التمايز الضمني

في حساب التفاضل والتكامل ، يُعدّ التفاضل الضمني طريقةً لإيجاد مشتقة دالة مُعرَّفة بمعادلة بدلاً من صيغة صريحة. إذا كانت معادلة مثل

${\displaystyle F(x,y)=0}$

يُعرّف${\displaystyle y}$كدالة لـ${\displaystyle x}$على الأقل محليًا، يعالج التفاضل الضمني${\displaystyle y}$كوظيفة${\displaystyle y(x)}$ويميز بين طرفي المعادلة بالنسبة إلى${\displaystyle x}$هذه الطريقة هي تطبيق لقاعدة السلسلة . ^{[ 1 ]}

يُعدّ التفاضل الضمني مفيدًا عندما يكون حلّ المعادلة صراحةً لمتغير واحد غير عملي، أو ينتج عنه عدة فروع ، أو لا يمكن حله باستخدام المصطلحات الأولية . على سبيل المثال، الدائرة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$لا يمكن تمثيلها عالميًا كرسم بياني لدالة واحدة${\displaystyle y=f(x)}$، ولكن يمكن التمييز بين قوسها العلوي والسفلي ضمنيًا.

تتيح هذه الطريقة حساب تقريب خط المماس لـ${\displaystyle y(x)}$، بالنظر إلى الدالة فقط${\displaystyle F}$والنقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$عند النقطة التي يتم عندها إجراء التقريب، بحيث لا توجد معرفة أخرى بالاعتماد الوظيفي لـ${\displaystyle y}$على${\displaystyle x}$هناك حاجة إلى ذلك. يمكن إيجاد تقريبات مماسية للأسطح والمتشعبات ذات الأبعاد الأعلى المعطاة بمعادلة أو نظام من المعادلات بطرق مماثلة.

يترك${\displaystyle F}$لتكن دالة قابلة للتفاضل لمتغيرين، ولنفترض أن المعادلة

${\displaystyle F(x,y)=f(x_{0},y_{0})}$

يُعرّف${\displaystyle y}$محليًا كدالة قابلة للتفاضل لـ${\displaystyle x}$، بالقرب من النقطة${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})}$بتطبيق التفاضل على كلا الطرفين نحصل على $${\displaystyle dF=0}$$ على المنحنى محل الاهتمام، وكتابة الطرف الأيسر بدلالة المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle F}$: $${\displaystyle F_{x}(x,y)dx+F_{y}(x,y)dy=0.}$$ لذلك، يتم التقييم عند هذه النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$^{[ 2 ] :} §11.5^​$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}}$$ متاح${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})\not =0}$.

يمكن تفسير المشتقة الموجودة على الجانب الأيسر من الصيغة على أنها ميل الخط المماس للمنحنى المحدد ضمنيًا بالمعادلة.${\displaystyle F(x,y)=F(x_{0},y_{0})}$من خلال النقطة المحددة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$الصيغة محلية، بمعنى أنها تعطي فقط مشتقة فرع الدالة الضمنية${\displaystyle y(x)}$الذي يحتوي الرسم البياني الخاص به على النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

بشكل بديهي، لكي يكون صحيحًا عند نقطة معينة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$يتطلب التفاضل الضمني في الصيغة الأساسية أن تكون الدالة${\displaystyle F}$يجب الاعتماد عليه حقًا${\displaystyle y}$بالقرب من النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$وإلا فإن المعادلة${\displaystyle F(x,y)=F(x_{0},y_{0})}$لا يمكن حلها لـ${\displaystyle y}$كدالة لـ${\displaystyle x}$على الإطلاق.

في الواقع، هناك حاجة إلى المزيد: يتضح من الصيغة أن المشتقة الجزئية${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}$يجب أن تكون غير صفرية، لأنها تظهر في مقام الطرف الأيمن من صيغة${\displaystyle dy/dx_{(x_{0},y_{0})}}$على الرغم من أن هذه الحقيقة تسمح بحساب قيمة عددية، إلا أنه ليس من الواضح أن هذه القيمة العددية تحمل المعنى المعلن، أي أنها مشتقة دالة .${\displaystyle y(x)}$الذي يقع رسمه البياني على المنحنى${\displaystyle F(x,y)=0}$من خلال النقطة.

تُقدّم نظرية الدالة الضمنية التبرير المفقود. وتنص على ما يلي: لنفترض أن${\displaystyle F(x,y)}$هي دالة بحيث توجد مشتقاتها الجزئية في قرص حول${\displaystyle (x,y)=(x_{0},y_{0})}$وتكون متصلة في جميع أنحاء القرص. ثم إذا${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0}$، هناك دالة قابلة للتفاضل${\displaystyle y(x)}$محددة في فترة مفتوحة تحتوي على${\displaystyle x=x_{0}}$بحيث${\displaystyle F(x,y(x))=0}$على امتداد الفترة، ومشتقتها معطاة بصيغة التفاضل الضمني عند${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$علاوة على ذلك، فإن الدالة فريدة على فترة صغيرة كافية حول${\displaystyle x_{0}}$[ ^{3 ]​}

يمكن تطبيق طريقة التفاضل الضمني لإيجاد مشتقات من الرتب العليا مثل المشتقة الثانية للدالة المعرفة ضمنيًا${\displaystyle y(x)}$عند نقطة الرسم البياني${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$، شريطة أن تكون الوظيفة${\displaystyle F}$يكون السطح أملسًا بدرجة كافية عند هذه النقطة. ^{[ 4 ]}

على سبيل المثال، لنفترض أن المشتقة الأولى لـ${\displaystyle y(x)}$تم التوصل إلى ذلك عن طريق حل المعادلة $${\displaystyle dF=F_{x}(x_{0},y_{0})\,dx+F_{y}(x_{0},y_{0})\,dy=0}$$ ل${\displaystyle dy/dx}$في${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

تطبيق التفاضل الثاني على${\displaystyle F(x,y)=F(x_{0},y_{0})}$ثم يعطي $${\displaystyle d^{2}F=0}$$ وتوسيع الجانب الأيسر يعطي $${\displaystyle d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy)=F_{xx}dx^{2}+F_{yx}dx\,dy+F_{xy}dy\,dx+F_{yy}dy^{2}+F_{x}\,d^{2}x+F_{y}\,d^{2}y=0.}$$ حيث كتبنا المشتقات الجزئية الثانية لـ${\displaystyle F}$مع تكرار الرموز السفلية. بما أنه${\displaystyle x}$المشتقات التي نبحث عنها،${\displaystyle d^{2}x=0}$كذلك، استبدال التعبيرات المعروفة بـ${\displaystyle dy}$عند النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$، في الصيغة (أي${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}dx}$حيث تكون المشتقة على الجانب الأيمن معروفة عند النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$:${\displaystyle dy/dx_{(x_{0},y_{0})}=-F_{x}(x_{0},y_{0})/F_{y}(x_{0},y_{0})}$ثم يمكننا ترتيب الحدود وحل المعادلة لإيجاد المشتقة الثانية${\displaystyle d^{2}y/dx^{2}}$أي من $${\displaystyle F_{xx}dx^{2}+(F_{xy}+F_{yx}){\frac {dy}{dx}}dx^{2}+F_{yy}dy^{2}+F_{y}\,d^{2}y=0}$$ نحصل على $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {F_{xx}+(F_{xy}+F_{yx}){\frac {dy}{dx}}+F_{yy}\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}{F_{y}}}.}$$ يُفهم هذا على أنه عند النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ولا يتطلب الأمر سوى أن تكون الوظيفة${\displaystyle F}$أن تكون قابلة للتفاضل مرتين عند النقطة، بالإضافة إلى الفرضية${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0}$تكون قابلية التفاضل من الدرجة الثانية عند النقطة صحيحة إذا كانت الدوال الجزئية الأولى والثانية لـ${\displaystyle F}$توجد وتكون متصلة في قرص حول النقطة.

في هذه الحالة، تنص نظرية كليروت على أن الدوال الجزئية المختلطة متساوية${\displaystyle F_{xy}(x_{0},y_{0})=F_{yx}(x_{0},y_{0})}$ويمكن بعد ذلك دمج هذه المصطلحات لإعطاء $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-{\frac {F_{xx}-2F_{xy}{\frac {F_{x}}{F_{y}}}+F_{yy}\left({\frac {F_{x}}{F_{y}}}\right)^{2}}{F_{y}}}.}$$

يتم التعامل مع المشتقات ذات الرتبة الأعلى (في ظل فرضيات السلاسة المطلوبة) بشكل مماثل.