تسريع

متوسط ​​تسارع الجسم${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$التغير في سرعته على مدى فترة زمنية معينة هو${\displaystyle \Delta \mathbf {v} }$، مقسومة على مدة الفترة،${\displaystyle \Delta t}$رياضياً، $${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}.}$$يُعدّ متوسط ​​التسارع أبسط طريقة لقياس التسارع، إذ لا يتطلب سوى معرفة التغير في السرعة والتغير في الزمن. وبالمعنى الدقيق، يُعتبر متوسط ​​التسارع التسارع الحقيقي الوحيد الذي يُمكن قياسه مباشرةً دون اللجوء إلى قانون تجريبي ، مما يعني أنه الشكل الأساسي لقياس التسارع.

يُستخدم متوسط ​​التسارع غالبًا لتقريب حركة جسم ما بافتراض أن السرعة تتغير خطيًا مع الزمن. على فترات زمنية قصيرة، يمكننا غالبًا افتراض أن التسارع منتظم ، أي أن التسارع ثابت.${\displaystyle \mathbf {a} }$سيكون تسارع الجسم مساوياً تماماً للتسارع المتوسط${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}}$(انظر القسم الفرعي "التسارع المنتظم" لمزيد من التفاصيل.)

بحسب قانون نيوتن الثاني للحركة ، يرتبط متوسط ​​التسارع بمتوسط ​​القوة${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}}$على جسيم كتلته${\displaystyle m}$بواسطة، $${\displaystyle {\bar {\mathbf {f} }}=m{\bar {\mathbf {a} }}.}$$وهذا يعني أن قياس متوسط ​​التسارع هو أيضاً قياس متوسط ​​القوة (المعروف أيضاً بالدفع) .${\displaystyle \mathbf {J} ={\bar {\mathbf {f} }}}$.)

التسارع اللحظي هو نهاية التسارع المتوسط ​​خلال فترة زمنية متناهية الصغر . وبمصطلحات حساب التفاضل والتكامل ، فإن التسارع اللحظي هو مشتق متجه السرعة بالنسبة للزمن. $${\displaystyle \mathbf {a} =\lim _{{\Delta t}\to 0}{\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\dot {\mathbf {v} }}.}$$ بما أن التسارع يُعرَّف بأنه مشتق السرعة، v ، بالنسبة للزمن t، والسرعة تُعرَّف بأنها مشتق الموضع، x ، بالنسبة للزمن، فيمكن اعتبار التسارع بمثابة المشتق الثاني لـ x بالنسبة لـ t : $${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\ddot {\mathbf {x} }}.}$$(هنا وفي أماكن أخرى، إذا كانت الحركة في خط مستقيم ، يمكن استبدال الكميات المتجهة بالكميات القياسية في المعادلات.)

بحسب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، يمكن ملاحظة أن تكامل دالة التسارع a ( t ) هو دالة السرعة v ( t ) ؛ أي أن المساحة تحت منحنى الرسم البياني للتسارع مقابل الزمن ( a مقابل t ) تتوافق مع تغير السرعة. $${\displaystyle \Delta \mathbf {v} =\int \mathbf {a} \,dt.}$$

وبالمثل، يمكن استخدام تكامل دالة التسارع j ( t ) ، ومشتق دالة التسارع، لإيجاد تغير التسارع في وقت معين: $${\displaystyle \Delta \mathbf {a} =\int \mathbf {j} \,dt.}$$

التسارع له أبعاد السرعة (L/T) مقسومة على الزمن، أي L ^/ T⁻² . وحدة التسارع في النظام الدولي للوحدات هي المتر لكل ثانية مربعة (م/ ^ث² )؛ أو "متر لكل ثانية لكل ثانية"، حيث تتغير السرعة بالمتر لكل ثانية بمقدار قيمة التسارع، كل ثانية.

يتسارع الجسم المتحرك في حركة دائرية، مثل قمر صناعي يدور حول الأرض، نتيجة لتغير اتجاه حركته، حتى وإن كانت سرعته ثابتة. في هذه الحالة، يُقال إنه يخضع لتسارع مركزي (موجه نحو المركز).

يُقاس التسارع الذاتي ، أي تسارع الجسم بالنسبة لحالة السقوط الحر، بواسطة جهاز يُسمى مقياس التسارع . ويُطبق قانون نيوتن الثاني عادةً في إطار مرجعي قصوري. في إطار مرجعي يتسارع بتسارع${\displaystyle a}$(في بُعد واحد)، لا يزال من الممكن استخدام قوانين نيوتن عن طريق إدخال قوة قصور ذاتي (قوة وهمية).${\displaystyle F=-ma}$في قداس${\displaystyle m}$عكس تسارع الإطار. وهذا يفسر ميل الكتلة إلى الحفاظ على حركتها الذاتية - أي البقاء "كما هي"، ساكنة أو متحركة بسرعة ثابتة - بينما يتسارع الإطار. ومن الأمثلة على ذلك شعور الشخص في المصعد بأنه أثقل أو أخف وزنًا مع تسارع المصعد أو تباطئه.${\displaystyle m}$إذا عُرفت القوة الداعمة للكتلة، فيمكن استخدامها لاستنتاج التسارع؛ وهذا هو مبدأ عمل مقياس التسارع الميكانيكي. ^{[ 4 ] [ 5 ]} في النسبية العامة، قد يكون من غير الممكن التمييز محليًا بين الجاذبية والتسارع الذاتي (انظر النسبية العامة ).

في الميكانيكا الكلاسيكية ، بالنسبة لجسم ذي كتلة ثابتة، فإن التسارع (المتجهي) لمركز كتلة الجسم يتناسب مع متجه القوة المحصلة (أي مجموع كل القوى) المؤثرة عليه ( قانون نيوتن الثاني ): $${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \quad \ضمنا \quad \mathbf {a} ={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$$ حيث F هي القوة المحصلة المؤثرة على الجسم، و m هي كتلة الجسم، و a هو تسارع مركز الكتلة. ومع اقتراب السرعات من سرعة الضوء ، تتزايد التأثيرات النسبية بشكل ملحوظ.

التسارع المنتظم أو الثابت هو نوع من الحركة تتغير فيه سرعة الجسم بمقدار متساوٍ في كل فترة زمنية متساوية.

من الأمثلة الشائعة على التسارع المنتظم، تسارع جسم يسقط سقوطًا حرًا في مجال جاذبية منتظم. يعتمد تسارع الجسم الساقط في غياب مقاومة الحركة فقط على شدة مجال الجاذبية g (المعروف أيضًا بتسارع الجاذبية الأرضية ). وبحسب قانون نيوتن الثاني، فإن القوة${\displaystyle \mathbf {F_{g}} }$يُعطى التأثير على جسم ما بالصيغة التالية: $${\displaystyle \mathbf {F_{g}} =m\mathbf {g} .}$$

بسبب الخصائص التحليلية البسيطة لحالة التسارع الثابت، توجد صيغ بسيطة تربط الإزاحة والسرعات الأولية والسرعات المعتمدة على الوقت والتسارع بالوقت المنقضي : ^{[ 12 ]}$$\begin{aligned}\mathbf{x}(t)&=\mathbf{x}_{0}+\mathbf{v}_{0}t+{\tfrac{1}{2}}\mathbf{a}t^{2}&=\mathbf{x}_{0}+{\tfrac{1}{2}}\left(\mathbf{v}_{0}+\mathbf{v}(t)\right)t\\\mathbf{v}(t)&=\mathbf{v}_{0}+\mathbf{a}t\\{v^{2}}(t)&={v_{0}}^{2}+2\mathbf{a\cdot}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}] [{0}],\end{aligned}}}$$أين

• ${\displaystyle t}$هو الوقت المنقضي،
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$هي الإزاحة الأولية من نقطة الأصل،
• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$هي الإزاحة من نقطة الأصل في الزمن${\displaystyle t}$،
• ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$هي السرعة الابتدائية،
• ${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$هي السرعة عند الزمن${\displaystyle t}$، و
• ${\displaystyle \mathbf {a} }$هو معدل التسارع المنتظم.

على وجه الخصوص، يمكن تحليل الحركة إلى جزأين متعامدين، أحدهما بسرعة ثابتة والآخر وفقًا للمعادلات المذكورة أعلاه. وكما أوضح غاليليو ، فإن النتيجة النهائية هي حركة مكافئة، والتي تصف، على سبيل المثال، مسار مقذوف في الفراغ بالقرب من سطح الأرض. ^{[ 13 ]}

متجه الموضع r يشير دائمًا بشكل شعاعي من نقطة الأصل.

متجه السرعة v ، وهو دائماً مماس لمسار الحركة.

متجه التسارع a ، ليس موازياً للحركة الشعاعية ولكنه منحرف بفعل التسارع الزاوي وتسارع كوريوليس، وليس مماساً للمسار ولكنه منحرف بفعل التسارع المركزي والشعاعي.

المتجهات الحركية في الإحداثيات القطبية المستوية . لاحظ أن الإعداد لا يقتصر على الفضاء ثنائي الأبعاد، بل يمكن أن يمثل المستوى المماس عند نقطة من منحنى عشوائي في أي بُعد أعلى.

في الحركة الدائرية المنتظمة ، أي الحركة بسرعة ثابتة على مسار دائري، يتعرض الجسيم لتسارع ناتج عن تغير اتجاه متجه السرعة، بينما يبقى مقداره ثابتًا. ويكون مشتق موقع نقطة على منحنى بالنسبة للزمن، أي سرعتها، دائمًا مماسًا تمامًا للمنحنى، أو متعامدًا مع نصف القطر عند تلك النقطة. وبما أن السرعة في الاتجاه المماسي لا تتغير في الحركة المنتظمة، فإن التسارع يكون في الاتجاه القطري، متجهًا نحو مركز الدائرة. ويؤدي هذا التسارع باستمرار إلى تغيير اتجاه السرعة ليصبح مماسًا عند النقطة المجاورة، مما يُدير متجه السرعة حول الدائرة.

• لسرعة معينة${\displaystyle v}$، يتناسب مقدار هذا التسارع الناتج عن الهندسة (التسارع المركزي) عكسياً مع نصف القطر${\displaystyle r}$من الدائرة، وتزداد كمربع هذه السرعة:$${\displaystyle a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$$
• بالنسبة لسرعة زاوية معينة${\displaystyle \omega }$، التسارع المركزي يتناسب طرديًا مع نصف القطر${\displaystyle r}$ويرجع ذلك إلى اعتماد السرعة${\displaystyle v}$على نصف القطر${\displaystyle r}$.$${\displaystyle v=\omega r.}$$

التعبير عن متجه التسارع المركزي بمركبات قطبية، حيث${\displaystyle \mathbf {r} }$يمثل متجهًا من مركز الدائرة إلى الجسيم، مقداره يساوي هذه المسافة، وبمراعاة اتجاه التسارع نحو المركز، ينتج $${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-{\frac {v^{2}}{|\mathbf {r} |}}\cdot {\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |}}\,.}$$وكما هو معتاد في الدورات، السرعة${\displaystyle v}$يمكن التعبير عن سرعة الجسيم كسرعة زاوية بالنسبة لنقطة على مسافة معينة.${\displaystyle r}$مثل $${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}.}$$هكذا${\displaystyle \mathbf {a} _{c}=-\أوميغا ^{2}\mathbf {r} \,.}$

يُحدد هذا التسارع وكتلة الجسيم قوة الجذب المركزي اللازمة ، والموجهة نحو مركز الدائرة، باعتبارها القوة المحصلة المؤثرة على هذا الجسيم للحفاظ على حركته الدائرية المنتظمة. أما ما يُسمى بـ" قوة الطرد المركزي "، التي تبدو وكأنها تؤثر على الجسم نحو الخارج، فهي قوة وهمية تُدرك في إطار مرجعية الجسم المتحرك دائريًا، نتيجةً لزخم الجسم الخطي ، وهو متجه مماس لدائرة الحركة.

في الحركة الدائرية غير المنتظمة، أي عندما تتغير السرعة على طول المسار المنحني، يكون للتسارع مركبة غير صفرية مماسية للمنحنى، ولا يقتصر على العمودي الرئيسي ، الذي يتجه نحو مركز الدائرة المماسّة، والذي يحدد نصف القطر.${\displaystyle r}$بالنسبة للتسارع المركزي. أما المركبة المماسية فتُعطى بالتسارع الزاوي${\displaystyle \alpha }$أي معدل التغير${\displaystyle \alpha ={\dot {\omega }}}$السرعة الزاوية${\displaystyle \omega }$مضروبًا في نصف القطر${\displaystyle r}$. إنه، $${\displaystyle a_{t}=r\alpha .}$$

تُحدد إشارة المركبة المماسية للتسارع من خلال إشارة التسارع الزاوي (${\displaystyle \alpha }$), ويكون المماس دائمًا موجهًا بزاوية قائمة على متجه نصف القطر.

تصف النظرية النسبية الخاصة سلوك الأجسام المتحركة بالنسبة لأجسام أخرى بسرعات تقترب من سرعة الضوء في الفراغ. وتُظهر الميكانيكا النيوتونية بوضوح أنها تقريب للواقع، وتتمتع بدقة عالية عند السرعات المنخفضة. ومع ازدياد السرعات ذات الصلة نحو سرعة الضوء، لا يعود التسارع خاضعًا للمعادلات الكلاسيكية.

مع اقتراب السرعات من سرعة الضوء، يتناقص التسارع الناتج عن قوة معينة، ويصبح صغيراً للغاية مع اقتراب سرعة الضوء؛ يمكن لجسم ذي كتلة أن يقترب من هذه السرعة بشكل مقارب ، لكنه لا يصل إليها أبداً.

ما لم تُعرف حالة حركة الجسم، يستحيل التمييز بين ما إذا كانت القوة المرصودة ناتجة عن الجاذبية أو عن التسارع، إذ أن للجاذبية والتسارع الذاتي تأثيرات متطابقة. أطلق ألبرت أينشتاين على هذا مبدأ التكافؤ ، وقال إن المراقبين الذين لا يشعرون بأي قوة على الإطلاق - بما في ذلك قوة الجاذبية - هم فقط من يحق لهم استنتاج أنهم لا يتسارعون. ^{[ 15 ]}