الدين م. (24 أكتوبر 2014). مقدمة في علم المعادن. دار نشر بروادفيو. رقم ISBN 978-1-4604-0244-3.
^ سينغ، تيج بهادور (17 مايو 2019). مقدمة في الطوبولوجيا. سبرينغر. ص 422. ISBN 978-981-13-6954-4.
^ أب كاتزوراكيس، نيكولاوس؛ فارفاروكا، يوجين (2 يناير 2018). مقدمة توضيحية للتحليل الحديث. دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-351-76532-9.
^ هالموس 1960، ص 91
^ كامكي 1950، ص 2
^ دلاب، فلاستيميل؛ ويليامز، كينيث س. (9 يونيو 2020). دعوة إلى الجبر: مجموعة موارد للمعلمين وطلاب البكالوريوس المتقدمين وطلاب الدراسات العليا في الرياضيات. مجلة وورلد ساينتفيك. ص. 8. رقم ISBN 978-981-12-1999-3.
^ تاو 2016، ص 182
^ Stillwell, John C. (2010), Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof, CRC Press, p. 10, ISBN 9781439865507كان اكتشاف كانتور للمجموعات غير المعدودة في عام 1874 أحد أكثر الأحداث غير المتوقعة في تاريخ الرياضيات. قبل عام 1874، لم يكن معظم الناس يعتبرون اللانهاية موضوعًا رياضيًا مشروعًا، لذا لم يكن من الممكن تصور الحاجة إلى التمييز بين اللانهاية القابلة للعد واللانهاية غير القابلة للعد.
^ كانتور 1878، ص 242.
^ فيريروس 2007، ص 268 ، 272-273.
^ "ما هي المجموعات ونموذج القائمة؟". expii . 2021-05-09. مؤرشف من الأصل في 2020-09-18.
^ هالموس 1960، ص 91
^ هالموس 1960، ص 92
^ أفيلسجارد 1990، ص 182
^ كامكي 1950، ص 3-4
^ أفيلسجارد 1990، ص 180
^ فليتشر وباتي 1988، ص 187
^ هرباتشيك، كارل؛ جيش، توماس (22 يونيو 1999). مقدمة إلى نظرية المجموعات، الطبعة الثالثة، منقحة وموسعة. دار نشر سي آر سي. ص. 141. رقم ISBN 978-0-8247-7915-3.

مراجع

أبوستول، توم م. (يونيو 1969)، حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات والجبر الخطي مع التطبيقات ، حساب التفاضل والتكامل، المجلد 2 (الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 978-0-471-00007-5
أفلسجارد، كارول (1990)، أسس الرياضيات المتقدمة ، سكوت، فورسمان وشركاه، رقم ISBN 0-673-38152-8
كانتور ، جورج (1878)، “Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre”، Journal für die Reine und Angewandte Mathematik ، 1878 (84): 242–248، دوى :10.1515/crelle-1878-18788413، S2CID 123695365
فيريروس، خوسيه (2007)، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الفكر الرياضي (الطبعة الثانية المنقحة)، بيركهاوزر، رقم ISBN 978-3-7643-8349-7
فليتشر، بيتر؛ باتي، سي. واين (1988)، أسس الرياضيات العليا ، بوسطن: شركة النشر PWS-KENT، رقم ISBN 0-87150-164-3
هالموس ، بول ر. (1960)، نظرية المجموعة الساذجة ، D. Van Nostrand Company، Incأعيد طبع الكتاب بواسطة دار نشر Springer-Verlag، نيويورك، 1974. رقم ISBN 0-387-90092-6 (طبعة Springer-Verlag). أعيد طبع الكتاب بواسطة دار نشر Martino Fine Books، 2011. رقم ISBN 978-1-61427-131-4 (طبعة الغلاف الورقي).
كامكي، إيريش (1950)، نظرية المجموعات ، سلسلة دوفر في الرياضيات والفيزياء، نيويورك: دوفر، ISBN 978-0486601410
لانج، سيرج (1993)، التحليل الحقيقي والوظيفي ، برلين، نيويورك: سبرينغر فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-94001-4
رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي ، نيويورك: ماكجرو هيل، ISBN 0-07-054235-X
تاو، تيرينس (2016). "المجموعات اللانهائية". التحليل الأول . نصوص وقراءات في الرياضيات. المجلد 37 (الطبعة الثالثة). سنغافورة: سبرينغر. ص 181-210. doi :10.1007/978-981-10-1789-6_8. ISBN 978-981-10-1789-6.

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[ZeroN-1] نظرًا لوجود تطابق واضح بين و ، فلا يوجد فرق بين اعتبار 0 عددًا طبيعيًا أم لا. على أي حال، تتبع هذه المقالة ISO 31-11 والاتفاقية القياسية في المنطق الرياضي ، والتي تأخذ 0 كعدد طبيعي. $\mathbb {N}$ $\mathbb {N} ^{*}=\{1,2,3,\dots \}$

[24] الدليل: لاحظ أن قابلة للعد كنتيجة للتعريف لأن الدالة المعطاة بواسطة قابلة للحقن. ^[22] ومن ثم يتبع ذلك أن حاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعتين قابلتين للعد قابل للعد، لأنه إذا كانت و مجموعتين قابلتين للعد فهناك تداخل و . وكذلك الحال بالنسبة لتداخل من المجموعة القابلة للعد إلى المجموعة والنتيجة المترتبة تعني أنها قابلة للعد. تعمم هذه النتيجة على حاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعة منتهية من المجموعات القابلة للعد ويتبع الدليل الاستدلال على عدد المجموعات في المجموعة. $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ $f:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $f(m,n)=2^{m}\cdot 3^{n}$ $A$ $B$ $f:\mathbb {N} \to A$ $g:\mathbb {N} \to B$ $f\times g:\mathbb {N} \times \mathbb {N} \to A\times B$ $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ $A\times B$ $A\times B$

[25] الدليل: الأعداد الصحيحة قابلة للعد لأن الدالة المعطاة بواسطة if غير سالبة وإذا كانت سالبة فهي دالة حقن. الأعداد النسبية قابلة للعد لأن الدالة المعطاة بواسطة هي دالة تداخلية من المجموعة القابلة للعد إلى الأعداد النسبية . $\mathbb {Z}$ $f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N}$ $f(n)=2^{n}$ $n$ $f(n)=3^{-n}$ $n$ $\mathbb {Q}$ $g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q}$ $g(m,n)=m/(n+1)$ $\mathbb {Z} \times \mathbb {N}$ $\mathbb {Q}$

[27] الدليل: حسب التعريف، كل عدد جبري (بما في ذلك الأعداد المركبة) هو جذر لحدودية ذات معاملات صحيحة. إذا كان لدينا عدد جبري ، فليكن حدودية ذات معاملات صحيحة بحيث يكون الجذر السالب لحدودية، حيث يتم فرز الجذور حسب القيمة المطلقة من الصغير إلى الكبير، ثم يتم فرزها حسب الوسيطة من الصغير إلى الكبير. يمكننا تعريف دالة حقن (أي واحد لواحد) معطاة بواسطة ، حيث يكون العدد الأولي السالب . $\alpha$ $a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ $\alpha$ $k$ $f:\mathbb {A} \to \mathbb {Q}$ $f(\alpha )=2^{k-1}\cdot 3^{a_{0}}\cdot 5^{a_{1}}\cdot 7^{a_{2}}\cdots {p_{n+2}}^{a_{n}}$ $p_{n}$ $n$

[30] الدليل: إذا كانت مجموعة قابلة للعد لكل منها في ، إذن لكل منها توجد دالة شاملة وبالتالي فإن الدالة المعطاة بواسطة هي دالة شاملة. بما أن قابلة للعد، فإن الاتحاد قابل للعد. $A_{i}$ $i$ $I=\{1,\dots ,n\}$ $i$ $g_{i}:\mathbb {N} \to A_{i}$ $G:I\times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i},$ $G(i,m)=g_{i}(m)$ $I\times \mathbb {N}$ ${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$

[32] الدليل : كما في الحالة المحدودة، ولكن و نستخدم بديهية الاختيار القابل للعد لاختيار كل منها في الإسقاط من المجموعة غير الفارغة للإسقاط من إلى . ^[26] لاحظ أنه نظرًا لأننا نفكر في الإسقاط ، وليس الحقن، فلا يوجد متطلب بأن تكون المجموعات منفصلة. $I=\mathbb {N}$ $i$ $\mathbb {N}$ $g_{i}$ $\mathbb {N}$ $A_{i}$ $G:\mathbf {N} \times \mathbf {N} \to \bigcup _{i\in I}A_{i}$

[33] الدليل : بالنسبة لـ (1) لاحظ أنه إذا كانت قابلة للعد، فهناك دالة حقن . ثم إذا كانت حقنية، فإن التركيب حقني، وبالتالي فهو قابل للعد. بالنسبة لـ (2) لاحظ أنه إذا كانت قابلة للعد، فإما أن تكون فارغة أو توجد دالة شاملة . ثم إذا كانت شاملة، فإما و كلاهما فارغان، أو التركيب شامل. في كلتا الحالتين قابل للعد. $T$ $h:T\to \mathbb {N}$ $f:S\to T$ $h\circ f:S\to \mathbb {N}$ $S$ $S$ $S$ $h:\mathbb {N} \to S$ $g:S\to T$ $S$ $T$ $g\circ h:\mathbb {N} \to T$ $T$

[34] انظر أول دليل لعدم إمكانية العد لكانتور ، وأيضًا خاصية التقاطع المحدود#تطبيقات لإثبات طوبولوجي.

[2] مانيتي ، ماركو (19 يونيو 2015). طوبولوجيا. سبرينغر. ص. 26. رقم ISBN 978-3-319-16958-3.

[Rudin-3] رودين 1976، الفصل الثاني

[4] تاو 2016، ص 181

[5] كامكي 1950، ص 2

[Lang-6] Lang 1993، الفقرة 2 من الفصل الأول

[Apostol-7] الرسول 1969، ص 23، الفصل 1.14

[8] تييري، فيالار (4 أبريل 2017). دليل الرياضيات. BoD - كتب حسب الطلب. ص 24. ISBN 978-2-9551990-1-5.

[9] موخيرجي، سوبير كومار (2009). الدورة الأولى في التحليل الحقيقي. الناشرون الأكاديميون. ص 22. ISBN 978-81-89781-90-3.

[Yaqub-10] يعقوب، علاء الدين م. (24 أكتوبر 2014). مقدمة في علم المعادن. دار نشر بروادفيو. رقم ISBN 978-1-4604-0244-3.

[Singh-11] سينغ، تيج بهادور (17 مايو 2019). مقدمة في الطوبولوجيا. سبرينغر. ص 422. ISBN 978-981-13-6954-4.

[Katzourakis-12] أب كاتزوراكيس، نيكولاوس؛ فارفاروكا، يوجين (2 يناير 2018). مقدمة توضيحية للتحليل الحديث. دار نشر سي آر سي. رقم ISBN 978-1-351-76532-9.

[13] هالموس 1960، ص 91

[14] كامكي 1950، ص 2

[15] دلاب، فلاستيميل؛ ويليامز، كينيث س. (9 يونيو 2020). دعوة إلى الجبر: مجموعة موارد للمعلمين وطلاب البكالوريوس المتقدمين وطلاب الدراسات العليا في الرياضيات. مجلة وورلد ساينتفيك. ص. 8. رقم ISBN 978-981-12-1999-3.

[16] تاو 2016، ص 182

[17] Stillwell, John C. (2010), Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof, CRC Press, p. 10, ISBN 9781439865507كان اكتشاف كانتور للمجموعات غير المعدودة في عام 1874 أحد أكثر الأحداث غير المتوقعة في تاريخ الرياضيات. قبل عام 1874، لم يكن معظم الناس يعتبرون اللانهاية موضوعًا رياضيًا مشروعًا، لذا لم يكن من الممكن تصور الحاجة إلى التمييز بين اللانهاية القابلة للعد واللانهاية غير القابلة للعد.

[18] كانتور 1878، ص 242.

[19] فيريروس 2007، ص 268 ، 272-273.

[20] "ما هي المجموعات ونموذج القائمة؟". expii . 2021-05-09. مؤرشف من الأصل في 2020-09-18.

[21] هالموس 1960، ص 91

[22] هالموس 1960، ص 92

[23] أفيلسجارد 1990، ص 182

[26] كامكي 1950، ص 3-4

[28] أفيلسجارد 1990، ص 180

[29] فليتشر وباتي 1988، ص 187

[31] هرباتشيك، كارل؛ جيش، توماس (22 يونيو 1999). مقدمة إلى نظرية المجموعات، الطبعة الثالثة، منقحة وموسعة. دار نشر سي آر سي. ص. 141. رقم ISBN 978-0-8247-7915-3.

ف ت هـ أنظمة الأعداد
مجموعات من الأرقام القابلة للتعريف	الأعداد الطبيعية ( ) $\mathbb {N}$ الأعداد الصحيحة ( ) $\mathbb {Z}$ الأعداد النسبية ( ) $\mathbb {Q}$ أرقام قابلة للإنشاء الأعداد الجبرية ( ) $\mathbb {A}$ أرقام مغلقة الفترات ( ) ${\mathcal {P}}$ أرقام قابلة للحساب الأعداد الحسابية أرقام قابلة للتعريف نظريًا الأعداد الصحيحة الغاوسية النسب الغوسية أعداد أيزنشتاين الصحيحة
جبر التركيب	جبر القسمة : الأعداد الحقيقية ( ) $\mathbb {R}$ الأعداد المركبة ( ) $\mathbb {C}$ رباعيات ( ) $\mathbb {H}$ الأكتونيونات ( ) $\mathbb {O}$
أنواع الانقسام	زيادة : $\mathbb {R}$ الأعداد المركبة المنقسمة رباعيات مقسمة تقسيم الأوكتونات على : $\mathbb {C}$ الأعداد الثنائية ثنائيات رباعية بيوكتونيونس
مركب معقد آخر	أرقام مزدوجة رباعيات ثنائية الأعداد المركبة المزدوجة رباعيات زائدية سيدينيون ( ) $\mathbb {S}$ بصل ثلاثي التكافؤ ( ) $\mathbb {T}$ ثنائيات رباعية مقسمة الأعداد المركبة المتعددة الجبر الهندسي / جبر كليفورد جبر الفضاء الفيزيائي جبر الزمكان الجبر الهندسي المستوي
اللانهائيات واللانهائيات في الصغر	الأعداد الأساسية الأعداد الطبيعية الممتدة الأعداد الحقيقية الممتدة إسقاطي الأعداد المركبة الممتدة أرقام فائقة الواقعية حقل ليفي-شيفيتا الأعداد الترتيبية أرقام خارقة للطبيعة أرقام سريالية أرقام خارقة للواقع
أنواع أخرى	الأعداد غير النسبية أرقام غامضة الأعداد المتعالية أرقام p -adic (ملفات p -adic ) الأعداد الصحيحة المنتهية الارقام العادية
تصنيف قائمة

ف ت هـ نظرية المجموعات
ملخص	مجموعة (رياضيات)
البديهيات	ملحق خيار قابلة للعد متكل عالمي قابلية البناء (V=L) التحديد إسقاطي الامتدادية اللانهاية حدود الحجم الاقتران مجموعة الطاقة الإنتظام الاتحاد بديهية مارتن مخطط البديهيات بديل مواصفة
العمليات	حاصل الضرب الديكارتي المكمل (أي فرق المجموعة) قوانين دي مورجان اتحاد منفصل الهويات تقاطع مجموعة الطاقة الفرق المتماثل الاتحاد
المفاهيم طُرق	بالكاد الكاردينالية عدد أساسي ( كبير ) فصل الكون القابل للبناء فرضية الاستمرارية حجة قطرية عنصر زوج مرتب مترابطة بيانية عائلة إجبار المراسلات الفردية رقم ترتيبي تدوين بناء المجموعة الاستقراء اللانهائي مخطط فين
أنواع المجموعة	غير متبلور قابلة للعد فارغ منتهية ( وراثيا ) فلتر قاعدة قاعدة فرعية مرشح فائق غامض لانهائي ( ديدكيند-لانهائي ) متكرر سينجلتون مجموعة فرعية · مجموعة عظمى متعد غير معدود عالمي
النظريات	بديل بديهي ساذج نظرية كانتور زيرميلو عام مبادئ الرياضيات أسس جديدة زيرميلو-فرانكل فون نيومان-بيرنيز-جودل مورس-كيلي كريبكي-بلاتيك تارسكي-جروثينديك
المفارقات المشاكل	مفارقة راسل مشكلة سوسلين مفارقة بورالي-فورتي
منظرو المجموعات	بول بيرنايز جورج كانتور بول كوهين ريتشارد ديديكيند ابراهام فرانكل كورت جودل توماس جيش جون فون نيومان ويلارد كوين برتراند راسل ثورالف سكوليم إرنست زيرميلو