في حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد ، يُطلق عادةً اسم " حاصل القسمة التفاضلي" على هذا التعبير.
عند أخذ هذه النهاية عندما يقترب h من الصفر ، نحصل على مشتقة الدالة f . [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] يُشتق اسم هذا التعبير من كونه ناتج قسمة الفرق بين قيم الدالة على الفرق بين القيم المناظرة لمتغيرها (وهو ( x + h ) - x = h في هذه الحالة). [ 5 ] [ 6 ] يُعد ناتج قسمة الفرق مقياسًا لمعدل التغير المتوسط للدالة على فترة زمنية (في هذه الحالة، فترة طولها h ). [ 7 ] [ 8 ] : 237 [ 9 ] وبالتالي، فإن نهاية ناتج قسمة الفرق (أي المشتقة) هي معدل التغير اللحظي . [ 9 ]
بتغيير طفيف في الترميز (ووجهة النظر)، بالنسبة لفترة [ a , b ]، فإن حاصل قسمة الفرق
إن المفهوم الشائع لفرق القسمة المذكور أعلاه هو حالة خاصة من مفهوم أعمّ. والأداة الأساسية في حساب التفاضل والتكامل والرياضيات المتقدمة الأخرى هي الدالة . و"قيمة الإدخال" لها هي وسيطها ، وعادةً ما تكون نقطة ("P") يمكن تمثيلها بيانيًا. ويُعرف الفرق بين نقطتين بحد ذاتهما باسم دلتا (ΔP ) ، وكذلك الفرق في ناتج دالتهما، ويُحدد الترميز الخاص بذلك بناءً على اتجاه التكوين.
الفرق الأمامي: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) − F ( P );
يُفضّل عموماً التوجه الأمامي، حيث أن F(P) هي الأساس الذي تُضاف إليه الفروق (أي "ΔP"). علاوة على ذلك،
إذا كانت |ΔP| محدودة (بمعنى قابلة للقياس)، فإن ΔF(P) تُعرف باسم الفرق المحدود ، مع دلالات محددة لـ DP و DF(P)؛
إذا كانت قيمة |ΔP| متناهية الصغر (كمية صغيرة للغاية——عادة ما يتم التعبير عنها في التحليل القياسي على شكل حد:), ثم يُعرف ΔF(P) باسم الفرق المتناهي الصغر ، مع دلالات محددة لـ dP و dF(P) (في رسم التفاضل والتكامل، يتم تحديد النقطة بشكل حصري تقريبًا على أنها "x" و F(x) على أنها "y").
يُعرف الفرق بين الدالتين مقسومًا على الفرق بين نقطتين باسم "حاصل القسمة التفاضلية":
إذا كان ΔP متناهي الصغر، فإن حاصل قسمة الفرق يكون مشتقة ، وإلا فهو فرق مقسوم :
تحديد نطاق النقاط
بغض النظر عما إذا كانت ΔP متناهية الصغر أو محدودة، فهناك (على الأقل - في حالة المشتقة - نظريًا) نطاق نقطي، حيث تكون الحدود P ± (0.5) ΔP (اعتمادًا على الاتجاه - ΔF(P) أو δF(P) أو ∇F(P)):
LB = الحد السفلي؛ UB = الحد العلوي؛
يمكن اعتبار المشتقات دوالًا بحد ذاتها، إذ تحتوي على مشتقاتها الخاصة. وبالتالي، فإن كل دالة تضم درجات متسلسلة ("رتب أعلى") من الاشتقاق أو التفاضل . ويمكن تعميم هذه الخاصية على جميع فروق القسمة. ولأن هذا التسلسل يتطلب تقسيمًا حدوديًا مماثلًا، فمن العملي تقسيم نطاق النقاط إلى أقسام أصغر متساوية الحجم، مع تمييز كل قسم بنقطة وسيطة ( P <sub>i </sub> )، حيث LB = P<sub> 0 </sub> وUB = P <sub>ń</sub> ، وهي النقطة رقم n ، والتي تساوي الدرجة/الرتبة.
LB = P 0 = P 0 + 0Δ 1 P = P ń − (Ń-0)Δ 1 P; P 1 = P 0 + 1Δ 1 P = P ń − (Ń-1)Δ 1 P؛ P 2 = P 0 + 2Δ 1 P = P ń − (Ń-2)Δ 1 P؛ P 3 = P 0 + 3Δ 1 P = P ń − (Ń-3)Δ 1 P؛ ↓ ↓ ↓ ↓ P ń-3 = P 0 + (Ń-3)Δ 1 P = P ń − 3Δ 1 P؛ P ń-2 = P 0 + (Ń-2)Δ 1 P = P ń − 2Δ 1 P؛ P ń-1 = P 0 + (Ń-1)Δ 1 P = P ń − 1Δ 1 P؛ UB = P ń-0 = P 0 + (Ń-0)Δ 1 P = P ń − 0Δ 1 P = P ń ;
ΔP = Δ 1 P = P 1 − P 0 = P 2 − P 1 = P 3 − P 2 = ... = P ń − P ń-1 ;
ΔB = UB − LB = P ń − P 0 = Δ ń P = ŃΔ 1 P.
حاصل القسمة التفاضلي الأساسي ( Ń = 1)
كمشتق
لا يحتاج حاصل القسمة التفاضلي كمشتق إلى شرح، باستثناء الإشارة إلى أنه بما أن P 0 يساوي أساسًا P 1 = P 2 = ... = P ń (لأن الفروق متناهية الصغر)، فإن تدوين لايبنتز وتعبيرات المشتقات لا تميز بين P و P 0 أو P ń :
توجد رموز مشتقة أخرى ، لكن هذه هي التسميات الأكثر شهرة ومعايير.
كفرق مقسم
ومع ذلك، فإن الفرق المقسم يتطلب مزيدًا من التوضيح، لأنه يساوي متوسط المشتق بين LB و UB بما في ذلك:
في هذا التفسير، يُمثل P ã دالة مُستخرجة، وهي القيمة المتوسطة لـ P (المدى المتوسط، ولكن عادةً ليس نقطة المنتصف تمامًا)، وتعتمد القيمة المحددة على الدالة التي يُستخرج منها المتوسط. وبشكل أكثر دقة، يُوجد P ã في نظرية القيمة المتوسطة في حساب التفاضل والتكامل، والتي تنص على ما يلي:
بالنسبة لأي دالة متصلة على [LB,UB] وقابلة للتفاضل على (LB,UB) يوجد بعض P ã في الفترة (LB,UB) بحيث يكون القاطع الذي يصل بين نهايتي الفترة [LB,UB] موازياً للمماس عند P ã .
باختصار، يشير P ã إلى قيمة ما لـ P تقع بين LB و UB، ومن ثم
والذي يربط نتيجة القيمة المتوسطة بالفرق المقسم:
وبما أن هناك، بحكم تعريفها، فرقًا ملموسًا بين LB/P 0 و UB/P ń ، فإن تعبيرات لايبنيز والمشتقات تتطلب تجزئة وسيط الدالة.
نسب الفرق من الرتبة العليا
الطلب الثاني
الدرجة الثالثة
الرتبة N
تطبيق الفرق المقسم
يتمثل التطبيق الأساسي للفرق المقسم في عرض التكامل المحدد، والذي ليس أكثر من فرق محدود:
بما أن صيغة التعبير عن المشتقة المتوسطة توفر جميع المعلومات نفسها التي توفرها الصيغة التكاملية الكلاسيكية، فقد تكون صيغة القيمة المتوسطة هي الصيغة المفضلة، كما هو الحال في الكتابة في بيئات تدعم/تقبل فقط نص ASCII القياسي ، أو في الحالات التي تتطلب فقط المشتقة المتوسطة (مثل إيجاد نصف القطر المتوسط في التكامل الإهليلجي ). وينطبق هذا بشكل خاص على التكاملات المحددة التي لها من الناحية الفنية (على سبيل المثال) صفر وأوكحدود، مع نفس الفرق المقسم الذي تم العثور عليه مع حدود 0 و(وبالتالي يتطلب ذلك جهدًا أقل في حساب المتوسط):
يصبح هذا مفيدًا بشكل خاص عند التعامل مع التكاملات المتكررة والمتعددة (ΔA = AU − AL, ΔB = BU − BL, ΔC = CU − CL) :
1 2 تامارا ليفكورت روبي؛ جيمس سيلرز؛ ليزا كورف؛ جيريمي فان هورن؛ مايك مون (2014). كابلان AP حساب التفاضل والتكامل AB وBC 2015. دار نشر كابلان. ص 299. ISBN978-1-61865-686-5.
![إذا كان |ΔP| > π: ΔF(P)/ΔP = DF(P)/DP = F[P, P + ΔP].](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31a9ce0612b2a5b0e4c2e0866c35c11b2e64c811)
![{\displaystyle {\begin{align}P_{(tn)}&=LB+{\frac {TN-1}{UT-1}}\Delta B\ =UB-{\frac {UT-TN}{UT-1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_ {(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {أبيض}.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}}.\end{محاذاة}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34f856f510e32d4991b600e7822810ac090e2f2b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {DF(P_{0})}{DP}}&=F[P_{0},P_{1}]={\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}}=F'(P_{0}<P<P_{1})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'(P_{(tn)})}{UT}},\\[8pt]&={\frac {DF(LB)}{DB}}={\frac {\Delta F(LB)}{\Delta B}}={\frac {\nabla F(UB)}{\Delta B}},\\[8pt]&=F[LB,UB]={\frac {F(UB)-F(LB)}{UB-LB}},\\[8pt]&=F'(LB<P<UB)=G(LB<P<UB).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64d11d71d39b0cac5f743df7f793b5423a220627)
![\displaystyle \begin{aligned}{\frac {\Delta ^{2}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}&={\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta ΔP² = {\frac{F(P₂)-2F(P₁)+F(P₀)}{\Delta₁P²}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7653e6ebfe8b3047239f1f8ceca7a6b11a4c706d)
![\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&=F''(P)=G'(P)=H(P)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f4c034760e8831db35c8be43466dca9801cc899)
![\displaystyle \begin{aligned}{\frac {D^{2}F(P_{0})}{DP^{2}}}&={\frac {DF'(P_{0})}{DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \neq {\frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2}]={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F''(P_{0}<P<P_{2})=\sum _{TN=1}^{\infty }{\frac {F''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G'(P_{0}<P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2dd944930910885fd11b60397bc2fce4f2bf801f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^{2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1}P}}={\frac {{\frac {\Delta F'(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {\Delta F'(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})}{\Delta [10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F(P_{3})-2F(P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F(P_{0})}{\Delta \{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2ef9fc1aa01c46effe4ddf371f9b183da1d1dcf)
![\displaystyle \begin{aligned}{\frac {d^{3}F(P)}{dP^{3}}}&={\frac {d^{2}F'(P)}{dP^{2}}}={\frac {dF''(P)}{dP}}={\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {d^{2}G(P)}{dP^{2}}}\ ={\frac {dG'(P)}{dP}}\ ={\frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G(P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{dP^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P)=G''(P)=H'(P)=I(P);\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f3dd2ad0b83746c1a0246f73bc1f0927b75619)
![\begin{aligned}{\frac {D^{3}F(P_{0})}{DP^{3}}}&={\frac {D^{2}F'(P_{0})}{DP^{2}}}={\frac {DF''(P_{0})}{DP}}={\frac {F''(P_{1}<P<P_{3})-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \ \neq {\frac {F''(P_{1})-F''(P_{0})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-F'(P_{1}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'(P_{1}<P<P_{2})+F'(P_{0}<P<P_{1})}{(P_{1}-P_{0})^{2}}},\\[10pt]&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3}]={\frac {F(P_{3})-3F(P_{2})+3F(P_{1})-F(P_{0})}{(P_{1}-P_{0})^{3}}},\\[10pt]&=F'''(P_{0}<P<P_{3})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F'''(P_{(tn)})}{UT}},\\[10pt]&=G''(P_{0}<P<P_{3})\ =H'(P_{0}<P<P_{3})=I(P_{0}<P<P_{3}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30ba44a0f50679c97f5b387af7dd11daf4d39ba)
![\displaystyle \begin{aligned}\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})&=F^{({\acute {n}}-1)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-1)}(P_{0}),\\[10pt]&={\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-2)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-2)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{3})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad -{\frac {{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{2})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F^{({\acute {n}}-3)}(P_{1})-F^{({\acute {n}}-3)}(P_{0})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&=\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b7dad583886237ae513ff67ad188c2030d3ea91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose {\acute {N}}-I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{0}+I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\\[10pt]&{\frac {\nabla ^{\acute {n}}F(P_{\acute {n}})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}\\[10pt]&={\frac {\sum _{I=0}^{\acute {N}}{-1 \choose I}{{\acute {N}} \choose I}F(P_{\acute {n}}-I\Delta _{1}P)}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f9194c3bb135c82365145f40c4ad16c647502c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{\acute {n}}F(P_{0})}{dP^{\acute {n}}}}&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}F'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-2}F''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}={\frac {d^{{\acute {n}}-3}F'''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}F^{(r)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-1}G(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-1}}}\\[10pt]&={\frac {d^{{\acute {n}}-2}G'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}G''(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}G^{(r-1)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad ={\frac {d^{{\acute {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}H'(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}H^{(r-2)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\&{\color {white}.}\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ =\ {\frac {d^{{\acute {n}}-3}I(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\acute {n}}-r}I^{(r-3)}(P_{0})}{dP^{{\acute {n}}-r}}},\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P)=G^{({\acute {n}}-1)}(P)=H^{({\acute {n}}-2)}(P)=I^{({\acute {n}}-3)}(P)=\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fd455f469966afb9e49acbfb7fd63550be318a4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D^{\acute {n}}F(P_{0})}{DP^{\acute {n}}}}&=F[P_{0},P_{1},P_{2},P_{3},\ldots ,P_{{\acute {n}}-3},P_{{\acute {n}}-2},P_{{\acute {n}}-1},P_{\acute {n}}],\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(P_{0}<P<P_{\acute {n}})=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F^{({\acute {n}})}(P_{(tn)})}{UT}}\\[10pt]&=F^{({\acute {n}})}(LB<P<UB)=G^{({\acute {n}}-1)}(LB<P<UB)=\cdots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b375b60c7bae7c49c83567c022255d106be66acb)
![\begin{aligned}\int_{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int_{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB)-F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&=\G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997fd5c4d756e16ef9ffc40d18a4645961c4d0bd)
![\begin{aligned}\int_{0}^{2\pi}F'(p)\,dp&=4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}F'(p)\,dp=F(2\pi)-F(0)=4(F(\begin{matrix}{\frac{\pi}{2}}\end{matrix}})-F(0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi]=2\pi F'(0<P<2\pi),\\[10pt]&=2\pi F[0,\begin{matrix}{\frac{\pi}{2}}\end{matrix}}]=2\pi F'(0<P<\begin{matrix}{\frac{\pi}{2}}\end{matrix}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b8dfc785bfb525d1d7f054c11c4a579514d919)
![\begin{aligned}\qquad \int _{CL}^{CU}\int _{BL}^{BU}\int _{AL}^{AU}F'(r,q,p)\,dp\,dq\,dr\\[10pt]&=\sum _{T\!C=1}^{U\!C=\infty }\left(\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T\!A=1}^{U\!A=\infty }F^{'}(R_{(tc)}:Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU)\Delta A\,\Delta B\,\Delta C.\end{محاذاة}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276c5ed447c4e5489b878266550a21b6aabc6a12)
