اللانهاية

اللانهاية هي شيء لا حدود له أو لا نهاية له أو أكبر من أي عدد طبيعي . وغالبًا ما يتم الإشارة إليها برمز اللانهاية . ${\displaystyle \infty }$

منذ زمن الإغريق القدماء ، كانت الطبيعة الفلسفية لللانهاية موضوعًا للعديد من المناقشات بين الفلاسفة. في القرن السابع عشر، مع تقديم رمز اللانهاية ^[1] وحساب اللامتناهي في الصغر ، بدأ علماء الرياضيات في العمل مع المتسلسلات اللانهائية وما اعتبره بعض علماء الرياضيات (بما في ذلك لوبيتال وبرنولي ) ^[2] كميات صغيرة لا نهائية، لكن اللانهاية استمرت في الارتباط بعمليات لا نهاية لها. بينما كان علماء الرياضيات يكافحون مع أساس حساب التفاضل والتكامل ، ظل من غير الواضح ما إذا كان يمكن اعتبار اللانهاية عددًا أو مقدارًا ، وإذا كان الأمر كذلك، فكيف يمكن القيام بذلك. ^[1] في نهاية القرن التاسع عشر، وسع جورج كانتور الدراسة الرياضية لللانهاية من خلال دراسة المجموعات اللانهائية والأعداد اللانهائية ، موضحًا أنها يمكن أن تكون بأحجام مختلفة. ^{[1] [3]} على سبيل المثال، إذا تم النظر إلى الخط باعتباره مجموعة من جميع نقاطه، فإن عددها اللانهائي (أي عدد نقاط الخط) أكبر من عدد الأعداد الصحيحة . ^[4] في هذا الاستخدام، اللانهاية هي مفهوم رياضي، ويمكن دراسة الكائنات الرياضية اللانهائية والتلاعب بها واستخدامها تمامًا مثل أي كائن رياضي آخر.

يُحسِّن المفهوم الرياضي لللانهاية ويوسع المفهوم الفلسفي القديم، وخاصةً من خلال إدخال أحجام مختلفة لا نهائية للمجموعات اللانهائية. ومن بين مسلمات نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل ، والتي يمكن تطوير معظم الرياضيات الحديثة عليها، مسلمة اللانهاية ، التي تضمن وجود مجموعات لا نهائية. ^[1] يُستخدم المفهوم الرياضي لللانهاية والتلاعب بالمجموعات اللانهائية على نطاق واسع في الرياضيات، حتى في مجالات مثل التركيبات التي قد تبدو وكأنها لا علاقة لها بها. على سبيل المثال، يعتمد إثبات ويلز لنظرية فيرما الأخيرة ضمناً على وجود أكوان جروثينديك ، وهي مجموعات لا نهائية كبيرة جدًا، ^[5] لحل مشكلة طويلة الأمد يتم التعبير عنها من حيث الحساب الأولي .

في الفيزياء وعلم الكونيات ، ما إذا كان الكون لانهائيًا مكانيًا أم لا ، هو سؤال مفتوح.

كانت للثقافات القديمة أفكار مختلفة حول طبيعة اللانهاية. ولم يقم الهنود القدماء والإغريق بتعريف اللانهاية بشكل دقيق كما تفعل الرياضيات الحديثة، بل تعاملوا مع اللانهاية كمفهوم فلسفي.

ربما كانت فكرة اللانهاية المسجلة الأولى في اليونان هي فكرة أناكسيماندر (حوالي 610 – حوالي 546 قبل الميلاد) وهو فيلسوف يوناني ما قبل سقراط . فقد استخدم كلمة apeiron ، والتي تعني "غير محدود"، "غير محدد"، وربما يمكن ترجمتها إلى "لانهائي". ^{[1] [6]}

ميز أرسطو (350 قبل الميلاد) بين اللانهاية المحتملة واللانهاية الفعلية ، والتي اعتبرها مستحيلة بسبب المفارقات المختلفة التي يبدو أنها تنتجها. ^[7] وقد قيل أنه، تماشياً مع هذه النظرة، كان لدى الإغريق الهلنستيين "رعب من اللانهاية" ^{[8] [9]} والذي من شأنه، على سبيل المثال، أن يفسر لماذا لم يقل إقليدس (حوالي 300 قبل الميلاد) أن هناك لانهاية للأعداد الأولية بل "الأعداد الأولية أكثر من أي عدد معين من الأعداد الأولية". ^[10] كما قيل أيضًا أنه في إثبات لانهاية الأعداد الأولية ، كان إقليدس "أول من تغلب على رعب اللانهاية". ^[11] هناك جدال مماثل بشأن فرضية التوازي لإقليدس ، والتي تُرجمت أحيانًا إلى:

إذا كان الخط المستقيم الذي يقطع خطين مستقيمين [آخرين] يصنع زاويتين داخليتين على نفس الجانب [من نفسه] مجموعهما] أقل من قائمتين، فإن الخطين المستقيمين [الآخرين]، عند إنتاجهما إلى ما لا نهاية، يلتقيان على ذلك الجانب [من الخط المستقيم الأصلي] الذي يكون [مجموع الزاويتين الداخليتين] فيه أقل من قائمتين. ^[12]

ولكن مترجمين آخرين فضلوا ترجمة "الخطين المستقيمين، إذا تم إنتاجهما إلى ما لا نهاية ..."، ^[13] وبالتالي تجنبوا التلميح إلى أن إقليدس كان مرتاحًا لفكرة اللانهاية. وأخيرًا، تم التأكيد على أن التأمل في اللانهاية، بعيدًا عن إثارة "رعب اللانهاية"، كان أساس الفلسفة اليونانية المبكرة وأن "اللانهاية المحتملة" لأرسطو كانت انحرافًا عن الاتجاه العام لهذه الفترة. ^[14]

 لم يطرح زينون الإيلي ( حوالي  495 – حوالي 430 قبل الميلاد) أي آراء تتعلق باللانهائي. ومع ذلك، كانت مفارقاته، ^[15] وخاصة "أخيل والسلحفاة"، مساهمات مهمة لأنها أوضحت عدم كفاية المفاهيم الشعبية. وقد وصف برتراند راسل المفارقات بأنها "دقيقة وعميقة بشكل لا يقاس". ^[16]

يتسابق أخيل مع السلحفاة، مما يمنح الأخيرة الأفضلية.

• الخطوة رقم 1: يركض أخيل إلى نقطة البداية للسلحفاة بينما تمشي السلحفاة إلى الأمام.
• الخطوة رقم 2: يتقدم أخيل إلى حيث كانت السلحفاة في نهاية الخطوة رقم 1 بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.
• الخطوة رقم 3: يتقدم أخيل إلى حيث كانت السلحفاة في نهاية الخطوة رقم 2 بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.
• الخطوة رقم 4: يتقدم أخيل إلى حيث كانت السلحفاة في نهاية الخطوة رقم 3 بينما تذهب السلحفاة إلى أبعد من ذلك.

إلخ.

على ما يبدو فإن أخيل لم يسبق السلحفاة أبدًا، لأنه مهما كان عدد الخطوات التي يقطعها فإن السلحفاة تبقى أمامه.

لم يكن زينو يحاول إثبات وجهة نظره بشأن اللانهاية. وباعتباره عضواً في المدرسة الإيليانية التي اعتبرت الحركة وهماً، فقد رأى أنه من الخطأ أن نفترض أن أخيل قادر على الركض على الإطلاق. ولقد وجد المفكرون اللاحقون أن هذا الحل غير مقبول، فكافحوا لأكثر من ألفي عام للعثور على نقاط ضعف أخرى في الحجة.

أخيرًا، في عام 1821، قدم أوغستين لويس كوشي تعريفًا مرضيًا للحد وبرهانًا على أنه بالنسبة لـ 0 < x < 1 ، ^[17] $${\displaystyle a+ax+ax^{2}+ax^{3}+ax^{4}+ax^{5}+\cdots ={\frac {a}{1-x}}.}$$

لنفترض أن أخيل يركض بسرعة 10 أمتار في الثانية، وأن السلحفاة تسير بسرعة 0.1 متر في الثانية، وأن السلحفاة تسبقه بمسافة 100 متر. وتناسب مدة المطاردة نمط كوشي حيث a = 10 ثوانٍ و x = 0.01 . ويتفوق أخيل على السلحفاة؛ ويستغرق منه الأمر 10 ثوانٍ فقط.

${\displaystyle 10+0.1+0.001+0.00001+\cdots }$${\displaystyle ={\frac {10}{1-0.01}}={\frac {10}{0.99}}=10.10101\ldots {\text{ seconds}}.}$

يصنف النص الرياضي الجيني Surya Prajnapti (حوالي القرن الرابع إلى الثالث قبل الميلاد) جميع الأرقام إلى ثلاث مجموعات: قابلة للعد ، وغير قابلة للعد، ولا نهائية. وقد تم تقسيم كل منها إلى ثلاث فئات: ^[18]

• قابلة للعد: الأدنى والمتوسط ​​والأعلى
• لا تعد ولا تحصى: لا تعد ولا تحصى تقريبًا، لا تعد ولا تحصى حقًا، ولا تعد ولا تحصى إلى حد كبير
• لانهائي: لانهائي تقريبًا، لانهائي حقًا، لانهائي إلى ما لا نهاية

في القرن السابع عشر، بدأ علماء الرياضيات الأوروبيون في استخدام الأعداد اللانهائية والتعبيرات اللانهائية بطريقة منهجية. في عام 1655، استخدم جون واليس لأول مرة الترميز لمثل هذا العدد في كتابه De sectionibus conicis ، ^[19] واستغله في حسابات المساحة عن طريق تقسيم المنطقة إلى شرائح لا نهائية من العرض بترتيب ^[20] ولكن في كتاب Arithmetica infinitorum (1656)، ^[21] أشار إلى سلسلة لا نهائية وحاصلات لا نهائية وكسور متصلة لا نهائية عن طريق كتابة بعض الحدود أو العوامل ثم إضافة "&c."، كما في "1، 6، 12، 18، 24، &c." ^[22]${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

في عام 1699، كتب إسحاق نيوتن عن المعادلات التي تحتوي على عدد لا نهائي من المصطلحات في عمله De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^[23]

افتتح هيرمان ويل خطابًا رياضيًا فلسفيًا ألقاه في عام 1930 بقوله: ^[24]

الرياضيات هي علم اللانهائي.

رمز اللانهاية (يُطلق عليه أحيانًا اسم lemniscate ) هو رمز رياضي يمثل مفهوم اللانهاية. يتم ترميز الرمز في Unicode عند U+221E ∞ INFINITY ( ∞ ) ^[25] وفي LaTeX كـ . ^[26]${\displaystyle \infty }$ \infty

تم تقديمه في عام 1655 بواسطة جون واليس ، ^{[27] [28]} ومنذ تقديمه، تم استخدامه أيضًا خارج الرياضيات في التصوف الحديث ^[29] والرمزية الأدبية . ^[30]

كان جوتفريد لايبنتز ، أحد المشاركين في اختراع حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر ، يتأمل على نطاق واسع الأعداد اللانهائية واستخدامها في الرياضيات. بالنسبة إلى لايبنتز، كانت الأعداد اللانهائية في الصغر والكميات اللانهائية كيانات مثالية، ليست من نفس طبيعة الكميات الملموسة، ولكنها تتمتع بنفس الخصائص وفقًا لقانون الاستمرارية . ^{[31] [2]}

في التحليل الحقيقي ، يستخدم الرمز ، المسمى "اللانهاية"، للإشارة إلى حد غير محدود . ^[32] تعني هذه الصيغة أن  الحد يتزايد بلا حدود، وأن الحد  يتناقص بلا حدود. على سبيل المثال، إذا كان لكل  ، فإن ^[33]${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\to -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(t)\geq 0}$${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$يعني أنه لا يحد منطقة محدودة من إلى${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$يعني أن المساحة الموجودة أسفله غير محدودة.${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$يعني أن المساحة الكلية الموجودة تحتها محدودة، وتساوي${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a.}$

يمكن أيضًا استخدام اللانهاية لوصف السلاسل اللانهائية ، على النحو التالي:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$يعني أن مجموع السلسلة اللانهائية يتقارب إلى قيمة حقيقية ما${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$يعني أن مجموع السلسلة اللانهائية يتباعد بشكل صحيح إلى ما لا نهاية، بمعنى أن المجاميع الجزئية تتزايد بلا حدود. ^[34]

بالإضافة إلى تحديد حد، يمكن أيضًا استخدام اللانهاية كقيمة في نظام الأعداد الحقيقية الممتدة. يمكن إضافة النقاط المسمى و إلى الفضاء الطوبولوجي للأعداد الحقيقية، مما ينتج عنه ضغط نقطتين للأعداد الحقيقية. إن إضافة الخصائص الجبرية إلى هذا يعطينا الأعداد الحقيقية الممتدة . ^[35] يمكننا أيضًا معاملة و على أنهما نفس الشيء، مما يؤدي إلى ضغط نقطة واحدة للأعداد الحقيقية، وهو الخط الإسقاطي الحقيقي . ^{[36] تشير} الهندسة الإسقاطية أيضًا إلى خط عند اللانهاية في الهندسة المستوية، ومستوى عند اللانهاية في الفضاء ثلاثي الأبعاد، ومستوٍ فائق عند اللانهاية للأبعاد العامة ، كل منها يتكون من نقاط عند اللانهاية . ^[37]${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

في التحليل المركب، يشير الرمز ، المسمى "اللانهاية"، إلى حد لانهائي غير موقّع . ويعني التعبير أن حجم  ينمو  إلى ما هو أبعد من أي قيمة معينة. يمكن إضافة نقطة مُسمّاة إلى المستوى المركب كمساحة طوبولوجي تعطي ضغطًا أحادي النقطة للمستوى المركب. وعندما يتم ذلك، تكون المساحة الناتجة عبارة عن متعدد شعب مركب أحادي البعد ، أو سطح ريمان ، يسمى المستوى المركب الممتد أو كرة ريمان . ^[38] يمكن أيضًا تعريف العمليات الحسابية المشابهة لتلك المذكورة أعلاه للأعداد الحقيقية الممتدة، على الرغم من عدم وجود تمييز في العلامات (مما يؤدي إلى الاستثناء الوحيد الذي لا يمكن إضافة اللانهاية إلى نفسها). من ناحية أخرى، يتيح هذا النوع من اللانهاية القسمة على الصفر ، أي لأي عدد مركب غير صفري . في هذا السياق، غالبًا ما يكون من المفيد النظر إلى الدوال متعددة الأشكال كخرائط في مجال ريمان مع أخذ قيمة عند القطبين. يمكن توسيع نطاق الدالة ذات القيمة المركبة ليشمل النقطة عند اللانهاية أيضًا. من الأمثلة المهمة لهذه الوظائف مجموعة تحويلات موبيوس (انظر تحويل موبيوس § نظرة عامة ). ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle z/0=\infty }$ ${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty }$

استخدمت الصيغة الأصلية لحساب التفاضل والتكامل اللامتناهي في الصغر بواسطة إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز كميات لا نهائية في الصغر. وفي النصف الثاني من القرن العشرين، تبين أن هذه المعالجة يمكن أن تُوضع على أساس صارم من خلال أنظمة منطقية مختلفة ، بما في ذلك التحليل اللامتناهي في الصغر السلس والتحليل غير القياسي . في الأخير، تكون اللامتناهيات في الصغر قابلة للعكس، ومعكوساتها هي أعداد لا نهائية. إن اللانهائيات بهذا المعنى هي جزء من مجال فائق الواقعية ؛ ولا يوجد تكافؤ بينها كما هو الحال مع ما وراء اللانهائيات الكانتورية . على سبيل المثال، إذا كان H عددًا لا نهائيًا بهذا المعنى، فإن H + H = 2H وH + 1 أعداد لا نهائية مميزة. تم تطوير هذا النهج لحساب التفاضل والتكامل غير القياسي بشكل كامل في Keisler (1986).

شكل مختلف من "اللانهاية" هو اللانهاية الترتيبية والكاردينالية لنظرية المجموعات - وهو نظام من الأعداد اللانهائية التي طورها لأول مرة جورج كانتور . في هذا النظام، أول كاردينال ما بعد اللانهائي هو أليف-لا شيء ( ℵ ₀ )، وهو كاردينالية مجموعة الأعداد الطبيعية . تطور هذا المفهوم الرياضي الحديث لللانهاية الكمية في أواخر القرن التاسع عشر من أعمال كانتور وجوتلوب فريج وريتشارد ديديكيند وآخرين - باستخدام فكرة المجموعات أو المجموعات. ^[1]

كان نهج ديدكيند في الأساس هو تبني فكرة التطابق واحد لواحد كمعيار لمقارنة حجم المجموعات، ورفض وجهة نظر جاليليو (المستمدة من إقليدس ) التي تقول إن الكل لا يمكن أن يكون بنفس حجم الجزء. (ومع ذلك، انظر مفارقة جاليليو حيث خلص جاليليو إلى أنه لا يمكن مقارنة الأعداد الصحيحة الموجبة بمجموعة فرعية من الأعداد الصحيحة المربعة الموجبة لأن كلاهما مجموعات لا نهائية.) يمكن تعريف المجموعة اللانهائية ببساطة على أنها مجموعة لها نفس حجم أحد أجزائها الصحيحة على الأقل ؛ يُطلق على مفهوم اللانهاية هذا اسم ديدكيند اللانهائي . يقدم الرسم البياني الموجود على اليمين مثالاً: عند النظر إلى الخطوط كمجموعات لا نهائية من النقاط، يمكن رسم النصف الأيسر من الخط الأزرق السفلي بطريقة واحد لواحد (التطابقات الخضراء) للخط الأزرق الأعلى، وبالتالي، للخط الأزرق السفلي بالكامل (التطابقات الحمراء)؛ وبالتالي فإن الخط الأزرق السفلي بالكامل ونصفه الأيسر لهما نفس العدد، أي "الحجم". ^[39]

عرَّف كانتور نوعين من الأعداد اللانهائية: الأعداد الترتيبية والأعداد الأساسية . تميز الأعداد الترتيبية المجموعات المرتبة جيدًا ، أو العد المستمر إلى أي نقطة توقف، بما في ذلك النقاط بعد عد عدد لا نهائي بالفعل. يؤدي تعميم المتتاليات المحدودة و(العادية) اللانهائية التي هي خرائط من الأعداد الصحيحة الموجبة إلى تعيينات من الأعداد الترتيبية إلى متتاليات فوق نهائية. تحدد الأعداد الأساسية حجم المجموعات، أي عدد العناصر التي تحتوي عليها، ويمكن توحيدها عن طريق اختيار أول عدد ترتيبي بحجم معين لتمثيل العدد الأساسي لهذا الحجم. أصغر ما لا نهاية ترتيبية هي تلك الخاصة بالأعداد الصحيحة الموجبة، وأي مجموعة لها عدد الأعداد الصحيحة تكون لا نهائية قابلة للعد . إذا كانت المجموعة كبيرة جدًا بحيث لا يمكن وضعها في تطابق واحد لواحد مع الأعداد الصحيحة الموجبة، فإنها تسمى غير قابلة للعد . سادت آراء كانتور وتقبل الرياضيات الحديثة اللانهاية الفعلية كجزء من نظرية متسقة ومتماسكة. ^[40] تتضمن بعض أنظمة الأعداد الممتدة، مثل الأعداد الفائقة الواقعية، الأعداد العادية (المحدودة) والأعداد اللانهائية ذات الأحجام المختلفة. ^[41]

كانت إحدى أهم نتائج كانتور هي أن عدد الأعداد المتصلة أكبر من عدد الأعداد الطبيعية ؛ أي أن هناك أعدادًا حقيقية أكثر R من الأعداد الطبيعية N. أي أن كانتور أظهر أن . ^[42]${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle {\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

تنص فرضية المتصل على أنه لا يوجد عدد أساسي بين عدد الأعداد الحقيقية وعدد الأعداد الطبيعية، أي .${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

لا يمكن إثبات أو دحض هذه الفرضية ضمن نظرية مجموعة زيرميلو-فرانكل المقبولة على نطاق واسع ، حتى مع افتراض بديهية الاختيار . ^[43]

يمكن استخدام الحساب الأساسي لإظهار ليس فقط أن عدد النقاط في خط الأعداد الحقيقية يساوي عدد النقاط في أي جزء من هذا الخط ، ولكن أيضًا أن هذا يساوي عدد النقاط على المستوى، وفي أي فضاء محدود الأبعاد . ^[44]

تتضح النتيجة الأولى من هذه النتائج عند النظر، على سبيل المثال، إلى دالة الظل ، والتي توفر تطابقًا واحدًا لواحد بين الفاصل ( −π/2⁠ , ⁠π/2) و ر .

تم إثبات النتيجة الثانية بواسطة كانتور في عام 1878، لكنها لم تصبح واضحة بشكل حدسي إلا في عام 1890، عندما قدم جوزيبي بيانو منحنيات ملء الفراغ ، وهي خطوط منحنية تلتف وتدور بما يكفي لملء أي مربع، أو مكعب ، أو مكعب فائق ، أو مساحة محدودة الأبعاد. يمكن استخدام هذه المنحنيات لتحديد تطابق واحد لواحد بين النقاط على جانب واحد من المربع والنقط الموجودة في المربع. ^[45]

حتى نهاية القرن التاسع عشر، نادرًا ما تمت مناقشة اللانهاية في الهندسة ، إلا في سياق العمليات التي يمكن أن تستمر دون أي حد. على سبيل المثال، كان الخط هو ما يسمى الآن بقطعة مستقيمة ، بشرط أن يتمكن المرء من تمديده بقدر ما يريد؛ لكن تمديده إلى ما لا نهاية كان أمرًا غير وارد. وبالمثل، لم يكن الخط عادةً يُعتبر مكونًا من عدد لا نهائي من النقاط ولكنه كان موقعًا يمكن وضع نقطة فيه. حتى لو كان هناك عدد لا نهائي من المواضع المحتملة، فلا يمكن وضع سوى عدد محدود من النقاط على الخط. والشاهد على ذلك هو تعبير " موضع النقطة التي تلبي بعض الخصائص" (المفرد)، حيث يقول علماء الرياضيات المعاصرون عمومًا "مجموعة النقاط التي لها الخاصية" (الجمع).

كان أحد الاستثناءات النادرة لمفهوم رياضي يتضمن اللانهاية الفعلية هو الهندسة الإسقاطية ، حيث تُضاف النقاط عند اللانهاية إلى الفضاء الإقليدي لنمذجة تأثير المنظور الذي يُظهر خطوطًا متوازية تتقاطع "عند اللانهاية". رياضيًا، تتمتع النقاط عند اللانهاية بميزة السماح للمرء بعدم النظر في بعض الحالات الخاصة. على سبيل المثال، في المستوى الإسقاطي ، يتقاطع خطان متميزان في نقطة واحدة بالضبط، بينما بدون نقاط عند اللانهاية، لا توجد نقاط تقاطع للخطوط المتوازية. لذا، يجب دراسة الخطوط المتوازية وغير المتوازية بشكل منفصل في الهندسة الكلاسيكية، بينما لا يلزم التمييز بينها في الهندسة الإسقاطية.

قبل استخدام نظرية المجموعات كأساس للرياضيات ، كانت النقاط والخطوط تعتبر كيانات منفصلة، ​​ويمكن أن توجد النقطة على خط مستقيم . ومع الاستخدام الشامل لنظرية المجموعات في الرياضيات، تغيرت وجهة النظر بشكل كبير: حيث يُنظر الآن إلى الخط باعتباره مجموعة من نقاطه ، ويُقال إن النقطة تنتمي إلى خط مستقيم بدلاً من تقع على خط مستقيم (ومع ذلك، لا تزال العبارة الأخيرة مستخدمة).

على وجه الخصوص، في الرياضيات الحديثة، الخطوط هي مجموعات لا نهائية .

إن فضاءات المتجهات التي تحدث في الهندسة الكلاسيكية لها دائمًا أبعاد محدودة ، وعادة ما تكون بعدين أو ثلاثة أبعاد. ومع ذلك، لا يُستدل على ذلك من التعريف المجرد لفضاء المتجهات، ويمكن اعتبار فضاءات المتجهات ذات الأبعاد غير المحدودة. وهذا هو الحال عادةً في التحليل الوظيفي حيث تكون فضاءات الدالة عمومًا فضاءات متجهة ذات أبعاد غير محدودة.

في الطوبولوجيا، يمكن لبعض الإنشاءات توليد مساحات طوبولوجية ذات أبعاد لا نهائية. وعلى وجه الخصوص، هذه هي حالة المساحات الحلقية المتكررة .

تتكرر بنية الجسم الكسري في تكبيراته. يمكن تكبير الكسور إلى ما لا نهاية دون أن تفقد بنيتها وتصبح "ناعمة"؛ لها محيطات لا نهائية ويمكن أن يكون لها مساحات لا نهائية أو محدودة. أحد هذه المنحنيات الكسرية ذات المحيط اللانهائي والمساحة المحدودة هو ندفة الثلج لكوش . ^[46]

كان ليوبولد كرونيكر متشككًا في فكرة اللانهاية وكيفية استخدامها من قبل زملائه من علماء الرياضيات في سبعينيات وثمانينيات القرن التاسع عشر. وقد تطور هذا التشكك في فلسفة الرياضيات المسماة بالنهاية ، وهو شكل متطرف من الفلسفة الرياضية في المدارس الفلسفية والرياضية العامة للبنائية والحدسية . [ ^47]

في الفيزياء ، تُستخدم تقريبات الأعداد الحقيقية للقياسات المستمرة وتُستخدم الأعداد الطبيعية للقياسات المنفصلة (أي العد). توجد مفاهيم للأشياء اللانهائية مثل الموجة المستوية اللانهائية ، ولكن لا توجد وسائل تجريبية لتوليدها. ^[48]

كان أول اقتراح منشور بأن الكون لانهائي من توماس ديجز في عام 1576. ^[49] وبعد ثماني سنوات، في عام 1584، اقترح الفيلسوف والفلكي الإيطالي جيوردانو برونو كونًا غير محدود في كتابه عن الكون والعوالم اللانهائية : "توجد شموس لا حصر لها؛ وتدور أرض لا حصر لها حول هذه الشموس بطريقة مماثلة للطريقة التي تدور بها الكواكب السبعة حول شمسنا. تسكن الكائنات الحية هذه العوالم". ^[50]

لقد سعى علماء الكونيات منذ فترة طويلة إلى اكتشاف ما إذا كانت اللانهاية موجودة في كوننا المادي : هل يوجد عدد لا نهائي من النجوم؟ هل الكون له حجم لا نهائي؟ هل " يستمر الفضاء إلى الأبد "؟ هذا لا يزال سؤالًا مفتوحًا في علم الكونيات . إن مسألة اللانهاية منفصلة منطقيًا عن مسألة وجود حدود. على سبيل المثال، فإن سطح الأرض ثنائي الأبعاد محدود، ولكنه ليس له حافة. ​​من خلال السفر في خط مستقيم بالنسبة لانحناء الأرض، سيعود المرء في النهاية إلى النقطة الدقيقة التي بدأ منها. قد يكون للكون، على الأقل من حيث المبدأ، طوبولوجيا مماثلة . إذا كان الأمر كذلك، فقد يعود المرء في النهاية إلى نقطة البداية بعد السفر في خط مستقيم عبر الكون لفترة كافية. ^[51]

يمكن قياس انحناء الكون من خلال لحظات متعددة الأقطاب في طيف الإشعاع الكوني الخلفي . وحتى الآن، يشير تحليل أنماط الإشعاع التي سجلتها مركبة WMAP الفضائية إلى أن الكون له طوبولوجيا مسطحة. وهذا يتفق مع كون فيزيائي لانهائي. ^{[52] [53] [54]}

ومع ذلك، قد يكون الكون محدودًا، حتى لو كان انحناؤه مسطحًا. إحدى الطرق السهلة لفهم هذا هي النظر في أمثلة ثنائية الأبعاد، مثل ألعاب الفيديو حيث تظهر العناصر التي تترك إحدى حواف الشاشة على الحافة الأخرى. طوبولوجيا مثل هذه الألعاب حلقية والهندسة مسطحة. توجد أيضًا العديد من الاحتمالات المحدودة والمسطحة للفضاء ثلاثي الأبعاد. ^[55]

يمتد مفهوم اللانهاية أيضًا إلى فرضية تعدد الأكوان ، والتي عندما يفسرها علماء الفيزياء الفلكية مثل ميتشيو كاكو ، تفترض وجود عدد لا نهائي وتنوع من الأكوان. ^[56] كما تفترض النماذج الدورية عددًا لا نهائيًا من الانفجارات العظيمة ، مما ينتج عنه تنوع لا نهائي من الأكوان بعد كل حدث انفجار عظيم في دورة لا نهائية. ^[57]

في المنطق ، تعتبر حجة الانحدار اللانهائي "نوعًا مميزًا من الحجج الفلسفية التي تدعي إظهار أن الأطروحة معيبة لأنها تولد سلسلة لا نهائية عندما لا توجد مثل هذه السلسلة (الشكل أ) أو (الشكل ب) إذا كانت موجودة، فإن الأطروحة ستفتقر إلى الدور (على سبيل المثال، التبرير) الذي من المفترض أن تلعبه." ^[58]

يحدد معيار IEEE للفاصلة العائمة (IEEE 754) قيمة لا نهائية موجبة وسالبة (وكذلك قيم غير محددة ). يتم تعريف هذه القيم على أنها نتيجة لتجاوز الحساب ، والقسمة على الصفر ، وعمليات استثنائية أخرى. ^[59]

تسمح بعض لغات البرمجة ، مثل Java ^[60] و J ^[61]، للمبرمج بالوصول الصريح إلى قيم اللانهاية الموجبة والسلبية كثوابت لغوية. ويمكن استخدام هذه القيم كأعظم وأصغر العناصر ، حيث تقارن (على التوالي) قيمًا أكبر أو أقل من جميع القيم الأخرى. ولها استخدامات كقيم حراسة في الخوارزميات التي تتضمن الفرز أو البحث أو التقسيم إلى نوافذ . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في اللغات التي لا تحتوي على عناصر أكبر وأصغر ولكنها تسمح بالتحميل الزائد لمشغلات العلاقات ، من الممكن للمبرمج إنشاء عناصر أكبر وأصغر. في اللغات التي لا توفر وصولاً صريحًا إلى مثل هذه القيم من الحالة الأولية للبرنامج ولكنها تنفذ نوع البيانات ذات الفاصلة العائمة ، لا تزال قيم اللانهاية قابلة للوصول والاستخدام كنتيجة لعمليات معينة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

في البرمجة، الحلقة اللانهائية هي حلقة لا يتم تحقيق شرط الخروج منها أبدًا، وبالتالي يتم تنفيذها إلى ما لا نهاية.

يستخدم الفن المنظوري مفهوم نقاط التلاشي ، والتي تتوافق تقريبًا مع النقاط الرياضية في اللانهاية ، والتي تقع على مسافة لا نهائية من المراقب. وهذا يسمح للفنانين بإنشاء لوحات تصور الفضاء والمسافات والأشكال بشكل واقعي. ^[62] يُعرف الفنان إم سي إيشر على وجه التحديد باستخدام مفهوم اللانهاية في عمله بهذه الطريقة وغيرها. ^[63]

تُسمى أشكال الشطرنج التي تُلعب على رقعة غير محدودة بالشطرنج اللانهائي . ^{[64] [65]}

يعتبر عالم الإدراك جورج لاكوف مفهوم اللانهاية في الرياضيات والعلوم بمثابة استعارة. ويستند هذا المنظور إلى الاستعارة الأساسية لللانهاية (BMI)، والتي تُعرف بأنها التسلسل المتزايد باستمرار <1،2، 3،...>. ^[66]

• "اللانهائي". موسوعة الفلسفة على الإنترنت .
• اللانهاية في برنامج In Our Time على قناة BBC
• دورة مكثفة في رياضيات المجموعات اللانهائية محفوظ في 27 فبراير 2010 على موقع واي باك مشين ، بقلم بيتر سوبر. من مجلة سانت جونز ريفيو، XLIV، 2 (1998) 1-59. الملحق المستقل لـ Infinite Reflections ، أدناه. مقدمة موجزة لرياضيات كانتور للمجموعات اللانهائية.
• تأملات لا نهائية أرشيف 2009-11-05 على موقع واي باك مشين ، بقلم بيتر سوبر. كيف تحل رياضيات كانتور لللانهائي عددًا من المشكلات الفلسفية القديمة المتعلقة باللانهائي. من مجلة سانت جون ريفيو، XLIV، 2 (1998) 1-59.
• غرايم، جيمس. "إن اللانهاية أكبر مما تعتقد". محب الأرقام . برادي هاران . مؤرشف من الأصل في 2017-10-22 . تم الاسترجاع في 2013-04-06 .
• فندق انفينيتي
• جون جيه أوكونور وإدموند ف. روبرتسون (1998). "جورج فرديناند لودفيج فيليب كانتور" محفوظ في 2006-09-16 على موقع واي باك مشين ، أرشيف تاريخ الرياضيات في ماك توتور .
• جون جيه أوكونور وإدموند ف. روبرتسون (2000). "رياضيات جاينا" محفوظ في 2008-12-20 على موقع واي باك مشين ، أرشيف تاريخ الرياضيات في ماك توتور .
• إيان بيرس (2002). "الجاينية"، أرشيف تاريخ الرياضيات في ماكتوتور .
• لغز الألف: الرياضيات والقبالة والبحث عن اللانهاية
• قاموس اللانهاية (مجموعة مقالات عن اللانهاية في الفيزياء والرياضيات والفلسفة)