قاعدة السلسلة

يمكن تطبيق قاعدة السلسلة على الدوال المركبة التي تضم أكثر من دالتين. لحساب مشتقة دالة مركبة تضم أكثر من دالتين، نلاحظ أن الدالة المركبة لـ f و g و h (بهذا الترتيب) هي الدالة المركبة لـ f مع g ∘ h . تنص قاعدة السلسلة على أنه لحساب مشتقة f ∘ g ∘ h ، يكفي حساب مشتقة f ومشتقة g ∘ h . يمكن حساب مشتقة f مباشرةً، ويمكن حساب مشتقة g ∘ h بتطبيق قاعدة السلسلة مرة أخرى. ^{[ 6 ]}

وللتوضيح، انظر إلى الدالة $${\displaystyle y=e^{\sin(x^{2})}.}$$ يمكن تحليل ذلك إلى مركب من ثلاث دوال: $${\displaystyle {\begin{aligned}y&=f(u)=e^{u},\\u&=g(v)=\sin v,\\v&=h(x)=x^{2}.\end{aligned}}}$$ لهذا السبب${\displaystyle y=f(g(h(x)))}$.

مشتقاتها هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{du}}&=f'(u)=e^{u},\\{\frac {du}{dv}}&=g'(v)=\cos v,\\{\frac {dv}{dx}}&=h'(x)=2x.\end{aligned}}}$$

تنص قاعدة السلسلة على أن مشتقة مركبهما عند النقطة x = a هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&=f'((g\circ h)(a))\cdot (g\circ h)'(a)\\&=f'((g\circ h)(a))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a)\\&=(f'\circ g\circ h)(a)\cdot (g'\circ h)(a)\cdot h'(a).\end{aligned}}}$$

في تدوين لايبنتز ، يكون هذا كالتالي: $$\displaystyle \frac{dy}{dx} = \left. \frac{dy}{du} \right|_{u=g(h(a)) \cdot \left. \frac{du}{dv} \right|_{v=h(a) \cdot \left. \frac{dv}{dx} \right|_{x=a}$$ أو باختصار، $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dv}}\cdot {\frac {dv}{dx}}.}$$ وبالتالي فإن دالة المشتقة هي: $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{\sin(x^{2})}\cdot \cos(x^{2})\cdot 2x.}$$

هناك طريقة أخرى لحساب هذه المشتقة، وهي اعتبار الدالة المركبة f ∘ g ∘ h دالة مركبة من f ∘ g و h . بتطبيق قاعدة السلسلة بهذه الطريقة، نحصل على: $${\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g\circ h)'(a)&=(f\circ g)'(h(a))\cdot h'(a)\\&=f'(g(h(a)))\cdot g'(h(a))\cdot h'(a).\end{aligned}}}$$

هذا هو نفسه ما تم حسابه أعلاه. وهذا متوقع لأن ( f ∘ g ) ∘ h = f ∘ ( g ∘ h ) .

أحيانًا، يكون من الضروري التمييز بين تركيب طويل بشكل تعسفي من الشكل${\displaystyle f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n-1}\circ f_{n}\!}$في هذه الحالة، حدد $${\displaystyle f_{a\,.\,.\,b}=f_{a}\circ f_{a+1}\circ \cdots \circ f_{b-1}\circ f_{b}}$$ أين${\displaystyle f_{a\,.\,.\,a}=f_{a}}$و${\displaystyle f_{a\,.\,.\,b}(x)=x}$متى${\displaystyle b<a}$ثم تأخذ قاعدة السلسلة الشكل التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}Df_{1\,.\,.\,n}&=(Df_{1}\circ f_{2\,.\,.\,n})(Df_{2}\circ f_{3\,.\,.\,n})\cdots (Df_{n-1}\circ f_{n\,.\,.\,n})Df_{n}\\&=\prod _{k=1}^{n}\left[Df_{k}\circ f_{(k+1)\,.\,.\,n}\right]\end{aligned}}}$$ أو، باستخدام تدوين لاغرانج، $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{1\,.\,.\,n}'(x)&=f_{1}'\left(f_{2\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{2}'\left(f_{3\,.\,.\,n}(x)\right)\cdots f_{n-1}'\left(f_{n\,.\,.\,n}(x)\right)\;f_{n}'(x)\\[1ex]&=\prod _{k=1}^{n}f_{k}'\left(f_{(k+1\,.\,.\,n)}(x)\right)\end{aligned}}}$$

يمكن استخدام قاعدة السلسلة لاستنتاج بعض قواعد التفاضل المعروفة. على سبيل المثال، قاعدة القسمة هي نتيجة لقاعدة السلسلة وقاعدة الضرب . ولتوضيح ذلك، اكتب الدالة f ( x )/ g ( x ) على صورة حاصل ضرب f ( x ) · 1/ g ( x ) . أولًا، طبّق قاعدة الضرب: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)&={\frac {d}{dx}}\left(f(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}\right)\\&=f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot {\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{g(x)}}\right).\end{aligned}}}$$

لحساب مشتقة 1/ g ( x ) ، لاحظ أنها مركبة من g مع الدالة المقلوبة، أي الدالة التي تجعل x مقلوبًا . مشتقة الدالة المقلوبة هي${\displaystyle -1/x^{2}\!}$بتطبيق قاعدة السلسلة، يصبح التعبير الأخير كما يلي: $${\displaystyle f'(x)\cdot {\frac {1}{g(x)}}+f(x)\cdot \left(-{\frac {1}{g(x)^{2}}}\cdot g'(x)\right)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}},}$$ وهي الصيغة المعتادة لقاعدة القسمة.

لنفترض أن الدالة y = g ( x ) لها دالة عكسية . لنسمِّ هذه الدالة العكسية f بحيث يكون لدينا x = f ( y ) . توجد صيغة لمشتقة f بدلالة مشتقة g . ولإثبات ذلك، لاحظ أن f و g تحققان الصيغة التالية: $${\displaystyle f(g(x))=x.}$$

ولأن الوظائف${\displaystyle f(g(x))}$إذا كانت x و x متساويتين، فإن مشتقاتهما يجب أن تكون متساوية. مشتقة x هي دالة ثابتة قيمتها 1، ومشتقة x هي دالة ثابتة قيمتها 1.${\displaystyle f(g(x))}$يتم تحديد ذلك بواسطة قاعدة السلسلة. لذلك، لدينا ما يلي: $${\displaystyle f'(g(x))g'(x)=1.}$$

للتعبير عن f' كدالة لمتغير مستقل y ، نستبدل${\displaystyle f(y)}$لكل قيمة لـ x أينما ظهرت. ثم يمكننا إيجاد قيمة f' . $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(g(f(y)))g'(f(y))&=1\\f'(y)g'(f(y))&=1\\f'(y)={\frac {1}{g'(f(y))}}.\end{aligned}}}$$

على سبيل المثال، لنفترض الدالة g ( x ) = e^ ^x . لها دالة عكسية f ( y ) = ln y . ولأن g ′( x ) = e^ ^x ، فإن الصيغة أعلاه تنص على أن $${\displaystyle {\frac {d}{dy}}\ln y={\frac {1}{e^{\ln y}}}={\frac {1}{y}}.}$$

تكون هذه الصيغة صحيحة عندما تكون الدالة g قابلة للاشتقاق، وكذلك معكوسها f . لكن هذه الصيغة قد لا تكون صحيحة إذا لم يتحقق أحد هذين الشرطين. على سبيل المثال، لنفترض أن g ( x ) = x³ ^، ومعكوسها هو f ( y ) = y¹ ^/³ ، وهي دالة غير قابلة للاشتقاق عند الصفر. إذا حاولنا استخدام الصيغة السابقة لحساب مشتقة f عند الصفر، فسيتعين علينا حساب 1/ g ′( f (0)) . بما أن f (0) = 0 و g ′(0) = 0 ، فسيتعين علينا حساب 1/0، وهي قيمة غير معرفة. لذلك، تفشل الصيغة في هذه الحالة. وهذا ليس مفاجئًا لأن f غير قابلة للاشتقاق عند الصفر.

تشكل قاعدة السلسلة أساس خوارزمية الانتشار العكسي ، والتي تُستخدم في انحدار التدرج للشبكات العصبية في التعلم العميق ( الذكاء الاصطناعي ). ^{[ 7 ]}

أحد البراهين على قاعدة السلسلة يبدأ بتعريف مشتقة الدالة المركبة f ∘ g ، حيث نأخذ نهاية حاصل قسمة الفرق لـ f ∘ g عندما يقترب x من a : $${\displaystyle (f\circ g)'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{x-a}}.}$$

لنفترض للحظة أن${\displaystyle g(x)\!}$لا يساوي${\displaystyle g(a)}$لأي${\displaystyle x}$قريب${\displaystyle a}$إذن، فإن التعبير السابق يساوي حاصل ضرب عاملين: $${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(g(x))-f(g(a))}{g(x)-g(a)}}\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}$$

لو${\displaystyle g}$إذا تذبذبت الدالة بالقرب من a ، فقد يحدث أنه مهما اقتربنا من a ، يوجد دائمًا x أقرب بحيث g ( x ) = g ( a ) . على سبيل المثال، يحدث هذا بالقرب من a = 0 للدالة المتصلة g المعرفة بـ g ( x ) = 0 عندما x = 0 و g ( x ) = x² sin(1/ x ) فيما عدا ذلك. عندما يحدث هذا، يكون التعبير أعلاه غير معرف لأنه يتضمن القسمة على صفر . للتغلب على هذه المشكلة، نُعرّف ^دالة${\displaystyle Q}$على النحو التالي: $${\displaystyle Q(y)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(y)-f(g(a))}{y-g(a)}},&y\neq g(a),\\f'(g(a)),&y=g(a).\end{cases}}}$$ سنبين أن حاصل قسمة الفرق لـ f ∘ g يساوي دائمًا: $${\displaystyle Q(g(x))\cdot {\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}.}$$

عندما لا تساوي g ( x ) قيمة g ( a ) ، يكون ذلك واضحًا لأن عوامل g ( x ) - g ( a ) تُحذف. عندما تساوي g ( x ) قيمة g ( a ) ، فإن فرق القسمة لـ f ∘ g يساوي صفرًا لأن f ( g ( x )) تساوي f ( g ( a )) ، ويكون حاصل الضرب أعلاه صفرًا لأنه يساوي f ′( g ( a )) مضروبًا في صفر. لذا، فإن حاصل الضرب أعلاه يساوي دائمًا فرق القسمة، ولإثبات وجود مشتقة f ∘ g عند a وتحديد قيمتها، يكفي أن نُثبت وجود نهاية حاصل الضرب أعلاه عندما تقترب x من a، ثم نُحدد قيمتها.

لتحقيق ذلك، تذكر أن نهاية حاصل ضرب عاملين موجودة إذا كانت نهايات عواملهما موجودة. عندئذٍ، تساوي نهاية حاصل ضرب هذين العاملين حاصل ضرب نهايتي العاملين. العاملان هما Q ( g ( x )) و ( g ( x ) - g ( a ))/( x - a ) . يمثل الأخير فرق القسمة للدالة g عند a ، ولأن g قابلة للاشتقاق عند a بحسب الفرض، فإن نهايتها عندما يؤول x إلى a موجودة وتساوي g ′( a ) .

بالنسبة لـ Q ( g ( x )) ، لاحظ أن Q معرفة أينما كانت f معرفة . علاوة على ذلك، فإن f قابلة للتفاضل عند g ( a ) بحسب الفرض، لذا فإن Q متصلة عند g ( a ) بحسب تعريف المشتقة. الدالة g متصلة عند a لأنها قابلة للتفاضل عند a ، وبالتالي فإن Q ∘ g متصلة عند a . إذن، نهايتها عندما x تؤول إلى a موجودة وتساوي Q ( g ( a )) ، وهي f ′( g ( a )) .

يُبيّن هذا أن نهايتي العاملين موجودتان، وأنهما تساويان f ′( g ( a )) و g ′( a ) على التوالي. وبالتالي، فإن مشتقة f ∘ g عند a موجودة وتساوي f ′( g ( a )) g ′( a ) .

هناك طريقة أخرى لإثبات قاعدة السلسلة، وهي قياس الخطأ في التقريب الخطي المحدد بالمشتقة. يتميز هذا البرهان بإمكانية تعميمه على عدة متغيرات. ويعتمد على التعريف المكافئ التالي للاشتقاق عند نقطة ما: تكون الدالة g قابلة للاشتقاق عند النقطة a إذا وُجد عدد حقيقي g ′( a ) ودالة ε ( h ) تؤول إلى الصفر عندما يؤول h إلى الصفر، وعلاوة على ذلك $${\displaystyle g(a+h)-g(a)=g'(a)h+\varepsilon (h)h.}$$ هنا يمثل الجانب الأيسر الفرق الحقيقي بين قيمة g عند a وعند a + h ، بينما يمثل الجانب الأيمن التقريب المحدد بواسطة المشتق بالإضافة إلى حد الخطأ.

في حالة قاعدة السلسلة، توجد دالة ε لأن g يُفترض أنها قابلة للتفاضل عند a . وبناءً على هذا الافتراض، توجد دالة مماثلة لـ f عند g ( a ). وبإضافة η لهذه الدالة ، نحصل على: $${\displaystyle f(g(a)+k)-f(g(a))=f'(g(a))k+\eta (k)k.}$$ لا يفرض التعريف أعلاه أي قيود على η (0)، على الرغم من افتراض أن η ( k ) تؤول إلى الصفر عندما تؤول k إلى الصفر. إذا وضعنا η (0) = 0 ، فإن η تكون متصلة عند الصفر.

يتطلب إثبات النظرية دراسة الفرق f ( g ( a + h )) - f ( g ( a )) عندما يؤول h إلى الصفر. الخطوة الأولى هي استبدال g ( a + h ) باستخدام تعريف قابلية اشتقاق g عند a : $${\displaystyle f(g(a+h))-f(g(a))=f(g(a)+g'(a)h+\varepsilon (h)h)-f(g(a)).}$$ الخطوة التالية هي استخدام تعريف قابلية اشتقاق الدالة f عند g ( a ). يتطلب هذا وجود حد على الصورة f ( g ( a ) + k ) حيث k قيمة معينة . في المعادلة أعلاه، تتغير قيمة k الصحيحة بتغير h . بوضع k = _h = g ′( a ) h + ε ( h ) h ، يصبح الطرف الأيمن f ( g ( a ) + k ₎ - f ( g ( a )) . بتطبيق تعريف المشتقة، نحصل على: $${\displaystyle f(g(a)+k_{h})-f(g(a))=f'(g(a))k_{h}+\eta (k_{h})k_{h}.}$$ لدراسة سلوك هذا التعبير عندما يؤول h إلى الصفر، قم بتوسيع k _h . بعد إعادة تجميع الحدود، يصبح الطرف الأيمن كما يلي: $${\displaystyle f'(g(a))g'(a)h+[f'(g(a))\varepsilon (h)+\eta (k_{h})g'(a)+\eta (k_{h})\varepsilon (h)]h.}$$ بما أن ε ( h ) و η ( kh ₎ تؤولان إلى الصفر عندما تؤول h إلى الصفر، فإن الحدين الأولين بين قوسين يؤولان إلى الصفر عندما تؤول h إلى الصفر. وبتطبيق نفس نظرية حاصل ضرب النهايات كما في البرهان الأول، فإن الحد الثالث بين قوسين يؤول أيضًا إلى الصفر. ولأن التعبير أعلاه يساوي الفرق f ( g ( a + h )) - f ( g ( a )) ، فبحسب تعريف المشتقة، فإن f ∘ g قابلة للتفاضل عند a، ومشتقتها هي f ′( g ( a )) g ′( a ).

يؤدي المتغير η الدور الذي لعبه المتغير Q في البرهان الأول ، ويرتبطان بالمعادلة التالية: $${\displaystyle Q(y)=f'(g(a))+\eta (y-g(a)).}$$ إن الحاجة إلى تعريف Q عند g ( a ) مماثلة للحاجة إلى تعريف η عند الصفر.

يمكن استخدام تعريف قسطنطين كاراثيودوري البديل لقابلية اشتقاق الدالة لتقديم برهان أنيق لقاعدة السلسلة. ^{[ 8 ]}

وفقًا لهذا التعريف، تكون الدالة f قابلة للتفاضل عند النقطة a إذا وفقط إذا وُجدت دالة q متصلة عند a بحيث يكون f ( x ) - f ( a ) = q ( x )( x - a ) . يوجد على الأكثر دالة واحدة من هذا النوع، وإذا كانت f قابلة للتفاضل عند a، فإن f ′( a ) = q ( a ) .

بالنظر إلى افتراضات قاعدة السلسلة وحقيقة أن الدوال القابلة للتفاضل وتركيبات الدوال المتصلة هي دوال متصلة، فإنه يوجد لدينا دالتان q و r متصلتان عند g ( a ) ، بحيث : $${\displaystyle f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))(g(x)-g(a))}$$ و $${\displaystyle g(x)-g(a)=r(x)(x-a).}$$ لذلك، $${\displaystyle f(g(x))-f(g(a))=q(g(x))r(x)(x-a),}$$ لكن الدالة المعطاة بـ h ( x ) = q ( g ( x )) r ( x ) متصلة عند a ، ونحصل، بالنسبة لهذه a$${\displaystyle (f(g(a)))'=q(g(a))r(a)=f'(g(a))g'(a).}$$ يُمكن تطبيق منهج مماثل على الدوال (المتجهة) القابلة للتفاضل باستمرار لمتغيرات متعددة. كما تُتيح هذه الطريقة في التحليل اتباع نهج موحد لأشكال أقوى من قابلية التفاضل، عندما يُشترط أن تكون المشتقة متصلة وفقًا لشرط ليبشيتز ، أو هولدر ، وما إلى ذلك. يُمكن النظر إلى التفاضل نفسه على أنه نظرية باقي كثير الحدود (نظرية بيزو الصغرى ، أو نظرية العامل)، مُعممة على فئة مناسبة من الدوال.

يترك${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$، و${\displaystyle g_{i}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$لكل${\displaystyle i=1,2,\dots ,k.}$ لكتابة قاعدة السلسلة لتركيب الدوال $${\displaystyle x\mapsto f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)),}$$ نحتاج إلى المشتقات الجزئية للدالة f بالنسبة إلى وسيطاتها k . تتضمن الرموز المعتادة للمشتقات الجزئية أسماءً لوسائط الدالة. ولأن هذه الوسائط غير مُسماة في الصيغة أعلاه، فمن الأسهل والأوضح استخدام رمز D ، والإشارة إليه بـ $${\displaystyle D_{i}f}$$ المشتقة الجزئية للدالة f بالنسبة إلى وسيطها رقم i ، و $${\displaystyle D_{i}f(z)}$$ قيمة هذه المشتقة عند z .

باستخدام هذه الصيغة، تكون قاعدة السلسلة هي $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x))=\sum _{i=1}^{k}\left({\frac {d}{dx}}{g_{i}}(x)\right)D_{i}f(g_{1}(x),\dots ,g_{k}(x)).}$$

أبسط طريقة لكتابة قاعدة السلسلة في الحالة العامة هي استخدام المشتقة الكلية ، وهي تحويل خطي يجمع جميع المشتقات الاتجاهية في صيغة واحدة. لنفترض دالتين قابلتين للتفاضل f  : R ^m → R ^k و g  : R ⁿ → R ^m ، ونقطة a في R ⁿ . لنرمز بـ D _a g إلى المشتقة الكلية للدالة g عند النقطة a، ولنرمز بـ D _{g ( a )} f إلى المشتقة الكلية للدالة f عند النقطة g ( a ) . هاتان المشتقتان هما تحويلان خطيان R ⁿ → R ^m و R ^m → R ^k على التوالي، لذا يمكن تركيبهما. قاعدة السلسلة للمشتقات الكلية هي أن تركيبها هو المشتقة الكلية للدالة f ∘ g عند النقطة a . $${\displaystyle D_{\mathbf {a} }(f\circ g)=D_{g(\mathbf {a} )}f\circ D_{\mathbf {a} }g,}$$ أو باختصار، $${\displaystyle D(f\circ g)=Df\circ Dg.}$$ يمكن إثبات قاعدة السلسلة ذات الأبعاد الأعلى باستخدام تقنية مشابهة للإثبات الثاني المذكور أعلاه. ^{[ 9 ]}

بما أن المشتقة الكلية تحويل خطي، يمكن إعادة كتابة الدوال الواردة في الصيغة على شكل مصفوفات. تُسمى المصفوفة المناظرة للمشتقة الكلية مصفوفة جاكوبية ، ومحصلة مشتقتين تُقابل حاصل ضرب مصفوفاتهما اليعقوبية. من هذا المنظور، تنص قاعدة السلسلة على ما يلي: $${\displaystyle J_{f\circ g}(\mathbf {a} )=J_{f}(g(\mathbf {a} ))J_{g}(\mathbf {a} ),}$$ أو باختصار، $${\displaystyle J_{f\circ g}=(J_{f}\circ g)J_{g}.}$$

أي أن جاكوبيان الدالة المركبة هو حاصل ضرب جاكوبيان الدوال المركبة (التي تم تقييمها عند النقاط المناسبة).

قاعدة السلسلة متعددة الأبعاد هي تعميم لقاعدة السلسلة أحادية البعد. إذا كانت قيم k و m و n تساوي 1، بحيث يكون f  : R → R و g  : R → R ، فإن مصفوفات جاكوبي للدالتين f و g هي مصفوفات من الرتبة 1 × 1. وتحديدًا، هي: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{g}(a)&={\begin{pmatrix}g'(a)\end{pmatrix}},\\J_{f}(g(a))&={\begin{pmatrix}f'(g(a))\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$ مصفوفة جاكوبي للدالة f ∘ g هي حاصل ضرب هاتين المصفوفتين من الرتبة 1 × 1 ، لذا فهي f ′( g ( a ))⋅ g ′( a ) ، كما هو متوقع من قاعدة السلسلة أحادية البعد. في لغة التحويلات الخطية، D _a ( g ) هي الدالة التي تُغيّر حجم المتجه بمعامل g ′( a ) و D _{g ( a )} ( f ) هي الدالة التي تُغيّر حجم المتجه بمعامل f ′( g ( a )) . تنص قاعدة السلسلة على أن مُركّب هذين التحويلين الخطيين هو التحويل الخطي D _a ( f ∘ g ) ، وبالتالي فهو الدالة التي تُغيّر حجم المتجه بمعامل f ′( g ( a ))⋅ g ′( a ) .

_{تُستخدم طريقة أخرى} لكتابة قاعدة السلسلة عندما تُعبّر الدالتان f و g بدلالة مركباتهما كما يلي: y = f ( u ) = ( f₁ ( u ) , …, fₖ ( u )) و u = g ( x ) = ( g₁ ₍ x ), …, gₘ ₍ x )) . في هذه الحالة، تُكتب القاعدة المذكورة أعلاه لمصفوفات جاكوبي عادةً على النحو _التالي :$${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}.}$$

تُشير قاعدة السلسلة للمشتقات الكلية إلى وجود قاعدة سلسلة للمشتقات الجزئية. تذكر أنه عند وجود المشتقة الكلية، تُحسب المشتقة الجزئية في اتجاه الإحداثي i بضرب مصفوفة جاكوبي في متجه الأساس i . بتطبيق ذلك على الصيغة أعلاه، نجد: $${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}}{\frac {\partial (u_{1},\ldots ,u_{m})}{\partial x_{i}}}.}$$ بما أن عناصر مصفوفة جاكوبي هي مشتقات جزئية، يمكننا تبسيط الصيغة أعلاه للحصول على: $${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{k})}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}.}$$ من الناحية المفاهيمية، تعبر هذه القاعدة عن حقيقة أن التغيير في اتجاه x _i قد يغير كل g ₁ إلى g _m ، وأي من هذه التغييرات قد يؤثر على f .

في الحالة الخاصة حيث k = 1 ، بحيث تكون f دالة ذات قيم حقيقية، فإن هذه الصيغة تتبسط أكثر: $${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\sum _{\ell =1}^{m}{\frac {\partial y}{\partial u_{\ell }}}{\frac {\partial u_{\ell }}{\partial x_{i}}}.}$$ يمكن إعادة كتابة هذا كحاصل ضرب نقطي . مع الأخذ في الاعتبار أن u = (g1, …, gm) ، فإن المشتقة الجزئية ∂u _{/ ∂xi} هي أيضًا متجه ، وتنص _قاعدة السلسلة على ما يلي: $${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}=\nabla y\cdot {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{i}}}.}$$