المماس

في الهندسة ، يكون الخط المماس (أو المماس ببساطة) لمنحنى مستوٍ عند نقطة معينة ، بديهيًا، هو الخط المستقيم الذي "يلمس" المنحنى عند تلك النقطة. وقد عرّفه لايبنيز بأنه الخط الذي يمر عبر زوج من النقاط القريبة بشكل لا نهائي على المنحنى. ^{[1] [2]} وبشكل أكثر دقة، يكون الخط المستقيم مماسًا للمنحنى y = f ( x ) عند نقطة x = c إذا مر الخط عبر النقطة ( c ، f ( c )) على المنحنى وكان ميله f ' ( c ) ، حيث f ' هو المشتق لـ f . ينطبق تعريف مماثل على منحنيات الفضاء والمنحنيات في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .

النقطة التي يلتقي فيها أو يتقاطع فيها خط المماس مع المنحنى تسمى نقطة التماس . ويقال إن خط المماس "يسير في نفس اتجاه" المنحنى، وبالتالي فهو أفضل تقريب لخط مستقيم للمنحنى عند تلك النقطة. ويمكن أيضًا اعتبار خط المماس لنقطة على منحنى قابل للاشتقاق تقريب لخط المماس ، وهو الرسم البياني للدالة التآلفية التي تقرب بشكل أفضل الدالة الأصلية عند النقطة المعينة. ^[3]

على نحو مماثل، فإن المستوى المماس لسطح عند نقطة معينة هو المستوى الذي "يلمس" السطح عند تلك النقطة. يعد مفهوم المماس أحد أكثر المفاهيم الأساسية في الهندسة التفاضلية وقد تم تعميمه على نطاق واسع؛ انظر فضاء المماس .

كلمة "ظل" تأتي من الكلمة اللاتينية tangere ، والتي تعني "اللمس".

يشير إقليدس عدة مرات إلى المماس ( ἐφαπτομένη ephaptoménē ) للدائرة في الكتاب الثالث من العناصر (حوالي 300 قبل الميلاد). ^[4] في عمل أبولونيوس المخروطيات (حوالي 225 قبل الميلاد) يعرّف المماس بأنه خط لا يمكن لأي خط مستقيم آخر أن يقع بينه وبين المنحنى . ^[5]

وجد أرخميدس (حوالي 287 - حوالي 212 قبل الميلاد) المماس لحلزون أرخميدس من خلال النظر في مسار نقطة تتحرك على طول المنحنى. ^[5]

في ثلاثينيات القرن السابع عشر، طور فيرما تقنية المساواة لحساب الظلال والمشكلات الأخرى في التحليل واستخدمها لحساب الظلال للمكافئ. تشبه تقنية المساواة أخذ الفرق بين و وقسمته على قوة . بشكل مستقل، استخدم ديكارت طريقته في الخطوط العمودية بناءً على ملاحظة أن نصف قطر الدائرة يكون دائمًا عموديًا على الدائرة نفسها. ^[6]${\displaystyle f(x+h)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle h}$

أدت هذه الأساليب إلى تطوير حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر. ساهم العديد من الأشخاص. اكتشف روبيرفال طريقة عامة لرسم المماسات، من خلال النظر إلى المنحنى كما هو موصوف بنقطة متحركة تكون حركتها محصلة لعدة حركات أبسط. ^{[7] وجد} رينيه فرانسوا دي سلوز ويوهانس هود خوارزميات جبرية لإيجاد المماسات. ^[8] تضمنت التطورات الأخرى تلك التي قام بها جون واليس وإسحاق بارو ، مما أدى إلى نظرية إسحاق نيوتن وجوتفريد لايبنتز .

كان تعريف المماس في عام 1828 هو "خط مستقيم يلامس منحنى، ولكن عندما يتم رسمه، لا يقطعه". ^[9] يمنع هذا التعريف القديم نقاط الانعطاف من أن يكون لها أي مماس. تم رفضه والتعريفات الحديثة تعادل تلك التي قدمها لايبنتز ، الذي عرّف خط المماس بأنه الخط الذي يمر عبر زوج من النقاط القريبة بشكل لا نهائي على المنحنى؛ في المصطلحات الحديثة، يتم التعبير عن هذا على النحو التالي: المماس لمنحنى عند نقطة P على المنحنى هو حد الخط الذي يمر عبر نقطتين من المنحنى عندما تميل هاتان النقطتان إلى P.

يمكن توضيح الفكرة البديهية القائلة بأن الخط المماس "يلمس" منحنى بشكل أكثر وضوحًا من خلال النظر في تسلسل الخطوط المستقيمة ( الخطوط القاطعة ) التي تمر عبر نقطتين، A و B ، تلك التي تقع على منحنى الدالة. المماس عند A هو الحد عندما تقترب النقطة B أو تميل إلى A. يعتمد وجود الخط المماس وتميزه على نوع معين من السلاسة الرياضية، والمعروف باسم "قابلية التفاضل". على سبيل المثال، إذا التقى قوسان دائريان عند نقطة حادة (رأس) فلا يوجد مماس محدد بشكل فريد عند الرأس لأن حد تقدم الخطوط القاطعة يعتمد على الاتجاه الذي تقترب فيه "النقطة B " من الرأس.

في معظم النقاط، يلامس المماس المنحنى دون أن يقطعه (رغم أنه قد يقطع المنحنى عند استمراره في أماكن أخرى بعيدًا عن نقطة المماس). تسمى النقطة التي يقطع فيها المماس (عند هذه النقطة) المنحنى نقطة انعطاف . لا تحتوي الدوائر والمكافئات والقطع الزائد والقطع الناقص على أي نقطة انعطاف، ولكن المنحنيات الأكثر تعقيدًا لها، مثل رسم الدالة المكعبة ، التي لها نقطة انعطاف واحدة فقط ، أو الجيب، الذي له نقطتا انعطاف لكل فترة من الجيب .

وعلى العكس من ذلك، قد يحدث أن يقع المنحنى بالكامل على جانب واحد من خط مستقيم يمر عبر نقطة عليه، ومع ذلك فإن هذا الخط المستقيم ليس خطًا مماسًا. هذه هي الحال، على سبيل المثال، بالنسبة للخط الذي يمر عبر رأس مثلث ولا يتقاطع معه بأي طريقة أخرى - حيث لا يوجد خط المماس للأسباب الموضحة أعلاه. في الهندسة المحدبة ، تسمى هذه الخطوط خطوطًا داعمة .

إن الفكرة الهندسية للخط المماس باعتباره حدًا للخطوط القاطعة تعمل كدافع للطرق التحليلية المستخدمة لإيجاد الخطوط المماسّة بشكل صريح. كانت مسألة إيجاد الخط المماس للرسم البياني، أو مشكلة الخط المماس، واحدة من الأسئلة المركزية التي أدت إلى تطوير حساب التفاضل والتكامل في القرن السابع عشر. في الكتاب الثاني من كتابه الهندسة ، قال رينيه ديكارت ^[10] عن مشكلة إنشاء المماس للمنحنى، "وأنا أجرؤ على القول إن هذه ليست فقط المشكلة الأكثر فائدة والأكثر عمومية في الهندسة التي أعرفها، بل حتى المشكلة التي رغبت في معرفتها على الإطلاق". ^[11]

افترض أن المنحنى معطى كرسم بياني لدالة ، y = f ( x ) . لإيجاد خط المماس عند النقطة p = ( a , f ( a ))، ضع في اعتبارك نقطة قريبة أخرى q = ( a + h , f ( a + h )) على المنحنى. ميل الخط القاطع المار عبر p و q يساوي حاصل القسمة

$${\displaystyle {\f(a+h)-f(a)}{h}}.}$$

عندما تقترب النقطة q من p ، وهو ما يتوافق مع جعل h أصغر فأصغر، يجب أن يقترب حاصل الفرق من قيمة حدية معينة k ، وهي ميل الخط المماس عند النقطة p . إذا كانت k معروفة، فيمكن إيجاد معادلة الخط المماس في صيغة النقطة-الميل:

$${\displaystyle yf(a)=k(xa).\,}$$

لجعل المنطق السابق صارمًا، يجب على المرء أن يشرح ما يُقصد بحاصل الفرق الذي يقترب من قيمة حدية معينة k . تم تقديم الصيغة الرياضية الدقيقة بواسطة كوشي في القرن التاسع عشر وتستند إلى مفهوم الحد . افترض أن الرسم البياني ليس به كسر أو حافة حادة عند p وأنه ليس عموديًا ولا متعرجًا جدًا بالقرب من p . ثم ​​توجد قيمة فريدة لـ k بحيث، عندما يقترب h من 0، يقترب حاصل الفرق أكثر فأكثر من k ، وتصبح المسافة بينهما مهملة مقارنة بحجم h ، إذا كانت h صغيرة بما يكفي. يؤدي هذا إلى تعريف ميل الخط المماس للرسم البياني كحد لحاصل الفرق للدالة f . هذا الحد هو المشتق للدالة f عند x = a ، ويشار إليه بـ f  ′( a ). باستخدام المشتقات، يمكن صياغة معادلة الخط المماس على النحو التالي:

${\displaystyle y=f(a)+f'(a)(xa).\,}$

يوفر حساب التفاضل والتكامل قواعد لحساب مشتقات الدوال المعطاة بواسطة صيغ، مثل دالة القوة ، والدوال المثلثية ، والدالة الأسية ، واللوغاريتم ، ومجموعاتها المختلفة. وبالتالي، يمكن إيجاد معادلات الظلال للرسوم البيانية لكل هذه الدوال، بالإضافة إلى العديد من الدوال الأخرى، من خلال طرق حساب التفاضل والتكامل.

كما يوضح حساب التفاضل والتكامل أن هناك دوال ونقاطًا على رسومها البيانية لا يوجد لها الحد الذي يحدد ميل خط المماس. بالنسبة لهذه النقاط، تكون الدالة f غير قابلة للاشتقاق . هناك سببان محتملان لفشل طريقة إيجاد المماسات بناءً على الحدود والمشتقات: إما أن المماس الهندسي موجود، ولكنه خط رأسي، ولا يمكن إعطاؤه في صيغة نقطة-ميل لأنه لا يحتوي على ميل، أو أن الرسم البياني يُظهر أحد السلوكيات الثلاثة التي تمنع المماس الهندسي.

يوضح الرسم البياني y = x ^1/3 الاحتمال الأول: هنا يكون حاصل الفرق عند a = 0 مساويًا لـ h ^1/3 / h = h ^−2/3 ، والذي يصبح كبيرًا جدًا عندما يقترب h من 0. يحتوي هذا المنحنى على خط مماس عند الأصل يكون رأسيًا.

يوضح الرسم البياني y = x ^2/3 إمكانية أخرى: هذا الرسم البياني له قمة عند الأصل. وهذا يعني أنه عندما يقترب h من 0، فإن حاصل الفرق عند a = 0 يقترب من زائد أو ناقص ما لا نهاية اعتمادًا على إشارة x . وبالتالي فإن كلا فرعي المنحنى قريبان من نصف الخط الرأسي الذي يكون فيه y = 0، ولكن لا يوجد أي منهما قريبًا من الجزء السالب من هذا الخط. في الأساس، لا يوجد مماس عند الأصل في هذه الحالة، ولكن في بعض السياقات قد يعتبر المرء هذا الخط مماسًا، وحتى في الهندسة الجبرية ، مماسًا مزدوجًا .

يتكون الرسم البياني y = | x | لدالة القيمة المطلقة من خطين مستقيمين لهما ميلان مختلفان متصلان عند نقطة الأصل. عندما تقترب النقطة q من نقطة الأصل من اليمين، يكون للخط القاطع دائمًا ميل 1. عندما تقترب النقطة q من نقطة الأصل من اليسار، يكون للخط القاطع دائمًا ميل −1. لذلك، لا يوجد مماس فريد للرسم البياني عند نقطة الأصل. يسمى وجود ميلين مختلفين (ولكن محدودين) زاوية .

أخيرًا، بما أن القابلية للتفاضل تعني الاستمرارية، فإن عدم استمرارية الحالات الموجبة المعاكسة يعني عدم القابلية للتفاضل. ولن يكون لأي من هذه القفزات أو نقاط عدم الاستمرارية خط مماس. ويشمل هذا الحالات التي يقترب فيها أحد المنحدرات من اللانهاية الموجبة بينما يقترب الآخر من اللانهاية السالبة، مما يؤدي إلى عدم استمرارية القفزة اللانهائية

عندما يكون المنحنى معطى بواسطة y = f ( x ) فإن ميل المماس يكون، وبالتالي وفقًا لصيغة النقطة والميل فإن معادلة خط المماس عند ( X ,  Y ) هي ${\displaystyle dy/dx,}$

${\displaystyle yY={\frac {dy}{dx}}(X)\cdot (xX)}$

حيث ( x ،  y ) هي إحداثيات أي نقطة على خط المماس، وحيث يتم تقييم المشتقة عند . ^[12]${\displaystyle x=X}$

عندما يتم إعطاء المنحنى بواسطة y = f ( x )، يمكن أيضًا إيجاد معادلة خط المماس ^[13] باستخدام القسمة الحدودية للقسمة على ؛ إذا تم الإشارة إلى الباقي بواسطة ، فإن معادلة خط المماس تُعطى بواسطة ${\displaystyle f\,(x)}$${\displaystyle (xX)^{2}}$${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle y=g(x).}$

عندما يتم إعطاء معادلة المنحنى في النموذج f ( x ،  y ) = 0، فيمكن إيجاد قيمة المنحدر عن طريق التفاضل الضمني ، مما يعطي

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {\partial f}{\partial x}}{\bigg /}{\frac {\partial f}{\partial y}}.}$

معادلة الخط المماس عند النقطة ( X ، Y ) بحيث f ( X ، Y ) = 0 هي ^[12]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot (x-X)+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot (y-Y)=0.}$

تظل هذه المعادلة صحيحة إذا

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)=0,\quad {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\neq 0,}$

في هذه الحالة يكون ميل المماس لانهائيًا. ومع ذلك، إذا كان

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)=0,}$

الخط المماس غير معرف ويقال أن النقطة ( X ، Y ) مفردة .

بالنسبة للمنحنيات الجبرية ، يمكن تبسيط العمليات الحسابية إلى حد ما عن طريق التحويل إلى إحداثيات متجانسة . على وجه التحديد، دع المعادلة المتجانسة للمنحنى تكون g ( x ،  y ،  z ) = 0 حيث g هي دالة متجانسة من الدرجة n . ثم، إذا كانت ( X ،  Y ،  Z ) تقع على المنحنى، فإن نظرية أويلر تعني أن المعادلة المتجانسة لخط المماس هي $${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}\cdot X+{\frac {\partial g}{\partial y}}\cdot Y+{\frac {\partial g}{\partial z}}\cdot Z=ng(X,Y,Z)=0.}$$

${\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}(X,Y,Z)\cdot x+{\frac {\partial g}{\partial y}}(X,Y,Z)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,Z)\cdot z=0.}$

يمكن إيجاد معادلة الخط المماس في الإحداثيات الديكارتية عن طريق ضبط z = 1 في هذه المعادلة. ^[14]

لتطبيق ذلك على المنحنيات الجبرية، اكتب f ( x ,  y ) على النحو التالي:

${\displaystyle f=u_{n}+u_{n-1}+\dots +u_{1}+u_{0}\,}$

حيث أن كل u _r هو مجموع كل حدود الدرجة r . ومن ثم تكون المعادلة المتجانسة للمنحنى هي

${\displaystyle g=u_{n}+u_{n-1}z+\dots +u_{1}z^{n-1}+u_{0}z^{n}=0.\,}$

يؤدي تطبيق المعادلة أعلاه وتعيين z = 1 إلى إنتاج

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(X,Y)\cdot x+{\frac {\partial f}{\partial y}}(X,Y)\cdot y+{\frac {\partial g}{\partial z}}(X,Y,1)=0}$

كمعادلة الخط المماس. ^[15] المعادلة في هذا الشكل غالبًا ما تكون أبسط للاستخدام في الممارسة العملية حيث لا يلزم المزيد من التبسيط بعد تطبيقها. ^[14]

إذا تم إعطاء المنحنى بشكل معاملي بواسطة

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

ثم يكون ميل المماس هو

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}{\bigg /}{\frac {dx}{dt}}}$

إعطاء معادلة الخط المماس عند [ ^16]${\displaystyle \,t=T,\,X=x(T),\,Y=y(T)}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)\cdot (y-Y)={\frac {dy}{dt}}(T)\cdot (x-X).}$

لو

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(T)={\frac {dy}{dt}}(T)=0,}$

الخط المماس غير محدد. ومع ذلك، قد يحدث أن يكون الخط المماس موجودًا ويمكن حسابه من معادلة ضمنية للمنحنى.

يُطلق على الخط العمودي على الخط المماس للمنحنى عند نقطة التماس اسم الخط العمودي على المنحنى عند تلك النقطة. منحدرات الخطوط العمودية لها حاصل ضرب −1، لذا إذا كانت معادلة المنحنى هي y = f ( x ) فإن ميل الخط العمودي هو

${\displaystyle -1{\bigg /}{\frac {dy}{dx}}}$

ويترتب على ذلك أن معادلة الخط العمودي عند (X, Y) هي

${\displaystyle (x-X)+{\frac {dy}{dx}}(y-Y)=0.}$

وبالمثل، إذا كانت معادلة المنحنى على الشكل f ( x ،  y ) = 0، فإن معادلة الخط العمودي تُعطى بواسطة ^[17]

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x-X)-{\frac {\partial f}{\partial x}}(y-Y)=0.}$

إذا تم إعطاء المنحنى بشكل معاملي بواسطة

${\displaystyle x=x(t),\quad y=y(t)}$

ثم معادلة الخط العمودي هي ^[16]

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}(x-X)+{\frac {dy}{dt}}(y-Y)=0.}$

الزاوية بين منحنيين عند نقطة تقاطعهما تُعرَّف بأنها الزاوية بين خطوط مماسهما عند تلك النقطة. وبشكل أكثر تحديدًا، يُقال عن منحنيين أنهما مماسان عند نقطة ما إذا كان لهما نفس المماس عند نقطة ما، ومتعامدان إذا كانت خطوط مماسهما متعامدة. ^[18]

تفشل الصيغ أعلاه عندما تكون النقطة نقطة مفردة . في هذه الحالة قد يكون هناك فرعان أو أكثر من المنحنى يمرون عبر النقطة، ويكون لكل فرع خط مماس خاص به. عندما تكون النقطة هي الأصل، يمكن إيجاد معادلات هذه الخطوط للمنحنيات الجبرية عن طريق تحليل المعادلة التي تم تشكيلها عن طريق إزالة جميع الحدود ما عدا أدنى درجة من المعادلة الأصلية. نظرًا لأنه يمكن جعل أي نقطة هي الأصل عن طريق تغيير المتغيرات (أو عن طريق ترجمة المنحنى)، فإن هذا يوفر طريقة لإيجاد خطوط الظل في أي نقطة مفردة.

على سبيل المثال، معادلة المثلث المثلثي الموضحة على اليمين هي

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-2ax)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}$

توسيع هذا وإزالة كل شيء باستثناء حدود الدرجة 2 يعطي

${\displaystyle a^{2}(3x^{2}-y^{2})=0\,}$

والتي عندما يتم تحليلها تصبح

${\displaystyle y=\pm {\sqrt {3}}x.}$

إذن هذه هي معادلات الخطين المماسين عبر الأصل. ^[19]

عندما لا يكون المنحنى متقاطعًا ذاتيًا، فقد لا يكون المماس عند نقطة مرجعية محددًا بشكل فريد لأن المنحنى غير قابل للاشتقاق عند تلك النقطة على الرغم من أنه قابل للاشتقاق في مكان آخر. في هذه الحالة، يتم تعريف المشتقات اليسرى واليمنى على أنها حدود المشتقة حيث تقترب النقطة التي يتم تقييمها عندها من نقطة المرجع من اليسار (القيم المنخفضة) أو اليمين (القيم الأعلى) على التوالي. على سبيل المثال، المنحنى y = | x | غير قابل للاشتقاق عند x = 0: مشتقاته اليسرى واليمنى لها منحدرات −1 و1 على التوالي؛ تسمى المماسات عند تلك النقطة مع تلك المنحدرات المماسات اليسرى واليمنى. ^[20]

في بعض الأحيان تكون منحدرات خطوط المماس اليسرى واليمنى متساوية، وبالتالي تتطابق خطوط المماس. وهذا صحيح، على سبيل المثال، بالنسبة للمنحنى y = x ^2/3 ، حيث تكون المشتقتان اليسرى واليمنى عند x = 0 لانهائيتين؛ ويكون لكل من خطوط المماس اليسرى واليمنى معادلة x = 0.

يقال عن دائرتين متميزتين تقعان في نفس المستوى أنهما مماستان لبعضهما البعض إذا التقيا في نقطة واحدة بالضبط.

إذا تم وصف النقاط في المستوى باستخدام إحداثيات ديكارتية ، فإن دائرتين ، لهما نصف قطر ومراكز ، تكونان مماستين لبعضهما البعض كلما ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}\pm r_{2}\right)^{2}.}$

تُسمى الدائرتان مماستين خارجيًا إذا كانت المسافة بين مركزيهما تساوي مجموع نصف قطريهما،

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}+r_{2}\right)^{2}.}$

أو مماسين داخليًا إذا كانت المسافة بين مركزيهما تساوي الفرق بين نصفي قطريهما: ^[21]

${\displaystyle \left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}=\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}.}$

يتم تعريف المستوى المماس لسطح عند نقطة معينة p بطريقة مماثلة لخط المماس في حالة المنحنيات. إنه أفضل تقريب للسطح بواسطة مستوى عند p ، ويمكن الحصول عليه كموضع حد للمستويات التي تمر عبر 3 نقاط مميزة على السطح بالقرب من p حيث تتقارب هذه النقاط إلى p . رياضيًا، إذا تم إعطاء السطح بواسطة دالة ، يمكن التعبير عن معادلة المستوى المماس عند النقطة على النحو التالي:${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})}$.

هنا، و هي المشتقات الجزئية للدالة بالنسبة إلى و على التوالي، يتم تقييمها عند النقطة . في الأساس، يلتقط المستوى المماس السلوك المحلي للسطح عند النقطة المحددة p . إنه مفهوم أساسي يستخدم في حساب التفاضل والتكامل والهندسة التفاضلية، وهو أمر بالغ الأهمية لفهم كيفية تغير الدوال محليًا على الأسطح. ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

بشكل عام، يوجد فضاء مماس ذو أبعاد k عند كل نقطة من متعدد الشعب ذو أبعاد k في الفضاء الإقليدي ذو أبعاد n .

• سلوك الدالة متعددة الحدود بالقرب من جذر متعدد
• طريقة نيوتن
• عادي (هندسة)
• دائرة متذبذبة
• المنحنى المتذبذب
• المستوى المتذبذب
• عمودي
• شبه الظل
• خط الدعم
• المماس عند نقطة
• المخروط المماس
• خطوط مماسيّة للدوائر
• متجه مماس
• الزاوية المماسية
• المكون المماسي

• ج. إدواردز (1892). حساب التفاضل والتكامل. لندن: ماكميلان وشركاه، ص 143 وما يليها.

• "الخط المماس"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]
• وايسستين، إريك دبليو. “خط الظل”. عالم الرياضيات .
• مماس للدائرة مع الرسوم المتحركة التفاعلية
• المماس والمشتقة الأولى — محاكاة تفاعلية