تدوين كونواي للسهم المتسلسل

تُعدّ طريقة كونواي لتدوين الأسهم المتسلسلة ، التي ابتكرها عالم الرياضيات جون هورتون كونواي ، وسيلةً للتعبير عن بعض الأعداد الكبيرة جدًا . ^{[ 1 ]} وهي ببساطة عبارة عن سلسلة منتهية من الأعداد الصحيحة الموجبة مفصولة بأسهم متجهة إلى اليمين، على سبيل المثال${\displaystyle 2\to 3\to 4\to 5\to 6}$.

كما هو الحال مع معظم الرموز التوافقية ، فإن التعريف تكراري . في هذه الحالة، ينتهي الرمز في النهاية إلى كونه العدد الأيسر مرفوعًا إلى قوة عددية صحيحة (عادةً ما تكون هائلة).

تُعرَّف "سلسلة كونواي" على النحو التالي:

• أي عدد صحيح موجب هو سلسلة طولها${\displaystyle 1}$.
• سلسلة طويلة${\displaystyle n}$، متبوعة بسهم إلى اليمين → وعدد صحيح موجب، تشكل معًا سلسلة طولها${\displaystyle n+1}$.

تمثل أي سلسلة عددًا صحيحًا، وفقًا للقواعد الست التالية. ويُقال إن سلسلتين متكافئتان إذا كانتا تمثلان نفس العدد الصحيح.

يترك${\displaystyle a,b,c}$لنرمز إلى الأعداد الصحيحة الموجبة ولندع${\displaystyle \#}$لنرمز إلى الجزء المتبقي من السلسلة دون تغيير. ثم:

1. سلسلة فارغة (أو سلسلة بطول${\displaystyle 0}$) يساوي${\displaystyle 1}$.
2. السلسلة${\displaystyle a}$يمثل الرقم${\displaystyle a}$.
3. السلسلة${\displaystyle a\rightarrow b}$يمثل الرقم${\displaystyle a^{b}}$.
4. السلسلة${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c}$يمثل الرقم${\displaystyle a\uparrow ^{c}b}$(انظر إلى تدوين كنوت للسهم المتجه للأعلى )
5. السلاسل${\displaystyle \#\rightarrow 1}$و${\displaystyle \#\rightarrow 1\rightarrow a}$يمثل نفس الرقم الذي تمثله السلسلة${\displaystyle \#}$
6. وإلا، فإن السلسلة${\displaystyle \#\rightarrow (a+1)\rightarrow (b+1)}$يمثل نفس رقم السلسلة${\displaystyle \#\rightarrow (\#\rightarrow a\rightarrow (b+1))\rightarrow b}$.

يترك${\displaystyle X,Y}$تشير إلى السلاسل الفرعية التي يبلغ طولها 1 أو أكثر.

1. تُحسب السلسلة برفعها إلى قوة كاملة للعدد الأول.
2. لذلك،${\displaystyle 1\to Y}$يساوي${\displaystyle 1}$
3. ${\displaystyle X\to 1\to Y}$ يعادل${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle 2\to 2\to Y}$ يساوي${\displaystyle 4}$
5. ${\displaystyle X\to 2\to 2}$ يعادل${\displaystyle X\to (X)}$

يجب توخي الحذر عند التعامل مع سلسلة الأسهم كوحدة متكاملة . فسلاسل الأسهم لا تصف التطبيق المتكرر لعامل ثنائي. بينما يمكن غالبًا النظر إلى سلاسل الرموز الأخرى المُضمنة (مثل 3  +  4  +  5  +  6  + 7) على أنها أجزاء (مثل (3 + 4) + 5 + (6 + 7)) دون تغيير في المعنى (انظر التجميعية )، أو على الأقل يمكن تقييمها خطوة بخطوة بترتيب مُحدد، مثل 3 ^{4 5 6 7} من اليمين إلى اليسار، فإن الأمر ليس كذلك مع سلاسل أسهم كونواي.         

على سبيل المثال:

• ${\displaystyle 2\rightarrow 3\rightarrow 2=2\uparrow \uparrow 3=2^{2^{2}}=2^{4}=16}$
• ${\displaystyle 2\rightarrow (3\rightarrow 2)=2^{3^{2}}=2^{9}=512}$
• ${\displaystyle (2\rightarrow 3)\rightarrow 2=(2^{3})^{2}=8^{2}=64}$

القاعدة السادسة هي الأساس: سلسلة من 4 عناصر أو أكثر تنتهي بعنصرين أو أكثر تساوي سلسلة من نفس الطول ولكن بعنصر قبل أخير أكبر بكثير (عادةً). لكن يتم إنقاص العنصر الأخير ، مما يسمح في النهاية للقاعدة الخامسة بتقصير السلسلة. بعد ذلك، وكما قال كنوت ، "بعد الكثير من التفاصيل"، تُختزل السلسلة إلى ثلاثة عناصر، وتُنهي القاعدة الرابعة التكرار.

تصبح الأمثلة معقدة للغاية بسرعة. إليك بعض الأمثلة البسيطة:

${\displaystyle n}$

${\displaystyle =n}$(بموجب القاعدة 2)

${\displaystyle p\to q}$

${\displaystyle =p^{q}}$(بموجب القاعدة 3)

هكذا،${\displaystyle 3\to 4=3^{4}=81}$

${\displaystyle 4\to 3\to 2}$

${\displaystyle =4\uparrow \uparrow 3}$(بموجب القاعدة 4)

${\displaystyle =4\uparrow (4\uparrow 4)}$

${\displaystyle =4\uparrow 256}$

${\displaystyle =4^{256}}$

${\displaystyle =13,407,807,929,942,597,099,574,024,998,205,846,127,479,365,820,592,393,377,723,561,443,721,764,030,073,}$${\displaystyle 546,976,801,874,298,166,903,427,690,031,858,186,486,050,853,753,882,811,946,569,946,433,649,006,084,096}$

${\displaystyle \approx 1.34*10^{154}}$

${\displaystyle 2\to 2\to 2}$

${\displaystyle =2[\uparrow ^{2}]2}$(بموجب القاعدة 4)

${\displaystyle =4}$(انظر إلى تدوين سهم كنوت لأعلى )

${\displaystyle 2\to 4\to 3}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow \uparrow 4}$(بموجب القاعدة 4)

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 2}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow 4}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2\uparrow 2}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow 2\uparrow 4}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 2\uparrow 16}$

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow 65536}$

${\displaystyle ={^{65536}2}}$

${\displaystyle \approx \exp _{10}^{65533}(4.29508)}$

(انظر التكرار )

${\displaystyle 2\to 3\to 2\to 2}$

${\displaystyle =2\to 3\to (2\to 3)\to 1}$ (بموجب القاعدة 6)

${\displaystyle =2\to 3\to 8\to 1}$ (بموجب القاعدة 3)

${\displaystyle =2\to 3\to 8}$(بموجب القاعدة 5)

${\displaystyle =2\to (2\to 2\to 8)\to 7}$(بموجب القاعدة 6)

${\displaystyle =2\to 4\to 7}$(بموجب القاعدة 6)

${\displaystyle =2\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 4}$(بموجب القاعدة 4)

= أكبر بكثير من الرقم السابق

${\displaystyle 3\to 2\to 2\to 2}$

${\displaystyle =3\to 2\to (3\to 2)\to 1}$(بموجب القاعدة 6)

${\displaystyle =3\to 2\to 9\to 1}$(بموجب القاعدة 3)

${\displaystyle =3\to 2\to 9}$(بموجب القاعدة 5)

${\displaystyle =3\to 3\to 8}$(بموجب القاعدة 6)

${\displaystyle =3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}$(بموجب القاعدة 4)

= أكبر بكثير من الرقم السابق

يمكن التعبير عن دالة أكرمان باستخدام تدوين كونواي السهمي المتسلسل:

${\displaystyle A(m,n)=(2\to (n+3)\to (m-2))-3}$ل${\displaystyle m\geq 3}$(منذ${\displaystyle A(m,n)=2[m](n+3)-3}$في عملية فرط النشاط )

لذلك

${\displaystyle 2\to n\to m=A(m+2,n-3)+3}$ل${\displaystyle n>2}$

(${\displaystyle n=1}$و${\displaystyle n=2}$يتوافق مع${\displaystyle A(m,-2)=-1}$و${\displaystyle A(m,-1)=1}$(والتي يمكن إضافتها منطقياً).

لا يمكن التعبير عن عدد غراهام بسهولة باستخدام تدوين كونواي السهمي المتسلسل، ولكنه محدود بما يلي:

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$

البرهان: نبدأ بتعريف الدالة الوسيطة${\displaystyle f(n)=3\rightarrow 3\rightarrow n={\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \uparrow } 3\\{\text{n arrows}}\end{matrix}}}$، والتي يمكن استخدامها لتعريف عدد غراهام على النحو التالي${\displaystyle G=f^{64}(4)}$. (يشير الرقم 64 المرتفع إلى قوة وظيفية .)

بتطبيق القاعدة 2 والقاعدة 4 بشكل عكسي، نبسط الأمر:

${\displaystyle f^{64}(1)}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 1))\cdots ))}$(مع 64)${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)\rightarrow 1)\cdots )\rightarrow 1)\rightarrow 1}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2;}$

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$$

${\displaystyle f^{64}(4)=G;}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 4))\cdots ))}$(مع 64)${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$$

${\displaystyle f^{64}(27)}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27))\cdots ))}$(مع 64)${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (\cdots (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3)))\cdots ))}$(مع 65)${\displaystyle 3\rightarrow 3}$'s)

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2}$(الحساب كما سبق).

${\displaystyle =f^{65}(1)}$

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{65 layers}}}$$

بما أن الدالة f متزايدة تمامًا ،

${\displaystyle f^{64}(1)<f^{64}(4)<f^{64}(27)}$

وهي المتباينة المعطاة.

باستخدام الأسهم المتسلسلة، من السهل جدًا تحديد رقم أكبر بكثير من رقم غراهام، على سبيل المثال،${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}$.

${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 3\rightarrow 3}$

${\displaystyle =3\rightarrow 3\rightarrow (3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2)\rightarrow 2\,}$

${\displaystyle =f^{3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}(1)}$

${\displaystyle =f^{f^{27}(1)}(1)}$

$${\displaystyle \left.{\begin{matrix}=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\&3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}\left.{\begin{matrix}3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdot \uparrow } 3\\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \uparrow } 3\\3\uparrow 3\end{matrix}}\right\}\ 27}$$ وهو أكبر بكثير من رقم غراهام، لأن الرقم${\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 27\rightarrow 2}$${\displaystyle =f^{27}(1)}$أكبر بكثير من${\displaystyle 65}$.

ابتكر كونواي وجاي دالة بسيطة ذات وسيط واحد تقوم بالتحويل القطري على كامل الترميز، وتُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle cg(n)=\underbrace {n\rightarrow n\rightarrow n\rightarrow \dots \rightarrow n\rightarrow n\rightarrow n} _{n}}$

وهذا يعني أن التسلسل هو:

${\displaystyle cg(1)=1}$

${\displaystyle cg(2)=2\to 2=2^{2}=4}$

${\displaystyle cg(3)=3\to 3\to 3=3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

${\displaystyle cg(4)=4\to 4\to 4\to 4}$

${\displaystyle cg(5)=5\to 5\to 5\to 5\to 5}$

...

تنمو هذه الوظيفة، كما هو متوقع، بسرعة فائقة.

قام بيتر هورفورد، مطور مواقع الويب والإحصائي، بتعريف امتداد لهذه الصيغة:

${\displaystyle a\rightarrow _{b}c=\underbrace {a\rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}\dots \rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}a\rightarrow _{b-1}a} _{c{\text{ arrows}}}}$

${\displaystyle a\rightarrow _{1}b=a\rightarrow b}$

جميع القواعد العادية تبقى دون تغيير فيما عدا ذلك.

${\displaystyle a\rightarrow _{2}(a-1)}$وهو يساوي بالفعل ما سبق ذكره${\displaystyle cg(a)}$، والوظيفة${\displaystyle f(n)=n\rightarrow _{n}n}$تنمو بشكل أسرع بكثير من شركة كونواي آند جايز${\displaystyle cg(n)}$.

لاحظ أن تعابير مثل${\displaystyle a\rightarrow _{b}c\rightarrow _{d}e}$غير قانوني إذا${\displaystyle b}$و${\displaystyle d}$هي أرقام مختلفة؛ يجب أن تحتوي السلسلة على نوع واحد فقط من الأسهم المتجهة لليمين.

لكن إذا قمنا بتعديل هذا قليلاً بحيث:

${\displaystyle a\rightarrow _{b}c\rightarrow _{d}e=a\rightarrow _{b}\underbrace {c\rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}\dots \rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}c\rightarrow _{d-1}c} _{e{\text{ arrows}}}}$

ثم لا يقتصر الأمر على ذلك${\displaystyle a\rightarrow _{b}c\rightarrow _{d}e}$تصبح قانونية، لكن الصيغة ككل تصبح أقوى بكثير. ^{[ 2 ]}

• تدوين شتاينهاوس-موسر
• إنشاء تسلسلات متزايدة بشكل منهجي وأسرع باستمرار

• حقائق صغيرة > أرقام كبيرة
• أعداد روبرت مونافو الكبيرة
• كتاب الأرقام من تأليف جيه إتش كونواي وآر كيه جاي