حساب المتجهات

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( فبراير 2016 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل المشتقة الثانية التمايز الضمني التفاضل اللوغاريتمي الأسعار ذات الصلة نظرية تايلور القواعد والهويات مجموع منتج سلسلة قوة الحاصل قاعدة لوبيتال معكوس الجنرال لايبنتز صيغة فا دي برونو رينولدز
أساسي قوائم التكاملات تحويل تكاملي قاعدة تكامل لايبنتز التعاريف مشتق مضاد تكامل  ( غير صحيح ) تكامل ريمان تكامل ليبيج تكامل الكنتور تكامل الدوال العكسية التكامل بواسطة أجزاء الأقراص قواقع اسطوانية التعويض  ( مثلثي ، نصف زاوية مماسية ، أويلر ) صيغة أويلر الكسور الجزئية ( طريقة هيفسايد ) تغيير الترتيب صيغ التخفيض التفاضل تحت علامة التكامل خوارزمية ريش
مسلسل هندسي  ( حسابي هندسي ) متناسق متناوب قوة ثنائي الحدين تايلور اختبارات التقارب حد المجموع (اختبار المصطلح) نسبة جذر أساسي مقارنة مباشرة مقارنة الحدود Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

حساب المتجهات أو تحليل المتجهات هو فرع من فروع الرياضيات يهتم بالتفاضل والتكامل للحقول المتجهة ، وخاصة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، ^[1] يُستخدم مصطلح حساب المتجهات أحيانًا كمرادف للموضوع الأوسع لحساب متعدد المتغيرات ، والذي يشمل حساب المتجهات وكذلك التفاضل الجزئي والتكامل المتعدد . يلعب حساب المتجهات دورًا مهمًا في الهندسة التفاضلية وفي دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية . يتم استخدامه على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة، وخاصة في وصف المجالات الكهرومغناطيسية والحقول الجاذبية وتدفق السوائل . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

تم تطوير حساب المتجهات من نظرية الرباعيات بواسطة ج. ويلارد جيبس ​​وأوليفر هيفيسايد بالقرب من نهاية القرن التاسع عشر، وتم تأسيس معظم التدوين والمصطلحات بواسطة جيبس ​​وإدوين بيدويل ويلسون في كتابهما "تحليل المتجهات" عام 1901. في شكله القياسي باستخدام الضرب المتجهي ، لا يعمم حساب المتجهات على أبعاد أعلى، ولكن النهج البديل للجبر الهندسي ، والذي يستخدم الضرب الخارجي ، يفعل ذلك (انظر § التعميمات أدناه لمزيد من المعلومات).

يربط الحقل القياسي قيمة قياسية بكل نقطة في الفضاء. والرقم القياسي هو رقم رياضي يمثل كمية فيزيائية . ومن أمثلة الحقول القياسية في التطبيقات توزيع درجة الحرارة في جميع أنحاء الفضاء، وتوزيع الضغط في السائل، والحقول الكمومية ذات الدوران الصفري (المعروفة باسم البوزونات القياسية )، مثل حقل هيغز . وهذه الحقول هي موضوع نظرية الحقل القياسي .

الحقل المتجه هو تعيين متجه لكل نقطة في الفضاء . ^[2] على سبيل المثال، يمكن تصور الحقل المتجه في المستوى كمجموعة من الأسهم ذات المقدار والاتجاه المحددين، كل منها متصل بنقطة في المستوى. غالبًا ما تُستخدم الحقول المتجهة لنمذجة، على سبيل المثال، سرعة واتجاه سائل متحرك في جميع أنحاء الفضاء، أو قوة واتجاه بعض القوى ، مثل القوة المغناطيسية أو الجاذبية ، أثناء تغيرها من نقطة إلى أخرى. يمكن استخدام هذا، على سبيل المثال، لحساب العمل المنجز على خط.

في المعالجات الأكثر تقدمًا، يتم التمييز بشكل أكبر بين حقول المتجهات الزائفة وحقول المقاييس الزائفة ، والتي تتطابق مع حقول المتجهات والحقول المقاييسية، باستثناء أنها تغير الإشارة تحت خريطة عكس الاتجاه: على سبيل المثال، يكون تجعيد حقل المتجه حقلًا متجهًا زائفًا، وإذا عكسنا حقل متجه، فإن التجعيد يشير إلى الاتجاه المعاكس. يتم توضيح هذا التمييز وتوضيحه في الجبر الهندسي ، كما هو موضح أدناه.

تُعرف العمليات الجبرية (غير التفاضلية) في حساب المتجهات باسم جبر المتجهات ، حيث يتم تعريفها لمساحة متجهة ثم تطبيقها نقطة بنقطة على حقل متجه. تتكون العمليات الجبرية الأساسية مما يلي:

تدوينات في حساب المتجهات

عملية	تدوين	وصف
إضافة المتجهات	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$	إضافة متجهين للحصول على متجه.
الضرب القياسي	${\displaystyle a\mathbf {v} }$	ضرب عددي ومتجه للحصول على متجه.
المنتج النقطي	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$	ضرب متجهين للحصول على متجه قياسي.
حاصل الضرب المتقاطع	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$	ضرب متجهين في ، مما يؤدي إلى الحصول على متجه (زائف). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

كما يتم استخدام المنتجين الثلاثيين بشكل شائع :

حاصل الضرب الثلاثي في ​​حساب المتجهات

عملية	تدوين	وصف
حاصل ضرب ثلاثي قياسي	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	حاصل الضرب النقطي للحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين.
حاصل الضرب الثلاثي المتجهي	${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$	حاصل الضرب الاتجاهي لحاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين.

تدرس حساب المتجهات مختلف العوامل التفاضلية المحددة في الحقول القياسية أو المتجهة، والتي يتم التعبير عنها عادةً من حيث عامل del ( )، والمعروف أيضًا باسم "nabla". العوامل المتجهة الأساسية الثلاثة هي: ^[3]${\displaystyle \nabla }$

العوامل التفاضلية في حساب المتجهات

عملية	تدوين	وصف	القياس التدويني	المجال/المدى
التدرج	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	يقيس معدل واتجاه التغيير في مجال قياسي.	الضرب القياسي	تعيين الحقول القياسية إلى حقول متجهة.
التباعد	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	يقيس مقياس المصدر أو المصرف عند نقطة معينة في حقل متجه.	المنتج النقطي	تعيين حقول المتجهات إلى حقول قياسية.
حليقة	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	يقيس الميل للدوران حول نقطة في حقل متجه في . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$	حاصل الضرب المتقاطع	تعيين حقول المتجهات إلى حقول المتجهات (الزائفة).
يشير f إلى حقل قياسي ويشير F إلى حقل متجه

كما يتم استخدام مشغلي لابلاس بشكل شائع:

معاملات لابلاس في حساب المتجهات

عملية	تدوين	وصف	المجال/المدى
لابلاسيان	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	يقيس الفرق بين قيمة المجال القياسي ومتوسطه على الكرات اللانهائية في الصغر.	الخرائط بين الحقول القياسية.
متجه لابلاسيان	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	يقيس الفرق بين قيمة حقل المتجه ومتوسطه على الكرات اللانهائية في الصغر.	الخرائط بين الحقول المتجهة.
يشير f إلى حقل قياسي ويشير F إلى حقل متجه

تعتبر الكمية المسماة مصفوفة جاكوبيان مفيدة لدراسة الدوال عندما يكون كل من مجال ونطاق الدالة متعدد المتغيرات، مثل تغيير المتغيرات أثناء التكامل.

تحتوي مشغلات المتجهات الأساسية الثلاثة على نظريات مقابلة تعمل على تعميم النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل إلى أبعاد أعلى:

نظريات التكامل في حساب المتجهات

نظرية	إفادة	وصف
نظرية التدرج	${\displaystyle \int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]}$	التكامل الخطي لمنحدر الحقل القياسي على المنحنى L يساوي التغير في الحقل القياسي بين النقطتين النهائيتين p و q للمنحنى.
نظرية التباعد	${\displaystyle \underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S} }$	تكامل تباعد حقل متجه على جسم صلب V ذو n بعد يساوي تدفق حقل المتجه عبر السطح الحدودي المغلق للجسم الصلب ذو ( n −1) .
نظرية كيرل (كلفن-ستوكس)	${\displaystyle \iint _{\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$	إن تكامل تجعيد حقل متجه على سطح Σ in يساوي دوران حقل المتجه حول المنحنى المغلق الذي يحد السطح. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
${\displaystyle \varphi }$يشير إلى حقل قياسي ويشير F إلى حقل متجه

في بعدين، يتم تقليص نظريتي التباعد والتجعيد إلى نظرية جرين:

نظرية جرين في حساب المتجهات

نظرية	إفادة	وصف
نظرية جرين	${\displaystyle \iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)}$	إن تكامل التباعد (أو الانحناء) لحقل متجه عبر بعض المناطق A يساوي تدفق (أو دوران) حقل متجه عبر المنحنى المغلق الذي يحد المنطقة. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
بالنسبة للتباعد، F = ( M , − L ) . وبالنسبة للتجعيد، F = ( L , M , 0) . L و M هما دالتان لـ ( x , y ) .

تُستخدم التقريبات الخطية لاستبدال الدوال المعقدة بدوال خطية متماثلة تقريبًا. إذا كانت الدالة القابلة للاشتقاق f ( x , y ) ذات قيم حقيقية، فيمكن تقريب f ( x , y ) لـ ( x , y ) بالقرب من ( a , b ) بالصيغة

${\displaystyle f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).}$

الطرف الأيمن هو معادلة المستوى المماس لمخطط z = f ( x , y ) عند ( a , b ) .

بالنسبة لدالة قابلة للاشتقاق بشكل مستمر لعدة متغيرات حقيقية ، فإن النقطة P (أي مجموعة من القيم لمتغيرات الإدخال، والتي يُنظر إليها كنقطة في R ⁿ ) تكون حرجة إذا كانت جميع المشتقات الجزئية للدالة تساوي صفرًا عند P ، أو على نحو مكافئ، إذا كان تدرجها صفرًا. القيم الحرجة هي قيم الدالة عند النقاط الحرجة.

إذا كانت الدالة سلسة ، أو قابلة للاشتقاق بشكل مستمر مرتين على الأقل، فقد تكون النقطة الحرجة إما حدًا أقصى محليًا ، أو حدًا أدنى محليًا ، أو نقطة سرج . يمكن التمييز بين الحالات المختلفة من خلال النظر في القيم الذاتية لمصفوفة هيسيان للمشتقات الثانية.

وفقًا لنظرية فيرما ، تحدث جميع القيم العظمى والصغرى المحلية لدالة قابلة للاشتقاق عند نقاط حرجة. لذلك، لإيجاد القيم العظمى والصغرى المحلية، يكفي نظريًا حساب أصفار التدرج والقيم الذاتية لمصفوفة هيسيان عند هذه الأصفار.

This section does not cite any sources. Please help improve this section by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed. (August 2019) (Learn how and when to remove this message)

يمكن أيضًا تعميم حساب المتجهات على ثلاثيات متعددة أخرى ومساحات ذات أبعاد أعلى .

تم تعريف حساب المتجهات في البداية للفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، والذي يحتوي على بنية إضافية تتجاوز مجرد كونه فضاء متجه حقيقي ثلاثي الأبعاد، وهي: معيار (يعطي فكرة عن الطول) يتم تعريفه من خلال حاصل ضرب داخلي ( حاصل الضرب النقطي )، والذي يعطي بدوره فكرة عن الزاوية، واتجاه ، والذي يعطي فكرة عن اليسار واليمين. تؤدي هذه الهياكل إلى ظهور شكل الحجم ، وكذلك حاصل الضرب المتجهي ، والذي يستخدم على نطاق واسع في حساب المتجهات. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$

يتطلب التدرج والتباعد فقط الضرب الداخلي، بينما يتطلب التجعيد والضرب المتقاطع أيضًا أخذ اليد اليمنى لنظام الإحداثيات في الاعتبار (انظر الضرب المتقاطع § اليد اليسرى لمزيد من التفاصيل).

يمكن تعريف حساب المتجهات على فضاءات متجهات حقيقية ثلاثية الأبعاد أخرى إذا كان لها حاصل داخلي (أو بشكل عام شكل غير متحلل متماثل ) واتجاه؛ وهذا أقل بيانات من التماثل إلى الفضاء الإقليدي، لأنه لا يتطلب مجموعة من الإحداثيات (إطار مرجعي)، مما يعكس حقيقة أن حساب المتجهات ثابت تحت الدورات ( المجموعة المتعامدة الخاصة SO(3) ).

بشكل عام، يمكن تعريف حساب المتجهات على أي متعدد شعب ريماني موجه ثلاثي الأبعاد ، أو بشكل عام متعدد شعب ريماني زائف . تعني هذه البنية ببساطة أن الفضاء المماس عند كل نقطة له حاصل ضرب داخلي (بشكل عام، شكل غير منحط متماثل) واتجاه، أو بشكل أكثر عمومية أن هناك موتر متري غير منحط متماثل واتجاه، وتعمل لأن حساب المتجهات محدد من حيث المتجهات المماسية عند كل نقطة.

يمكن فهم معظم النتائج التحليلية بسهولة، في شكل أكثر عمومية، باستخدام آلية الهندسة التفاضلية ، والتي يشكل حساب المتجهات منها مجموعة فرعية. يتم تعميم التدرج والتقسيم على الفور إلى أبعاد أخرى، كما تفعل نظرية التدرج، ونظرية التباعد، واللابلاسي ( تحليل التوافقيات الناتج )، بينما لا يتم تعميم الحلزون والضرب المتجهي بشكل مباشر.

من وجهة نظر عامة، يُنظر إلى الحقول المختلفة في حساب المتجهات (ثلاثية الأبعاد) بشكل موحد على أنها حقول متجهات k : الحقول القياسية هي حقول متجهات 0، والحقول المتجهة هي حقول متجه واحد، والحقول شبه المتجهة هي حقول متجهين، والحقول شبه القياسية هي حقول متجهات ثلاثية. في الأبعاد الأعلى، توجد أنواع إضافية من الحقول (القياسية، والمتجهة، والمتجهة الزائفة أو شبه القياسية المقابلة للأبعاد 0 و 1 و n − 1 أو n ، وهو شامل في البعد 3)، لذلك لا يمكن للمرء أن يعمل فقط مع (القياسية الزائفة) والمتجهات (الزائفة).

في أي بُعد، بافتراض شكل غير متحلل، يكون grad لدالة قياسية حقل متجه، وdiv لحقل متجه دالة قياسية، ولكن فقط في البعد 3 أو 7 ^[4] (وبشكل تافه، في البعد 0 أو 1) يكون curl لحقل متجه حقل متجه، وفقط في الأبعاد 3 أو 7 يمكن تعريف حاصل الضرب المتقاطع (تتطلب التعميمات في الأبعاد الأخرى إما أن تنتج متجهًا واحدًا، أو تكون جبر لي بديل ، وهي حاصل ضرب ثنائي خطي غير متماثل أكثر عمومية). تم شرح تعميم grad وdiv، وكيف يمكن تعميم curl في Curl § Generalizations ؛ باختصار، يعد curl لحقل متجه حقلًا ثنائي المتجه ، والذي يمكن تفسيره على أنه جبر لي المتعامد الخاص للدوران اللانهائي في الصغر؛ ومع ذلك، لا يمكن تحديد ذلك بحقل متجه لأن الأبعاد تختلف - هناك 3 أبعاد للدوران في 3 أبعاد، ولكن 6 أبعاد للدوران في 4 أبعاد (وبشكل عام أبعاد للدوران في n بُعد). ${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}}$

هناك تعميمان بديلان مهمان لحساب المتجهات. الأول، الجبر الهندسي ، يستخدم حقول متجهات k بدلاً من حقول المتجهات (في 3 أبعاد أو أقل، يمكن تحديد كل حقل متجهات k بدالة قياسية أو حقل متجه، لكن هذا ليس صحيحًا في الأبعاد الأعلى). هذا يستبدل الضرب المتجهي، الذي يكون خاصًا بثلاثة أبعاد، يأخذ حقلي متجه ويعطي كمخرج حقل متجه، بالضرب الخارجي ، الذي يوجد في جميع الأبعاد ويأخذ حقلي متجهين، ويعطي كمخرج حقل متجه ثنائي (متجهان). ينتج عن هذا الضرب جبر كليفورد كبنية جبرية على فضاءات المتجهات (مع اتجاه وشكل غير متحلل). يستخدم الجبر الهندسي في الغالب في تعميمات الفيزياء والمجالات التطبيقية الأخرى للأبعاد الأعلى.

يستخدم التعميم الثاني أشكالًا تفاضلية ( حقول متجهات k ) بدلاً من حقول المتجهات أو حقول متجهات k ، ويُستخدم على نطاق واسع في الرياضيات، وخاصة في الهندسة التفاضلية ، والطوبولوجيا الهندسية ، والتحليل التوافقي ، ويعطي بشكل خاص نظرية هودج حول المتشعبات شبه الريمانية الموجهة. ومن وجهة النظر هذه، تتوافق grad وcurl وdiv مع المشتق الخارجي للأشكال 0 والأشكال 1 والأشكال 2 على التوالي، والنظريات الأساسية لحساب المتجهات هي كلها حالات خاصة للشكل العام لنظرية ستوكس .

من وجهة نظر كل من هذه التعميمات، يحدد حساب المتجهات ضمناً الأشياء المتميزة رياضياً، مما يجعل العرض أبسط ولكن البنية الرياضية الأساسية والتعميمات أقل وضوحاً. من وجهة نظر الجبر الهندسي، يحدد حساب المتجهات ضمناً حقول المتجهات k مع حقول المتجهات أو الدوال القياسية: متجهات 0 ومتجهات 3 مع قياسيات، ومتجهات 1 ومتجهات 2 مع متجهات. من وجهة نظر الأشكال التفاضلية، يحدد حساب المتجهات ضمناً أشكال k مع حقول قياسية أو حقول متجهة: أشكال 0 وأشكال 3 مع حقول قياسية، وأشكال 1 وأشكال 2 مع حقول متجهة. على سبيل المثال، يأخذ curl بشكل طبيعي حقل متجه أو شكل واحد كمدخل، ولكن يكون له بشكل طبيعي حقل متجهين أو شكلين كمخرج (ومن ثم حقل متجه زائف)، والذي يتم تفسيره بعد ذلك على أنه حقل متجه، بدلاً من أخذ حقل متجه مباشرة إلى حقل متجه؛ ينعكس هذا في curl لحقل متجه في أبعاد أعلى ليس له حقل متجه كمخرج.

• محاضرات فاينمان في الفيزياء المجلد الثاني الفصل الثاني: حساب التفاضل والتكامل لحقول المتجهات
• "تحليل المتجهات"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• "الجبر المتجهي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• دراسة استقصائية حول الاستخدام غير السليم لـ ∇ في تحليل المتجهات (1994) تاي، تشن تو
• تحليل المتجهات: كتاب مدرسي لاستخدام طلاب الرياضيات والفيزياء، (بناءً على محاضرات ويلارد جيبس ) بقلم إدوين بيدويل ويلسون ، نُشر عام 1902.