الخط القاطع

في الهندسة ، القاطع هو خط مستقيم يقطع منحنى في نقطتين مختلفتين على الأقل . ^{[ 1 ]} كلمة "قاطع " مشتقة من الكلمة اللاتينية " secare " التي تعني "يقطع" . ^{[ 2 ]} في حالة الدائرة ، يقطع القاطع الدائرة في نقطتين فقط. الوتر هو القطعة المستقيمة المحددة بين هاتين النقطتين، أي المسافة على القاطع التي تنتهي عند هاتين النقطتين. ^{[ 3 ]}

يمكن أن يتقاطع الخط المستقيم مع الدائرة في صفر أو نقطة واحدة أو نقطتين. يُسمى الخط الذي يتقاطع مع الدائرة في نقطتين قاطعًا ، وفي نقطة واحدة مماسًا ، وفي حالة عدم التقاطع في أي نقطة خطًا خارجيًا . الوتر هو القطعة المستقيمة التي تصل بين نقطتين مختلفتين على الدائرة. وبالتالي، فإن الوتر موجود داخل قاطع واحد فقط، وكل قاطع يُحدد وترًا واحدًا.

في المعالجات الحديثة الصارمة للهندسة المستوية ، يتم عادةً إثبات النتائج التي تبدو بديهية والتي افترضها إقليدس (دون بيان) في معالجته .

على سبيل المثال، نظرية (الاستمرارية الدائرية الأولية) : ^{[ 4 ]} إذا${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هي دائرة و${\displaystyle \ell }$خط يحتوي على النقطة أ الموجودة في الداخل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ونقطة ب تقع خارج${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ثم${\displaystyle \ell }$هو خط قاطع لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

في بعض الحالات، قد يساعد استخدام خطوط القطع بدلاً من الأوتار في صياغة النتائج على توحيد الجمل الموسيقية. كمثال على ذلك، انظر إلى النتيجة التالية: ^{[ 5 ]}

إذا احتوى خطان قاطعان على وترين AB و CD في دائرة وتقاطعا عند نقطة P ليست على الدائرة، فإن أطوال القطع المستقيمة تحقق AP ⋅ PB = CP ⋅ PD .

إذا كانت النقطة P تقع داخل الدائرة، فهذا ما ورد في كتاب إقليدس III.35، أما إذا كانت النقطة خارج الدائرة، فإن النتيجة غير موجودة في كتاب الأصول. مع ذلك، فقد برهن روبرت سيمسون، متأثرًا بكريستوفر كلافيوس، على هذه النتيجة، التي تُعرف أحيانًا بنظرية القواطع المتقاطعة ، في شروحهما على كتاب إقليدس. ^{[ 6 ]}

بالنسبة للمنحنيات الأكثر تعقيدًا من الدوائر البسيطة، قد يتقاطع خط مع المنحنى في أكثر من نقطتين مختلفتين. يُعرّف بعض المؤلفين الخط القاطع للمنحنى بأنه الخط الذي يتقاطع معه في نقطتين مختلفتين. هذا التعريف لا يُلغي إمكانية وجود نقاط تقاطع أخرى بين الخط والمنحنى. عند صياغة التعريف بهذه الطريقة، يصبح تعريف الخط القاطع للدوائر والمنحنيات متطابقًا، ولا يُحتمل وجود نقاط تقاطع إضافية في حالة الدائرة.

القواطع والمماسات

يمكن استخدام القواطع لتقريب خط المماس لمنحنى عند نقطة ما P ، إن وُجد. يُعرَّف القاطع لمنحنى بنقطتين P و Q ، حيث P ثابتة و Q متغيرة. عندما تقترب Q من P على طول المنحنى، إذا اقترب ميل القاطع من قيمة حدية ، فإن هذه القيمة الحدية تُحدد ميل خط المماس عند P. ^{[ 1 ]} خطوط القاطع PQ هي تقريبات لخط المماس . في حساب التفاضل والتكامل، تُعرف هذه الفكرة بالتعريف الهندسي للمشتقة .

قد يكون الخط المماس لمنحنى عند النقطة P خطًا قاطعًا لهذا المنحنى إذا تقاطع معه في نقطة واحدة على الأقل غير P. ويمكن النظر إلى هذا الأمر من زاوية أخرى، وهي أن كون الخط مماسًا عند النقطة P خاصية محلية ، تعتمد فقط على المنحنى في الجوار المباشر لـ P ، بينما كونه قاطعًا خاصية شاملة ، إذ يتطلب الأمر فحص كامل نطاق الدالة التي تُنتج المنحنى.

يمكن تطبيق مفهوم الخط القاطع في سياق أعم من الفضاء الإقليدي. لنفترض أن K مجموعة منتهية من k نقطة في فضاء هندسي ما. يُسمى الخط قاطعًا من الرتبة n للمجموعة K إذا كان يحتوي على n نقطة من K بالضبط . ^{[ 7 ]} على سبيل المثال، إذا كانت K مجموعة من 50 نقطة مرتبة على دائرة في المستوى الإقليدي، فإن الخط الواصل بين نقطتين منها يُسمى قاطعًا من الرتبة 2 (أو منصفًا )، والخط المار بنقطة واحدة منها فقط يُسمى قاطعًا من الرتبة 1 (أو أحادي القاطع ). في هذا المثال، لا يشترط أن يكون القاطع الأحادي مماسًا للدائرة.

يُستخدم هذا المصطلح بكثرة في هندسة التلاقي والهندسة المتقطعة . فعلى سبيل المثال، تنص نظرية سيلفستر-غالاي في هندسة التلاقي على أنه إذا لم تكن n نقطة في الهندسة الإقليدية على استقامة واحدة، فلا بد من وجود قاطع ثنائي لها. أما مسألة زراعة البستان الأصلية في الهندسة المتقطعة، فتطرح سؤالًا حول عدد القواطع الثلاثية لمجموعة منتهية من النقاط.

إن محدودية مجموعة النقاط ليست ضرورية في هذا التعريف، طالما أن كل خط يمكن أن يتقاطع مع المجموعة في عدد محدود من النقاط فقط.

• المنحنى الإهليلجي ، وهو منحنى يكون لكل قاطع فيه نقطة تقاطع ثالثة، ومنه يمكن تعريف معظم قانون المجموعة
• تنص نظرية القيمة المتوسطة على أن كل قاطع لمنحنى دالة ملساء له مماس موازٍ له
• القاطع الرباعي ، وهو خط يتقاطع مع أربع نقاط من منحنى (عادةً ما يكون منحنى فضائي).
• المستوى القاطع ، وهو المكافئ ثلاثي الأبعاد للخط القاطع
• التنوع القاطع ، اتحاد الخطوط القاطعة والخطوط المماسية لتنوع إسقاطي معين
• نظرية المماس والقاطع ، التي تصف العلاقة بين القطع المستقيمة الناتجة عن القاطع والمماس

• وايسشتاين، إريك دبليو. "الخط القاطع" . عالم الرياضيات .