دالة مقعرة

📅 آخر تحديث: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، الدالة المقعرة هي دالة تكون قيمتها عند أي توليفة محدبة من عناصر مجالها أكبر من أو تساوي تلك التوليفة المحدبة من عناصر المجال. وبعبارة أخرى، الدالة المقعرة هي أي دالة يكون منحنى تمثيلها البياني محدبًا. وتُعتبر فئة الدوال المقعرة، بمعنى ما، عكس فئة الدوال المحدبة . وتُسمى الدالة المقعرة أيضًا بالدوال المقعرة للأسفل ، أو المحدبة للأعلى ، أو ذات القمة المحدبة ، أو المحدبة العليا .

تعريف

دالة ذات قيم حقيقيةو{\displaystyle f}يُقال إن المجال على فترة (أو، بشكل أعم، مجموعة محدبة في فضاء متجهي ) يكون مقعرًا إذا كان، لأيx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}في الفترة ولأيα∈[0،1]{\displaystyle \alpha \in [0,1]}, [ 1 ]

و((1-α)x+αy)≥(1-α)و(x)+αو(y){\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}

تُسمى الدالة مقعرة تمامًا إذا

و((1-α)x+αy)>(1-α)و(x)+αو(y){\displaystyle f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)}

لأيα∈(0،1){\displaystyle \alpha \in (0,1)}وx≠y{\displaystyle x\neq y}.

لوظيفةو:R→R{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }ينص هذا التعريف الثاني ببساطة على أنه لكلz{\displaystyle z}بينx{\displaystyle x}وy{\displaystyle y}النقطة(z،و(z)){\displaystyle (z,f(z))}على الرسم البياني لـو{\displaystyle f}تقع فوق الخط المستقيم الواصل بين النقطتين(x،و(x)){\displaystyle (x,f(x))}و(y،و(y)){\displaystyle (y,f(y))}.

وظيفةو{\displaystyle f}تكون شبه مقعرة إذا كانت مجموعة الخطوط الكنتورية العليا للدالةS(أ)={x:و(x)≥أ}{\displaystyle S(a)=\{x:f(x)\geq a\}}هي مجموعات محدبة. [ 2 ]

ملكيات

تكون الدالة التكعيبية مقعرة (النصف الأيسر) عندما تكون مشتقتها الأولى (باللون الأحمر) متناقصة بشكل رتيب، أي أن مشتقتها الثانية (باللون البرتقالي) سالبة، ومحدبة (النصف الأيمن) عندما تكون مشتقتها الأولى متزايدة بشكل رتيب، أي أن مشتقتها الثانية موجبة.

دوال لمتغير واحد

  1. تكون الدالة القابلة للتفاضل f مقعرة (بشكل صارم) على فترة ما إذا وفقط إذا كانت دالة مشتقتها f ′ متناقصة (بشكل صارم) على تلك الفترة، أي أن الدالة المقعرة لها ميل غير متزايد (متناقص) . [ 3 ] [ 4 ]
  2. النقاط التي يتغير عندها التقعر (بين التقعر والتحدب ) هي نقاط انعطاف . [ 5 ]
  3. إذا كانت الدالة f قابلة للتفاضل مرتين ، فإنها تكون مقعرة إذا وفقط إذا كانت f ′ ′ غير موجبة (أو بعبارة أخرى، إذا كان " التسارع " غير موجب). إذا كانت f ′ ′ سالبة ، فإن f تكون مقعرة تمامًا، ولكن العكس غير صحيح، كما يتضح من f ( x ) = −x⁴ .
  4. إذا كانت f مقعرة وقابلة للتفاضل، فإنها تكون محدودة من الأعلى بتقريب تايلور من الدرجة الأولى : [ 2 ]و(y)≤و(x)+و′(x)[y-x]{\displaystyle f(y)\leq f(x)+f'(x)[yx]}
  5. تكون الدالة القابلة للقياس وفقًا لمعيار ليبيغ على فترة C مقعرة إذا وفقط إذا كانت مقعرة عند نقطة المنتصف، أي أنه لأي قيمتين x و y في Cو(x+y2)≥و(x)+و(y)2{\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}
  6. إذا كانت الدالة f مقعرة، و f (0) ≥ 0 ، فإن f تكون شبه جمعية على[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}. دليل:
    • بما أن f دالة مقعرة و 1 ≥ t ≥ 0 ، بوضع y = 0 نحصل علىو(تx)=و(تx+(1-ت)⋅0)≥تو(x)+(1-ت)و(0)≥تو(x).{\displaystyle f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).}
    • لأ،ب∈[0،∞){\displaystyle a,b\in [0,\infty )}:و(أ)+و(ب)=و((أ+ب)أأ+ب)+و((أ+ب)بأ+ب)≥أأ+بو(أ+ب)+بأ+بو(أ+ب)=و(أ+ب){\displaystyle f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)}

دوال لمتغيرات n

  1. تكون الدالة f مقعرة على مجموعة محدبة إذا وفقط إذا كانت الدالة −f دالة محدبة على المجموعة.
  2. إن مجموع دالتين مقعرتين هو نفسه مقعر، وكذلك الحد الأدنى النقطي لدالتين مقعرتين، أي أن مجموعة الدوال المقعرة على مجال معين تشكل شبه حقل .
  3. بالقرب من قيمة عظمى محلية صارمة في داخل مجال الدالة، يجب أن تكون الدالة مقعرة؛ كعكس جزئي، إذا كانت مشتقة دالة مقعرة تمامًا تساوي صفرًا عند نقطة ما، فإن تلك النقطة هي قيمة عظمى محلية.
  4. أي قيمة عظمى محلية لدالة مقعرة هي أيضاً قيمة عظمى مطلقة . أما الدالة المقعرة تماماً فلها قيمة عظمى مطلقة واحدة على الأكثر.

أمثلة

  • الوظائفو(x)=-x2{\displaystyle f(x)=-x^{2}}وز(x)=x{\displaystyle g(x)={\sqrt {x}}}تكون الدوال مقعرة على نطاقاتها، كما هو الحال بالنسبة لمشتقاتها الثانية.و"(x)=-2{\displaystyle f''(x)=-2}وز"(x)=-14x3/2{\textstyle g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}}دائماً ما تكون سلبية.
  • دالة اللوغاريتم​و(x)=سجل⁡x{\displaystyle f(x)=\log {x}}يكون مقعرًا على نطاقه(0،∞){\displaystyle (0,\infty )}، كمشتق منها1x{\displaystyle {\frac {1}{x}}}هي دالة متناقصة تمامًا.
  • أي دالة خطيةو(x)=أx+ب{\displaystyle f(x)=ax+b}هو مقعر ومحدب في آن واحد، ولكنه ليس مقعرًا تمامًا ولا محدبًا تمامًا.
  • تكون دالة الجيب مقعرة على الفترة[0،π]{\displaystyle [0,\pi ]}.
  • الوظيفةو(ب)=سجل⁡|ب|{\displaystyle f(B)=\log |B|}، أين|ب|{\displaystyle |B|}[ 6 ] هو محدد المصفوفة B غير السالبة المحددة ، وهو مقعر.

التطبيقات

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ لينارت، س.؛ ووركمان، ج. ت. (2007). التحكم الأمثل المطبق على النماذج البيولوجية . سلسلة البيولوجيا الرياضية والحسابية. تشابمان آند هول/ سي آر سي. رقم ISBN 978-1-58488-640-2.
  2. 1 2 فاريان، هال ر. (1992). التحليل الاقتصادي الجزئي ( الطبعة الثالثة). نيويورك: نورتون. ص 489. ISBN   0-393-95735-7. OCLC 24847759 . 
  3. ↑ رودين، والتر (1976). التحليل . ص 101. 
  4. ↑ غرادشتين، آي إس؛ ريزيك، آي إم؛ هايز، دي إف (1976-07-01). "جدول التكاملات والمتسلسلات والمنتجات" . مجلة تكنولوجيا التشحيم . 98 (3): 479. doi : 10.1115/1.3452897 . ISSN 0022-2305 . 
  5. ↑ هاس، جويل (13 مارس 2017). حساب التفاضل والتكامل لتوماس . هيل، كريستوفر، 1960-، وير، موريس د.، توماس، جورج ب. الابن (جورج برينتون)، 1914-2006. ( الطبعة الرابعة عشرة). [الولايات المتحدة]. ص 203. ISBN   978-0-13-443898-6. OCLC 965446428 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  6. ↑ كوفر، توماس م .؛ توماس، جيه إيه (1988). "متباينات المحددات عبر نظرية المعلومات". مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 9 (3): 384-392 . doi : 10.1137/0609033 . S2CID 5491763 . 
  7. ↑ بيمبرتون، مالكولم؛ راو، نيكولاس (2015). الرياضيات للاقتصاديين: كتاب تمهيدي . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 363-364 . ISBN  978-1-78499-148-7.
  8. ↑ كالين، هربرت ب. (1985). "8.1: الاستقرار الذاتي للأنظمة الديناميكية الحرارية". الديناميكا الحرارية ومقدمة في الإحصاء الحراري ( الطبعة الثانية). نيويورك: وايلي. ص 203-206 . ISBN   978-0-471-86256-7.{{cite book}}: صيانة CS1: التاريخ والسنة ( رابط )

مراجع إضافية

  • كروزيكس، جيه-بي. (2008). "شبه التقعر" . في: دورلاف، ستيفن  ن.؛ بلوم، لورانس  إي (محرران). قاموس بالغراف الجديد  للاقتصاد (الطبعة الثانية  ). بالغراف ماكميلان. ص 815-816 . doi : 10.1057/9780230226203.1375 . ISBN  978-0-333-78676-5.
  • راو، سينجيريسو س. (2009). تحسين الهندسة: النظرية والتطبيق . جون وايلي وأولاده. ص  779. ISBN 978-0-470-18352-6.