حكم القوة

جزء من سلسلة مقالات حول
حساب التفاضل والتكامل
${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(t)\,dt=f(b)-f(a)}$
النظرية الأساسية الحدود الاستمرارية نظرية رول نظرية القيمة المتوسطة نظرية الدالة العكسية
التفاضلي التعاريف المشتقات  ( التعميمات ) التفاضلي لانهائي في الصغر من وظيفة المجموع المفاهيم تدوين التفاضل Second derivative Implicit differentiation Logarithmic differentiation Related rates Taylor's theorem Rules and identities Sum Product Chain Power Quotient L'Hôpital's rule Inverse General Leibniz Faà di Bruno's formula Reynolds
Integral Lists of integrals Integral transform Leibniz integral rule Definitions Antiderivative Integral (improper) Riemann integral Lebesgue integration Contour integration Integral of inverse functions Integration by Parts Discs Cylindrical shells Substitution (trigonometric, tangent half-angle, Euler) Euler's formula Partial fractions (Heaviside's method) Changing order Reduction formulae Differentiating under the integral sign Risch algorithm
Series Geometric (arithmetico-geometric) Harmonic Alternating Power Binomial Taylor Convergence tests Summand limit (term test) Ratio Root Integral Direct comparison Limit comparison Alternating series Cauchy condensation Dirichlet Abel
Vector Gradient Divergence Curl Laplacian Directional derivative Identities Theorems Gradient Green's Stokes' Divergence generalized Stokes Helmholtz decomposition
Multivariable Formalisms Matrix Tensor Exterior Geometric Definitions Partial derivative Multiple integral Line integral Surface integral Volume integral Jacobian Hessian
Advanced Calculus on Euclidean space Generalized functions Limit of distributions
Specialized Fractional Malliavin Stochastic Variations
Miscellanea Precalculus History Glossary List of topics Integration Bee Mathematical analysis Nonstandard analysis
v t e

في حساب التفاضل والتكامل ، تُستخدم قاعدة القوى للتفريق بين الدوال من النموذج ، كلما كان عددًا حقيقيًا . ونظرًا لأن التفاضل عملية خطية على فضاء الدوال القابلة للتفاضل، فيمكن أيضًا تفاضل كثيرات الحدود باستخدام هذه القاعدة. تشكل قاعدة القوى أساس متسلسلة تايلور لأنها تربط بين متسلسلة القوى ومشتقات الدالة . ${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\displaystyle r}$

لتكن دالة تحقق كل ما يلي ، حيث . ^[أ] إذن، ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f'(x)=rx^{r-1}\,.}$

تنص قاعدة القوة للتكامل على أن

${\displaystyle \int \!x^{r}\,dx={\frac {x^{r+1}}{r+1}}+C}$

لأي عدد حقيقي . ويمكن اشتقاقه عن طريق عكس قاعدة القوة للتفاضل. في هذه المعادلة C هو أي ثابت . ${\displaystyle r\neq -1}$

للبدء، يجب أن نختار تعريفًا عمليًا لقيمة ، حيث أي عدد حقيقي. على الرغم من أنه من الممكن تعريف v إذا ، إذن ، حيث هي دالة اللوغاريتم الطبيعي ، أو ، كما هو مطلوب. لذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على ، نرى ما يبسط إلى .${\displaystyle f(x)=x^{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f(x)=e^{x}}$${\displaystyle \ln(f(x))=x}$${\displaystyle \ln }$${\displaystyle f'(x)=f(x)=e^{x}}$${\displaystyle f(x)=e^{r\ln x}}$$${\displaystyle f'(x)={\frac {r}{x}}e^{r\ln x}={\frac {r}{x}}x^{r}}$$${\displaystyle rx^{r-1}}$

عندما ، يمكننا استخدام نفس التعريف مع ، حيث لدينا الآن . وهذا يؤدي بالضرورة إلى نفس النتيجة. لاحظ أنه نظرًا لعدم وجود تعريف تقليدي عندما لا يكون عددًا نسبيًا، فإن دوال القوى غير النسبية ليست محددة جيدًا للقواعد السالبة. بالإضافة إلى ذلك، نظرًا لأن القوى النسبية لـ −1 ذات المقامات الزوجية (بأدنى قيمة) ليست أعدادًا حقيقية، فإن هذه التعبيرات لها قيمة حقيقية فقط للقوى النسبية ذات المقامات الفردية (بأدنى قيمة). ${\displaystyle x<0}$${\displaystyle x^{r}=((-1)(-x))^{r}=(-1)^{r}(-x)^{r}}$${\displaystyle -x>0}$${\displaystyle (-1)^{r}}$${\displaystyle r}$

أخيرًا، كلما كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند ، يكون الحد المحدد للمشتقة هو: والذي يعطي 0 فقط عندما يكون عددًا نسبيًا بمقام فردي (بأدنى قيمة) و ، و 1 عندما . بالنسبة لجميع القيم الأخرى لـ ، فإن التعبير غير محدد جيدًا لـ ، كما تمت تغطيته أعلاه، أو ليس عددًا حقيقيًا، وبالتالي فإن الحد غير موجود كمشتقة ذات قيمة حقيقية. بالنسبة للحالتين الموجودتين، تتفق القيم مع قيمة قاعدة القوة الموجودة عند 0، لذلك لا داعي لعمل استثناء. ${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {h^{r}-0^{r}}{h}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle r>1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle h^{r}}$${\displaystyle h<0}$

إن استبعاد التعبير${\displaystyle 0^{0}}$ (الحالة ) من مخططنا للأس يرجع إلى حقيقة مفادها أن الدالة ليس لها حد عند (0,0)، حيث تقترب من 1 عندما تقترب x من 0، بينما تقترب من 0 عندما تقترب y من 0. وبالتالي، سيكون من الصعب إسناد أي قيمة معينة لها، حيث أن القيمة ستتناقض مع إحدى الحالتين، اعتمادًا على التطبيق. تقليديًا، تُترك غير محددة. ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle f(x,y)=x^{y}}$${\displaystyle x^{0}}$${\displaystyle 0^{y}}$

دع . يلزم إثبات أن الحالة الأساسية قد تكون عندما أو ، اعتمادًا على كيفية تعريف مجموعة الأعداد الطبيعية .${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle 1}$

متى ،${\displaystyle n=0}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{0}={\frac {d}{dx}}(1)=\lim _{h\to 0}{\frac {1-1}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h}}=0=0x^{0-1}.}$

متى ،${\displaystyle n=1}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{1}=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)-x}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {h}{h}}=1=1x^{1-1}.}$

لذلك، فإن الحالة الأساسية تنطبق على كلا الحالتين.

افترض أن العبارة صحيحة لبعض الأعداد الطبيعية k ، أي${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k}=kx^{k-1}.}$

عندما ، وفقًا لمبدأ الاستدلال الرياضي، تكون العبارة صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية n . ${\displaystyle n=k+1}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{k+1}={\frac {d}{dx}}(x^{k}\cdot x)=x^{k}\cdot {\frac {d}{dx}}x+x\cdot {\frac {d}{dx}}x^{k}=x^{k}+x\cdot kx^{k-1}=x^{k}+kx^{k}=(k+1)x^{k}=(k+1)x^{(k+1)-1}}$$

دع , أين . ${\displaystyle y=x^{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

ثم،$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left[x^{n}+{\binom {n}{1}}x^{n-1}h+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h^{2}+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n}-x^{n}\right]\\[4pt]&=\lim _{h\to 0}\left[{\binom {n}{1}}x^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{n-2}h+\dots +{\binom {n}{n}}h^{n-1}\right]\\[4pt]&=nx^{n-1}\end{aligned}}}$$

نظرًا لأن n choose 1 يساوي n، وبقية الحدود تحتوي جميعها على h، وهو 0، فإن بقية الحدود تُلغى. لا يعمل هذا الدليل إلا مع الأعداد الطبيعية، لأن نظرية ذات الحدين لا تعمل إلا مع الأعداد الطبيعية.

بالنسبة لعدد صحيح سالب n ، دع m يكون عددًا صحيحًا موجبًا. باستخدام قاعدة المعكوس ، في الختام، بالنسبة لأي عدد صحيح ،${\displaystyle n=-m}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{x^{m}}}\right)={\frac {-{\frac {d}{dx}}x^{m}}{(x^{m})^{2}}}=-{\frac {mx^{m-1}}{x^{2m}}}=-mx^{-m-1}=nx^{n-1}.}$$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}.}$

بعد إثبات أن قاعدة القوة تنطبق على الأسس الصحيحة، يمكن توسيع القاعدة لتشمل الأسس النسبية.

يتكون هذا الإثبات من خطوتين تتضمنان استخدام قاعدة السلسلة للتفاضل.

1. دع , حيث . إذن . وباستخدام قاعدة السلسلة , . حل لـ , وبالتالي، تنطبق قاعدة القوة على الأسس النسبية من النموذج , حيث هو عدد طبيعي غير صفري. ويمكن تعميم ذلك على الأسس النسبية من النموذج عن طريق تطبيق قاعدة القوة على الأسس الصحيحة باستخدام قاعدة السلسلة، كما هو موضح في الخطوة التالية.${\displaystyle y=x^{r}=x^{\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}}$${\displaystyle y^{n}=x}$${\displaystyle ny^{n-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=1}$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{ny^{n-1}}}={\frac {1}{n\left(x^{\frac {1}{n}}\right)^{n-1}}}={\frac {1}{nx^{1-{\frac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}x^{{\frac {1}{n}}-1}=rx^{r-1}}$$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p/q}$
2. دع , حيث بحيث . وفقًا لقاعدة السلسلة ،${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} ^{+},}$${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {d}{dx}}\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p}=p\left(x^{\frac {1}{q}}\right)^{p-1}\cdot {\frac {1}{q}}x^{{\frac {1}{q}}-1}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}=rx^{r-1}}$$

ومن النتائج السابقة نستطيع أن نستنتج أنه عندما يكون عدد نسبي ،${\displaystyle r}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}.}$

إن التعميم الأكثر وضوحًا لقاعدة القوة على الأسس المنطقية يستخدم التمايز الضمني.

دع , حيث بحيث . ${\displaystyle y=x^{r}=x^{p/q}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle r\in \mathbb {Q} }$

ثم، نفرق بين طرفي المعادلة بالنسبة إلى ، ونحل لـ ، بما أن ، ونطبق قوانين الأسس، وبالتالي، نترك ، يمكننا أن نستنتج أن عندما يكون عددًا نسبيًا. $${\displaystyle y^{q}=x^{p}}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle qy^{q-1}\cdot {\frac {dy}{dx}}=px^{p-1}}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {px^{p-1}}{qy^{q-1}}}.}$$${\displaystyle y=x^{p/q}}$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {px^{p-1}}{qx^{p-p/q}}}.}$$$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{p/q}={\frac {p}{q}}x^{p-1}x^{-p+p/q}={\frac {p}{q}}x^{p/q-1}.}$$${\displaystyle r={\frac {p}{q}}}$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{r}=rx^{r-1}}$${\displaystyle r}$

تم توضيح قاعدة القوى للتكاملات لأول مرة في شكل هندسي بواسطة عالم الرياضيات الإيطالي بونافينتورا كافالييري في أوائل القرن السابع عشر لجميع القيم الصحيحة الموجبة لـ ، وخلال منتصف القرن السابع عشر لجميع القوى النسبية من قبل علماء الرياضيات بيير دي فيرما وإيفانجيليستا توريشيلي وجيل دي روبرفال وجون واليس وبليز باسكال ، كل منهم يعمل بشكل مستقل. في ذلك الوقت، كانت أطروحات حول تحديد المساحة بين رسم دالة قوة نسبية والمحور الأفقي. ومع ذلك، مع الأخذ في الاعتبار الماضي، تعتبر أول نظرية عامة في حساب التفاضل والتكامل يتم اكتشافها. ^[1] تم اشتقاق قاعدة القوى للتفاضل من قبل إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم لايبنتز ، كل منهما بشكل مستقل، لوظائف القوة النسبية في منتصف القرن السابع عشر، واللذان استخدماها بعد ذلك لاستنباط قاعدة القوى للتكاملات كعملية عكسية. يعكس هذا الطريقة التقليدية التي يتم بها تقديم النظريات ذات الصلة في كتب حساب التفاضل والتكامل الأساسية الحديثة، حيث تسبق قواعد التفاضل عادةً قواعد التكامل. ^[2]${\displaystyle {\displaystyle n}}$

على الرغم من أن كلا الرجلين صرحا بأن قواعدهما، التي تم إثباتها فقط للكميات النسبية، تعمل لجميع القوى الحقيقية، إلا أن أيا منهما لم يسع إلى إثبات ذلك، لأنه في ذلك الوقت لم تكن تطبيقات النظرية معنية بمثل هذه الوظائف الغريبة للقوى، وكانت أسئلة تقارب السلاسل اللانهائية لا تزال غامضة.

تم حل الحالة الفريدة من قبل اليسوعي الفلمنكي وعالم الرياضيات غريغوار دي سانت فنسنت وتلميذه ألفونس أنطونيو دي ساراسا في منتصف القرن السابع عشر، حيث أثبتا أن التكامل المحدد المرتبط، ${\displaystyle r=-1}$

${\displaystyle \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt}$

تمثل المنطقة بين القطع الزائد المستطيلي والمحور السيني، وهي دالة لوغاريتمية، اكتُشف في النهاية أن قاعدتها هي العدد المتسامي e . الصيغة الحديثة لقيمة هذا التكامل المحدد هي ، اللوغاريتم الطبيعي. ${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle \ln(x)}$

إذا نظرنا إلى الدوال من النموذج حيث هو أي عدد مركب و هو عدد مركب في المستوى المركب الشق الذي يستبعد نقطة فرع 0 وأي قطع فرع متصل بها، واستخدمنا التعريف التقليدي متعدد القيم ، فمن السهل إظهار أنه على كل فرع من فروع اللوغاريتم المركب، فإن نفس الحجة المستخدمة أعلاه تعطي نتيجة مماثلة: . ^[3]${\displaystyle f(z)=z^{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{c}:=\exp(c\ln z)}$${\displaystyle f'(z)={\frac {c}{z}}\exp(c\ln z)}$

بالإضافة إلى ذلك، إذا كان عددًا صحيحًا موجبًا، فلا توجد حاجة لقطع الفرع: يمكن تعريف ، أو تعريف القوى المركبة التكاملية الموجبة من خلال الضرب المركب، وإظهار أنه لجميع ، من تعريف المشتقة ونظرية ذات الحدين. ${\displaystyle c}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f'(z)=cz^{c-1}}$${\displaystyle z}$

ومع ذلك، نظرًا للطبيعة المتعددة القيم لوظائف القوى المعقدة للأسس غير الصحيحة، يجب توخي الحذر عند تحديد فرع اللوغاريتم المركب المستخدم. بالإضافة إلى ذلك، بغض النظر عن الفرع المستخدم، إذا لم يكن عددًا صحيحًا موجبًا، فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند 0. ${\displaystyle c}$

• قواعد التمايز
• القاعدة العامة لايبنتز
• الدوال العكسية والتفاضل
• خطية التمايز
• قاعدة المنتج
• قاعدة القسمة
• جدول المشتقات
• هويات حساب المتجهات

• لارسون، رون؛ هوستيلر، روبرت ب؛ وإدواردز، بروس هـ. (2003). حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد: الدوال المتسامية المبكرة (الطبعة الثالثة). شركة هوتون ميفلين. رقم ISBN 0-618-22307-X .