تفاضل دالة

في حساب التفاضل والتكامل ، يمثل التفاضل الجزء الرئيسي من التغير في الدالة${\displaystyle y=f(x)}$فيما يتعلق بالتغيرات في المتغير المستقل. التفاضلي${\displaystyle dy}$يتم تعريفها بواسطة $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$$ أين${\displaystyle f'(x)}$هي مشتقة الدالة f بالنسبة إلى${\displaystyle x}$، و${\displaystyle dx}$وهو متغير حقيقي إضافي (بحيث${\displaystyle dy}$هي وظيفة من${\displaystyle x}$و${\displaystyle dx}$). الترميز بحيث تكون المعادلة

$${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$$

ينطبق ذلك، حيث يتم تمثيل المشتقة باستخدام ترميز لايبنيز${\displaystyle dy/dx}$وهذا يتوافق مع اعتبار المشتقة ناتج قسمة التفاضلات. ويكتب المرء أيضًا

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx.}$$

المعنى الدقيق للمتغيرات${\displaystyle dy}$و${\displaystyle dx}$يعتمد ذلك على سياق التطبيق ومستوى الدقة الرياضية المطلوب. قد يكتسب نطاق هذه المتغيرات دلالة هندسية خاصة إذا اعتُبر التفاضل شكلاً تفاضلياً معيناً ، أو دلالة تحليلية إذا اعتُبر التفاضل تقريباً خطياً لتزايد دالة. تقليدياً، المتغيرات${\displaystyle dx}$و${\displaystyle dy}$تعتبر صغيرة جدًا ( متناهية الصغر )، ويتم جعل هذا التفسير دقيقًا في التحليل غير القياسي .

تم تقديم مفهوم التفاضل لأول مرة من خلال تعريف بديهي أو استدلالي من قبل إسحاق نيوتن، ثم طوره غوتفريد لايبنتز ، الذي اعتبر التفاضل dy تغيراً متناهياً في الصغر (أو متناهياً في الصغر ) في قيمة الدالة y ، والذي يقابل تغيراً متناهياً في الصغر dx في وسيط الدالة x . ولهذا السبب، يُرمز إلى معدل التغير اللحظي لـ y بالنسبة إلى x ، وهو قيمة مشتقة الدالة ، بالكسر y/x.    

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$$ فيما يُسمى بترميز لايبنتز للمشتقات. خارج القسمة${\displaystyle dy/dx}$ليس صغيرًا إلى ما لا نهاية؛ بل هو عدد حقيقي .

تعرض استخدام المتناهيات في الصغر بهذا الشكل لانتقادات واسعة، كما ورد في الكتيب الشهير " المحلل" للأسقف بيركلي. عرّف أوغستين لويس كوشي ( 1823 ) التفاضل دون اللجوء إلى ذرية المتناهيات في الصغر عند لايبنتز. ^{[ 1 ] [ 2 ]} وبدلاً من ذلك، اتبع كوشي، متأثرًا بدالمبير ، الترتيب المنطقي للايبنتز وخلفائه: فأصبحت المشتقة نفسها هي الكائن الأساسي، مُعرّفةً على أنها نهاية لقسمة الفروق، ثم عُرّفت التفاضلات بدلالة هذه المشتقة. أي أنه كان بإمكان المرء تعريف التفاضل بحرية.${\displaystyle dy}$عن طريق التعبير $${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$$ في أي${\displaystyle dy}$و${\displaystyle dx}$هي ببساطة متغيرات جديدة تأخذ قيمًا حقيقية محدودة، ^{[ 3 ]} وليست متناهية الصغر ثابتة كما كانت عليه بالنسبة لليبنيز. ^{[ 4 ]}

بحسب بوير (1959 ، ص 12) ، كان منهج كوشي تحسينًا منطقيًا هامًا على منهج لايبنتز المتناهي في الصغر، لأنه بدلًا من اللجوء إلى المفهوم الميتافيزيقي للمتناهيات في الصغر، فإن الكميات ${\displaystyle dy}$و${\displaystyle dx}$أصبح بالإمكان الآن التعامل معها بنفس الطريقة التي يتم بها التعامل مع أي كميات حقيقية أخرى بطريقة ذات معنى. ولا يزال النهج المفاهيمي الشامل لكوشي في التعامل مع التفاضلات هو النهج القياسي في المعالجات التحليلية الحديثة، ^{[ 5 ]} على الرغم من أن الكلمة الأخيرة في الدقة، وهي مفهوم حديث تمامًا للنهاية، تعود في النهاية إلى كارل فايرشتراس . ^{[ 6 ]}

في المعالجات الفيزيائية، كتلك المطبقة على نظرية الديناميكا الحرارية ، لا يزال المنظور اللامتناهي في الصغر هو السائد. وقد وفّق كوران وجون (1999 ، ص 184) بين الاستخدام الفيزيائي للتفاضلات اللامتناهية في الصغر واستحالة تمثيلها رياضياً على النحو التالي: تمثل هذه التفاضلات قيماً محدودة غير صفرية أصغر من درجة الدقة المطلوبة للغرض المحدد الذي صُممت من أجله. وبالتالي، لا يشترط أن تستند "اللامتناهيات الفيزيائية في الصغر" إلى نظير رياضي لها لتكون ذات معنى دقيق. 

في أعقاب التطورات التي شهدها القرن العشرون في التحليل الرياضي والهندسة التفاضلية ، بات من الواضح إمكانية توسيع مفهوم تفاضل الدالة بطرقٍ متعددة. في التحليل الحقيقي ، يُفضّل التعامل مباشرةً مع التفاضل باعتباره الجزء الرئيسي من زيادة الدالة. وهذا يقودنا مباشرةً إلى فكرة أن تفاضل الدالة عند نقطة ما هو دالة خطية لزيادة.${\displaystyle \Delta x}$يُتيح هذا النهج تطوير التفاضل (كدالة خطية) لمجموعة متنوعة من الفضاءات الأكثر تعقيدًا، مما يُفضي في نهاية المطاف إلى مفاهيم مثل مشتقة فريشيه أو مشتقة جاتو . وبالمثل، في الهندسة التفاضلية ، يُعد تفاضل دالة عند نقطة ما دالة خطية لمتجه مماس ( إزاحة متناهية الصغر)، مما يُظهره كنوع من الأشكال التفاضلية الأحادية: المشتقة الخارجية للدالة. في حساب التفاضل والتكامل غير القياسي ، تُعتبر التفاضلات كميات متناهية الصغر، والتي يمكن بدورها وضعها على أسس علمية دقيقة (انظر التفاضل (كمية متناهية الصغر) ).

يُعرَّف التفاضل في المعالجات الحديثة لحساب التفاضل والتكامل على النحو التالي: ^{[ 7 ]} تفاضل دالة${\displaystyle f(x)}$لمتغير حقيقي واحد${\displaystyle x}$هي الوظيفة${\displaystyle df}$من متغيرين حقيقيين مستقلين${\displaystyle x}$و${\displaystyle \Delta x}$مقدم من

$${\displaystyle df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.}$$

قد يتم تجاهل أحد الحجتين أو كليهما، أي قد يرى المرء${\displaystyle df(x)}$أو ببساطة${\displaystyle df}$. لو${\displaystyle y=f(x)}$ويمكن كتابة التفاضل أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle dy}$. منذ${\displaystyle dx(x,\Delta x)=\Delta x}$من المتعارف عليه كتابة${\displaystyle dx=\Delta x}$بحيث تتحقق المساواة التالية:

$${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$$

يُمكن تطبيق مفهوم التفاضل هذا على نطاق واسع عند البحث عن تقريب خطي لدالة ما، حيث تكون قيمة الزيادة${\displaystyle \Delta x}$صغيرة بما يكفي. بتعبير أدق، إذا${\displaystyle f}$هي دالة قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x}$ثم الفرق في${\displaystyle y}$-قيم

$${\displaystyle \Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)}$$

يرضي

$${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,}$$

أين الخطأ${\displaystyle \varepsilon }$في التقريب الذي يحقق${\displaystyle \varepsilon /\Delta x\rightarrow 0}$مثل${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$بمعنى آخر، يمتلك المرء هوية تقريبية

$${\displaystyle \Delta y\approx dy}$$

حيث يمكن تقليل الخطأ إلى أدنى حد ممكن بالنسبة إلى${\displaystyle \Delta x}$عن طريق التقييد${\displaystyle \Delta x}$أن تكون صغيرة بما فيه الكفاية؛ أي، $${\displaystyle {\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0}$$ مثل${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$ولهذا السبب، يُعرف تفاضل الدالة بالجزء الرئيسي (الخطي) في زيادة الدالة: فالتفاضل دالة خطية للزيادة.${\displaystyle \Delta x}$وعلى الرغم من الخطأ${\displaystyle \varepsilon }$قد يكون غير خطي، ولكنه يميل إلى الصفر بسرعة عندما${\displaystyle \Delta x}$يميل إلى الصفر.

المشغل / الوظيفة	${\displaystyle f(x)}$	${\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}$
التفاضلي	1:${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$	2:${\displaystyle d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx}$ 3:${\displaystyle df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv}$
المشتق الجزئي	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}}$	${\displaystyle f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}}$
المشتقة الكلية	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}}$	${\displaystyle {\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)}$

استنادًا إلى غورسات (1904 ، الجزء الأول، الفقرة 15) ، بالنسبة للدوال التي تحتوي على أكثر من متغير مستقل واحد،

$${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$

التفاضل الجزئي لـ y بالنسبة لأي من المتغيرات xᵢ هو الجزء الرئيسي من التغير في y الناتج عن تغير dxᵢ في ذلك المتغير. وبالتالي، فإن التفاضل _{الجزئي هو}  

$${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{i}}}dx_{i}}$$

يتضمن ذلك المشتقة الجزئية لـ y بالنسبة إلى xᵢ _. مجموع التفاضلات الجزئية بالنسبة لجميع المتغيرات المستقلة هو التفاضل الكلي 

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$$

وهو الجزء الرئيسي من التغير في y الناتج عن التغيرات في المتغيرات المستقلة x _i . 

وبشكل أدق، في سياق حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات، ووفقًا لكوران (1937ب) ، إذا كانت f دالة قابلة للتفاضل، فإن الزيادة، بحسب تعريف قابلية التفاضل ،

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$$

حيث تقترب حدود الخطأ εᵢ  من الصفر عندما تقترب الزيادات Δᵢ _{مجتمعةً} من الصفر. ويُعرَّف التفاضل الكلي بدقة على النحو التالي _:

$${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$$

بما أن، وفقًا لهذا التعريف، $${\displaystyle dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},}$$ يمتلك المرء $${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.}$$

كما هو الحال في حالة متغير واحد، فإن التطابق التقريبي صحيح.

$${\displaystyle dy\approx \Delta y}$$

حيث يمكن تقليل الخطأ الكلي إلى أدنى حد ممكن بالنسبة إلى${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$من خلال حصر الاهتمام على زيادات صغيرة بما فيه الكفاية.

تطبيق التفاضل الكلي على تقدير الخطأ

في القياس، يُستخدم التفاضل الكلي في تقدير الخطأ${\displaystyle \Delta f}$دالة${\displaystyle f}$بناءً على الأخطاء${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$من المعايير${\displaystyle x,y,\ldots }$بافتراض أن الفترة الزمنية قصيرة بما يكفي ليكون التغيير خطيًا تقريبًا:

$${\displaystyle \Delta f(x)=f'(x)\Delta x}$$

وأن المعايير${\displaystyle x,y,\ldots }$مستقلة وظيفيًا ، بحيث ينطبق التفاضل الكلي، فإن التغير في${\displaystyle f}$ينتج عن التغيرات المتزامنة في جميع المعايير

$${\displaystyle \Delta f\approx f_{x}\Delta x+f_{y}\Delta y+\cdots .}$$

المشتق${\displaystyle f_{x}}$فيما يتعلق بالمعلمة${\displaystyle x}$يعطي حساسية الدالة${\displaystyle f}$إلى تغيير في${\displaystyle x}$وخاصة فيما يتعلق بالخطأ${\displaystyle \Delta x}$كيفية حدوث الأخطاء الفردية${\displaystyle \Delta x,\Delta y,\ldots }$يتحدان في ربط${\displaystyle \Delta f}$يعتمد ذلك على ما هو معروف عنهم.

إذا كانت الأخطاء معروفة فقط كحدود على الحجم (أي،${\displaystyle |\Delta x|\leq \delta x}$إلخ.) وقد تكون لها إشارات عشوائية، والحد المقابل لأسوأ حالة على${\displaystyle \Delta f}$يتم الحصول عليها عن طريق أخذ القيم المطلقة، حيث يمكن إلغاء المساهمات الموقعة بطريقة أخرى:

$${\displaystyle |\Delta f|\leq |f_{x}|\,\delta x+|f_{y}|\,\delta y+\cdots .}$$

أما إذا تم نمذجة الأخطاء كمتغيرات عشوائية مستقلة إحصائياً ذات انحرافات معيارية${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\ldots }$ثم عن طريق انتشار التباين، الانحراف المعياري لـ${\displaystyle \Delta f}$إضافة في التربيع:

$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}=f_{x}^{2}\,\sigma _{x}^{2}+f_{y}^{2}\,\sigma _{y}^{2}+\cdots .}$$

الصيغة الأولى هي حد أعلى حتمي، والثانية هي تقدير نموذجي (انحراف معياري واحد)؛ ويتطابق الاثنان فقط في حالة المتغير الواحد التافهة.

انطلاقاً من مبدأ أسوأ الحالات، تُشتق قواعد الخطأ المألوفة للجمع والضرب وما إلى ذلك، على سبيل المثال:

يترك${\displaystyle f(a,b)=ab}$ثم يمكن تقريب الخطأ المحدود على النحو التالي:

$${\displaystyle \Delta f=f_{a}\Delta a+f_{b}\Delta b.}$$ تقييم المشتقات: $${\displaystyle \Delta f=b\Delta a+a\Delta b.}$$ القسمة على f ، وهي a × b

$${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b}}.}$$

أي بمعنى آخر، في عملية الضرب، يكون الخطأ النسبي الكلي هو مجموع الأخطاء النسبية للمعاملات.

لتوضيح كيف يعتمد ذلك على الدالة المدروسة، لنفترض الحالة التي تكون فيها الدالة${\displaystyle f(a,b)=a\ln b}$بدلاً من ذلك. بعد ذلك، يمكن حساب أن تقدير الخطأ هو $${\displaystyle {\frac {\Delta f}{f}}={\frac {\Delta a}{a}}+{\frac {\Delta b}{b\ln b}}}$$ مع وجود عامل إضافي هو ln b غير موجود في حالة الضرب البسيط. يميل هذا العامل الإضافي إلى تقليل الخطأ، لأن المقام b ln b أكبر من المقام b فقط . 

يمكن تعريف التفاضلات من الرتبة العليا لدالة y = f ( x ) لمتغير واحد x من خلال: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},}$$ وبشكل عام، $${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$$ بشكل غير رسمي، هذا ما يحفز استخدام لايبنتز لترميز المشتقات من الرتب العليا. $${\displaystyle f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.}$$ عندما يُسمح للمتغير المستقل x بالاعتماد على متغيرات أخرى، يصبح التعبير أكثر تعقيدًا، إذ يجب أن يتضمن أيضًا تفاضلات من رتب أعلى في x نفسه. وهكذا، على سبيل المثال، $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}}$$ وهكذا دواليك.

تنطبق اعتبارات مماثلة على تعريف التفاضلات من الرتب العليا لدوال ذات عدة متغيرات. على سبيل المثال، إذا كانت f دالة لمتغيرين x و y ، فإن $${\displaystyle d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},}$$ أين${\textstyle {\binom {n}{k}}}$هو معامل ذو حدين . في حالة وجود عدد أكبر من المتغيرات، يكون التعبير مماثلاً، ولكن مع توسيع متعدد الحدود مناسب بدلاً من توسيع ذي حدين. ^{[ 9 ]}

تصبح المعادلات التفاضلية من الرتب العليا في عدة متغيرات أكثر تعقيدًا عندما يُسمح للمتغيرات المستقلة نفسها بالاعتماد على متغيرات أخرى. على سبيل المثال، بالنسبة لدالة f بدلالة x و y والتي يُسمح لها بالاعتماد على متغيرات مساعدة، يكون لدينا $${\displaystyle d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.}$$

بسبب هذا التعقيد في التدوين، تعرض استخدام التفاضلات من الرتبة العليا لانتقادات شديدة من قبل هادامارد (1935) ، الذي خلص إلى ما يلي:

Enfin، que تعني أو تمثل المساواة

$${\displaystyle d^{2}z=r\,dx^{2}+2s\,dx\,dy+t\,dy^{2}\,?}$$

رأيي، لا شيء على الإطلاق.

أي: أخيرًا، ما المقصود أو المُمَثَّل بالمساواة [...]؟ في رأيي، لا شيء على الإطلاق. على الرغم من هذا التشكيك، فقد برزت التفاضلات من الرتب العليا كأداة مهمة في التحليل. ^{[ 10 ]}

في هذه السياقات، يُعرَّف التفاضل من الرتبة n للدالة f المطبقة على زيادة Δ x كما يلي: $${\displaystyle d^{n}f(x,\Delta x)=\left.{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(x+t\Delta x)\right|_{t=0}}$$ أو تعبير مكافئ، مثل $${\displaystyle \lim _{t\to 0}{\frac {\Delta _{t\Delta x}^{n}f}{t^{n}}}}$$ أين${\displaystyle \Delta _{t\Delta x}^{n}f}$هو فرق أمامي من الرتبة n مع زيادة t Δ x .

يكون هذا التعريف منطقيًا أيضًا إذا كانت f دالة لعدة متغيرات (لتبسيط الأمر، نعتبرها هنا وسيطًا متجهيًا). عندئذٍ، يكون التفاضل النوني المعرّف بهذه الطريقة دالة متجانسة من الدرجة n في الزيادة المتجهة Δx . علاوة على ذلك، تُعطى متسلسلة تايلور للدالة f عند النقطة x بالعلاقة التالية:$${\displaystyle f(x+\Delta x)\sim f(x)+df(x,\Delta x)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(x,\Delta x)+\cdots +{\frac {1}{n!}}d^{n}f(x,\Delta x)+\cdots }$$يعمم مشتق جاتو ذو الرتبة الأعلى هذه الاعتبارات إلى فضاءات لا نهائية الأبعاد.

تترتب عدة خصائص للتفاضل بشكل مباشر من الخصائص المقابلة للمشتقة، والمشتقة الجزئية، والمشتقة الكلية. وتشمل هذه الخصائص ما يلي: ^{[ 11 ]}

• الخطية : بالنسبة للثوابت a و b والدوال القابلة للتفاضل f و g ،$${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$$
• قاعدة الضرب : بالنسبة لدالتين قابلتين للتفاضل f و g ،$${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$$

تُعرف العملية d التي تتمتع بهاتين الخاصيتين في الجبر المجرد باسم الاشتقاق . وهما تستلزمان قاعدة القوة. $${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$$ بالإضافة إلى ذلك، تنطبق أشكال مختلفة من قاعدة السلسلة ، بمستويات متزايدة من العمومية: ^{[ 12 ]}

• إذا كانت y = f ( u ) دالة قابلة للتفاضل للمتغير u و u = g ( x ) دالة قابلة للتفاضل للمتغير x ، فإن$${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$$
• إذا كانت y = f ( x ₁ , ..., x _n ) وكانت جميع المتغيرات x ₁ , ..., x _n تعتمد على متغير آخر t ، فباستخدام قاعدة السلسلة للمشتقات الجزئية ، يكون لدينا  $${\displaystyle {\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$$من الناحية الاستدلالية، يمكن فهم قاعدة السلسلة لعدة متغيرات من خلال القسمة على كلا جانبي هذه المعادلة على الكمية الصغيرة للغاية dt .
• توجد تعبيرات مماثلة أكثر عمومية، حيث تعتمد المتغيرات الوسيطة x _i على أكثر من متغير واحد.

يمكن تطوير مفهوم متسق للتفاضل لدالة f  : R ⁿ → R ^m بين فضاءين إقليديين . ليكن x و Δ x ∈ R ⁿ زوجًا من المتجهات الإقليدية . الزيادة في الدالة f هي $${\displaystyle \Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).}$$ إذا وُجدت مصفوفة A من الرتبة m × n بحيث $${\displaystyle \Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}}$$ إذا كان المتجه ε → 0 عندما Δx → 0 ، فإن الدالة f قابلة للتفاضل عند النقطة x بحسب التعريف. تُعرف المصفوفة A أحيانًا باسم مصفوفة جاكوبي ، والتحويل الخطي الذي يربط الزيادة Δx ∈ Rⁿ بالمتجه AΔx ∈ ^R⁼ يُعرف، في هذا السياق العام، باسم التفاضل df ( x ) للدالة f عند النقطة x . هذا هو تحديدًا ^مشتقة فريشيه ، ويمكن تطبيق نفس البنية على أي دالة بين أي فضاءات باناخ .

ومن وجهات النظر المثمرة الأخرى تعريف التفاضل مباشرة كنوع من المشتق الاتجاهي : $${\displaystyle df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},}$$ وهذا هو النهج المُتبع بالفعل لتعريف التفاضلات من الرتب العليا (وهو الأقرب إلى التعريف الذي وضعه كوشي). إذا كان t يُمثل الزمن و x يُمثل الموضع، فإن h يُمثل سرعة بدلًا من إزاحة كما اعتدنا سابقًا. وهذا يُؤدي إلى تحسين آخر لمفهوم التفاضل: أن يكون دالة خطية للسرعة الحركية. تُعرف مجموعة جميع السرعات المارة بنقطة معينة في الفضاء بالفضاء المماسي ، وبالتالي فإن df تُعطي دالة خطية على الفضاء المماسي: صيغة تفاضلية . وفقًا لهذا التفسير، يُعرف تفاضل f بالمشتقة الخارجية ، وله تطبيقات واسعة في الهندسة التفاضلية لأن مفهوم السرعات والفضاء المماسي منطقي على أي مشعب قابل للتفاضل . إذا كانت قيمة f الناتجة تُمثل أيضًا موضعًا (في فضاء إقليدي)، فإن التحليل البُعدي يُؤكد أن قيمة df الناتجة يجب أن تكون سرعة. إذا تعاملنا مع التفاضل بهذه الطريقة، فإنه يُعرف باسم الدفع الأمامي لأنه "يدفع" السرعات من فضاء المصدر إلى السرعات في فضاء الهدف.

على الرغم من أن مفهوم وجود زيادة متناهية الصغر dx غير مُعرَّف بدقة في التحليل الرياضي الحديث ، إلا أن هناك العديد من التقنيات المتاحة لتعريف التفاضل المتناهي الصغر بحيث يمكن التعامل مع تفاضل الدالة بطريقة لا تتعارض مع ترميز لايبنتز . وتشمل هذه التقنيات ما يلي:

• يُعرَّف التفاضل بأنه نوع من الأشكال التفاضلية ، وتحديدًا المشتقة الخارجية لدالة. تُعرَّف الزيادات المتناهية الصغر بمتجهات في الفضاء المماسي عند نقطة ما. يحظى هذا النهج بشعبية في الهندسة التفاضلية والمجالات ذات الصلة، لأنه يُعمَّم بسهولة على التطبيقات بين المشعبات القابلة للتفاضل .
• التفاضلات كعناصر عديمة القوة في الحلقات التبديلية . هذا النهج شائع في الهندسة الجبرية . ^{[ 13 ]}
• التفاضلات في النماذج الملساء لنظرية المجموعات. يُعرف هذا النهج بالهندسة التفاضلية التركيبية أو التحليل اللامتناهي الصغر الأملس ، وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بالنهج الهندسي الجبري، باستثناء استخدام أفكار من نظرية التوبوس لإخفاء الآليات التي يتم من خلالها إدخال اللامتناهيات الصغر العديمة القوة. ^{[ 14 ]}
• التفاضلات ككميات متناهية الصغر في أنظمة الأعداد الفائقة الحقيقية ، وهي امتدادات للأعداد الحقيقية تحتوي على كميات متناهية الصغر قابلة للعكس وأعداد لا نهائية. هذا هو نهج التحليل غير القياسي الذي رائده أبراهام روبنسون . ^{[ 15 ]}

يمكن استخدام التفاضلات بفعالية في التحليل العددي لدراسة انتشار الأخطاء التجريبية في الحساب، وبالتالي الاستقرار العددي العام للمسألة ( كوران، 1937أ ) . لنفترض أن المتغير x يمثل نتيجة تجربة، وأن y يمثل نتيجة حساب عددي مطبق على x . السؤال هو إلى أي مدى تؤثر أخطاء قياس x على نتيجة حساب y . إذا كانت قيمة x معروفة بدقة ضمن نطاق Δx من قيمتها الحقيقية، فإن نظرية تايلور تعطي التقدير التالي للخطأ Δy في حساب y : $${\displaystyle \Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )}$$ حيث ξ = x + θ Δ x لبعض 0 < θ < 1. إذا كانت Δ x صغيرة، فإن الحد من الدرجة الثانية يكون مهملاً، وبالتالي فإن Δ y ، لأغراض عملية، يمكن تقريبه جيدًا بواسطة dy = f' ( x ) Δ x .

غالباً ما يكون التفاضل مفيداً لإعادة كتابة المعادلة التفاضلية$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=g(x)}$$ على شكل $${\displaystyle dy=g(x)\,dx,}$$ وخاصة عندما يرغب المرء في فصل المتغيرات .

• رموز التفاضل

• بوير، كارل ب. (1959)، تاريخ حساب التفاضل والتكامل وتطوره المفاهيمي ، نيويورك: منشورات دوفر ، MR 0124178 .
• كوشي ، أوغستين لويس (1823)، ملخص الدروس المستفادة من المدرسة الملكية للفنون التطبيقية حول تطبيقات الحساب اللانهائي ، أرشفة من النسخة الأصلية في 2007-08-08 ، استرجاعها 2009-08-19.
• كوران، ريتشارد (1937أ)، حساب التفاضل والتكامل. المجلد الأول ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده (نُشر عام 1988)، رقم ISBN 978-0-471-60842-4، MR 1009558 {{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• كوران، ريتشارد (1937ب)، حساب التفاضل والتكامل. المجلد الثاني ، مكتبة وايلي كلاسيكس، نيويورك: جون وايلي وأولاده (نُشر عام 1988)، رقم ISBN 978-0-471-60840-0، MR 1009559 {{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• كوران، ريتشارد ؛ جون، فريتز (1999)، مقدمة في حساب التفاضل والتكامل والتحليل، المجلد 1 ، سلسلة كلاسيكيات الرياضيات، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 3-540-65058-XMR 1746554​ 
• أيزنبد، ديفيد ؛ هاريس، جو (1998)، هندسة المخططات ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 0-387-98637-5.
• فريشيه، موريس (1925)، “La notion de différentielle dans l'analyse générale”، الحوليات العلمية للمدرسة العليا للأساتذة ، السلسلة 3، 42 : 293–323 ، دوى : 10.24033 / asens.766 ، ISSN 0012-9593 ، MR 1509268  .
• غورسات، إدوارد (1904)، دورة في التحليل الرياضي: المجلد 1: المشتقات والتفاضلات، التكاملات المحددة، التوسع في المتسلسلات، تطبيقات في الهندسة ، إي آر هيدريك، نيويورك: منشورات دوفر (نُشر عام 1959)، MR 0106155 .
• Hadamard، Jacques (1935)، “La notion de différentiel dans l’enseignement”، الجريدة الرياضية ، التاسع عشر (236): 341–342 ، دوى : 10.2307 / 3606323 ، JSTOR 3606323 .
• هاردي، جودفري هارولد (1908)، دورة في الرياضيات البحتة ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-09227-2{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
• هيل، إينار ؛ فيليبس، رالف س. (1974)، التحليل الوظيفي وشبه المجموعات ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، MR 0423094 .
• إيتو، كيوسي (1993)، القاموس الموسوعي للرياضيات (الطبعة الثانية  )، مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ISBN 978-0-262-59020-4.
• كلاين، موريس (1977)، "الفصل 13: التفاضلات وقانون المتوسط"، حساب التفاضل والتكامل: مدخل بديهي وعملي ، جون وايلي وأولاده..
• كلاين، موريس (1972)، الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة (  الطبعة الثالثة)، مطبعة جامعة أكسفورد (نُشرت عام 1990)، رقم ISBN 978-0-19-506136-9
• كيسلر، إتش. جيروم (1986)، حساب التفاضل والتكامل الابتدائي: مدخل متناهي الصغر (  الطبعة الثانية)..
• كوك، أندرس (2006)، الهندسة التفاضلية التركيبية (ملف PDF) (الطبعة الثانية  )، مطبعة جامعة كامبريدج.
• مورديك، آي .؛ رييس، جي إي (1991)، نماذج للتحليل المتناهي الصغر السلس ، سبرينغر-فيرلاغ.
• روبنسون، أبراهام (1996)، التحليل غير القياسي ، مطبعة جامعة برينستون ، رقم ISBN 978-0-691-04490-3.
• تولستوف، جي بي (2001) [1994]، "التفاضل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس.

• تفاضل دالة في مشروع عروض توضيحية من Wolfram